譚祥勇,胡天英,劉 鋒

(1.江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 南昌 330013;2.重慶理工大學(xué) 理學(xué)院, 重慶 400054)

0 引言

進(jìn)行序列分析時(shí),隨機(jī)誤差的潛在相關(guān),不僅會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)的偏誤,而且相關(guān)的統(tǒng)計(jì)推斷也會(huì)失效,所以檢驗(yàn)誤差是否存在相關(guān)性是非常重要的。目前,模型序列誤差的相關(guān)性檢驗(yàn)是在最小二乘估計(jì)(OLS)的基礎(chǔ)上,假設(shè)隨機(jī)誤差與模型中的參數(shù)相關(guān),在實(shí)際應(yīng)用中也可以采用多種方法來檢驗(yàn)相關(guān)性,例如使用經(jīng)典的線性回歸方法、圖示法和相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法等。Durbin等[1]最早提出DW方法檢驗(yàn)序列相關(guān),但這只能用來檢驗(yàn)一階自相關(guān),無法對(duì)高階相關(guān)序列進(jìn)行檢驗(yàn)。近些年來,劉鋒等[2]基于經(jīng)驗(yàn)似然方法提出了高階相關(guān)序列檢驗(yàn)方法,譚祥勇等[3]、Liu等[4]和劉鋒等[5]基于此方法進(jìn)一步將其延伸至其他模型,研究了部分線性回歸模型、EV模型、變系數(shù)模型的序列相關(guān)性問題。

對(duì)于誤差滿足正態(tài)分布的序列而言,相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法可以取得很好的效果,因?yàn)檎龖B(tài)分布是一個(gè)非常經(jīng)典的模型;而對(duì)于非正態(tài)分布或異常值存在的序列而言,經(jīng)典的相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法就失去了優(yōu)勢(shì),此時(shí)如果仍然采用常規(guī)的相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法進(jìn)行序列分析,那么得到的結(jié)果將會(huì)失之偏頗。眾所周知,厚尾和非對(duì)稱現(xiàn)象常常出現(xiàn)在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域[6],經(jīng)濟(jì)和金融業(yè)尤為突出。Fama[7]發(fā)現(xiàn)金融資產(chǎn)數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)厚尾特征,并對(duì)其進(jìn)行了建模預(yù)測(cè);肖慶憲[8]討論了金融數(shù)據(jù)正態(tài)性假設(shè)的檢驗(yàn)問題,并給出了厚尾金融數(shù)據(jù)的計(jì)量分析方法。在此情形下,對(duì)于非正態(tài)誤差項(xiàng)而言,使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法不能準(zhǔn)確地判斷出各個(gè)誤差項(xiàng)對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果所產(chǎn)生的影響。Smith[9]提出logistic分布比正態(tài)分布更能表現(xiàn)股票收益率的厚尾特征,隨后Peiro[10]驗(yàn)證了這一結(jié)論,之后也有很多研究者通過不同的分布去表現(xiàn)非正態(tài)序列的數(shù)據(jù)特征。因此對(duì)序列的隨機(jī)誤差為非對(duì)稱分布的相關(guān)性檢驗(yàn)十分重要,這也將進(jìn)一步改善序列數(shù)據(jù)分析的研究。

在模型的參數(shù)估計(jì)中,通常會(huì)采用L2損失函數(shù),但是這些傳統(tǒng)的損失函數(shù)在誤差為厚尾和非對(duì)稱的情況下,并不能滿足模型假設(shè)。由于經(jīng)典的線性回歸估計(jì)方法存在一定的局限性,因此需要尋求一種新的方法來代替它。厚尾和非對(duì)稱分布的誤差中,異常值有較高的出現(xiàn)頻率,將不再符合常用的損失函數(shù)條件,而Huber損失對(duì)異常值的敏感度不高,且能結(jié)合L1和L2損失函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),適合用來對(duì)厚尾和非對(duì)稱誤差進(jìn)行參數(shù)估計(jì)[11-12]。

鑒于上述情況,針對(duì)傳統(tǒng)序列相關(guān)檢驗(yàn)方法在檢驗(yàn)存在厚尾和非對(duì)稱序列時(shí)表現(xiàn)不佳的問題,本文基于秩相關(guān)系數(shù)提出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,同時(shí)利用Huber損失函數(shù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。該統(tǒng)計(jì)量既能檢驗(yàn)一般序列相關(guān),又能檢驗(yàn)具有厚尾和非對(duì)稱特征的序列相關(guān),且弱化了誤差矩的假設(shè)。最后,在原假設(shè)下,給出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布及其證明過程,模擬結(jié)果表明,提出的檢驗(yàn)方法具有良好的表現(xiàn)。

剩余部分的內(nèi)容安排如下:第1節(jié)在線性模型下構(gòu)造了基于Huber損失估計(jì)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,同時(shí)給出了其漸近分布;第2節(jié)考慮了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在不同模型和檢驗(yàn)方法下的模擬情況;第3節(jié)對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析探討;第4節(jié)給出了主要定理的證明。

1 方法及主要結(jié)果

假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)(Yi,Xi),1≤i≤n是來自模型(1)的一組樣本:

(1)

其中,Yi為響應(yīng)變量,Xi為p維的隨機(jī)向量,β=(β1,β2,…,βp)T為未知參數(shù)向量,εi為隨機(jī)誤差。假定隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足如下k階自回歸AR(k)序列相關(guān)形式:

εi=a1εi-1+a2εi-2+…+akεi-k+εi

(2)

或者k階移動(dòng)平均MA(k)序列相關(guān)形式:

εi=a1ei-1+a2ei-2+…+akei-k+ei

(3)

H0:a=0?H1:a≠0

(4)

令vj=εiεi+j,V=(v1,v2,…,vk),則由文獻(xiàn)[2]可知,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?4)中誤差序列是否存在相關(guān)性等價(jià)于檢驗(yàn)如下問題:

H0:E(V)=0?H1:E(V)≠0

(5)

(6)

為檢驗(yàn)問題(5),基于秩相關(guān)系數(shù)(6)提出如下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

(7)

(8)

(9)

其中

(10)

且τ→∞。

為此,借鑒文獻(xiàn)[14]的思想,結(jié)合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量HubT(基于Huber損失的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量)和LsT(基于L2損失的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量),得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量CCT。其構(gòu)造過程如下:

令p1、p2分別為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量HubT和LsT所得到的p值。令

(11)

(C4)ei的概率密度函數(shù)fe(x)有上界。

注1條件(C1)表明,所提檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量能夠處理厚尾、非對(duì)稱的誤差,條件(C2)可由文獻(xiàn)[13]中的定理1得到,條件(C3)、(C4)都是一般的常規(guī)性假設(shè)。

定理1在零假設(shè)H0和條件(C1)—(C4)下,當(dāng)n→∞時(shí),有

(12)

2 模擬研究

本節(jié)用蒙特卡洛模擬說明提出的方法的有限樣本性質(zhì),數(shù)據(jù)從下面模型中產(chǎn)生:

(13)

對(duì)于誤差εi,考慮4種相關(guān)性結(jié)構(gòu):

1)AR(1)模型:εi=ρεi-1+ei;

2)AR(2)模型:εi=a1εi-1+a2εi-2+ei;

3)MA(1)模型:εi=ρei-1+ei;

4)MA(2)模型:εi=a1ei-1+a2ei-2+ei。

對(duì)于誤差ei,考慮以下3種情況:

1) 非對(duì)稱誤差:ei～logN(0,4)-E(logN(0,4));

2) 高斯誤差:ei～N(0,1);

3) 厚尾誤差:ei～t(1.5)。

模擬中,取顯著性水平為α=0.05,樣本量取100、300和500時(shí),各做2 000次模擬,得到圖1、圖2和表1。

表1 AR(1)、MA(1)、AR(2)、MA(2)的size值

圖1 AR(1)、MA(1)結(jié)構(gòu)下功效圖

圖2 AR(2)、MA(2)結(jié)構(gòu)下功效圖

3 分析結(jié)果及結(jié)論

在金融數(shù)據(jù)分析中,常會(huì)遇到數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出厚尾或非對(duì)稱特征的情況,這種數(shù)據(jù)特征會(huì)給模型相關(guān)性檢驗(yàn)帶來很大困擾,因?yàn)閭鹘y(tǒng)的線性模型假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布,這顯然不能適應(yīng)金融市場(chǎng)或其他存在此類數(shù)據(jù)分布的行業(yè)所存在的一些特殊情況。

為解決厚尾或非對(duì)稱情況下的序列相關(guān)問題,結(jié)合秩相關(guān)系數(shù)和Huber損失,提出了一種新的檢驗(yàn)方法。數(shù)值模擬結(jié)果表明,隨著樣本量的增加或相關(guān)性的增強(qiáng),提出的HubT和CCT統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效都能夠逐漸接近于1,即其具有較高的檢驗(yàn)功效。與此同時(shí),還將提出的HubT和CCT統(tǒng)計(jì)量與常用的LsT統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了比較。圖1、圖2的結(jié)果顯示,提出的HubT和CCT統(tǒng)計(jì)量在正態(tài)誤差下表現(xiàn)類似于LsT統(tǒng)計(jì)量,說明2種統(tǒng)計(jì)量幾乎沒有效率損失。表1的結(jié)果也表明在原假設(shè)下,3種統(tǒng)計(jì)量的表現(xiàn)十分接近,但是當(dāng)數(shù)據(jù)誤差具有厚尾或非對(duì)稱特征時(shí),提出的HubT和CCT檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表現(xiàn)明顯優(yōu)于LsT,特別是在樣本量較小的情況下更為明顯。綜上,提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在厚尾和非對(duì)稱分布的序列相關(guān)性檢驗(yàn)問題上表現(xiàn)良好。

4 引理和定理的證明

引理1在原假設(shè)下,

(14)

證明見文獻(xiàn)[13]中的定理3.1。

(15)

令

(16)

和

(17)

(18)

(19)

再結(jié)合文獻(xiàn)[16]的定理5.1得到:

(20)

顯然,由條件(C3)、(C4)可得

(21)