胡業(yè)發(fā), 方康平, 吳華春*,,, 郭新華,3, 王念先

(1.武漢理工大學(xué) 機電工程學(xué)院,武漢 430070, E-mail: whc@whut.edu.cn;2.武漢理工大學(xué) 深圳研究院,廣東 深圳 518057;3.湖北省磁懸浮工程技術(shù)研究中心,武漢 430070;4. 武漢科技大學(xué) 機械自動化學(xué)院,武漢 430081)

高功率密度高速電機由于體積小、質(zhì)量輕、效率高等特點受到越來越多研究者的重視,運用也越來越廣泛。在電動汽車領(lǐng)域,特斯拉Models所采用的310 kW、采用油冷方式的高功率密度感應(yīng)電機被認(rèn)為是目前世界上功率密度最高的感應(yīng)電機[1]。2007年,美國國家橡樹嶺實驗室研制了33 kW無刷混合勵磁永磁同步電機。哈工大和鄭州華聯(lián)電動車輛,分別研制了20 kW和10 kW的永磁同步電機[2]。

而磁懸浮軸承是利用電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮起來的一種高性能的軸承,它具有無磨損、不需要潤滑、壽命長等突出優(yōu)點[3～6]。將磁懸浮軸承同高速電機相結(jié)合,能夠極大地提升電機的功率密度和轉(zhuǎn)速。隨著磁懸浮技術(shù)在軸承和列車領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[7-9],研究者們對于將磁懸浮技術(shù)運用到高速電機中,也做出了很多嘗試。D. J. B. Smith等人采用有限元法分析,提出可以在護(hù)套和永磁體間使用潤滑劑來減少剪切應(yīng)力[10]。J. M. Yon等人提出了一種能夠極大程度減少渦流損耗的疊層綁扎結(jié)構(gòu)[11]。張濤等人通過對面貼式和深埋式永磁轉(zhuǎn)子的研究,驗證了高速永磁轉(zhuǎn)子在運轉(zhuǎn)時能夠有足夠的接卸強度,并建立了鐵芯橋厚度與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的關(guān)系模型[12]。

但是磁懸浮軸承在運行的過程中,往往會受到各種擾動。并且電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng),必須通過適當(dāng)?shù)姆答伩刂撇拍軌蚍€(wěn)定運行。所以針對磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制算法研究顯得尤為重要,也備受研究者們關(guān)注。目前,磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制方法大致可以分為傳統(tǒng)的PID控制、魯棒控制、和智能控制。

傳統(tǒng)PID控制器設(shè)計不依賴于被控對象的數(shù)學(xué)模型,在磁軸承的控制應(yīng)用中較為常見。但是隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的提高,傳統(tǒng)PID控制器不能很好地解決諸如磁懸浮軸承系統(tǒng)的陀螺力矩耦合、電磁場耦合、非線性特性等問題。研究者們針對這一問題,也進(jìn)行了一些優(yōu)化。2005年谷會東等人為有效抑制轉(zhuǎn)子在一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子的振動,于是在傳統(tǒng) PID 控制器的基礎(chǔ)上添加了相位補償器[13]。2008年B. X. S. Alexander等人在PID控制上添加了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器,并通過仿真比較論證了改進(jìn)后的控制效果更優(yōu)[14]。

對于魯棒控制器,如H∞控制[15]、μ綜合控制,控制器的求解需要事先獲取被控對象精確的數(shù)學(xué)模型,為了設(shè)計一個滿意的控制系統(tǒng),必須事先掌握描述系統(tǒng)運動規(guī)律的數(shù)學(xué)模型及環(huán)境情況。1996年L Scott Stephens將μ綜合與分析控制應(yīng)用于磁懸浮系統(tǒng)用來抑制高速切削時的顫振[16]。Kenzo Nonami等以五自由度柔性轉(zhuǎn)子為目標(biāo)對象,設(shè)計了μ綜合與分析控制器[17]。2002年R. L. Fittro等將μ綜合與分析控制應(yīng)用于多參數(shù)攝動的磁懸浮軸承中[18]。然而,通過動力學(xué)數(shù)學(xué)建模方法獲取的精確的磁懸浮軸承系統(tǒng),其階次太高,使控制器的設(shè)計變得困難。

全參數(shù)自適應(yīng)控制最初是由吳宏鑫院士在上世紀(jì)八十年代所提出的,其最開始是針對高階線性定常對象,通過后來的研究發(fā)現(xiàn)該控制理論對于漫時變系統(tǒng)以及某些非線性系統(tǒng)同樣適用。其在設(shè)計的時候并不依賴于精確的建模,可以較好地解決參數(shù)強時變、模型不確定性大等問題。能夠有效抑制外來擾動,實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮和運轉(zhuǎn)。P Wurmsdobler于1996年研究了剛性轉(zhuǎn)子的自適應(yīng)控制[19]。Betschon F在1998年研究了自適應(yīng)振動控制[20]。2018年南京航空航天大學(xué)的周宇研究了基于特征模型的磁懸浮軸承全系數(shù)自適應(yīng)控制,在不需要精確數(shù)學(xué)模型的前提下完成了自適應(yīng)控制系統(tǒng)的仿真模型,并進(jìn)行了干擾仿真。本文建立了基于ACAC的特征模型,通過仿真分析和實驗,驗證了基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制方法能夠有效抑制外來擾動,從而達(dá)到穩(wěn)定懸浮和運轉(zhuǎn)。

1 磁懸浮電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)及建模

1.1 磁懸浮電機軸承-剛性轉(zhuǎn)子不平衡建模

如圖1所示為五自由度主動磁懸浮系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子受力簡圖,其中空間直角坐標(biāo)系Ogxyz建立在轉(zhuǎn)子的質(zhì)心位置,x軸、y軸分別與重力反方向成45°夾角。φ為繞x軸轉(zhuǎn)動角位移,θ為繞y軸的轉(zhuǎn)動角位移,ωr為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角頻率,Fz1、Fz2為沿著z軸的電磁力,a端為轉(zhuǎn)子驅(qū)動端,b端為非驅(qū)動端。Fxa1、Fxa2、Fxb1、Fxb2為沿著x軸的電磁力,Fya1、Fya2、Fyb1、Fyb2為沿著y軸的電磁力,Og(xg,yg,zg)為轉(zhuǎn)子質(zhì)心,mg為轉(zhuǎn)子重力。表1所示為磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù)及其解釋。

表1 主動磁懸浮軸承系統(tǒng)主要參數(shù)

▲圖1 剛性轉(zhuǎn)子受力分析

根據(jù)圖1受力分析及質(zhì)點運動定理可以推出轉(zhuǎn)子的運動微分方程如式(1):

(1)

式中:fx、fy為不平衡離心力在x軸、y軸上的分量,有式(2):

(2)

此外,式(1)中,Ir為轉(zhuǎn)子直徑轉(zhuǎn)動慣量,Ia為轉(zhuǎn)子極轉(zhuǎn)動慣量,另外Te為電機輸出轉(zhuǎn)矩,目的是驅(qū)動轉(zhuǎn)子繞z軸轉(zhuǎn)動。

如圖1中所示,有式3:

(3)

結(jié)合式(1)、(2)、(3)等,忽略重力影響,寫出轉(zhuǎn)子四個徑向自由度的運動微分方程,如式(4):

(4)

為了分析方便,式(4)可表示為:

(5)

其中:

M為質(zhì)量矩陣,C為阻尼矩陣,K為位移剛度系數(shù)矩陣,B為電流剛度系數(shù)矩陣,E為不平衡激勵響應(yīng)系數(shù)矩陣。分別如下:

(6)

式(6)是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的二階系統(tǒng)微分方程,將其轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間的形式。

(7)

令:

從而有:

求得各項系數(shù)為:

于是得到最終的狀態(tài)空間方程為:

(8)

高功率密度高速電機使用的是電渦流傳感器,具有非接觸測量、頻響寬、抗干擾能力強等優(yōu)點,在實際使用時可以近似為一個比例環(huán)節(jié)[21]。令傳感器環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型為:

本文所采用的功率放大器為兩電平PWM開關(guān)功率放大器,本文忽略功率放大器的滯后并將其簡化為:

Kamp=0.5 A/V

1.2 建立控制系統(tǒng)模型

本節(jié)將磁懸浮軸承,磁懸浮剛性轉(zhuǎn)子,功率放大器和傳感器動力學(xué)模型連接。如圖2所示,為磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)原理圖。其中功率放大器接收控制電壓信號μa輸出控制電流ia,電磁軸承接收控制電流ia輸出電磁力控制轉(zhuǎn)子位移,位移傳感器檢測轉(zhuǎn)子位移輸出位移電壓信號。

▲圖2 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制原理圖

結(jié)合狀態(tài)空間方程、傳感器和功放的增益,得到磁懸浮剛性轉(zhuǎn)子不平衡控制模型:

(9)

2 全參數(shù)自適應(yīng)控制設(shè)計

全參數(shù)自適應(yīng)控制主要包括兩個部分:(1)維持/跟蹤控制(2)誤差反饋控制。其中,維持/跟蹤控制包括維持部分和積分部分。誤差反饋控制包括黃金分割自適應(yīng)控制和微分控制。

2.1 全參數(shù)自適應(yīng)控制理論

全參數(shù)自適應(yīng)控制理論中最重要的結(jié)論是全參數(shù)之和為1,其具體可以描述為:

若被控對象的動力學(xué)模型能夠描述為如下微分方程的形式:

y(n)=an-1y(n-1)+an-2y(n-2)+…+
a1y1+bn-1μ(n-1)+…+b0μ

其離散化后的差分方程可以描述為:

y(k)=a1y(k-1)+a2y(k-2)+…+any(k-n)+
β0μ(k-1)+…+βn-1μ(k-n)

(2)當(dāng)采樣周期Δt→0,且a0和b0都不為0時:

根據(jù)估計參數(shù)計算所得控制量μc1,目的是為了讓系統(tǒng)輸出為設(shè)定值。積分部分μc2目的是為了消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,為磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提供一定的靜剛度。磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身是開環(huán)不穩(wěn)定的,在自適應(yīng)控制最初過渡階段,特征模型參數(shù)估計未達(dá)到收斂時,系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性難以得到保證,因此需要加入黃金分割自適應(yīng)控制μc3來保證系統(tǒng)過渡階段的閉環(huán)穩(wěn)定性。微分控制μc4是為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。即:

uc(k)=uc1(k)+uc2(k)+uc3(k)+uc4(k)

式中:

3 算法仿真分析

基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制的主要思想是通過在線辨識的方法將高階系統(tǒng)的動力學(xué)特性以低階特征模型的方式描述并提取出特征參數(shù),然后將其反饋給全參數(shù)自適應(yīng)控制器,不斷的對被控對象進(jìn)行自適應(yīng)控制,以獲得理想的控制效果。其控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)原理如圖3所示。

▲圖3 全參數(shù)自適應(yīng)控制器原理

3.1 轉(zhuǎn)子階躍響應(yīng)

利用simulink建立磁懸浮轉(zhuǎn)子四自由度控制模型[22],編寫simulink S函數(shù)實現(xiàn)全參數(shù)自適應(yīng)控制器仿真模型,并設(shè)置相應(yīng)的傳統(tǒng)PID控制器作為比較對象。以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量以及穩(wěn)定時間為標(biāo)準(zhǔn),采用試湊法獲取動態(tài)性能最優(yōu)的一組參數(shù)作為仿真的初始參數(shù)。最終選定初始值為f1(0)=2.102,f2(0)=-1.104,以及g0(0)=g1(0)=0.001,在每個控制通道中,估計特征參數(shù)的梯度自適應(yīng)算法的參數(shù)選為δ=3.5與γ=1.5。由圖4、圖5所示的仿真結(jié)果可知,系統(tǒng)在基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制與傳統(tǒng)PID控制下均有較快的響應(yīng),這說明全參數(shù)自適應(yīng)控制有效。根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)還可以看出系統(tǒng)在基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制下,僅需要0.04 s即可達(dá)到穩(wěn)態(tài),而系統(tǒng)在PID控制下則需要0.09 s才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。這說明前者控制下的磁懸浮軸承系統(tǒng)轉(zhuǎn)子起浮速度明顯快于后者,且超調(diào)較小。

▲圖4 PID階躍響應(yīng)

通過上述對四自由度磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的仿真,得到了自適應(yīng)控制器的系統(tǒng)特征參量真值,其收斂值為f1=2.101,f2=-1.105,g0=-0.002及g1=-0.000 953。f1+f2+g0+g1=0.993 047≈1,與全參數(shù)自適應(yīng)理論中特征參量和為1相符合。

3.2 轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)仿真

在轉(zhuǎn)子實際的運行過程中,轉(zhuǎn)子振動主要形式是不平衡振動,其是與轉(zhuǎn)速同頻的正余弦波動。當(dāng)轉(zhuǎn)子起浮穩(wěn)定在平衡位置后,對轉(zhuǎn)子施加等效不平衡電流,分別得到PID以及全參數(shù)自適應(yīng)控制下的不平衡響應(yīng)即軸心軌跡如圖6和圖7。

▲圖6 PID不平衡響應(yīng)

▲圖7 ACAC不平衡響應(yīng)

由圖6和圖7可知,在PID控制下,轉(zhuǎn)子的軸心軌跡較大,即轉(zhuǎn)子產(chǎn)生了較大的不平衡振動,驅(qū)動端和非驅(qū)動端的轉(zhuǎn)子穩(wěn)定振幅大小分別為41 μm與55 μm。在基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制下,轉(zhuǎn)子的軸心軌跡相對PID而言較小,驅(qū)動端和非驅(qū)動端的轉(zhuǎn)子穩(wěn)定振幅大小分別為35 μm與37 μm。由此可見,基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制算法在對轉(zhuǎn)子不平衡振動抑制方面比傳統(tǒng)PID更好。

4 實驗驗證

為了驗證全參數(shù)自適應(yīng)控制算法對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子實際的控制效果,搭建了如圖8所示的實驗平臺,該平臺由電機、磁懸浮軸承、轉(zhuǎn)子、功率放大器、快速控制原型機等設(shè)備構(gòu)成。其中電機功率為1.2 kW,功率放大器的直流總線電壓為50 V,開關(guān)頻率為20 kHz。實驗平臺的轉(zhuǎn)子由兩端兩個徑向磁懸浮軸承支承,實現(xiàn)四自由度穩(wěn)定懸浮。中間是用于對轉(zhuǎn)子施加不同激勵的磁懸浮軸承,但是在本文的實驗驗證部分并未得到使用。除卻圖中所示的設(shè)備外,還安裝了四個電渦流傳感器,用以測量轉(zhuǎn)子在x與y方向的位移。

實驗過程中,主要調(diào)節(jié)積分系數(shù)Ki、微分系數(shù)Kd以及參數(shù)λ,ACAC的積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd與傳統(tǒng)PID控制理論中的相似。Kd通過抑制系統(tǒng)偏差的變化,達(dá)到改善系統(tǒng)動態(tài)特性的目的。而Ki可以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,其值越大系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差消除越快。調(diào)節(jié)時需要注意λ對于系統(tǒng)存在一個穩(wěn)定域,在這個穩(wěn)定域內(nèi)參數(shù)過大會引起系統(tǒng)的震蕩,參數(shù)過小會造成系統(tǒng)的大超調(diào)量,但是λ對于系統(tǒng)的穩(wěn)定時間的影響并不大[23]。圖9中的(a)、(b)兩圖分別為實驗得到的前后端靜態(tài)懸浮曲線,可以看出懸浮精度在±5 μm以內(nèi)。

▲圖9 懸浮曲線

從上述實驗結(jié)果中可以看出全參數(shù)自適應(yīng)控制算法能夠?qū)D(zhuǎn)子四自由度的起浮起到良好的控制效果,驗證了本文提出的基于特征模型的ACAC實際應(yīng)用的可能性。

4 結(jié)束語

本文以高功率密度磁懸浮高速電機為對象,描述了全參數(shù)自適應(yīng)控制方法,建立了模型,并進(jìn)行了仿真和實驗。具體結(jié)論如下:

(1) 本文針對目標(biāo)對象建立了磁懸浮電機軸承-剛性轉(zhuǎn)子不平衡模型、控制系統(tǒng)模型,并設(shè)計了針對特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制器。從設(shè)計過程中可以看出全參數(shù)自適應(yīng)控制的模型構(gòu)建不依賴于精確的數(shù)學(xué)模型,能夠有效的解決參數(shù)時變強、模型不確定性大等問題。

(2) 利用simulink搭建仿真平臺,將自適應(yīng)控制同傳統(tǒng)的PID控制進(jìn)行比較[24]。在基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制下,磁懸浮軸承系統(tǒng)轉(zhuǎn)子起浮速度明顯快于傳統(tǒng)PID控制,并且超調(diào)較小。仿真對比實驗的結(jié)果顯現(xiàn)了全參數(shù)自適應(yīng)控制的性能要優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制。從不平衡響應(yīng)仿真中可以看出基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制算法對轉(zhuǎn)子不平衡振動抑制之后的轉(zhuǎn)子振幅要小于傳統(tǒng)PID控制之后的振幅。

(3) 利用實驗室現(xiàn)有器材搭建了磁軸承轉(zhuǎn)子懸浮實驗平臺,驗證基于特征模型的全參數(shù)自適應(yīng)控制對于轉(zhuǎn)子靜態(tài)懸浮的效果。從測試結(jié)果中可以看出,全參數(shù)自適應(yīng)控制能夠滿足磁軸承轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。