王熙杰, 蔡慧林

(1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鐵道機(jī)車學(xué)院,湖南 株洲 412006, E-mail:wangxijie1929@126.com;2.湖南省高鐵運(yùn)行安全保障工程技術(shù)研究中心,湖南 株洲 412006;3.蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,蘭州 730070)

機(jī)器人剛度不僅影響機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性,而且會(huì)影響到機(jī)器人的定位精度和穩(wěn)定性,是機(jī)器人設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)之一[1-2]。繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的剛度是末端執(zhí)行器受到外力時(shí),由于傳動(dòng)原件的彈性變形和結(jié)構(gòu)矩陣的變換引起末端執(zhí)行器空間位置偏移大小的度量。

繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡單、工作空間大、運(yùn)動(dòng)靈活和可重構(gòu)性能好等優(yōu)點(diǎn),使其很好的應(yīng)用于下肢康復(fù)[3-7]、協(xié)同吊運(yùn)[7-8]和高速裝配[9]等領(lǐng)域。Behzasipour等[10]分析了繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的剛度,結(jié)果顯示增加繩索拉力可以提高機(jī)器人的穩(wěn)定性。王克義教授[11]利用有限元方法討論了不同繩索配置下的繩索驅(qū)動(dòng)盆骨訓(xùn)練機(jī)器人的靜態(tài)剛度。

但繩索只能承受拉力,為了提高機(jī)器人的工作性能,王硯麟等[12]在繩索和末端執(zhí)行器間增加了彈簧,并研究了彈簧長度和剛度系數(shù)對(duì)其運(yùn)動(dòng)力學(xué)特性的影響。李帆等[13]在繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人中引入了彈簧,利用平均剛度的概念分析了機(jī)器人的剛度變化。Gao等[14]利用壓縮彈簧和繩索機(jī)構(gòu)仿人脖頸運(yùn)動(dòng)。

通過改變彈簧的空間布局和參數(shù)(初始長度和剛度系數(shù))可以改善機(jī)器人的工作性能。但上述研究未涉及繩索采用彈簧代替后對(duì)機(jī)器人工作空間和剛度的影響,因此,本研究基于繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的剛度分析了繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度分布問題,對(duì)該類系統(tǒng)的構(gòu)型優(yōu)化和規(guī)劃具有實(shí)際指導(dǎo)意義。

1 繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人靜力學(xué)建模

建立的m根繩索、n自由度的平面繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示,在過輪b1處建立了全局坐標(biāo)系O-xy,過輪bi(i=1, 2,…,m)的坐標(biāo)位置為(xi,yi),末端執(zhí)行器O2的坐標(biāo)位置為(x,y),Li(i=1,2,…,m)表示過輪bi和末端執(zhí)行器O2之間的有效繩索長度。

根據(jù)牛頓歐拉方程建立繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的靜力學(xué)平衡方程為:

JT=B

(1)

式中:T=[t1,t2, …,t4]T為繩索拉力向量,滿足條件tmin≤ti≤tmax;tmin表示繩索預(yù)緊力以確保繩索始終處于張緊狀態(tài);tmax表示繩索的最大允許張力,為了保證系統(tǒng)的安全性能,其主要與電機(jī)和繩索材料性能有關(guān)。B為系統(tǒng)受到的外力;J為繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)矩陣,即:

J=[J1,J2,…,Jm]T

(2)

式中:Ji表示一個(gè)旋量,可表示為

(3)

繩索長度Li可以表示:

(4)

系統(tǒng)受到的外力B可表示為

(5)

在建立的m根繩索l根彈簧、n自由度的繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人(簡寫為mClS)的力學(xué)特性時(shí),需將彈簧視為特殊繩索,即可承受拉力和壓力的繩索。由于彈簧只能提供被動(dòng)力,因此應(yīng)將靜力學(xué)平衡方程中結(jié)構(gòu)矩陣要除去彈簧對(duì)應(yīng)的旋量,將其視為外力,此時(shí)mClS靜力學(xué)平衡方程可表示為:

JT=B+Jsts

(6)

式中:Js表示彈簧對(duì)末端執(zhí)行器產(chǎn)生的旋量;ts表示彈簧產(chǎn)生的力。根據(jù)胡克定理可知,第i根彈簧產(chǎn)生的力tsi為:

tsi=ksi(Lsi-L0i)

(7)

式中:ksi表示彈簧的勁度系數(shù),L0i和Lsi分別表示彈簧的初始長度和實(shí)際長度。

2 繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人剛度分析

在外力作用下,末端執(zhí)行器抵抗外界干擾的能力是反映機(jī)器人剛度的一個(gè)指標(biāo),對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有外力干擾時(shí)末端執(zhí)行器的位置精度具有明顯的影響,因此,需要計(jì)算繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度。

根據(jù)機(jī)構(gòu)剛度定義,由微小外力δF產(chǎn)生的微小位移δP和微小外力δF之間的關(guān)鍵可表示為:

δF=K·δP

(8)

由方程式(1)和(8)可以獲得機(jī)器人的剛度表達(dá)式:

(9)

式中:Kc為機(jī)器人的主動(dòng)剛度;Kf為 機(jī)器人的被動(dòng)剛度。接下來推導(dǎo)機(jī)器人的主動(dòng)剛度和被動(dòng)剛度。

機(jī)器人的主動(dòng)剛度Kc可表示為:

(10)

式中:H為機(jī)器人的Hessian矩陣,結(jié)合繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的Hessian矩陣計(jì)算方法[15],m根繩索、n自由度的繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人Hessian矩陣的第j層矩陣為:

(11)

式中:ui表示第i根繩索的單位向量;ri表示第i根繩索和末端執(zhí)行器連接點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的位置。由上可知,繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人Hessian矩陣為n×m×n的矩陣。

機(jī)器人的被動(dòng)剛度Kf可表示為:

(11)

式中:ki=Ei·Ai/li0為第i根繩索運(yùn)動(dòng)支鏈的剛度,Ei和Ai分別表示繩索的彈性模量和橫截面積。

3 彈簧對(duì)繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人剛度的影響

通過繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度分析可知,其完整剛度為:

K=HT-J·diag(k1,k2…,km)·JT

(12)

由機(jī)器人剛度可知,機(jī)器人的主動(dòng)剛度與繩索拉力、繩索的空間位置和末端執(zhí)行器的位置有關(guān);而機(jī)器人的被動(dòng)剛度與繩索的空間布局、末端執(zhí)行器的位置和運(yùn)動(dòng)支鏈的參數(shù)有關(guān)。

在繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人剛度分析時(shí),可在繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人剛度模型的基礎(chǔ)上直接建立繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度模型。在靜力學(xué)分析時(shí)將彈簧作用于末端執(zhí)行器的力視為方向和大小可變化的外力,此時(shí), 該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)矩陣應(yīng)該包含繩索和彈簧所對(duì)應(yīng)的部分。該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)矩陣增加了彈簧所對(duì)應(yīng)的列,因此,Hessian矩陣的維數(shù)和繩索拉力均會(huì)發(fā)生變化,由式(10)可知,其主動(dòng)剛度會(huì)發(fā)生變化。另外,運(yùn)動(dòng)支鏈的剛度與繩索拉力也有關(guān)系,這也會(huì)導(dǎo)致被動(dòng)剛度的變化。

通過上述分析可知,繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的靜力學(xué)平衡方程可表示為:

JT-Jsts=JcsTcs=B

(13)

式中:Jcs=[J,Js],Tcs=[T,ts]T。則由繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的靜力學(xué)平衡方程(13)可以獲得其機(jī)器人的整體剛度為:

(14)

4 實(shí)例分析

本研究將建立豎直平面內(nèi)2自由度、3根繩索1根彈簧(簡寫為3C1S)的繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人模型,假設(shè)末端執(zhí)行器的質(zhì)量為20 kg,所受外力為0,彈簧初始長度為0.5 m,彈簧剛度系數(shù)為123.1 N/m。選取布局方案如圖2所示,其中過輪位置b1(0,0)m,b2(0,2)m,b3(2,2)m,b4(2,0)m,選取GB 20118—2006中的圓股鋼絲繩為驅(qū)動(dòng)繩索,其直徑為1.2×10-3m,彈性模量為2.8×1010Pa,橫截面積為1.13×10-6m2,繩索的允許拉力范圍為[10, 3 000]N。

▲圖2 繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡圖

機(jī)構(gòu)整體剛度矩陣的對(duì)角線矩陣分別表征該機(jī)構(gòu)沿X、Y方向上的移動(dòng)剛度,因此,研究實(shí)例機(jī)器人沿X、Y方向上的移動(dòng)剛度可表示為:

(15)

Kx和Ky的絕對(duì)值越大,則沿對(duì)應(yīng)方向上的剛度越大。

▲圖3 C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的工作空間

4根運(yùn)動(dòng)支鏈均采用繩索驅(qū)動(dòng)的繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人(簡稱為C4,如圖1所示的構(gòu)型)的工作空間如圖3所示,C4的有效工作空間呈現(xiàn)關(guān)于豎直中線X=1 m的直線對(duì)稱分布,且主要分布在理論工作空間的中上部。

C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人沿X、Y方向上的移動(dòng)剛度分布如圖4所示,計(jì)算結(jié)果顯示,Kx∈[7.549 0, 39.008]×105N/m,Ky∈[3.589 0, 39.009]×105N/m,從整體上來看,C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人沿X方向上的移動(dòng)剛度要大于沿Y方向上的移動(dòng)剛度,而且從它們的分布圖可以看出C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人沿X、Y方向上的移動(dòng)剛度在工作空間的中間區(qū)域小,在邊界區(qū)域較大。

▲圖4 C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度分布

▲圖5 C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的工作空間

將C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人中的一條運(yùn)動(dòng)支鏈采用彈簧替換變成如圖2所示的C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人時(shí),機(jī)器人的有效工作空間如圖5所示,由于彈簧的存在,C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的有效工作空間明顯向理論工作空間的右上方偏移,且形狀和有效區(qū)域明顯不同于C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人。

C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人沿X、Y方向上的移動(dòng)剛度分布如圖6所示,計(jì)算結(jié)果顯示,Kx∈[1.786 2, 45.343]×105N/m,Ky∈[3.171 4, 73.731]×105N/m,從整體上來看,C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人沿X方向上的移動(dòng)剛度要明顯大于沿Y方向上的移動(dòng)剛度;而且同樣在有效工作空間內(nèi),機(jī)器人沿X、Y方向上的移動(dòng)剛度在工作空間的中間區(qū)域小,在邊界區(qū)域較大。

▲圖6 C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度分布

通過C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度分布和C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度分布比較可知,當(dāng)采用彈簧替換1根繩索時(shí),機(jī)器人沿各方向上的剛度明顯增加,說明C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度特性有所增強(qiáng)。

機(jī)構(gòu)剛度矩陣的特征值反映了解耦后方向矢量上的剛度系數(shù),為了更好地描述機(jī)器人剛度的分布情況,采用剛度矩陣的條件數(shù)進(jìn)行衡量,表示為:

(16)

式中:λmax和λmin分別表示剛度矩陣K的最大特征值和最小特征值。Cond可以很好地反應(yīng)各方向上剛度的大小關(guān)系和剛度非各向同性的信息。

根據(jù)式(16)計(jì)算獲得的剛度矩陣條件數(shù)Cond如圖7所示,結(jié)果顯示C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的Cond∈[1.265 4,29.271 5],而C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的Cond∈[1.042 4, 27.520 4],表明C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的Cond整體上小于C4繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的Cond,表明C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人各方向剛度的差異較小,即C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人各方向上剛度值的分布比較均勻,由此進(jìn)一步表明了C3S1繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人具有較好的運(yùn)動(dòng)特性。

▲圖7 兩種機(jī)器人的剛度矩陣條件數(shù)Cond

5 結(jié)論

本研究針對(duì)繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的剛度進(jìn)行了分析,推導(dǎo)出了機(jī)器人剛度的解析表達(dá)式,并在此基礎(chǔ)上給出了繩索-彈簧混合驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的剛度解析表達(dá)式。通過對(duì)平面4根繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人和3根繩索1根彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的工作空間和在工作空間內(nèi)剛度的分布情況進(jìn)行實(shí)例分析,表明3根繩索1根彈簧混合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人在各運(yùn)動(dòng)方向上剛度值分布比4根繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的剛度分布均勻,具有較好的可操作性能,為進(jìn)一步研究機(jī)器人系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)平臺(tái)和控制策略奠定了基礎(chǔ)。