張展飛， 周勁松， 孫文靜， 宮 島， 王騰飛

（同濟大學 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

由于軌道不平順與輪對失圓等激勵的存在，軌道車輛在運行時總會伴隨著振動，導致諸如結(jié)構(gòu)疲勞、噪聲與輪軌異常磨耗等問題［1-2］。對于客運列車而言，基于車體加速度是評價車輛運行平穩(wěn)性或人體振動舒適性的主要方法［3-6］，考慮到人體對不同頻率振動的敏感程度，對實測加速度進行頻域加權(quán)后獲得［7］，其中ISO 2631-1［8］采用時域加速度的計權(quán)均方根評價人體振動舒適性，對采樣時間未有明確要求。在此基礎上，國際鐵路聯(lián)盟提出了UIC 513 標準［9］，采用三向計權(quán)加速度均方根進行評定，并且規(guī)定每段數(shù)據(jù)采樣時間為5 s，同時提出了以50 %或95 %的置信點作為最終評價值。Helberg 與Sperling 在進行了大量試驗后提出了Sperling 運行平穩(wěn)性指標算法［10-11］，該算法忽略了縱向振動，分別計算與評價橫向與垂向的平穩(wěn)性指標，在我國廣泛應用［12-13］。該指標可通過時域與頻域計算，在算法上又分為均方法與立方法［14］，Deng［15］通過仿真數(shù)據(jù)分析得到均方頻域算法與均方時域算法是等效的，而立方頻域算法在采樣時間變化時，得到的評價指標結(jié)果不同。Sperling 運行平穩(wěn)性指標的均方時域算法或均方頻域算法應用較少，而我國軌道車輛動力學試驗標準GB/T 5599［12-13］目前采用的正是立方頻域算法。在舊標準GB/T 5599—1985 中，規(guī)定采樣時間為18～20 s，而在2020 年7 月生效的新標準GB/T 5599—2019中，為了與UIC513標準采樣時間相同等原因，將采樣時間縮短為5 s。近期研究表明根據(jù)運行平穩(wěn)性算法，隨著車輛振動采樣時間越短，計算出的指標更大。姜威等［16］采用兩個版本標準計算了相同加速度的平穩(wěn)性指標，發(fā)現(xiàn)新標準得到的指標峰值與均值均比1985 版本大。戴源廷等［17］使用GB/T 5599 標準評價非穩(wěn)態(tài)沖擊，結(jié)果表明采用2 s計算的指標整體上遠高于采用20 s計算的指標結(jié)果。戴煥云［18］分析了GB/T 5599 標準與原始Sperling算法中加速度加權(quán)曲線的差異，發(fā)現(xiàn)平穩(wěn)性指標不能由加權(quán)加速度直接換算，但并未涉及采樣時間的影響。在GB/ T 5599—2019 這一新標準頒布后，由于采樣時間減小而引起平穩(wěn)性指標增大的現(xiàn)象引起關注。依據(jù)GB/T 14849—2005［19］標準要求，地鐵車輛型式試驗的運行平穩(wěn)性指標應低于2.5，同樣列車振動數(shù)據(jù)依據(jù)1985 版本標準評價為合格，然而根據(jù)2019 標準要求，則難以達標。Jiang［20］將ISO2631-1、UIC513 以及GB/T 5599 評價方法進行分析比較，但并未分析采樣時間導致平穩(wěn)性指標差異性的機理。

本文基于某地鐵車輛振動測試結(jié)果，對比國內(nèi)外各種振動平穩(wěn)性與舒適性評價指標算法與判定標準，基于信號頻譜轉(zhuǎn)換的時頻能量對應性原理分析立方頻域算法關于采樣時間的不一致性的產(chǎn)生機理，并提出基于統(tǒng)一頻率分辨率的等效運行平穩(wěn)性指標修正算法，建立整車仿真模型計算車體振動加速度，驗證一致性修正平穩(wěn)性算法的有效性。

1 車輛平穩(wěn)性指標測試評價方法

1.1 軌道車輛平穩(wěn)性測試評價算法對比

如上節(jié)所述，軌道車輛振動舒適性可采用ISO 2631-1［8］人體振動舒適性評價指標算法來進行評價，其計算公式如式（1）所示：

式中：awx、awy、awz分別為縱向、橫向、垂向的加權(quán)加速度均方根值；kx、ky、kz分別為三個方向的加權(quán)系數(shù)，評價站立舒適度時均為1。

而UIC 513 標準［9］中的乘坐舒適性指標算法的計算公式，如式（2）所示：

我國GB/T 5599 標準［12-13］中規(guī)定的Sperling 指標計算方法為

式中： fi為頻率，Hz；ai為fi頻率處的加速度幅值，m·s-2；F（ fi）為頻率fi的加權(quán)函數(shù)。

將式（1）、式（2）與式（3）比較可知，ISO2631-1與UIC513 標準計算時采用的是時域振動加速度的平方項，稱為均方時域算法，而GB/T 5599標準計算采用的是其頻域立方項，稱為立方頻域算法。對比分析上述軌道車輛運行平穩(wěn)性與舒適性指標的頻率加權(quán)函數(shù)［8-9，12-13］，其中GB/T 5599 加權(quán)函數(shù)定義為與其余兩指標相似的對于每個ai的加權(quán)函數(shù)，為(F(fi)/fi)1/3，結(jié)果如圖1所示。

圖1 各平穩(wěn)性算法的頻域加權(quán)函數(shù)Fig. 1 Weighting function of ride quality algorithms

由于上述車輛振動舒適性與平穩(wěn)性評價判定標準也不相同，具體如表1所示，因此無法根據(jù)加權(quán)曲線在同一頻率處的值對比三種算法，但仍可分析三種算法的頻率敏感性。由圖可見，三種評價指標的頻域加權(quán)曲線各不相同，針對橫向振動，ISO2631-1和UIC 513主要考慮1 Hz附近的低頻振動，GB/T 5599的加權(quán)函數(shù)峰值則在較高頻的5.4 Hz；針對垂向振動，三種的加權(quán)峰值相近，均為6 Hz左右，但ISO2631-1和UIC 513在峰值頻率之后的加權(quán)系數(shù)要大于GB/T 5599，而后者對于0.5～6 Hz間頻段的加權(quán)系數(shù)明顯大于前者。

表1 各平穩(wěn)性與舒適性算法的評價判定標準Tab. 1 Evaluation criteria of ride quality algorithms

1.2 基于實測數(shù)據(jù)的各算法指標分析

對某地鐵車輛進行運行平穩(wěn)性測試，測試時據(jù)GB/T 5599標準要求，將加速度傳感器安置于車輛前、后轉(zhuǎn)向架上方偏移車體橫向中心線1 m處地板上。傳感器量程為5g，采樣頻率設置為2 560 Hz，以車輛運行在4個站臺間不同方向的車體振動測試為例，在運行時車體的垂向與橫向振動加速度較大，縱向振動加速度較小，因而運行平穩(wěn)性指標針對橫向與垂向進行評價。

基于上述三個典型區(qū)間的實測加速度數(shù)據(jù)，依據(jù)標準分別計算各項平穩(wěn)性與舒適性指標，如圖2所示，計算分析區(qū)間內(nèi)各指標平均值和最大值統(tǒng)計分別如表2所示。其中GB/T 5599依據(jù)標準分別采用采樣時間5 s和20 s進行分析，ISO 2631-1和UIC 513標準亦采用同樣的兩種采樣時間作為對比。

表2 車輛平穩(wěn)性指標分析結(jié)果平均值比較Tab. 2 Comparison of mean value of ride quality indexes

圖2 車輛平穩(wěn)性指標分析結(jié)果比較Fig. 2 Comparison of ride quality indexes

由圖2可知，以ISO 2631-1標準進行平穩(wěn)性評估時，所有指標均為最優(yōu)級別，以UIC 513指標進行評估時，結(jié)果為好的舒適性，但是依據(jù)GB/T5599標準的1985版本與2019版本進行評估時，則出現(xiàn)了不同的結(jié)果。GB/T 5599—2019標準的全程指標計算結(jié)果平均高于其1985標準，在1985標準體系下，車輛運行平穩(wěn)性全程為優(yōu)，但在新標準體系下，車輛運行至區(qū)間中部時橫向平穩(wěn)性僅為良，甚至出現(xiàn)超過2.75的評價結(jié)果，此時已超過GB14849—2006標準對地鐵車輛的2.5限值要求。

由表2可知，采樣時間為5 s時，ISO 2631-1和UIC 513雖指標離散程度更大，但仍是圍繞采樣時間為20 s的指標曲線波動，指標平均值保持穩(wěn)定?？紤]到軌道條件的隨機性，較短采樣時間算得的指標具有更強的離散性是正常的。而GB/T 5599分析中，更短的采樣時間除指標離散程度不同外，還導致了指標整體偏大不合理現(xiàn)象，平穩(wěn)性指標用于評價車體振動強度，應與采樣時間無關。針對該新舊指標關于采樣時間的結(jié)果不一致現(xiàn)象，下章將對不一致性的產(chǎn)生機理進行探究，并在第3章進一步提出相應的修正算法以解決該問題。

2 平穩(wěn)性指標算法關于采樣時間差異性分析

2.1 采樣時間對運行平穩(wěn)性指標影響

首先，建立軌道車輛動力學模型，通過仿真得到平穩(wěn)的時域加速度數(shù)據(jù)用于平穩(wěn)性指標分析，分別選取2.5～25 s 作為不同的采樣時間分析段，圖3a、圖3b與圖3c所示分別為車體振動加速度時域結(jié)果、不同采樣時間下的車體橫向振動加速度頻譜與功率譜密度。

圖3 車體振動加速度頻域分析結(jié)果Fig. 3 Spectrum analysis of carbody acceleration

由圖3 可見，不同采樣時間下相應的采樣間隔頻率也不同，其頻譜圖幅值隨著采樣時間與采樣間隔頻率的變化而變化，而功率譜密度函數(shù)代表車輛的振動能量，保持不變。

基于圖3 中所示的數(shù)據(jù)，分別計算不同平穩(wěn)性指標與采樣時間的關系，其中各Sperling運行平穩(wěn)性指標取橫向結(jié)果，如圖4所示。

圖4 不同采樣時間下的各評價指標比較Fig. 4 Comparison of ride quality indexes of different sampling times

由圖4 可知，ISO 指標、UIC 指標對不同采樣時間獲得的評價指標均具有較好的一致性，計算結(jié)果不隨著采樣時間變化而變化，但GB/T 5599［12-13］中采用的立方頻域算法則隨著采樣時間增大而減小，相同振動能量下該算法對于不同采樣時間獲得的評價指標是不一致的。

2.2 平穩(wěn)性算法評價結(jié)果差異性機理分析

平穩(wěn)性試驗中，加速度信號由數(shù)據(jù)采集卡轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號后由計算機存儲，而后通過傅里葉變換轉(zhuǎn)換至頻域，進行平穩(wěn)性指標分析。由于測試獲得的為有限離散點數(shù)據(jù)，進行離散傅里葉變換進行信號處理時，頻率分辨率Δf可表示為

其中：Fs為采樣頻率；N為采樣總點數(shù)；T為采樣時間，N = T·Fs。

由式（4），離散傅里葉變換中，譜線將僅出現(xiàn)在頻率分辨率Δf的整數(shù)倍上，即柵欄效應，未在Δf整數(shù)倍上的譜線則會按照能量不變的原則被分配到相近的Δf整數(shù)倍位置上，產(chǎn)生能量泄露［21］。圖5 是柵欄效應和能量泄露對于周期信號的一個清晰示例，時域信號采樣頻率為100 Hz，當采樣點數(shù)選取為700，采樣時間長度是信號周期的整數(shù)倍，時頻變換后，加速度幅值僅出現(xiàn)在1 Hz處。而當采樣截止點不位于整數(shù)倍周期時，峰值頻率發(fā)生偏移，且在相鄰的頻率處均有幅值，出現(xiàn)了能量泄露現(xiàn)象。此時，各個頻率處的譜線幅值均方和仍為1，該現(xiàn)象可用式（5）所示的Parseval 定理證明，但其立方和將隨著采樣時間發(fā)生變化。軌道車輛車體的振動加速度是連續(xù)的隨機信號，因此它的頻譜應當是連續(xù)的，采樣時間不可能同時為各連續(xù)頻率的整數(shù)倍，因此總會存在柵欄效應和能量泄露。

圖5 時頻變換的柵欄效應和能量泄露Fig. 5 Fence effect and energy leakage of time-frequency transformation

根據(jù)Parseval定理［7］，同一平穩(wěn)隨機信號的時域能量應當?shù)扔陬l域能量，即：

式中：x（n）為長度為N的離散時域序列；X（k）為x（n）的FFT（快速傅里葉變換）結(jié)果；A（k）為對應的幅值譜。

式（5）的左端項為序列的均方值E（x2（n）），對于一個平穩(wěn)隨機過程，E（x2（n））不隨采樣時間而變化，式（5）右端項為各譜線值的平方和，也是穩(wěn)定的，如圖5所示，這解釋了無論采樣時間長度如何變化，所有基于均方算法的指標都是穩(wěn)定的，如ISO 2631-1和UIC 513 中規(guī)定的平穩(wěn)性算法，因為計算得到的指標與車體振動的功率譜密度有嚴格的對應關系，而平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度是不隨采樣時間長度而改變的，不受柵欄效應的影響。然而，如圖5 所示，各采樣時間長度得到譜線的立方和卻是不穩(wěn)定的，因為譜線立方和與信號的功率譜密度并未有對應關系，因此受到柵欄效應的影響，GB/T 5599中立方頻域算法結(jié)果會隨著采樣時間的變化而變化。

3 基于統(tǒng)一頻率分辨率的運行平穩(wěn)性指標修正算法

立方頻域算法不穩(wěn)定的主要原因是平穩(wěn)性指標與振動能量譜密度沒有對應關系，即指標不滿足能量一致性原則，導致指標受到柵欄效應的影響。而不同采樣時間下的頻率分辨率不同，導致柵欄效應和能量泄露現(xiàn)象對于信號中任意頻率成分的影響強度均不同。雖然柵欄效應和能量泄露現(xiàn)象無法避免，但是仍可以選擇固定的“柵欄”位置，使得對于任意采樣時間的數(shù)據(jù)，其中相同頻率成分受到柵欄效應影響強度相同。為使頻率分辨率固定為Δf0，需要固定時域序列的總時間為

一旦參考時間長度T0確定，則頻率分辨率即確定。對于采樣時間大于參考時間長度的實測數(shù)據(jù)，可使用滑動平均的方式，將實測數(shù)據(jù)劃分為多段進行運行平穩(wěn)性指標計算后平均，且每段數(shù)據(jù)的長度Ti都應與參考時間長度T0相等。

實際測試中，往往會遇到的情況更多是采樣時間不足，為不引入新的能量且不改變能量頻域分布，使用末尾補零方法使時域序列達到參考時間長度T0。補零后的序列，在時域上總能量與原始序列相同，但時間長度被擴大為T0/T 倍，為保證其時域均方值不變，應當在補零之后再對其進行縮放，縮放因子為時，等效序列與原始序列擁有同樣的均方值，定義新序列為x*（n），則有：

x（*n）的時域均方值為

因此，等效序列x*（n）在時域上的均方值與原序列x（n）相同，即補零后縮放不改變原序列的能量密度。此外，窗函數(shù)可以減少能量泄露［7］，以Hanning窗為例，使用仿真結(jié)果對比兩種算法在不同采樣長度處截取后的幅值譜平方和與立方和變化規(guī)律，如圖6所示。

圖6 不同采樣時間的譜線冪方和Fig. 6 Power sum of spectrum of different sampling times

其中，使用Hanning 窗修正時有功率相等恢復系數(shù)1.633［7］，使用補0縮放算法時，統(tǒng)一修正至T0=100 s 的參考時間長度，當信號長度大于參考長度時，則使用滑動平均的方式分別計算各段的頻譜冪方和并取平均值。

由圖6a，直接截取、窗函數(shù)修正算法和補0縮放修正算法的譜線平方和∑（A2（k））都是一致的。由圖7b，僅有補0縮放算法的譜線立方和∑（A3（k））具有一致性，窗函數(shù)修正算法和直接截取的計算結(jié)果呈現(xiàn)相同的單調(diào)遞減結(jié)果。因此，針對柵欄效應和能量泄露現(xiàn)象導致的幅值譜立方和不穩(wěn)定的現(xiàn)象，使用窗函數(shù)修正是無效的，而補0縮放算法修正是有效的。

將各實測數(shù)據(jù)的長度均調(diào)整至參考時間長度T0后，即可計算等效Sperling指標W*，該指標不隨采樣時間變化而變化，計算流程如圖7所示。

圖7 等效Sperling指標W *計算流程圖Fig.7 Flowchart of equivalent Sperling index W *

通過運行平穩(wěn)性指標一致性修正算法，新舊版GB/T 5599被統(tǒng)一，且兩標準中的指標可通過選擇參考時間長度T0為5 s或18～20 s相互轉(zhuǎn)換。修正算法還適用于非標準采樣時間的平穩(wěn)性評估，甚至是短于5 s的采樣時間，以便反映非穩(wěn)態(tài)沖擊的影響。

4 平穩(wěn)性指標一致性修正算法驗證

為驗證運行平穩(wěn)性一致性算法的有效性，使用原算法與修正算法分別對仿真數(shù)據(jù)進行評估，運用修正算法時，參考時間長度T0取20 s，計算結(jié)果如圖8 所示。由圖可見，原立方頻域算法的采樣時間由2.5 s 增加至25 s 時，指標由2.62 下降至2.35，呈現(xiàn)出明顯的單調(diào)遞減趨勢，而修正算法計算結(jié)果隨采樣時間變化基本保持一致，驗證了該修正算法的有效性。

圖8 不同采樣時間的Sperling指標和修正指標Fig. 8 Sperling index and correction index of different sampling times

采樣時間為5 s 與20 s 時，以及采樣時間為5 s時基于能量一致等效修正算法下的頻譜（T0=20 s），如圖9 所示。由圖可見，5 s 采樣時間的幅值相比于20 s的幅值在各頻率處更大。當采用修正算法計算5 s 采樣時間的等效頻譜后，使得譜線數(shù)量增加，頻譜曲線與20 s采樣時間的計算結(jié)果基本重合。采用該修正算法后，即使采樣時間T 即頻率分辨率Δf 改變時，立方和∑（A3（k））也仍然保持一致性。

圖9 不同采樣時間下的頻譜與等效修正算法頻譜Fig. 9 Spectrum and correction spectrum of different sampling times

修正算法可將不同采樣時間的運行平穩(wěn)性指標全部修正至設定的參考時間長度下的指標，避免采樣時間越長平穩(wěn)性指標越低，采樣時間越短平穩(wěn)性指標越大這一不合理的現(xiàn)象，并以相同的限值進行評價。

5 結(jié)論

（1）ISO2631-1與UIC513標準的振動舒適性算法評價結(jié)果與采樣時間無關，但基于頻域立方算法的Sperling運行平穩(wěn)性指標的GB/T 5599標準的計算結(jié)果，卻隨著采樣時間的變化而變化，新版2019標準中規(guī)定將采樣時間由18～20 s縮短到5 s，導致其平穩(wěn)性指標結(jié)果較1985舊版標準的評價結(jié)果增大，常發(fā)生超出標準要求的情況；

（2）GB/T 5599標準中立方頻域算法得到的平穩(wěn)性指標評價結(jié)果關于采樣時間的不一致性，是由于頻譜幅值的立方和與平穩(wěn)隨機信號的能量密度沒有保持一致，受到柵欄效應和能量泄露現(xiàn)象的影響，采樣時間越長算得的指標越小。而基于均方算法的ISO2631-1與UIC513標準，根據(jù)Parseval定理，計算結(jié)果保持對采樣時間的一致性；

（3）通過選取固定參考時間，提出基于統(tǒng)一頻率分辨率的Sperling運行平穩(wěn)性指標一致性修正算法，使得采樣數(shù)據(jù)的頻譜不隨采樣時間變化而變化，可消除立方算法的平穩(wěn)性指標由于采樣時間引起的差異；

（4）測試時可根據(jù)現(xiàn)場條件采樣，然后分析時再選定參考時間長度，該方法同時可用于更短時的非穩(wěn)態(tài)沖擊影響。本文分析了GB/T 5599標準中采樣時間長度不一致導致指標不一致的機理，為該標準的延續(xù)和改進提供了理論基礎。

作者貢獻聲明：

張展飛，文獻查閱，算法研究，軟件操作，試驗分析，數(shù)據(jù)采集，論文撰寫與修改。

孫文靜，基金資助，理論指導，驗證分析，論文審閱與修改。

周勁松，理論指導，論文審閱與修改。

宮島，試驗指導。

王騰飛，試驗分析，數(shù)據(jù)獲取與處理。