陳心怡，孔宇航

0 引言

建筑的求解過程離不開關(guān)于幾何的考量。傳統(tǒng)建筑大多以歐幾里得幾何（下文簡稱歐氏幾何）作為形式生成的基礎(chǔ)，隨著非歐幾里得幾何（下文簡稱非歐幾何）1）、拓撲幾何、分形幾何在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的出現(xiàn)，相繼衍生出一系列實驗性建筑。本文試圖以鑲嵌、疊動、層流作為關(guān)鍵詞，討論分形幾何與其他3 種幾何在形式生成過程中的耦合機制及其在空間層級建構(gòu)中的操作方法。1970 年代，芒德勃羅（Benoit B.Mandelbrot）提出分形（fractal）幾何概念并將其作為量化自然形式結(jié)構(gòu)的工具，引發(fā)建筑界關(guān)于設(shè)計觀念與方法的反思：艾莉森·史密森（Alison Smithson）提出兼顧不同空間尺度的毯式建筑原型（Mat-Building）2）[1]，以分形幾何自相似性強調(diào)在形式結(jié)構(gòu)中“整體—局部”的層次關(guān)系，從而打破傳統(tǒng)以單一歐氏幾何空間構(gòu)成的建筑模式；查爾斯·詹克斯（Charles Jencks）認為分形幾何結(jié)合非歐幾何形式可尋找出“無法通過現(xiàn)代主義純粹與簡約的方法處理”的“復(fù)雜性與組織性”操作方法[2]；桑福德·昆特（Sanford Kwinter）借助分形幾何空間層級結(jié)構(gòu)的縮放關(guān)系，提出將空間主觀情景轉(zhuǎn)變?yōu)榭陀^對象的動態(tài)拓撲形成可度量、管理和掌握構(gòu)形操作[3]。隨著埃森曼（Peter Eisenman）、米拉萊斯（Enric Miralles）、里伯斯金（Daniel Libeskind）、伊東豐雄（Toyo Ito）等建筑師大量實踐案例的誕生以及相關(guān)理論的遞進，建筑從傳統(tǒng)的線性組織方式走向更加復(fù)雜的非線性耦合模式，為建筑創(chuàng)作提供了新方法與工具。本文通過探討分形幾何與其他3 種幾何之間關(guān)于鑲嵌、疊動、層流的操作，解析三者在空間構(gòu)圖、界面組織和結(jié)構(gòu)關(guān)系中的耦合方式及在形式層級建構(gòu)的作用機制，構(gòu)建并豐富復(fù)雜有序的形式生成方法。

1 鑲嵌式組合

在以歐氏幾何為生成圖解的設(shè)計過程中，鑲嵌方法并不鮮見，通常以嵌套和嵌入兩種方式介入空間的層次性塑造。如勒·柯布西耶（Le Corbusier）運用空間嵌套創(chuàng)造狹長與開闊反轉(zhuǎn)體驗，阿道夫·路斯（Adolf Loos）運用空間嵌入豐富垂直與水平方向的視覺層次。然而，當(dāng)形式生成過程中代表歐氏幾何的正交網(wǎng)格轉(zhuǎn)變?yōu)榉中螏缀蔚目s放網(wǎng)絡(luò)，鑲嵌從單一操作轉(zhuǎn)變?yōu)橛薪M織的系列空間操作——各種尺度空間有序且靈動地嵌套或嵌入，促使空間呈現(xiàn)不同尺度層級，并形成不同于歐氏幾何空間的微觀尺度認知與復(fù)雜視覺體驗（表1）。

表1 歐氏正交網(wǎng)格與分形網(wǎng)格比較分析

1.1 縮尺嵌套

尺度縮放作為分形幾何的操作方法，與軸線網(wǎng)格的結(jié)合使其從設(shè)計初期便涵蓋不同尺度空間的組織關(guān)系與感官體驗，如平面構(gòu)成以對角線縮尺的方式建立空間內(nèi)外的遞進關(guān)系而模糊邊界、立面造型，以由下而上的圖形縮尺替代垂直線集塑造體量輕盈感（表2）。日本在21 世紀興起的“超級扁平”（Super Flat）3）[4]建筑實踐，在布局上借由縮尺軸網(wǎng)控制空間序列組織，再以空間嵌套在疊合區(qū)域形成尺度樞紐中心，從而前置結(jié)構(gòu)及構(gòu)件設(shè)計，使形式在生成過程逐步向使用者尺度轉(zhuǎn)變。其中，SANNA 事務(wù)所的項目最具代表性，其簡單明快的空間延續(xù)現(xiàn)代建筑的操作方法，縮尺的操作使形式圖解在初期已涵蓋對結(jié)構(gòu)、材料、色彩及光影的思考并貫徹至落成，使人在建筑內(nèi)部停留或穿行無法感知整體形式而聚焦于每個空間的陳設(shè)布置，而外部連續(xù)平滑的完形界面卻可辨別其整體性。妹島和世（Kazuyo Sejima）設(shè)計的阿爾梅勒劇院中心（Almere Theatre and Cultural Centre）以歐氏幾何方形作為完整體量，在其內(nèi)部以水平十字沿海邊縮尺分劃區(qū)域，以此借由尺度的變化闡述3 種關(guān)系——在功能上，由大空間劇院向小空間工作室滲透；在感知上，由城市建筑群向自然海岸過渡，在體驗上由專業(yè)表演向即興創(chuàng)作擴散，后者更是通過庭院的嵌套混淆行走的主次路線，使人在建筑中自由漫步；在建構(gòu)層面上，為了使每個尺度空間大部分界面保持一致，其在結(jié)構(gòu)設(shè)計中采用隱藏構(gòu)造、去結(jié)構(gòu)主次性及裝飾性的策略，提升人對空間陳設(shè)、色彩、光影的敏感性（圖1）。平田晃久（Akihisa Hirata）設(shè)計的樹屋（Tree-ness House）則在剖面設(shè)計中運用T 字形尺度縮放切分方形體量以打破樓層平行劃分，其將窗構(gòu)件作為三維空間與陽臺、樓梯、花園空間相嵌套，一方面改變構(gòu)件在室內(nèi)外的二維性閱讀，另一方面營造出縱向延伸性、消解體量在街區(qū)中的厚重感（圖2）。

1 阿爾梅勒劇院超平空間的3種關(guān)系，底圖左引自參考文獻[5]，中引自參考文獻[6]，右引自參考文獻[7]

2 樹屋T字立體構(gòu)成關(guān)系，底圖引自www.archdaily.com

表2 縮尺嵌套操作方法解析

1.2 循序嵌入

另一種關(guān)于軸線的分形幾何尺度縮放操作主要以圖形螺旋縮放控制空間單元嵌入的秩序，構(gòu)建多角度邊界、多層次體量、持續(xù)向外延展的建筑形式。相較于以歐氏幾何為主體的層狀軸線結(jié)構(gòu)干涉單元在不同方向的嵌入，其以圖形螺旋地縮放構(gòu)成角度偏差，循序嵌入單元形成空間層層向心微縮關(guān)系（表3）。在以三角形為母題的形式設(shè)計中，賴特（Frank Lloyd Wright）設(shè)計的帕爾默住宅（Palmer House）以3 條邊建立3 套層狀結(jié)構(gòu)作為不同尺度單元嵌入?yún)⒖季€，通過開放交接處并配合異型家具制造3 種界面并置的微縮關(guān)系；隈研吾（Kengo Kuma）設(shè)計的森林展館（Forest for Living Model）整體形式看似無序，但通過結(jié)構(gòu)拆解可發(fā)現(xiàn)，其以三角形螺旋式迭代網(wǎng)絡(luò)為單元嵌入依據(jù)并構(gòu)成結(jié)構(gòu)上的穩(wěn)定性，單元間呈15°、30°、60°夾角的榫卯結(jié)構(gòu)，形成非均等的空間序列，從而增加多尺度的并置界面；后者圖形向心螺旋的軸線關(guān)系隨著單元分別在不同角度與層級嵌入，與之相交的空間脫離原單元的同時生成新秩序，最終呈現(xiàn)離心形式（圖3）。卒姆托（Peter Zumthor）設(shè)計的德國漢諾威世界博覽會瑞士館（Swiss Sound Box）更加清晰地呈現(xiàn)出形式操作過程中序列的變化，其平面源于正方形螺旋縮放網(wǎng)格控制另兩種尺度的正方形單元嵌入，后兩者相疊加后，交疊空間在被線性等分后并入或獨立于原有秩序，形成多個中心點并置的松散體量以制造山林穿行的意境（圖4）。通過對軸線網(wǎng)格的縮尺嵌套、循序嵌入操作，形成以多邊形縮放替代層狀結(jié)構(gòu)，從視覺上影響邊界感知的新方式；由尺度層級歸類獨立單元，將其中涉略的結(jié)構(gòu)、材料、色彩與光影前置設(shè)計，從使用者角度營造各尺度單元的特定感知，而使原為過程稿的形式圖解貫徹至建筑落成。

3 森林展館螺旋構(gòu)成與帕爾默住宅層狀構(gòu)成比較，左上實景圖引自參考文獻[8]，左下模型圖引自 www.kkaa.co.jp

4 共鳴箱空間構(gòu)成拆解

表3 循序嵌入操作方法解析

2 疊動式關(guān)聯(lián)

隨著非歐幾何在建筑實踐中的運用，相關(guān)界面組織由靜態(tài)模數(shù)控制衍生至動態(tài)圖形關(guān)聯(lián)，并以疊動的方式參與界面序列建構(gòu)。作為一種操作方法，疊法并非簡單地復(fù)制?？铝帧ち_（Colin Rowe）提出運用多尺度界面并置呈現(xiàn)透明性拓展空間深度[10]，埃森曼主張基地考古與尺度縮放，通過多尺度界面堆疊重構(gòu)歷史線索以豐富空間內(nèi)涵[11]；在三維曲面網(wǎng)絡(luò)中，疊法增加動態(tài)屬性構(gòu)成疊動式關(guān)聯(lián)操作，由曲率控制界面間的錯動或交錯關(guān)系，模糊水平面之間的層次性及柔化垂直面在轉(zhuǎn)角交接的刻板性，進而產(chǎn)生不穩(wěn)定運動勢能，形成既互惠又沖突的空間狀態(tài)（表4）。

表4 歐氏塑性與非歐彈性界面組織比較分析

2.1 錯動堆疊

堆疊（stack）作為水平界面的組織手法，以自相似的圖形疊加構(gòu)成某種序列關(guān)系，并不受時間與空間限制，形成蒙太奇的空間剪接體驗。在以分形幾何為主體的堆疊操作中，圖形尺度跟隨水平界面的高度縮放以此產(chǎn)生的間隙空間，以逐級漸變的立面視覺層次替代硬性垂直面，從視覺上拉近人與建筑之間的尺度差異（表5）。錯動即在錯位的基礎(chǔ)上借助曲率組織垂直界面，形成動態(tài)的立面韻律并以連續(xù)角度變化化解界面夾角沖突的矛盾，如RCR 事務(wù)所設(shè)計的貝爾洛克酒莊（Bell-lloc Winery）以鋁板間隔地沿著傾斜山體的斷面和道路曲線排列并延續(xù)至建筑內(nèi)部，通過頂部與一側(cè)鋁板錯動的縫隙引入光線，形成同一材料在外部以實體界面感知山勢起伏而在內(nèi)部以虛體光影體驗洞穴神秘的兩種氛圍（圖5）。米拉萊斯在形式操作中將兩種手法耦合，其早年作品基本以三角形組合確定曲率使各尺度單元沿其錯動并在不同高度的水平面堆疊，以威尼斯建筑學(xué)院（Venice Shool of Architecture）設(shè)計方案為例，其將場地范圍內(nèi)鐘樓的視線與邊線建立曲率控制關(guān)系，在建筑各尺度單元層級堆疊中通過錯動產(chǎn)生垂直方向的間隙，進而與城市的廣場與街區(qū)空間相互滲透（圖6）。與漢諾威世博會荷蘭館（Dutch Pavilion for EXPO 2000）的堆疊操作相比，其空間單元至構(gòu)件在垂直向的尺度縮放存在三角形穩(wěn)定性的結(jié)構(gòu)考究，向上延伸空間，同時以建構(gòu)性與表現(xiàn)主義劃清界限（圖7）。

5 貝爾洛克酒莊內(nèi)外錯動的界面虛實變化，引自參考文獻[12]

6 米拉萊斯的曲面錯動線索：牛角包曲率計算與威尼斯建筑學(xué)院方案設(shè)計比較，底圖a引自參考文獻[13]，總平面b引自參考文獻[14]

7 漢諾威荷蘭館（左）與威尼斯建筑學(xué)院（右）堆疊操作對比，模型圖左上引自參考文獻[14-15]

表5 錯動堆疊操作方法解析

2.2 交錯并置

并置作為另一種界面序列的操作手法，主要運用于垂直界面的組織。在以分形幾何為主體的并置操作中，同一尺度單元作為一類秩序，通過并置產(chǎn)生層級“互文性”（intertextual）[16]形成多重閱讀——憑借圖形的自相似性建立跨層級的非連續(xù)性關(guān)聯(lián)。交錯通常用于轉(zhuǎn)角界面的空間層次建構(gòu)，以歐氏幾何為主體的交錯處理通過轉(zhuǎn)角處局部削切形成虛空間增加X、Y 軸的閱讀性，而非歐幾何的凹凸曲面通過交錯形成兩種魚眼透視——以曲面膨脹放大轉(zhuǎn)角形成視覺聚焦或以曲面擠壓微縮轉(zhuǎn)角而開闊視野（表6）。兩種方法耦合操作在米拉萊斯設(shè)計的蘇格蘭議會大廈（Scottish Parliament）有所呈現(xiàn)，其利用船型（或樹葉、魚型）4）[17]曲面交錯在端部與中部空間制造魚眼透視，以多尺度并置的方式形成從宏觀至微觀空間收縮與開朗的交替關(guān)系：整體上從亞瑟古跡（Arthur's Seat）俯視，多尺度船型單元沿各角度向下聚集；從廣場眺望，抽象的峭壁的斧型格柵與石材飾面沿山體輪廓之字形向下舒展；而在建筑庭院內(nèi)仰視，空間擠壓后膨脹、斧型材質(zhì)縮放形成富有層次的人工峭壁游觀體驗（圖8）。中觀上，廳由排架與格柵、異型天窗與柱兩種界面構(gòu)成，前者結(jié)合凹空間制造向心聚焦氛圍暗示議會功能；后者單元輪廓為凸空間包容各個方向人群，天窗與柱以停留與走動區(qū)域的持續(xù)變化勾勒出交流空間[18]（圖9）。微觀上，樓梯交通界面以偏轉(zhuǎn)的臺階與平臺、錯位的欄桿與窗框在垂直界面上構(gòu)成互惠且矛盾的層級轉(zhuǎn)換空間，即站在中部平臺壓低的平臺盡收上下樓層視野但亦是相互獨立的景象（圖10）。對界面組織的錯動堆疊、交錯并置處理，可憑曲率逐步偏轉(zhuǎn)其序列，以抽象自然山水與城市脈絡(luò)的動態(tài)韻律，通過柔性銜接替代界面硬性植入，消解空間尺度落差的不適，突出的建構(gòu)性使建筑游離于人工與自然之間。

8 整體界面：聚集、舒展、縮放的3種序列關(guān)系，底圖引自參考文獻[13]

9 廳界面：凹、凸界面的交錯并置對比，底圖左引自參考文獻[13]，中引自www.archdaily.com，右引自www.archive2021.parliament.scot/visitandlearn/15807.aspx

10 交通界面：構(gòu)件交錯并置的互惠與沖突，底圖左引自參考文獻[13]

表6 交錯并置操作方法解析

3 層流式操作

當(dāng)設(shè)計借助于計算機運算模擬，形式的數(shù)字化生成過程便是一種圖解方法[19]。拓撲幾何空間連續(xù)性與分形幾何結(jié)構(gòu)層次性經(jīng)數(shù)字化耦合，形成依據(jù)點集矩陣抽象提取場地線索、再映射至空間的層流5）式操作方法。其突破以莫比烏斯環(huán)（Mobiusband）、克萊因瓶（Klein Bottle）為表征的形式設(shè)計探索，從建構(gòu)層面生成不可預(yù)知的空間形式（表7）。斯坦·艾倫（Stan Allen）提出以點、線矢量化流體運動的設(shè)計方法[20]；比爾·希利爾（Bill Hillier）將建筑視為層級逐級分岔的非線性系統(tǒng)，主張以拓撲深度提煉形式組構(gòu)（Configuration）關(guān)系進行優(yōu)化設(shè)計[21]。兩者均以層為構(gòu)形焦點進行層流式操作，使形式結(jié)構(gòu)生成由固體向流體關(guān)系轉(zhuǎn)變[22]，其中，點陣隨力流偏移引發(fā)圖形形變而鉸鏈架構(gòu)則反映形式生成過程的尺度迭代次數(shù)。其替代以幾何完形為伊始的結(jié)構(gòu)設(shè)計，將后者抽象為隱喻的輪廓、圖案元素置于空間、結(jié)構(gòu)及構(gòu)件中，從操作層面改變基于多米諾體系的形式生成方法。

表7 層流式操作：形式的生成邏輯轉(zhuǎn)變

3.1 網(wǎng)殼扭曲

在以幾何完形展開的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計中，19 世紀至 20 世紀初受限于圖形的力學(xué)與材料施工約束使其通常運用于大跨度結(jié)構(gòu)設(shè)計；20 世紀末期，隨著鋼構(gòu)、木構(gòu)、膜結(jié)構(gòu)在工藝上的更新并通過結(jié)構(gòu)分形分散受力、減輕材料重量使其突破形式瓶頸而應(yīng)用于多類型建筑；進入21 世紀后，3D 打印等技術(shù)的突破增強了非線性建造量化施工可行性，意象構(gòu)思借助于計算機點陣受力模擬再進行圖形拓撲，通過圖形受力扭曲生成不可預(yù)知的網(wǎng)殼形式（表8）。扎哈·哈迪德事務(wù)所設(shè)計的阿卜杜拉國王石油研究中心（King Abdullah Petroleum Studies and Research Center），以點陣抽象氣流運動軌跡作為塑性依據(jù)，相較于阿布扎比盧浮宮（Louvre Abu Dhabi）的屋頂分形網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)與墻體脫離，前者通過模擬中庭加壓通風(fēng)使點陣分別受力位移，對應(yīng)的六邊體集群經(jīng)過計算機拓撲呈現(xiàn)三維形變和分形，再以各個單元內(nèi)點陣在微觀尺度的力流拓撲優(yōu)化其內(nèi)部的風(fēng)環(huán)境及細部構(gòu)件，從美學(xué)感性升華至利用、扭轉(zhuǎn)不利條件環(huán)境生成形式的功能理性，使結(jié)構(gòu)體系向復(fù)雜的生物構(gòu)造轉(zhuǎn)變（圖11）。

11 阿布扎比盧浮宮（上）與阿卜杜拉國王石油研究中心（下）網(wǎng)殼分形與網(wǎng)殼扭曲比較，底圖來源：www.jeannouvel.com/www.zaha-hadid.com

表8 網(wǎng)殼扭曲操作方法解析

3.2 折板纏繞

在20 世紀末期的線性拓撲設(shè)計中，里伯斯金以帶有隱喻的造型、解體后重組的構(gòu)成使其結(jié)構(gòu)有別于其他折板結(jié)構(gòu)對場地地形、輪廓的折疊處理，其將形式纏繞的方向、尺度縮放的程度等一系列動作融入對城市演變歷史的思考，通過折法重構(gòu)歷史片段關(guān)聯(lián)性，形式生成過程深度參與到城市和建筑的關(guān)系中[23]（表9）。在日本魚津市的“外線”（Outside Line）構(gòu)筑物設(shè)計中，其將折板以不同尺度向上收縮抽象太陽和地平線的距離變化規(guī)律，并與地下森林博物館軸線對位，以連接線的方式介于建筑與自然之間；在德國波茨坦廣場（Potsdamer Platz）設(shè)計方案中，與庫哈斯理性分隔的柏林墻方案不同，其按歷史重要節(jié)點分類街區(qū)、建筑和景觀構(gòu)筑將其抽象為10 種寬度、高度、厚度折線并沿“共鳴板”纏繞，以同一空間多種折痕、同一折痕分散不同界面表達對場地各歷史時期斷層的反思；從柏林猶太人紀念館（Jewish Museum Berlin）的多角度互纏至荷蘭大屠殺紀念館（Dutch Holocaust Memorial of Names）的平行纏繞，其將V &A螺旋體從折板結(jié)構(gòu)發(fā)展為兼容各類形式的操作手法，通過折法與纏法前置結(jié)構(gòu)設(shè)計回應(yīng)城市或建筑的過往，并以結(jié)構(gòu)、構(gòu)件、材料肌理3 種尺度呈現(xiàn)，結(jié)合三者的歷史交叉與并行關(guān)系選擇旋轉(zhuǎn)或平行的纏繞方式（圖12）。里伯斯金的建筑實踐提供有別于網(wǎng)殼扭曲的拓撲幾何與分形幾何耦合思路，其延續(xù)埃森曼的基地考古操作并發(fā)展至建構(gòu)的每個動作，使意志融入形式生成過程而非借助于幾何圖形呈現(xiàn)，如其所述“建筑圖紙既是對未來可能性的前瞻性展示，也是對特定歷史的恢復(fù)，它證明了它的意圖”[24]（圖13）。

12 鳥津外線裝置、波茨坦廣場設(shè)計方案、V&A博物館設(shè)計方案，引自www.libeskind.com

13 V&A螺旋體的多尺度折板纏繞操作，底圖引自www.libeskind.com

表9 折板纏繞操作方法解析

4 結(jié)語

設(shè)計并非仿造可見的事物，而是創(chuàng)造出不可見的形式。借助計算機算法生形使分形幾何的形式生成方法由局部至整體的線性構(gòu)成走向非線性關(guān)聯(lián)與組構(gòu)，也使建筑形態(tài)更趨近于復(fù)雜的自然生態(tài)結(jié)構(gòu)。文章對分形幾何與歐氏幾何、非歐幾里得幾何、拓撲幾何3 種耦合方法進行了探討，其根源是對建筑形式生成邏輯的批判性思辨。通過解析鑲嵌、疊動、層流的3 種操作方法，類比當(dāng)代形式設(shè)計思路在空間軸線、界面、結(jié)構(gòu)3 個層面的轉(zhuǎn)變，論述縮尺嵌套、循序嵌入、錯動堆疊、交錯并置、網(wǎng)殼扭曲及折板纏繞6 種手法中的幾何形式特征與構(gòu)成規(guī)律，建立復(fù)雜有序的形式生成方法，為在空間的詩性層面上操作提供更廣闊的選擇性（圖14）。

14 幾何與幾何之間耦合的18種操作方法

注釋

1）非歐幾里得幾何（Non-Euclidean Geometry）：廣義上泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)；狹義上是指羅氏幾何或黎曼幾何；通常定義的非歐幾何是指羅氏幾何和黎曼幾何二者。為了區(qū)別拓撲幾何空間操作，文章是指狹義上非歐幾里得幾何。

2）十人組中艾莉森·史密森將毯式建筑定義為匿名集體（anonymous collective）的縮影，在匿名集體中，功能來豐富結(jié)構(gòu)，個體通過一種新的、無序的秩序獲得新的行動自由，這種秩序基于相互關(guān)聯(lián)、緊密編織的模式并具有增長、縮小和變化的可能性，詳見參考文獻[1]。

3）超級扁平（Super Flat）：村上?。═akashi Murakami）提出：“無限平坦的地平線都是寬廣無邊的空間”“‘高級’和‘低級’終將平坦地并列在一起”等平級思想。其體現(xiàn)日本亞文化中，信息化社會使用計算機表現(xiàn)形式和新組織的存在狀態(tài)。五十嵐太郎將其引入建筑學(xué)范疇，并解析1960年代出生的日本建筑師實踐作品特征，歸納為兩個特征：（1）以立面設(shè)計為核心；（2）層次結(jié)構(gòu)的解體，不區(qū)分表面和內(nèi)部且不依據(jù)空間與結(jié)構(gòu)優(yōu)劣設(shè)計排布，詳見參考文獻[4]。

4）米拉萊斯在其一系列方案草圖中繪制了樹葉、船和魚3種意象，均用來代表蘇格蘭的自然與海洋文化，詳見參考文獻[17]。

5）層流，在物理學(xué)中為流體的一種流動狀態(tài)——分層流動，文中所指空間在拓撲幾何與分形幾何耦合操作中呈現(xiàn)一種層級流動規(guī)律。