錢維佳 陳海楓 陳安鋼 呂照進(jìn) 奚雷

摘?要：隨著“負(fù)油價(jià)”現(xiàn)象的出現(xiàn)，對(duì)于期權(quán)等衍生產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，標(biāo)的資產(chǎn)負(fù)價(jià)格意味著經(jīng)典Black-Scholes模型失效。本文對(duì)原始的Bachelier模型進(jìn)行修改，保留標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格可以為負(fù)的特點(diǎn)，并且使其具有Ornstein-Uhlenbeck隨機(jī)過(guò)程特征?；谛拚腂achelier模型結(jié)合蒙特卡洛數(shù)值算法對(duì)歐式期權(quán)、美式期權(quán)以及障礙期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，進(jìn)一步擴(kuò)展其期權(quán)定價(jià)應(yīng)用范圍。通過(guò)數(shù)值模擬，基于修正的Bachelier模型在期權(quán)定價(jià)上表現(xiàn)出很高的計(jì)算精度，基于O-U特征的Bachelier模型的期權(quán)定價(jià)可以作為Black-Scholes模型期權(quán)定價(jià)的替代方案，指導(dǎo)期權(quán)等衍生品定價(jià)決策。

關(guān)鍵詞：Black-Scholes模型；Bachelier模型；期權(quán)定價(jià)；障礙期權(quán)；負(fù)標(biāo)的資產(chǎn)

一、引言

2020年4月20日，西得克薩斯中質(zhì)原油（WTI）5月期貨價(jià)格暴跌305%，至每桶-3673美元，這是芝加哥商品交易所（CME）歷史上該大宗商品首次出現(xiàn)負(fù)價(jià)格，天然氣等其他大宗商品的價(jià)格此前曾跌至0美元以下。在價(jià)格跌入負(fù)值的情況下，買家將獲得提貨報(bào)酬，但是由于運(yùn)輸和儲(chǔ)存等相關(guān)成本的原因，致使有超過(guò)79萬(wàn)手的多頭被迫與票據(jù)交易所進(jìn)行現(xiàn)金結(jié)算。WTI是一種特定等級(jí)的原油，是石油定價(jià)的三大基準(zhǔn)之一，其出現(xiàn)負(fù)油價(jià)在國(guó)際金融市場(chǎng)引發(fā)了連鎖反應(yīng)：抄底原油的多頭紛紛爆倉(cāng)，損失慘重；產(chǎn)油國(guó)及原油公司面對(duì)低油價(jià)和原油供給過(guò)剩致使倉(cāng)儲(chǔ)和財(cái)務(wù)崩潰，面臨著巨大的經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)。

負(fù)油價(jià)的出現(xiàn)主要有以下四個(gè)原因：第一，根據(jù)國(guó)際能源署的數(shù)據(jù)，由于新冠疫情迫使世界各國(guó)發(fā)布“居家隔離”政策，以減緩疾病的傳播，致使原油需求預(yù)計(jì)將減少2900萬(wàn)桶/天，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)減少意味著對(duì)原油及其副產(chǎn)品（包括汽油和航空燃料）的需求減弱。第二，供需矛盾激化原油倉(cāng)儲(chǔ)運(yùn)輸成本直線飆升，期貨多頭行權(quán)交割時(shí)，必須承擔(dān)原油的運(yùn)輸、儲(chǔ)存等巨額成本，最終導(dǎo)致多頭不得不以現(xiàn)金方式與交易所平倉(cāng)。第三，芝加哥商品交易所清算所（CME?Clearing）公布測(cè)試以支持潛在的負(fù)油價(jià)期權(quán)的可能性，并使市場(chǎng)繼續(xù)正常運(yùn)作，允許出現(xiàn)負(fù)油價(jià)的機(jī)制致使石油市場(chǎng)引發(fā)極端混亂。第四，負(fù)油價(jià)危機(jī)暴露了金融交易監(jiān)管和風(fēng)險(xiǎn)管理方面的不足之處，金融機(jī)構(gòu)存在交易規(guī)則、風(fēng)險(xiǎn)管控、衍生產(chǎn)品設(shè)計(jì)、投資者教育宣傳等諸多不規(guī)范，美國(guó)商品期貨交易委員會(huì)后來(lái)發(fā)布建議，希望金融機(jī)構(gòu)持續(xù)做好應(yīng)對(duì)某些合約的極端市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。

負(fù)油價(jià)的沖擊之后，芝加哥商品交易所和ICE

于當(dāng)月做出決定，立即改用Bachelier模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)，正式開(kāi)啟允許標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為負(fù)的交易情形。①此次CME正是利用Bachelier模型中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格可以為負(fù)的特點(diǎn)為原油期貨期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，以維持結(jié)算的正常進(jìn)行。對(duì)于期權(quán)等衍生產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，標(biāo)的資產(chǎn)負(fù)價(jià)格意味著經(jīng)典Black-Scholes模型失效，使得Bachelier期權(quán)定價(jià)模型再度被應(yīng)用。但即使沒(méi)有負(fù)油價(jià)，也有充分的理由考慮使用Bachelier期權(quán)定價(jià)模型。其一，Bachelier模型是第一個(gè)分析布朗運(yùn)動(dòng)（BM）數(shù)學(xué)特性，為股票價(jià)格變化的隨機(jī)過(guò)程建模的模型，比Black-Scholes模型早了70多年。Bachelier期權(quán)定價(jià)模型在為某些合約定價(jià)方面，會(huì)比Black-Scholes模型（防止標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑為負(fù)）有一些優(yōu)勢(shì)。例如，Bachelier波動(dòng)微笑曲線比Black-Scholes曲線更適合石油市場(chǎng)。其二，在固定收益市場(chǎng)，由于對(duì)數(shù)正態(tài)分布不能準(zhǔn)確地描述利率變化的隨機(jī)過(guò)程，Bachelier模型已經(jīng)被廣泛使用在利率等衍生產(chǎn)品上。例如，掉期是由Bachelier波動(dòng)率報(bào)價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理的。即使負(fù)油價(jià)是市場(chǎng)變化的一次突發(fā)事件，從風(fēng)險(xiǎn)管理角度，將Bachelier模型納入定價(jià)系統(tǒng)也會(huì)對(duì)金融衍生品定價(jià)起到指導(dǎo)決策作用。

中國(guó)證券期貨2023年8月

第4期基于O-U特征的Bachelier模型的期權(quán)定價(jià)

盡管負(fù)油價(jià)的出現(xiàn)使很多學(xué)者開(kāi)始重新研究Bachelier模型，仍然很難找到關(guān)于該模型的全面應(yīng)用，主要由于Bachelier模型存在著標(biāo)的資產(chǎn)可能為負(fù)等缺點(diǎn)，一直沒(méi)有得到很廣泛的應(yīng)用。本文對(duì)最原始的Bachelier模型做了相應(yīng)修改，保留其標(biāo)的資產(chǎn)可以為負(fù)的特性，同時(shí)增加資金的時(shí)間價(jià)值和標(biāo)的資產(chǎn)均值回復(fù)的特性，使其具有Ornstein-Uhlenbeck隨機(jī)過(guò)程特性，并基于修正的Bachelier模型結(jié)合蒙特卡洛等數(shù)值算法為更多種類的期權(quán)定價(jià)。在實(shí)證分析中，基于修正的Bachelier模型對(duì)歐式期權(quán)（涉及正負(fù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格）、美式期權(quán)以及障礙期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，對(duì)于期權(quán)定價(jià)有著非常好的參考指導(dǎo)價(jià)值，尤其在負(fù)標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)上。

二、期權(quán)模型與期權(quán)定價(jià)

本節(jié)主要介紹常見(jiàn)的期權(quán)定價(jià)模型，并對(duì)每行模型進(jìn)行隨機(jī)過(guò)程求解和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分布與價(jià)格路徑模擬。同時(shí)基于常見(jiàn)的兩個(gè)期權(quán)模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)，最后介紹兩種常用的期權(quán)定價(jià)數(shù)值算法，并基于兩種數(shù)值算法擴(kuò)展對(duì)Bachelier模型的應(yīng)用范圍，使其可以被運(yùn)用到歐式期權(quán)、美式期權(quán)和障礙期權(quán)。

（一）期權(quán)模型

Displaced?Black-Scholes模型是具有一般性的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)模型，其模型結(jié)構(gòu)如式（1）所示，此模型基本涵蓋了金融標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的各種隨機(jī)過(guò)程，如β=1，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)過(guò)程為Black-Scholes模型，常用于金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)建模；β=0，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)過(guò)程為Ornstein-Uhlenbeck模型，常用于刻畫(huà)利率、大宗商品價(jià)格等建模；β=1，σ也是隨機(jī)過(guò)程，此模型為隨機(jī)波動(dòng)率模型，即Heston模型。

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σ［βS（t）+（1-β）］dW（t）（1）

其中，S（t）表示標(biāo)的資產(chǎn)在初始時(shí)刻t的價(jià)格，r表示市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，q表示凈便利收益率或紅利率，σ表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的瞬時(shí)波動(dòng)率或絕對(duì)波動(dòng)率，β表示模型可調(diào)系數(shù)，W（t）為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)求解，其標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格如式（2）所示：

S（t）?=S（0）e（r-q-12σ2β2）t+∫t0σβdW（s）-∫t0σ2β（1-β）e（r-q-12σ2β2）s+∫s0σβdW（s）ds+∫t0σ（1-β）e（r-q-12σ2β2）s+∫s0σβdW（s）dW（s）（2）

1Black-Scholes模型

Black-Scholes模型是第一個(gè)被廣泛使用的計(jì)算期權(quán)合約理論價(jià)值的數(shù)學(xué)方法，該方法是基于其標(biāo)的資產(chǎn)估算衍生品的理論價(jià)值，同時(shí)考慮時(shí)間價(jià)值和其他風(fēng)險(xiǎn)因素的影響。由于Black-Scholes模型嚴(yán)苛的模型假設(shè)，使期權(quán)定價(jià)結(jié)果往往偏離實(shí)際交易市場(chǎng)價(jià)格，同時(shí)標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes

①?CME?Group，Switch?to?Bachelier?Options?Pricing?Model-Effective?April?22，2020Advisory?Notice?#20-171CME

CME?Group，2020bValuation?Model?Change?for?Four?Natural?Gas?Option?Products-Effective?May?26，2020Advisory?Notice?#20-209，CME

模型僅適用于歐式期權(quán)定價(jià)，因此在期權(quán)定價(jià)方面出現(xiàn)了許多修正的Black-Scholes定價(jià)模型，使Black-Scholes模型進(jìn)一步得到廣泛應(yīng)用。如式（1）所示，當(dāng)β=1，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程為Black-Scholes模型，在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化過(guò)程符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其模型結(jié)構(gòu)如式（3）所示：

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σS（t）dW（t）（3）

基于Black-Scholes模型的標(biāo)的資產(chǎn)到期日價(jià)格分布和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑分布如圖1和圖2所示，Black-Scholes模型的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格呈現(xiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布形式且價(jià)格總是大于0。

圖1?到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分布

圖2?標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑分布

根據(jù)式（2），Black-Scholes模型下的標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)刻的價(jià)格S（T）如式（4）所示：

S（T）=S（t）expr-q-12σ2

（T-t）+σT-t·z（4）

在該模型假設(shè)下，基于等價(jià)鞅測(cè)度法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)：假設(shè)在初始時(shí)刻t，標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格為S（t）、T為期權(quán)到期日、K為期權(quán)執(zhí)行價(jià)格。歐式看漲期權(quán)價(jià)格等于其未來(lái)到期時(shí)的payoff的期望值的貼現(xiàn)如式（5）所示：

VCBS=e-r（T-t）（ST-K）+=e-r（T-t）S（t）expr-q-12σ2

（T-t）+σT-t·z-K+=S（t）ΦlogS（t）K+12σ2（T-t）σT-t-?Ke-r（T-t）ΦlogS（t）K-12σ2（T-t）σT-t

（5）

其中，Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價(jià)格可以由期權(quán)的平價(jià)公式推導(dǎo)得出。

2具有O-U特征的Bachelier模型

經(jīng)典的Bachelier模型刻畫(huà)的是t時(shí)刻期貨價(jià)格隨機(jī)過(guò)程：dF（t）=σdW（t）。本文在此模型上進(jìn)行修改，使修正的Bachelier模型具有均值回復(fù)的Ornstein-Uhlenbeck隨機(jī)過(guò)程，即式（1）的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)過(guò)程，在β=0時(shí)為具有均值回復(fù)的Bachelier模型，其模型結(jié)構(gòu)如式（6）所示：

dS（t）=（r-q）S（t）dt+σdW（t）（6）

基于修正的Bachelier模型式（6），帶入F（t）=e（T-t）（r-q）S（t），可以得出t時(shí)刻期貨價(jià)格隨機(jī)過(guò)程如式（7）所示：

dF（t）=e（T-t）（r-q）σdW（t）（7）

與經(jīng)典的Bachelier模型相比，兩種模型的主要區(qū)別是波動(dòng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)下降，但修正的Bachelier模型保留了Bachelier模型的特點(diǎn)，同時(shí)加入了O-U過(guò)程的均值回復(fù)的特征。

根據(jù)式（2），修正的Bachelier模型下的標(biāo)的資產(chǎn)在T時(shí)刻的價(jià)格S（T）如式（8）所示：

S（T）=S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）·z（8）

基于修正的Bachelier模型的標(biāo)的資產(chǎn)到期日價(jià)格分布和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑分布如圖3和圖4所示，Bachelier模型的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分布呈現(xiàn)正態(tài)分布形式，同時(shí)存在負(fù)價(jià)格情形。

圖3?到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分布

圖4?標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑分布

與Black-Scholes模型一樣的條件下，基于等價(jià)鞅測(cè)度法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，歐式看漲期權(quán)價(jià)格如式（9）、式（10）所示，其中f（z*）和N（z*）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)價(jià)格可以由期權(quán)的看漲-看跌平價(jià)公式推導(dǎo)出。

VCBL=e-r（T-t）［（ST-K）+］=e-r（T-t）S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z-K+=e-r（T-t）∫z*（S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z-K）f（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）∫

SymboleB@

z*σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）zf（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）∫

SymboleB@

z*zf（z）dz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）∫

z*ze-z222πdz=e-r（T-t）（S（t）e（r-q）（T-t）-K）N（z*）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）f（z*）（9）

S（t）e（r-q）（T-t）+σe2（r-q）（T-t）-12（r-q）z*-K>0z*=S（t）e（r-q）（T-t）-Kσe2（r-q）（T-t）-12（r-q）?（10）

（二）期權(quán)定價(jià)數(shù)值算法

1二叉樹(shù)法

二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型（二叉樹(shù)模型）是1979年發(fā)展起來(lái)的一種多周期期權(quán)估值方法，在期權(quán)起始日和到期日之間指定時(shí)間步長(zhǎng)，二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型采用迭代方法對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，每次迭代假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格有兩種可能的結(jié)果：沿著二叉樹(shù)向上或向下移動(dòng)，并且每個(gè)時(shí)期都使用相同的上漲和下跌概率。如果時(shí)間區(qū)間被無(wú)限細(xì)分，二叉樹(shù)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)可以收斂到一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)過(guò)程可以可視化資產(chǎn)價(jià)格在每一期的變化，如美式期權(quán)可以根據(jù)不同時(shí)間點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格來(lái)決策評(píng)估期權(quán)。二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型構(gòu)造步驟如下（以單步二叉樹(shù)為例）：

（1）根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率σ：計(jì)算標(biāo)的上漲倍數(shù)u=eσΔt，下跌倍數(shù)d=e-σΔt。

（2）二叉樹(shù)在Δ時(shí)間區(qū)間上，標(biāo)的資產(chǎn)向上運(yùn)動(dòng)的收益率為u-1的概率為p，1-p為標(biāo)的資產(chǎn)向下運(yùn)動(dòng)收益率d-1的概率，即風(fēng)險(xiǎn)中性概率p=（erΔt-d）/（u-d）。

（3）歐式期權(quán)定價(jià)策略：從二叉樹(shù)的末尾迭代出發(fā)，從后往前不斷迭代到二叉樹(shù)的起始點(diǎn)。例如，由q節(jié)點(diǎn)的上升和下降時(shí)的期權(quán)價(jià)值（fu和fd）加權(quán)平均并且貼現(xiàn)到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，得到當(dāng)前期權(quán)價(jià)格：f=e-（r-q）Δt（pfu+（1-p）fd）。

（4）美式期權(quán)定價(jià)策略：從二叉樹(shù)的末尾迭代出發(fā)，從后往前不斷迭代到二叉樹(shù)的起始點(diǎn)，并且在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上求取最大回報(bào)收益：

max［f=e-rT（pfu+（1-p）fd），提前行使期權(quán)的收益］。

與Black-Scholes模型相比，二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型在數(shù)學(xué)上很簡(jiǎn)單，而且基于迭代操作，交易者可以提前確定何時(shí)可能發(fā)生執(zhí)行決策，增加套利策略的機(jī)會(huì)。二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型的缺陷就是每一次迭代其標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格只能變化兩個(gè)值，在實(shí)際中是不合理的。

2蒙特卡洛算法

蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法（蒙特卡洛算法）是基于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論的隨機(jī)抽樣算法，用于計(jì)算具有多種不確定性和隨機(jī)特征的期權(quán)價(jià)格，如利率、股價(jià)或匯率的變化等。利用隨機(jī)抽樣算法模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)路徑分布，在抽樣路徑上計(jì)算期權(quán)在終點(diǎn)的價(jià)值，經(jīng)過(guò)多次抽樣，將獲得的所有收益求均值，然后利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)后，計(jì)算在初始時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值。其中，對(duì)偶變量法是提高蒙特卡洛，算法模擬精度的一種方法，美式期權(quán)定價(jià)是基于最小二乘蒙特卡洛算法在每個(gè)時(shí)點(diǎn)上需要做一次線性回歸，從而計(jì)算出最優(yōu)的行權(quán)時(shí)點(diǎn)，得出期權(quán)價(jià)格。蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法步驟如下：

（1）基于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論的隨機(jī)抽樣算法，模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St運(yùn)動(dòng)路徑分布，0≤t≤T。

（2）計(jì)算出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St每條運(yùn)動(dòng)路徑的到期回報(bào)：max（S（T）-K，0），并結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r計(jì)算出到期回報(bào)的貼現(xiàn)值：CT=e-r（T-t）max（S（T）-K，0）。

（3）不斷迭代m次步驟（1）、（2），計(jì)算到期回報(bào)均值：CMC=1m∑CT=1me-r（T-t）∑max（S（T）-K，0），進(jìn)而得到期權(quán)價(jià)格的Monte-Carlo模擬值。

三、實(shí)證分析

本節(jié)利用Black-Scholes模型、二叉樹(shù)模型、蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法和基于Bachelier模型的期權(quán)算法分別對(duì)歐式期權(quán)、美式期權(quán)和障礙期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，通過(guò)數(shù)值結(jié)果的比較分析，說(shuō)明基于Bachelier模型的期權(quán)算法不僅可以應(yīng)用在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為負(fù)的期權(quán)定價(jià)上，還可以應(yīng)用在美式期權(quán)和障礙期權(quán)定價(jià)上，為期權(quán)定價(jià)提供一種有效的定價(jià)算法。

（一）歐式期權(quán)定價(jià)

歐式期權(quán)規(guī)定期權(quán)合約持有人只能在到期日行使其權(quán)利，期權(quán)持有人的權(quán)利包括以指定的執(zhí)行價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)或出售標(biāo)的資產(chǎn)。

1標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為正的歐式期權(quán)定價(jià)

首先對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為正的歐式期權(quán)定價(jià)，在不同波動(dòng)率下，計(jì)算不同定價(jià)算法對(duì)期權(quán)的定價(jià)結(jié)果，期權(quán)合約涉及參數(shù)：S0=95為標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格，K=100為期權(quán)行權(quán)價(jià)格，T=1為期權(quán)有效期，r=002為市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，q=001為標(biāo)的資產(chǎn)的凈便利收益率或紅利率，σ=02、03、05為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不同的波動(dòng)率。

歐式期權(quán)定價(jià)算法對(duì)比：采用存在解析解Black-Scholes模型算法（BS）、時(shí)間步長(zhǎng)為200步的二叉樹(shù)模型（Binarytree）、模擬次數(shù)為10000次以及時(shí)間步長(zhǎng)為200步的Black-Scholes模型的蒙特卡洛算法（BSMC）、基于Bachelier模型的期權(quán)定價(jià)算法（Bachelier），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛算法（BachelierMC）和對(duì)偶變量法蒙特卡洛算法（BachelierDMC）進(jìn)行數(shù)值仿真對(duì)比。

從表1數(shù)值結(jié)果可以看出，利用上述期權(quán)定價(jià)算法的期權(quán)價(jià)格結(jié)果相似，對(duì)期權(quán)定價(jià)有一定的指導(dǎo)意義。Bachelier模型和Black-Scholes模型的差異主要表現(xiàn)在其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格所對(duì)應(yīng)的分布不同，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格S0越小，波動(dòng)率σ越大時(shí)，其分布越容易出現(xiàn)負(fù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的情形，從數(shù)值結(jié)果也可以得出，當(dāng)波動(dòng)率σ越大時(shí)，Bachelier模型產(chǎn)生的期權(quán)價(jià)格與基于Black-Scholes模型的解析解的精度誤差擴(kuò)大。精度誤差減小可以通過(guò)基于Bachelier模型的數(shù)值算法的時(shí)間步長(zhǎng)和模擬次數(shù)來(lái)提高，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)和模擬次數(shù)更加精細(xì)時(shí)，基于Bachelier模型的期權(quán)定價(jià)方法的結(jié)果將更加貼近Black-Scholes模型的解析解。

2標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為負(fù)的歐式期權(quán)定價(jià)

美國(guó)的WTI原油5月合約暴跌為負(fù)值，使得期權(quán)等衍生品定價(jià)必須面對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)為負(fù)價(jià)格的情形，這里還是采用上一節(jié)的參數(shù)：T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，僅對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和執(zhí)行價(jià)做出修改：S0=-30，K=30。由于Black-Scholes模型為對(duì)數(shù)正態(tài)模型，不合適標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為負(fù)的歐式期權(quán)定價(jià)，這里采用的算法為時(shí)間步長(zhǎng)為200步的二叉樹(shù)模型（Binarytree）、基于Bachelier模型的期權(quán)定價(jià)算法（Bachelier），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛算法（BachelierMC）和對(duì)偶變量法蒙特卡洛算法（BachelierDMC）進(jìn)行數(shù)值仿真對(duì)比。

從表2數(shù)值結(jié)果可以看出，上述期權(quán)定價(jià)算法對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)為負(fù)價(jià)格情形下的定價(jià)十分精確，對(duì)于看漲期權(quán)多頭，面對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格暴跌為負(fù)時(shí)，而在到期日有權(quán)利以正的執(zhí)行價(jià)購(gòu)買期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)，顯然多頭是拒絕行權(quán)，即此時(shí)期權(quán)價(jià)格為0，但是波動(dòng)率σ較大時(shí)，相應(yīng)的資產(chǎn)波動(dòng)更加敏感，Bachelier模型定價(jià)顯示即使標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)負(fù)值也存在相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格。對(duì)于看跌期權(quán)多頭，面對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格暴跌為負(fù)時(shí)，在到期日有權(quán)利以正的執(zhí)行價(jià)出售期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)，多頭顯然是必須行使此份期權(quán)，即此時(shí)期權(quán)價(jià)格為正。

（二）美式期權(quán)定價(jià)

美式期權(quán)允許期權(quán)持有人在預(yù)定的到期日或之前，根據(jù)期權(quán)是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，以設(shè)定的執(zhí)行價(jià)格買進(jìn)或賣出標(biāo)的資產(chǎn)。由于投資者可以在合約有效期內(nèi)的任何時(shí)候自由行使期權(quán)，所以美式期權(quán)比歐式期權(quán)更有價(jià)值。

這一節(jié)還是采用上兩節(jié)的參數(shù)進(jìn)行期權(quán)算法對(duì)比模擬，正標(biāo)的美式期權(quán)定價(jià)的參數(shù)與第一節(jié)參數(shù)一致，負(fù)標(biāo)的美式期權(quán)定價(jià)的參數(shù)與第二節(jié)參數(shù)一致。本節(jié)只驗(yàn)證美式看跌期權(quán)定價(jià)算法對(duì)比，美式看漲期權(quán)可以通過(guò)期權(quán)平價(jià)關(guān)系求解，采用的算法為時(shí)間步長(zhǎng)為200步的二叉樹(shù)模型（Binarytree）、基于Black-Scholes模型的最小二乘蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法（BSLMC），以及基于Bachelier模型的最小二乘蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法（BachelierLMC）進(jìn)行數(shù)值方法對(duì)比，其中Black-Scholes模型期權(quán)定價(jià)算法（BS）和Bachelier模型的期權(quán)定價(jià)算法（Bachelier）為歐式看跌期權(quán)定價(jià)結(jié)果。

從表3數(shù)值結(jié)果可以看出，不管標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為正或負(fù)，三種期權(quán)定價(jià)算法精度都很精確，由于涉及凈便利收益率或紅利率的美式期權(quán)到期日前都是可以隨時(shí)行權(quán)，也驗(yàn)證了其美式看跌期權(quán)的價(jià)格都大于歐式看跌期權(quán)價(jià)格。

（三）單障礙期權(quán)定價(jià)

障礙期權(quán)是一種路徑依賴的場(chǎng)外奇異期權(quán)衍生品，其收益根據(jù)障礙期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是否達(dá)到或超過(guò)期權(quán)合同中規(guī)定的預(yù)定價(jià)格，如果標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格超過(guò)一定的障礙值而使期權(quán)合約失效，此時(shí)為敲出失效期權(quán)；反之為敲入生效期權(quán)。障礙期權(quán)的優(yōu)點(diǎn)就是相對(duì)歐式期權(quán)或美式期權(quán)，其期權(quán)價(jià)格低廉。本文主要考慮的單障礙期權(quán)，可以分為向上敲出失效看漲期權(quán)（UOC）、向上敲入生效看漲期權(quán)（UIC）、向上敲出失效看跌期權(quán)（UOP）、向上敲入生效看跌期權(quán)（UIP）、向下敲出失效看漲期權(quán)（DOC）、向下敲入生效看漲期權(quán)（DIC）、向下敲出失效看跌期權(quán)（DOP）、向下敲入生效看跌期權(quán)（DIP）。

障礙期權(quán)只要期權(quán)有效期內(nèi)有效，其收益和歐式期權(quán)相似，一份普通歐式看漲期權(quán)價(jià)格如式（11）所示，N為標(biāo)的價(jià)格隨機(jī)路徑數(shù)，Sj，T為標(biāo)的到期日價(jià)格，K為期權(quán)執(zhí)行價(jià)，P（Sj，T）為對(duì)應(yīng)標(biāo)的價(jià)格概率。

VEuropean=?e-r（T-t）∑Nj=1［max（Sj，T-K，0）×P（Sj，T）］

（11）

一份向上敲出失效看漲期權(quán)（UOC）價(jià)格如式（12）所示，n為標(biāo)的價(jià)格觸碰障礙值的路徑數(shù)，Sj，t≤i≤T為期權(quán)有效期內(nèi)的標(biāo)的價(jià)格，K為期權(quán)執(zhí)行價(jià)，P（Sj，t≤i≤T

VBarrier=?e-r（T-t）∑N-nj=1［max（Sj，T-K，0）×P（Sj，t≤i≤T

本節(jié)主要給出8種不同的單障礙期權(quán)定價(jià)對(duì)比，在不同波動(dòng)率下，計(jì)算不同定價(jià)算法對(duì)期權(quán)的定價(jià)結(jié)果，其中向上敲出敲入期權(quán)選取參數(shù)為S0=95，K=100，T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，障礙值L=105；向下敲出敲入期權(quán)選取參數(shù)為S0=95，K=100，T=1，r=002，σ=02、03、05，q=001，障礙值L=90。采用的期權(quán)定價(jià)算法為單障礙期權(quán)解析解（Analytic?solution）、基于Black-Scholes模型的蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法（BSMC），以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法（BachelierMC）進(jìn)行數(shù)值方法對(duì)比，其中蒙特卡洛模擬次數(shù)為10000次，時(shí)間步長(zhǎng)為200步。

表4至表5數(shù)值基于Black-Scholes模型的蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法（BSMC）以及基于Bachelier模型的蒙特卡洛期權(quán)定價(jià)算法（BachelierMC）都與障礙期權(quán)解析解在定價(jià)結(jié)果上很接近，可以通過(guò)調(diào)節(jié)蒙特卡洛模擬次數(shù)和時(shí)間步長(zhǎng)達(dá)到更精確結(jié)果。通過(guò)以上內(nèi)容可以看出，障礙期權(quán)的價(jià)格不僅與障礙值有關(guān)，也與波動(dòng)率水平密切相關(guān)，當(dāng)障礙值固定時(shí)，波動(dòng)率水平越大，標(biāo)的資產(chǎn)越有可能敲出或敲入障礙值。例如，向上敲出失效看漲期權(quán)（UOC）和向下敲出失效看跌期權(quán)（DOP）隨著波動(dòng)率值越大，其期權(quán)價(jià)格越便宜。通過(guò)上述算法模擬可以得到歐式看漲期權(quán)價(jià)格等于向上敲出失效看漲期權(quán)和向上敲入生效看漲期權(quán)價(jià)格之和，也等于向下敲出失效看漲期權(quán)和向下敲入生效看漲期權(quán)價(jià)格之和，同樣，歐式看跌期權(quán)價(jià)格等于向上敲出失效看跌期權(quán)和向上敲入生效看跌期權(quán)價(jià)格之和，也等于向下敲出失效看跌期權(quán)和向下敲入生效看跌期權(quán)價(jià)格之和。由于篇幅有限，這里只列出σ取值不同時(shí)，向上敲出敲入看漲看跌障礙期權(quán)定價(jià)算法結(jié)果對(duì)比，向下敲出敲入看漲看跌障礙期權(quán)定價(jià)算法結(jié)果對(duì)比略，可聯(lián)系作者獲得。

四、結(jié)論

隨著新冠疫情大流行的結(jié)束和經(jīng)濟(jì)開(kāi)始復(fù)蘇，負(fù)油價(jià)更多地作為極端事件，已經(jīng)被量化分析師從估值模型中剔除這些異常值。但是在這個(gè)全球化日益發(fā)展的時(shí)代，宏觀環(huán)境瞬息萬(wàn)變，另一場(chǎng)油價(jià)動(dòng)蕩完全可能再一次沖擊金融市場(chǎng)的交易邏輯，使模型的轉(zhuǎn)換和更改變得日益頻繁，如何確保轉(zhuǎn)換模型有效且平穩(wěn)對(duì)金融市場(chǎng)至關(guān)重要。

本文在負(fù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的啟發(fā)下，研究基于O-U特征的Bachelier模型的期權(quán)定價(jià)有效性，通過(guò)結(jié)合蒙特卡洛數(shù)值模擬方法拓展其在美式期權(quán)和障礙期權(quán)上的應(yīng)用。本文致力于將Bachelier模型期權(quán)定價(jià)納入金融衍生品定價(jià)中，為期權(quán)定價(jià)做出指導(dǎo)決策，也為市場(chǎng)投資者調(diào)整交易策略和投資組合提供理論指導(dǎo)和審慎風(fēng)險(xiǎn)管理。

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Option?Pricing?of?Bachelier?Model?Based?on?O-U?Characteristics

QIAN?Weijia1?CHEN?Haifeng1?CHEN?Angang1?LV?Zhaojin1?XI?Lei2

（1GuotaiJunan?Securities?Co，Ltd，Shanghai?200042，China；2College

of?Management，Anhui?Science?and?Technology?University，Chuzhou?233100，China）

Abstract：With?the?emergence?of?“negative?oil?prices”，the?negative?price?of?underlying?assets?for?options?and?other?derivatives?means?the?failure?of?the?classic?Black-Scholes?modelThe?original?Bachelier?model?is?modified?in?this?paper?to?preserve?the?feature?that?the?underlying?asset?price?can?be?negative?and?make?it?have?the?Ornstein-Uhlenbeck?stochastic?process?featureBased?on?the?modified?Bachelier?model?combined?with?Monte?Carlo?numerical?algorithm?to?price?European?option，American?option?and?Barrier?option，further?expand?its?application?range?of?option?pricingThrough?numerical?simulation，the?modified?Bachelier?model?shows?high?computational?accuracy?in?option?pricingThe?option?pricing?of?the?Bachelier?model?based?on?O-U?characteristics?can?be?used?as?an?alternative?to?the?Black-Scholes?model?and?guide?the?pricing?decisions?of?options?and?other?derivatives

Key?words：Black-Scholes?Model；Bachelier?Model；Option?Pricing；Barrier?Option；Negative?Underlying?Assets