秦喜梅，趙開斌，彭維才，楊曉偉，查星星

（1.巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 合肥 238000；2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230026）

實(shí)變函數(shù)論是19 世紀(jì)末20 世紀(jì)初，主要由法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格創(chuàng)立的，其核心內(nèi)容是Lebesgue積分理論。實(shí)變函數(shù)進(jìn)一步發(fā)展了微積分學(xué)，不僅是數(shù)學(xué)分析的深化和推廣，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)。但由于實(shí)變函數(shù)概念和定理的抽象性、證明過(guò)程的邏輯性，讓很多學(xué)生望而卻步，他們覺(jué)得實(shí)變函數(shù)的很多概念像是“帽子里突然跑出了一只兔子”[1]。OBE理念中注重以學(xué)生為主體，以產(chǎn)出為導(dǎo)向，這種理論體系能更好地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性和獲得感，這也說(shuō)明OBE 理念為提升實(shí)變函數(shù)的教學(xué)效果帶來(lái)了新思路。

1 OBE理念內(nèi)涵及教育發(fā)展要求

OBE（Outcome based education）的教育理念為成果導(dǎo)向教育、目標(biāo)導(dǎo)向教育或需求導(dǎo)向教育。自從1981年由Spady等人提出OBE理念后，很快得到了人們的重視、認(rèn)可與應(yīng)用，并形成了一套比較完整的理論體系和實(shí)踐模式。

教育部于2017 年印發(fā)的《普通高等學(xué)校師范類專業(yè)認(rèn)證實(shí)施辦法（暫行）》樹立了以“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”為師范類專業(yè)認(rèn)證的基本理念。新一輪的《普通高等學(xué)校本科教育教學(xué)審核評(píng)估實(shí)施方案（2021—2025 年）》中也要求推動(dòng)“以學(xué)為中心、以教為主導(dǎo)”的課堂教學(xué)改革。所有這些都推動(dòng)了OBE 理念在教育和教學(xué)中的指導(dǎo)和應(yīng)用。“OBE 進(jìn)課堂”也因此成為教學(xué)改革的“最后一公里”[2]。在教學(xué)中融入OBE 理念，是推動(dòng)高校教育教學(xué)變革的有效途徑之一，對(duì)創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才的培養(yǎng)具有重要意義。

2 課程教學(xué)存在的問(wèn)題及相關(guān)研究現(xiàn)狀

2.1 課程教學(xué)中存在的問(wèn)題

（1）教學(xué)形式單一、缺乏直觀演示，學(xué)生課堂參與度低。課堂教學(xué)模式多是教師一個(gè)人唱獨(dú)角戲，和學(xué)生互動(dòng)的時(shí)間較少。學(xué)生往往依賴于教師單方面講述，疲于記錄筆記，課后僅僅憑借筆記、教材及習(xí)題來(lái)消化和吸收知識(shí)，與預(yù)期的教學(xué)設(shè)計(jì)效果有很大差距。

（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易出現(xiàn)急躁、急功近利的心理。隨著高等教育從“精英教育”向“大眾教育”的發(fā)展，加之“雙減”政策的實(shí)施，大學(xué)畢業(yè)生的數(shù)量增加，但就業(yè)崗位相對(duì)較少。就業(yè)的壓力促使學(xué)生選擇性學(xué)習(xí)，想去中學(xué)從教的認(rèn)為作為中學(xué)教師不會(huì)碰到、不會(huì)用到像實(shí)變函數(shù)如此深?yuàn)W、含混晦澀的理論，所以在上課時(shí)沒(méi)有學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性，至多滿足上課不遲到、不早退。有些考研的學(xué)生認(rèn)為初試不考實(shí)變函數(shù)，因此把絕大部分的時(shí)間和精力都用在初試的科目學(xué)習(xí)上，犧牲了實(shí)變函數(shù)的課程時(shí)間。

（3）教師的教學(xué)與自身的教科研聯(lián)系不緊密。一些教師只停留在講授課本知識(shí)，沒(méi)有將自己的教科研成果適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化成教學(xué)案例，沒(méi)有讓學(xué)生體會(huì)到探索未知學(xué)術(shù)世界的樂(lè)趣，不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

2.2 課程教學(xué)的研究現(xiàn)狀

曹廣福以測(cè)度論課題式教學(xué)案例，說(shuō)明實(shí)施實(shí)變函數(shù)的課題式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[3]。魏含玉研究了利用師范專業(yè)認(rèn)證來(lái)破解實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)中存在的問(wèn)題[4]。劉益波等以可測(cè)集的性質(zhì)為例，呈現(xiàn)了在實(shí)變函數(shù)中實(shí)施探究式教學(xué)的策略和方法[5]。余玉峰等討論了R2中面積和測(cè)度的關(guān)系，在實(shí)變函數(shù)課程中第一次把面積統(tǒng)一在測(cè)度之內(nèi)[6]。依測(cè)度收斂是實(shí)變函數(shù)的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，李成岳等研究了可測(cè)函數(shù)列依測(cè)度收斂與其Lebesgue積分的極限兩者之間的關(guān)系[7]。OBE理念的應(yīng)用是近年來(lái)很多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)，對(duì)于OBE理念如何融入人才培養(yǎng)和一些課程的教育教學(xué)展開了詳細(xì)討論[8-10]，但OBE 理念在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究相對(duì)較少，而對(duì)于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)師范認(rèn)證、改革實(shí)變函數(shù)傳統(tǒng)的教學(xué)方式，OBE理念是深化教學(xué)改革、提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的有效途徑。

3 基于OBE理念的教學(xué)設(shè)計(jì)探索

3.1 基于超星學(xué)習(xí)通和微課的在線學(xué)習(xí)

信息化時(shí)代的快速發(fā)展使教育教學(xué)模式發(fā)生了翻天覆地的變化，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”真正實(shí)現(xiàn)了教育的信息化。學(xué)習(xí)通里大量的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源，為學(xué)生課前預(yù)習(xí)、課后的鞏固提供了自學(xué)的便捷途徑。

選用中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院李文林研究員的視頻“實(shí)變函數(shù)論簡(jiǎn)史”，作為第一次課的總起介紹，選用超星學(xué)術(shù)視頻里華中師范大學(xué)李工寶教授的“實(shí)變函數(shù)”系列視頻作為自主學(xué)習(xí)視頻資源。把這些優(yōu)質(zhì)的教學(xué)視頻作為學(xué)習(xí)通中的任務(wù)點(diǎn)發(fā)布給學(xué)生觀看，讓學(xué)生隨時(shí)隨地進(jìn)行學(xué)習(xí)，同時(shí)通過(guò)完成教師布置的練習(xí)題，進(jìn)行知識(shí)的消化和鞏固。

教師也可以根據(jù)教學(xué)大綱和教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合班級(jí)學(xué)生的學(xué)情和特點(diǎn)，選取教學(xué)中的一些知識(shí)點(diǎn)錄制不同類型的微課。微課的主題可以是對(duì)教學(xué)中的某個(gè)重難點(diǎn)的突破，也可以是某類問(wèn)題的專題講解，還可以是某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的拓展延伸，這些短小精悍的微課不僅能讓學(xué)生根據(jù)自己的時(shí)間高效便捷地學(xué)習(xí)，而且能更好地滿足學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的個(gè)性化需求，為實(shí)變函數(shù)的課堂教學(xué)減負(fù)增效，實(shí)現(xiàn)了實(shí)變函數(shù)的移動(dòng)教學(xué)、移動(dòng)學(xué)習(xí)和移動(dòng)閱讀（見表1）。

表1 視頻學(xué)習(xí)重點(diǎn)和微課主題部分示例

3.2 基于OBE理念的“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”課堂互動(dòng)教學(xué)模式

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法即基于問(wèn)題的教學(xué)方法，教師精心設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)形成利于學(xué)生思考的“問(wèn)題鏈”，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，啟發(fā)學(xué)生連續(xù)地思考、深入地分析，根據(jù)問(wèn)題的逐層深入去挖掘問(wèn)題所體現(xiàn)的核心知識(shí)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感，這與OBE理念中以學(xué)生為主體的理念不謀而合。

以Fatou 引理的講解為例，在教學(xué)中設(shè)置四個(gè)問(wèn)題鏈，然后開展互動(dòng)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，從探索疑問(wèn)到解決疑問(wèn)再到知識(shí)內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)從單純的講授型課堂向問(wèn)題型課堂和能力型課堂轉(zhuǎn)變，強(qiáng)調(diào)學(xué)思結(jié)合。

問(wèn)題1 能否把Fatou引理中的“≤”換成“=”？

下面的例題說(shuō)明不能把Fatou 引理中的“≤”換成“=”。

例1 設(shè)

則?δ＞0，一方面有另一方面，

所以

問(wèn)題2 Fatou引理中討論了非負(fù)可測(cè)函數(shù)列下極限的積分，以Fatou引理為基礎(chǔ)，能否討論一般可測(cè)函數(shù)的積分和上極限的積分？

定理1 設(shè)g(x)和h(x)都是可測(cè)集E上的可積函數(shù)，是E上的一列可測(cè)函數(shù)，

（1）如果對(duì)任意的n，有g(shù)(x)≤fn(x)，?x∈E，則

（2）如果對(duì)任意的n，有fn(x)≤h(x)，?x∈E，則

證明（1）當(dāng)g(x)=0 時(shí)，此結(jié)論即為原Fatou 引理。

再證一般情形.由于對(duì)任意的n，有fn(x)-g(x)≥0，?x∈E，由Fatou引理知

即

已知g(x)在E上可積，所以積分∫Eg(x)dx的值有限，故由上式可得

從而

問(wèn)題3 利用Fatou引理能否解決求極限與求積分交換順序的問(wèn)題？

定理2 設(shè)函數(shù)g(x)和h(x)都是可測(cè)集E上的可積函數(shù)，是E上的一列可測(cè)函數(shù)。若對(duì)任意的n，有g(shù)(x)≤fn(x)≤h(x)，且于E，則

證明由定理1知，

問(wèn)題4 利用Fatou 引理能判斷函數(shù)的可積性嗎？

結(jié)合Fatou引理，若再添加積分一致有界，則可以得到判定函數(shù)可積的一種新方法。

3.3 基于OBE理念的課后研討

作為課堂教學(xué)的延續(xù)，課后的及時(shí)研討不僅彌補(bǔ)了課堂教學(xué)時(shí)間的不足，而且還能有效地幫助學(xué)生拓寬知識(shí)面、培養(yǎng)合作精神，同時(shí)開放性任務(wù)的設(shè)置使學(xué)生學(xué)無(wú)壓力，并產(chǎn)生了“英雄有用武之地”的自信心和獲得感，提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主觀能動(dòng)性。

課后研討首先要分析學(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)的目標(biāo)需求和學(xué)習(xí)障礙，然后基于OBE 理念根據(jù)目標(biāo)需求反向設(shè)計(jì)研討專題，比如讓學(xué)生研討對(duì)名人軼事的感悟，針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深入探討、某個(gè)題目的多種解題方法等，教師也可以根據(jù)自身教科研進(jìn)展，以科研成果豐富課程內(nèi)容，選取和實(shí)變函數(shù)關(guān)系密切的教科研成果作為研討課題。

實(shí)變函數(shù)論中的Lebesgue 積分是通過(guò)經(jīng)典方法定義的，其過(guò)程是經(jīng)過(guò)三個(gè)步驟完成：非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的積分，非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分，一般可測(cè)函數(shù)的積分。對(duì)于一般的可測(cè)函數(shù)，Lebesgue積分定義為其正部的積分和負(fù)部的積分之差，而正部和負(fù)部總是非負(fù)函數(shù)，所以非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分是Lebesgue積分理論的首要關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。以非負(fù)可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分為例，教師將學(xué)生進(jìn)行分組研討，引導(dǎo)學(xué)生探索非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)與非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的關(guān)系，從而得到非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的一種新算法，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想。

引理1 設(shè)φ(x)是可測(cè)集E上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，如果是E上單調(diào)遞增的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列，且在

證明 任取0 ＜α＜1 ，令En(α)=E[φn≥αφ]，?x∈E，則En(α)是E中的可測(cè)子集。

由于φ(x) 是E上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，不妨設(shè)，其中χEi(x) 是Ei的示性函數(shù)，，φ(x)在互不相交的每個(gè)Fj(j=1,2,…,l)上取非負(fù)常數(shù)值bj，則

因?yàn)棣課χEn(α)和φχEn(α)仍是E上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，且在En(α)上φn(x)≥αφ(x)，所以φnχEn(α)≥αφχEn(α)，從而

已知在E上且函數(shù)列單調(diào)遞增，則集合列單調(diào)遞增收斂到E,從而{Fj?En(α)} 單調(diào)遞增且

故

因此

由于0 ＜α＜1是任意的，所以

定理4 設(shè)f(x)是可測(cè)集E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則存在E上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列{φn(x)} ,使得對(duì)任意x∈E，φk(x)≤φk+1(x)(k=1,2,…),且同時(shí)

證明由可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系[1]，只需證明

根據(jù)非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的定義知

從而

因此

綜上可得

注：對(duì)E上的任意非負(fù)單調(diào)遞增的簡(jiǎn)單函數(shù)列{φn(x)} ,只要就有

由此得出非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的一種新方法。

定理5 設(shè)f(x)是可測(cè)集E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則

證明對(duì)任意的正整數(shù)n，將[0,n]劃分為n·2n等份，令

則φn(x)是非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，且

當(dāng)f(x)≥n時(shí)，φn(x)=n;

當(dāng)f(x)＜n時(shí)，

3.4 基于OBE理念的課程評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

為了充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，將學(xué)生的評(píng)價(jià)過(guò)程貫穿整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，實(shí)行“4+N”的評(píng)價(jià)方式，“4”即是作業(yè)+單元測(cè)試+期中考試+期末考試，側(cè)重考查學(xué)生對(duì)基本概念和基本理論的掌握情況；“N”是簽到+學(xué)習(xí)筆記+視頻觀看+課后研討+課程小論文+隨堂自主講解等內(nèi)容，綜合成績(jī)=平時(shí)成績(jī)×50%+期末考試×50%，強(qiáng)調(diào)了過(guò)程性評(píng)價(jià)的比重，客觀地評(píng)價(jià)了學(xué)生學(xué)習(xí)的整體效果。同時(shí)為了避免評(píng)價(jià)過(guò)程出現(xiàn)漏洞，要求每項(xiàng)成績(jī)均達(dá)到60%以上分?jǐn)?shù)，否則綜合成績(jī)?cè)O(shè)置為不及格。這種評(píng)價(jià)方式不僅能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)實(shí)變函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況和綜合應(yīng)用能力，而且考查了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)推理能力、團(tuán)隊(duì)合作能力和創(chuàng)新能力。通過(guò)學(xué)習(xí)通提供的分?jǐn)?shù)分布圖信息和學(xué)生的評(píng)教，反饋教學(xué)，持續(xù)地改進(jìn)教學(xué)。

4 結(jié)語(yǔ)

基于OBE 理念對(duì)“實(shí)變函數(shù)”課程進(jìn)行教學(xué)模式和教學(xué)內(nèi)容的探索、改革、調(diào)整和完善，在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)實(shí)踐中已取得一系列的教學(xué)效果和后續(xù)的升學(xué)效應(yīng)。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知探究，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，輔助學(xué)生分析問(wèn)題，關(guān)注學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，逐步實(shí)現(xiàn)從“知識(shí)的傳授”到“能力的培養(yǎng)”的轉(zhuǎn)變，不斷創(chuàng)新人才培養(yǎng)理念，逐步落實(shí)“以學(xué)生為中心、以成果為導(dǎo)向”的教育思想和理念，提升教學(xué)質(zhì)量和水平，才能跟上新時(shí)代教育思想發(fā)展的步伐。