袁衛(wèi)明，成明祥

(德清申達(dá)機(jī)器制造有限公司，浙江 湖州 313205)

0 引言

注塑機(jī)機(jī)筒是注射機(jī)構(gòu)中的重要零部件，在工作中其要承載注射高壓的沖擊，當(dāng)前注塑機(jī)的注射壓力已從傳統(tǒng)的170 MPa發(fā)展到270 MPa以上。面對(duì)機(jī)筒在高壓和超高壓中出現(xiàn)的失效現(xiàn)象，沿用傳統(tǒng)的注塑機(jī)筒強(qiáng)度理論[1]，不能圓滿解釋機(jī)筒失效的實(shí)際現(xiàn)象。本文從厚壁圓筒的彈塑性力學(xué)理論[2]分析研究注塑機(jī)筒的工作特性，闡述以往用彈性力學(xué)角度分析研究機(jī)筒強(qiáng)度的局限性，提出了符合實(shí)際的注塑機(jī)筒疲勞強(qiáng)度的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，并用實(shí)例加以論證。

1 厚壁圓筒

1.1 厚壁圓筒的應(yīng)力分析

根據(jù)厚壁圓筒體[3]的應(yīng)力變形特點(diǎn)，我們假設(shè)將厚壁圓筒看成是由許多個(gè)薄壁圓筒相互連在一起所組成，如圖1所示，當(dāng)厚壁圓筒內(nèi)徑承受內(nèi)壓力后，其組成的各層薄壁圓筒由里至外逐步受力，其變形受到里層薄壁圓筒的約束和受到外層薄壁圓筒的限制，因此各個(gè)單元薄壁圓筒體都會(huì)受到內(nèi)外側(cè)變形的約束和限制所引起的均布?jí)毫ψ饔?，從里往外各層薄壁圓筒體的變形被受到的約束和限制是不同的，環(huán)向應(yīng)力沿壁厚方向分布是不均勻的，這是厚壁圓筒形變和應(yīng)力的一個(gè)基本特點(diǎn)。

圖1 厚壁圓筒應(yīng)力分布圖

厚壁圓筒應(yīng)力、應(yīng)變的另一個(gè)特點(diǎn)是：由于厚壁圓筒是由多個(gè)薄壁圓筒組成，在多層材料變形的相互約束和限制下，沿徑向方向產(chǎn)生了徑向應(yīng)力，沿壁厚方向徑向應(yīng)力分布是不均勻的。厚壁圓筒和薄壁圓筒在兩端封閉狀態(tài)時(shí)，沿軸線方向產(chǎn)生的軸向應(yīng)力則是相同的，且軸向應(yīng)力沿壁厚方向分布是均勻的。

在厚壁圓筒受內(nèi)壓力時(shí)，各應(yīng)力分量沿壁厚分布[4]情況如圖2、3所示，其中最大環(huán)向應(yīng)力點(diǎn)發(fā)生在內(nèi)壁，最小環(huán)向應(yīng)力點(diǎn)發(fā)生在外壁[3]。

圖2 受內(nèi)壓厚壁圓筒應(yīng)力分量沿壁厚分布圖

圖3 受內(nèi)壓厚壁圓筒中各應(yīng)力分量分布圖

σθ—環(huán)向應(yīng)力，沿壁厚方向非均勻分布；

σr—徑向應(yīng)力，沿壁厚方向非均勻分布；

σz—軸向應(yīng)力，沿壁厚方向均勻分布。

由于環(huán)向、徑向和軸向三個(gè)應(yīng)力分量的存在，并且徑向應(yīng)力σr和環(huán)向應(yīng)力σθ分布又是非均勻性的，因此厚壁和薄壁圓筒的應(yīng)力分析方法會(huì)有較大的差異。在計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度時(shí)，必須分別求出三個(gè)主應(yīng)力σθ、σz、σr，再根據(jù)第三或第四強(qiáng)度理論公式計(jì)算得出應(yīng)力強(qiáng)度值，計(jì)算結(jié)果與許用應(yīng)力進(jìn)行比較判斷。

1.2 厚壁圓筒應(yīng)力計(jì)算公式

厚壁圓筒應(yīng)力計(jì)算公式既適用于厚壁也適用于薄壁圓筒。下面將厚壁圓筒中的最大環(huán)向應(yīng)力σθmax與最小環(huán)向應(yīng)力σθmin作一比計(jì)算較分析，厚壁圓筒受內(nèi)壓力時(shí)其值按表1 所示。

表1 受內(nèi)壓力的厚壁圓筒應(yīng)力計(jì)算公式

兩者之比：

式中：Pi—圓筒所受內(nèi)壓力；

Da—圓筒內(nèi)徑；

Db—圓筒外徑；

K—徑比。

當(dāng)圓筒壁較薄時(shí)，Db≈Da、K≈1,則(K2+l)/2≈1。即σθmax≈σθmin，即圓筒內(nèi)外徑趨于接近時(shí)，內(nèi)外壁的應(yīng)力也趨于相等，應(yīng)力沿壁厚方向趨于均勻分布。

當(dāng)圓筒的壁厚增加時(shí)，徑比值K也增加，最大與最小的環(huán)向應(yīng)力比值 (K2+1) / 2 也隨著增加，即σθmax與σθmin的差值越來越大。亦即應(yīng)力σθ沿壁厚方向分布的非均勻性增加。當(dāng)K=1.1時(shí)，內(nèi)外壁的應(yīng)力值會(huì)相差10%，當(dāng)K=1.3時(shí)，內(nèi)外壁的應(yīng)力值就會(huì)相差35%。因此工程上一般用徑比值K=1.1～1.2來規(guī)定厚壁與薄壁圓筒的界限區(qū)分。

2 傳統(tǒng)機(jī)筒疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)

2.1 注塑機(jī)筒疲勞強(qiáng)度分析對(duì)象

注塑機(jī)在注射過程中一般可分額定注射行程段為壓力注射，注射至結(jié)束段為高壓注射。機(jī)筒疲勞失效主要現(xiàn)象是頭部高壓區(qū)的徑向平面內(nèi)產(chǎn)生徑向裂紋由內(nèi)到外延伸，并在該平面內(nèi)沿徑向一直擴(kuò)展至機(jī)筒外壁，裂紋1～2條，表觀顯示出機(jī)筒疲勞強(qiáng)度不足。因機(jī)筒頭部處于高壓段是機(jī)筒疲勞強(qiáng)度最薄弱處，因此是機(jī)筒分析疲勞強(qiáng)度的重點(diǎn)[5]。

目前機(jī)筒頭部結(jié)構(gòu)與噴嘴座連接一般分兩種形式：直筒型螺釘聯(lián)接如圖4和階梯式螺釘聯(lián)接如圖5。圖示中的（網(wǎng)格區(qū)）是疲勞強(qiáng)度薄弱處的計(jì)算截面。圖中，r1為機(jī)筒疲勞強(qiáng)度計(jì)算截面內(nèi)半徑，r2為截面外半徑。

圖4 機(jī)筒頭部螺釘聯(lián)接式的直筒型機(jī)筒

圖5 機(jī)筒頭部螺釘聯(lián)接式的階梯型機(jī)筒

2.2 注塑機(jī)筒彈性力學(xué)分析

機(jī)筒為兩端通孔的厚壁圓筒，設(shè)內(nèi)半徑為r1，外半徑為r2，機(jī)筒任意點(diǎn)半徑為r，受均勻工作內(nèi)壓力P作用，外壓為0。機(jī)筒應(yīng)力應(yīng)變是厚壁圓筒的一個(gè)軸對(duì)稱的平面應(yīng)變，其應(yīng)力分析模型[6]見圖6，其σθ、σz、σr沿壁厚的分布[7]見圖7。機(jī)筒的應(yīng)力計(jì)算見表1厚壁圓筒應(yīng)力(σθ、σz、σr)公式。

圖6 機(jī)筒應(yīng)力分析模型

圖7 機(jī)筒應(yīng)力σθ、σz、σr沿壁厚的分布

2.3 傳統(tǒng)注塑機(jī)筒疲勞強(qiáng)度理論

根據(jù)塑料機(jī)械設(shè)計(jì)教材[1]資料，對(duì)機(jī)筒受力狀況，可按厚壁筒計(jì)算中的能量理論，校核其強(qiáng)度或計(jì)算壁厚。

機(jī)筒的總應(yīng)力：

機(jī)筒壁厚：

式中：P—注射壓力；

Da—機(jī)筒內(nèi)徑；

[σ]—材料許用應(yīng)力；

σs—材料屈服極限；

n—安全系數(shù)，一般取1.5～2。

以傳統(tǒng)的注塑機(jī)為例，機(jī)筒材料38CrMoAL，注射壓力P=170 MPa，機(jī)筒頭部為疲勞強(qiáng)度薄弱處，結(jié)構(gòu)如圖4所示，機(jī)筒徑比K值按塑料機(jī)械設(shè)計(jì)教材，表2的數(shù)值代入公式（3），可得機(jī)筒應(yīng)力值如下表2：

表2 注塑機(jī)筒應(yīng)力值

根據(jù)文獻(xiàn)[1]推薦材料的屈服強(qiáng)度σS=575 MPa，安全系數(shù)n=1.65，則許用應(yīng)力[σ]=348 MPa。從表2計(jì)算結(jié)果可知機(jī)筒應(yīng)力值σ＞[σ]，結(jié)果為不安全，這個(gè)與實(shí)際使用情況不相符存在矛盾。

3 厚壁圓筒的彈塑性力學(xué)分析

厚壁圓筒是高壓和超高壓工程中的主要承壓容器，由于其承受的壓力較高，因而一般均用強(qiáng)度和韌性較好的有強(qiáng)化材料制成。厚壁圓筒在承受內(nèi)壓力作用時(shí)，隨著壓力的增加筒壁應(yīng)力也不斷增高。當(dāng)三個(gè)應(yīng)力分量達(dá)到某一組合值時(shí)，厚壁圓筒發(fā)生的變形會(huì)由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，從厚壁圓筒的截面上看有塑性變形出現(xiàn)，由內(nèi)壁開始形成塑性區(qū)逐漸向外壁表面擴(kuò)展，直到筒壁全部被屈服。

從彈性力學(xué)角度分析，當(dāng)材料處于彈性范圍時(shí)，物體受載后的應(yīng)力-應(yīng)變服從虎克定律，同時(shí)加載、卸載時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變始終保持一一對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系。當(dāng)應(yīng)力超過屈服點(diǎn)而處于塑性狀態(tài)時(shí)，需用塑性力學(xué)進(jìn)行分析，由于應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系呈非線性，且不相互對(duì)應(yīng)，即應(yīng)力不僅取決于最終的應(yīng)變，而且也跟加載的方法有關(guān)[2]。

排除材料在塑性變形過程中的塑性強(qiáng)化因素，將厚壁圓筒作為理想彈塑性體，那么以筒體的內(nèi)半徑為Ri，外半徑為Ro，筒體僅受內(nèi)壓Pi作用時(shí)需按彈性極限、彈塑性應(yīng)力和塑性極限三方面加以分析。

為了充分發(fā)揮材料的承載潛力，在高壓尤其是超高壓場(chǎng)合，厚壁圓筒的靜態(tài)強(qiáng)度設(shè)計(jì)，一般采用彈性準(zhǔn)則、塑性準(zhǔn)則或爆破準(zhǔn)則。根據(jù)所采用的塑性屈服條的不同，塑性準(zhǔn)則有兩種形式：基于Tresca屈服條件的塑性準(zhǔn)則和基于Mises屈服條件的塑性準(zhǔn)則[8]。

3.1 彈性極限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

按彈性極限理論分析[2]：當(dāng)厚壁圓筒體僅受內(nèi)壓力Pi作用時(shí)，在內(nèi)壓力Pi較小時(shí)，圓筒體處于彈性狀態(tài)，當(dāng)內(nèi)壓力升高到達(dá)圓筒體的某一極限壓力Pi=Pe時(shí)，圓筒體的內(nèi)壁首先會(huì)開始產(chǎn)生屈服現(xiàn)象。如將圓筒體總體部位的初始屈服視為失效，則工程中，常常將等效應(yīng)力控制在許用應(yīng)力之內(nèi)，即σ≤［σ］。

按第四強(qiáng)度理論（變形能理論）[9]：

將表1中受內(nèi)壓厚壁圓筒的內(nèi)壁應(yīng)力σ1、σ2、σ3代入公式（6）可得內(nèi)壓厚壁圓筒的合成應(yīng)力：

內(nèi)壓厚壁圓筒能夠承受的壓力：

相應(yīng)的筒體計(jì)算厚度為：

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：基于拉美公式和第四強(qiáng)度理論預(yù)測(cè)的圓筒初始屈服壓力與實(shí)測(cè)值最為接近，因此與第四強(qiáng)度理論對(duì)應(yīng)的等效應(yīng)力能較好地反映圓筒的實(shí)際應(yīng)力水平[10]。

3.2 彈塑性應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

按彈塑性應(yīng)力分析[2]：當(dāng)Pi＞Pe時(shí)，圓筒體內(nèi)壁屈服的區(qū)域就會(huì)向外擴(kuò)展，沿圓筒體壁厚方向就會(huì)形成兩個(gè)不同區(qū)域如圖8，內(nèi)側(cè)為塑性區(qū)，外側(cè)為彈性區(qū)[4]。圓筒體的彈性和塑性區(qū)會(huì)形成一個(gè)交界面，并且是一個(gè)與圓筒體同心的圓柱面，界面圓柱的半徑為Rc。由于在塑性區(qū)域存在塑性變形，圓筒體內(nèi)壁應(yīng)力會(huì)發(fā)生重新分布，圓筒體內(nèi)壁表面應(yīng)力會(huì)有所下降，見圖9彈-塑性區(qū)的應(yīng)力分布。

圖8 處于彈塑性狀態(tài)的厚壁圓筒

圖9 彈-塑性區(qū)的應(yīng)力分布

彈性失效設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是以危險(xiǎn)點(diǎn)的等效應(yīng)力達(dá)到許用應(yīng)力作為失效判據(jù)的。對(duì)于應(yīng)力分布不均勻的構(gòu)件，如厚壁圓筒，由于材料塑性較好，當(dāng)內(nèi)壁材料屈服時(shí)，內(nèi)壁面以外的材料仍處于彈性狀態(tài)，故不會(huì)導(dǎo)致整個(gè)截面屈服，圓筒仍能繼續(xù)承載[11]。因此，在這種情況下，彈性失效設(shè)計(jì)準(zhǔn)則顯得有所保守。

3.2.1 塑性區(qū)（Ri ≥r≤ Rc）

材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，設(shè)材料塑性變形時(shí)應(yīng)力

若符合Tresca屈服條件，則彈-塑性區(qū)交界面Rc壓力為：

若符合Mises屈服條件，則彈-塑性區(qū)交界面Rc壓力為：

3.2.2 彈性區(qū)（Rc ≥r≤ R0）

彈性區(qū)的內(nèi)壁面為彈-塑性區(qū)交界面，即彈性區(qū)的內(nèi)壁面呈塑性狀態(tài)。

若符合Tresca屈服條件則：

內(nèi)壓力Pi與所對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc之間的關(guān)系：

若符合Mises屈服條件則：

內(nèi)壓力Pi與之所對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc之間的關(guān)系：

3.3 塑性極限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

按塑性極限理論分析[2]：當(dāng)內(nèi)壓力p不斷增大時(shí)，塑性區(qū)域會(huì)不斷的擴(kuò)大，彈性區(qū)域則不斷的縮小。當(dāng)內(nèi)壓力增大到某一值時(shí)，塑性區(qū)就會(huì)被擴(kuò)展到整個(gè)圓筒體，即RC=R0時(shí)，則圓筒體全部進(jìn)入塑性狀態(tài)。塑性極限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則假設(shè)材料為理想彈塑性，以整個(gè)危險(xiǎn)截面屈服作為失效狀態(tài)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

3.3.1 基于Tresca 全屈服壓力

按Tresca 屈服失效判據(jù)，可得內(nèi)壓厚壁圓筒能夠承受的壓力：

相應(yīng)的筒體計(jì)算厚度為：

3.3.2 基于Mises 全屈服壓力

按Mises 屈服失效判據(jù)，可得內(nèi)壓厚壁圓筒能夠承受的壓力：

相應(yīng)的筒體計(jì)算厚度為：

圖10示出按塑性失效設(shè)計(jì)準(zhǔn)則時(shí)，圓筒的承載能力和徑比 k 的關(guān)系[11]?？梢钥闯觯此苄允?zhǔn)則在同一承載能力下，Tresca 全屈服壓力算出的壁厚較厚，Mises 全屈服壓力算出的壁厚較??；當(dāng)徑比較小時(shí)，兩種設(shè)計(jì)準(zhǔn)則差別不大。

圖10 塑性失效準(zhǔn)則時(shí)圓筒承載能力和徑比關(guān)系

4 分析討論

對(duì)比公式（3）和（7）可知，其表達(dá)內(nèi)容是一致的，由此可知塑料機(jī)械設(shè)計(jì)教材[1]關(guān)于機(jī)筒強(qiáng)度的計(jì)算校核是基于彈塑性力學(xué)中的彈性極限設(shè)計(jì)準(zhǔn)則判據(jù)的，即以危險(xiǎn)點(diǎn)的等效應(yīng)力達(dá)到許用應(yīng)力作為失效判據(jù)。由于注塑機(jī)筒屬于厚壁圓筒，機(jī)筒材料受力關(guān)系是非線性的，因此用彈性失效分析具有保守性和局限性，不能充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度潛力。

根據(jù)對(duì)三種“失效”的理論分析，彈性失效雖然比較成熟，但是，還是采用塑性失效設(shè)計(jì)準(zhǔn)則計(jì)算的圓筒體強(qiáng)度作為依據(jù)比較合理[12]。近年來，由于厚壁圓筒的廣泛應(yīng)用和對(duì)其研究的重視，提出運(yùn)用按塑性失效準(zhǔn)則對(duì)其進(jìn)行彈塑性力學(xué)行為分析[13]。若表2按塑性極限準(zhǔn)則的Tresca屈服失效判據(jù)計(jì)算，可得表3結(jié)果。

表3 注塑機(jī)筒能承受的壓力值

由表3可知，各機(jī)筒直徑的承壓值均大于實(shí)際注射壓力170 Mpa，因此上述機(jī)筒壁厚可以滿足實(shí)際使用。由此推斷在注塑機(jī)筒設(shè)計(jì)中對(duì)于k＞1.5(即p＞0.4[σ]）的機(jī)筒，可以采用Tresca 全屈服壓力進(jìn)行其壓力、壁厚計(jì)算校核，符合機(jī)筒實(shí)際運(yùn)用狀態(tài)。

5 計(jì)算實(shí)例

以文獻(xiàn)資料[14]例1，機(jī)筒頭部疲勞強(qiáng)度薄弱區(qū)最大內(nèi)徑Da=40 mm，工作壓力P0=275 MPa，材料38CrMoAL屈服極限σS＝575 Mpa，安全系數(shù)n=1.5，則許用應(yīng)力 [σ]=385 Mpa。

由式（16）、（17）計(jì)算可得：

機(jī)筒徑比：K=2.042；

機(jī)筒壁厚：S=22.22 mm；

機(jī)筒外徑：Db=Da+2S=40+2×22.22=84.44 m。

計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)資料作者提出的機(jī)筒壁厚（徑比K值）設(shè)計(jì)準(zhǔn)則基本相一致，符合實(shí)際。

6 結(jié)論

注塑機(jī)筒材料塑性較好，采用傳統(tǒng)的彈性失效設(shè)計(jì)準(zhǔn)則具有所保守，而按塑性極限設(shè)計(jì)中的Tresca 全屈服失效準(zhǔn)則可得到較正確的計(jì)算結(jié)果，符合機(jī)筒的一般設(shè)計(jì)分析。由于機(jī)筒疲勞強(qiáng)度問題受材料工藝、熱處理等影響較復(fù)雜，在理論上較難獲得一個(gè)普遍適用的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，對(duì)當(dāng)前一些設(shè)計(jì)準(zhǔn)則難以得出定量、準(zhǔn)確的結(jié)論，但對(duì)從事相關(guān)研究者具有很大的價(jià)值意義。