岑江暉 何德峰 朱 威

(浙江工業(yè)大學信息工程學院 杭州 310023)

0 引言

連續(xù)式干燥設備廣泛應用于醫(yī)藥、食品、化工等行業(yè)[1-2],其中溫濕度變化特性和精度是其高效運行的關鍵度量指標。為保證連續(xù)干燥過程物料干燥品質(zhì)和產(chǎn)量,優(yōu)化控制干燥溫度、濕度和物料流量是關鍵手段[3-4]。但連續(xù)干燥過程具有非線性、不確定性、多變量耦合等復雜特性,給連續(xù)干燥過程的精確建模和優(yōu)化控制增加了很多困難。

模糊建模通過若干個線性過程近似擬合非線性過程,能夠很好地描述復雜系統(tǒng)的動態(tài)特性[5-7]。對于模糊模型,主要包含前提辨識和結(jié)果辨識,其中在前提辨識中,模糊決策變量通常根據(jù)專家經(jīng)驗獲取,而規(guī)則數(shù)目計算方法有聚類法和爬山法等;在結(jié)果辨識中,對于局部模型參數(shù)的辨識,常用的方法有子空間辨識法、最小二乘法等[8-13]。模糊建模具有一致逼近能力和可解釋性能[5],可以直觀高效地描述復雜非線性系統(tǒng),同時由輸入輸出數(shù)據(jù)辨識系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的子空間辨識法[8]又廣泛用于多變量系統(tǒng)辨識。但據(jù)目前還沒有針對連續(xù)式干燥設備溫濕度變量的模糊與子空間數(shù)據(jù)建模辨識方法。

另一方面,連續(xù)干燥過程目前大多采用比例積分微分(proportional-integral-derivative,PID)控制,對多輸入多輸出的大型連續(xù)干燥過程,PID 參數(shù)整定非常困難[2],而且基于PID 控制的干燥溫濕度參量通常波動較大,產(chǎn)品含水率和一致性差異大。模型預測控制(model predictive control,MPC)由于能夠顯式地處理系統(tǒng)各種軟硬約束和性能優(yōu)化問題[14-16],且對多變量耦合和非線性特性具有良好的控制效果,在干燥等工業(yè)過程中得到了應用[17-18]。但通常MPC 需要在線求解帶約束的控制優(yōu)化問題,其在線計算量是優(yōu)化變量維數(shù)的指數(shù)函數(shù)[19-20],如何高效求解多變量約束MPC 優(yōu)化問題成為了近年來的研究熱點。例如,文獻[21]以狀態(tài)增量和輸出量作為狀態(tài),將不等式約束作為懲罰項加入到目標函數(shù),利用原始障礙內(nèi)點法和牛頓法解決優(yōu)化問題,減少了在線計算時間。文獻[22]以控制增量狀態(tài)空間模型作為預測模型,定義有限時域最優(yōu)控制問題,得到具有可測擾動前饋時滯狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)的控制器。

考慮連續(xù)干燥過程溫濕度多變量優(yōu)化控制問題,本文提出基于數(shù)據(jù)建模和參數(shù)壓縮的連續(xù)干燥過程溫濕度預測控制算法。首先對連續(xù)干燥過程進行模糊建模。在此基礎上,設計增量狀態(tài)空間預測模型,再引入階梯式策略壓縮MPC 問題的優(yōu)化變量維數(shù),將其二次規(guī)劃問題進行合理的排序,并結(jié)合原始障礙內(nèi)點法和牛頓法[23]在線計算預測控制增量最優(yōu)值。本文主要貢獻包括:(1)利用模糊決策和子空間辨識法建立連續(xù)干燥過程一組線性模糊模型,描述了連續(xù)干燥過程的溫濕度多變量間的耦合特性和非線性特性;(2)利用階梯式策略和原始障礙內(nèi)點法,實現(xiàn)干燥多變量預測控制器的在線高效求解計算。

1 問題描述

連續(xù)干燥過程通常由上料機、鼓風機、傳送帶等設備組成,通過加料斗和上料機將物料傳輸至加熱箱體內(nèi)的傳送帶上,鼓風機將一定溫度的干燥介質(zhì)吹入干燥室內(nèi),帶走物料中的水分并從排濕口排出,經(jīng)過干燥的物料從出料口排出。假設物料勻速送入干燥設備,并且干燥物料為同類物料。為建立連續(xù)干燥過程的溫濕度變化動力學模型,將物料分為若干薄層。則考慮第i個薄層物料,其離散分布式參數(shù)質(zhì)熱方程可描述為[24]

其中,δi表示物料第i個薄層(i=1,…,l),l為總層數(shù),τk表示第k個時間間隔(k≥0),T、H、θ、M分別表示干燥介質(zhì)溫度、干燥介質(zhì)濕度、物料溫度、物料含水率,h表示對流換熱系數(shù),a表示物料的比表面積,Ga表示干燥介質(zhì)質(zhì)量流量,ρp表示物料密度,rw表示水蒸氣的汽化潛熱,K表示物料干燥系數(shù),ca表示干燥介質(zhì)比熱容,cv表示水蒸氣比熱容,cw表示水的比熱容,cp表示干物料的比熱容。通過引入薄層均勻和勻速傳輸假設,建立面向預測控制的連續(xù)干燥過程溫濕度控制模型。

考慮干燥介質(zhì)為常規(guī)空氣,將干燥室入口的干燥介質(zhì)溫度T0(τk)、濕度H0(τk)、流量Ga(τk) 分別定義為連續(xù)干燥過程的控制輸入u1(k)、u2(k) 和u3(k)。則連續(xù)干燥過程的控制量及其變化量滿足如下約束。

在連續(xù)干燥過程中,隨著物料含水率的下降,物料溫度會快速上升。為保證連續(xù)干燥過程中物料溫度不會超過最高溫度,本文目標是設計基于數(shù)據(jù)建模和參數(shù)壓縮的連續(xù)干燥過程溫濕度預測控制器實現(xiàn)最好的干燥效果。

2 干燥過程快速模糊預測控制策略

2.1 干燥過程模糊模型

考慮到連續(xù)干燥過程中物料的性質(zhì),同時為簡化預測模型,將每時刻物料平均溫度和平均含水率定義為連續(xù)干燥過程輸出量y1(k)和y2(k)。令u=[u1,u2,u3]T,y=[y1,y2]T,考慮連續(xù)干燥過程非線性模型式(1),選取控制輸入u(k) 和輸出變量y(k) 進行模糊建模。由于物料含水率的變化直接影響物料溫度和干燥速度等變量的變化,因此,將物料臨界含水率Ml作為連續(xù)干燥過程模糊模型的模糊集Wi的劃分依據(jù),物料臨界含水率由物料性質(zhì)決定。

定義模糊規(guī)則下的離線形式:

Ri: 如果y2(k) ∈Wi,則有:

設ωi(k) 是模糊集Wi的隸屬度函數(shù),則模糊模型全局形式為

為采用子空間辨識每個模糊集子系統(tǒng),選取模糊集中N-p個數(shù)據(jù)。假設k為當前時刻,N和f為未來時刻標度(N ＞f) 和p為過去時刻標度,則得到未來和過去輸入輸出Hankel 矩陣:

其中,Yf、Xf、Uf分別表示未來的輸出量、狀態(tài)量和控制量的Hankel 矩陣,Yp、Xp、Up分別表示過去的輸出量、狀態(tài)量和控制量的Hankel 矩陣,以及

2.2 干燥過程快速增量預測控制

考慮連續(xù)干燥過程,對式(4)定義狀態(tài)增量Δx(k+1)=x(k+1)-x(k) 和控制增量Δu(k)=u(k)-u(k-1),并將輸出量和狀態(tài)增量結(jié)合定義新狀態(tài)變量s(k)=[Δx(k),y(k)]T,則根據(jù)模糊建模結(jié)果得到Dω為0 矩陣,模糊模型式(4)等價于:

在連續(xù)干燥過程中,物料干燥的效果首要在于干燥介質(zhì)溫濕度以及流量的調(diào)節(jié),其次需要考慮物料本身的可承受溫度的范圍以及含水率的要求。因此,設定合適的物料溫度和含水率作為目標值,通過極小化輸出值與目標值的誤差以及控制量增量,達到干燥介質(zhì)平緩變化,物料干燥效果趨近目標值的控制效果。因此定義目標函數(shù)為

其中e(k+i)=s(k+i|k)-sd(k+i),sd(k+i) 為干燥過程目標狀態(tài)量,P為預測時域,矩陣Q和R分別為狀態(tài)量誤差和控制量增量權(quán)重矩陣。

在連續(xù)干燥過程優(yōu)化問題中,考慮原始障礙內(nèi)點法需要遍歷內(nèi)部可行區(qū)域來搜索最優(yōu)解,故在優(yōu)化問題中引入了階梯式策略,可以顯著降低優(yōu)化問題中的變量維數(shù),從而減少了原始障礙內(nèi)點法的搜索時間,降低了在線計算量。進一步,在工業(yè)過程控制中,頻繁變動的控制量會引入高頻分量而縮短執(zhí)行機構(gòu)(如電動閥門)的使用壽命。因此,引入階梯式策略規(guī)劃控制量變化趨勢[22],減少由雙向變化產(chǎn)生的高頻分量對執(zhí)行機構(gòu)的損害,平緩控制量變化。令β為階梯因子,則階梯式控制律為

對應連續(xù)干燥過程有限時域優(yōu)化控制問題:

其中Δumax、Δumin、emax和emin分別表示干燥過程控制量增量和狀態(tài)量誤差的上下界。通過求解優(yōu)化問題式(12)得到最優(yōu)控制增量,再作用于連續(xù)干燥過程,使物料干燥達到最優(yōu)狀態(tài)。

定義P步預測狀態(tài)誤差向量為

基于模型式(9)對未來P步預測的誤差可以由下面的方程來計算。

為了方便求解,定義輔助變量F(k+1|k) 為

定義全局優(yōu)化向量z=[Δu(k),E(k+1|k)T]T,可以將優(yōu)化問題式(12)縮寫為

注1在無約束的情況下,使用拉格朗日法求解優(yōu)化問題式(12)或式(16),得到無約束條件下的最優(yōu)控制增量

3 優(yōu)化問題的求解

在連續(xù)干燥過程中,輸出變量和控制變量通常有約束存在,此時難以得到最優(yōu)控制增量的解析解式(17)。由于存在不等式約束,通過將不等式約束轉(zhuǎn)化為障礙函數(shù),可以簡化優(yōu)化問題。因此采用基于原始障礙內(nèi)點法和回溯直線搜索法求解優(yōu)化問題式(16)。

考慮優(yōu)化問題式(16),用懲罰項來代替連續(xù)干燥過程中的不等式約束,得到以下近似優(yōu)化問題:

結(jié)合一個與等式約束Gpz=b相關的最優(yōu)對偶變量v,對優(yōu)化問題式(18)目標函數(shù)求偏導,得KKT(Karush-Kuhn-Tucker)最優(yōu)條件為

其中,di=1/(hpi-Wpiz),λdTWp是λφ(z) 的梯度,rp和rd分別稱為對偶殘差和原始殘差,疊加向量r=(rd,rp) 則視為殘差,當殘差r趨于零時,便達到問題式(18)的最優(yōu)條件。

假設全局優(yōu)化向量z是可行的,則需要選擇Δz,使得z+Δz能夠滿足最優(yōu)化條件。Δz和v通過對式(19)取泰勒公式的一階近似獲得:

基于計算得到Δz和v,利用回溯直線搜索法迭代確定步長q∈(0,1],同時更新后的優(yōu)化點滿足不等式約束Wpz≤hp。更新后的原始變量為z=z+qΔz。計算牛頓減量w(z)=(ΔzTΦΔz)1/2。重復該修正過程直到牛頓減量到達給定的誤差閾值。

基于原始障礙內(nèi)點法和回溯直線搜索法求解連續(xù)干燥過程多變量MPC 優(yōu)化問題步驟總結(jié)如下。

步驟1初始化,設定預測時域P和初始值z0,離線計算矩陣S、Wp、Gp、hp、b。

步驟2在k時刻,測量y(k);根據(jù)式(19)和(20),計算Yv=ξ得到v,計算ΦΔz=-rd-GpTv得到Δz。

步驟3利用回溯直線搜索法迭代計算步長q。

(1) 根據(jù)當前變量z,搜索方向Δz和給定的參數(shù)α∈(0,0.5),γ∈(0,1),令q=1;

(2) 判斷目標函數(shù)是否滿足f(z+qΔz)＞f(z)+αq▽f(z)TΔz;

(2) 若滿足,則令q=γq,返回(2);否則,搜索完成,進入步驟4。

步驟4更新z=z+qΔz,判斷牛頓減量w(z)是否達到給定閾值,若未達到,則返回步驟3 繼續(xù)確定q;反之,進入步驟5。

步驟5得當前時刻最優(yōu)控制量序列z,取序列的首個變量即增量Δu*(k),計算MPC 控制量u(k)=u(k-1)+Δu*(k),并作用于連續(xù)干燥過程式(1)。

步驟6令k=k+1,返回步驟2。

注2在實際計算過程中,通常參數(shù)α一般取值在0.01 和0.3 之間,參數(shù)γ一般取值在0.1 和0.8之間。

4 仿真研究

本節(jié)先驗證連續(xù)干燥過程模糊狀態(tài)空間模型的準確性,再通過與常規(guī)MPC 對比實驗,驗證本文控制策略的性能和在線計算效率。在建模過程中,考慮廣泛覆蓋連續(xù)干燥過程的負荷范圍,采集現(xiàn)場測量1500 組數(shù)據(jù)對作為訓練數(shù)據(jù)。

4.1 模型驗證

收集到的連續(xù)干燥過程輸入數(shù)據(jù)如圖1 所示。在模糊建模中,各項參數(shù)取值如下:物料臨界含水率Ml=0.03,模糊規(guī)則數(shù)量L=2,模糊集W1={u(k),y(k)|y2(k) ≥Ml},W2={u(k),y(k)|y2(k)＜Ml}。經(jīng)過模型辨識后,得到系統(tǒng)階數(shù)為二階,其中W1包含0～274 s 的數(shù)據(jù),由于數(shù)據(jù)處于含水率勻速下降階段,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)較為簡單,所以辨識后模型擬合程度達到100%。W2包含275～1500 s 的數(shù)據(jù),W2的子空間模型輸出變量的擬合效果如圖2所示。在圖2 中,虛線表示實際輸出曲線,實線表示已辨識的子空間模型輸出曲線。圖2 的圖例中,用百分比標注了利用模糊模型得到的輸出數(shù)據(jù)和采樣數(shù)據(jù)之間的擬合程度。根據(jù)數(shù)據(jù)擬合程度分析,模型辨識擬合程度達到90%以上,基本符合條件。

圖2 模糊集W2 子空間狀態(tài)模型輸出和實際系統(tǒng)輸出

為驗證已辨識模型的有效性,從不同采樣時間內(nèi),選取另外1000 組驗證數(shù)據(jù)對。模型驗證過程的輸入數(shù)據(jù)及模型輸出的擬合曲線如圖3 和4 所示,實際系統(tǒng)輸出和模糊模型輸出的誤差如圖5 所示。在圖4 中,實線和虛線分別表示實際系統(tǒng)輸出和模糊系統(tǒng)輸出。結(jié)合誤差分析,輸出數(shù)據(jù)的最大誤差在2 個子系統(tǒng)產(chǎn)生變換的時候,造成這個現(xiàn)象是因為在實際系統(tǒng)和模糊系統(tǒng)物料含水率到達物料臨界含水率的時間有所差異,導致在臨界含水率附近誤差達到最大。兩者輸出數(shù)據(jù)整體差距不大,符合預期。因此,結(jié)果驗證了所辨識的子模型的普遍性。綜上所述,仿真結(jié)果驗證了所提出的辨識方法的有效性。

圖3 檢驗過程連續(xù)干燥過程輸入數(shù)據(jù)

圖4 檢驗過程模糊模型輸出和實際系統(tǒng)輸出

圖5 檢驗過程物料輸出誤差

4.2 算法驗證

在仿真過程中,取仿真時間T=2000 s,預測步數(shù)P=8,狀態(tài)誤差權(quán)矩陣Q為diag[100,100,0.001,1000],控制增量權(quán)矩陣R為diag[0.1,100,100],階梯因子β=0.5,α=0.3,γ=0.8,umax=[120,0.03,1.5],umin=[50,0.005,0.5],Δumax=[0.5,0.02,0.1],Δumin=[-1,-0.01,-0.1],Δxmax=-Δxmin=[1,1],ymax=[80,0.1],ymin=[30,0.005],sd=[0,0,65,0.01]。整個仿真過程在ASUSG75 VW 計算機上運行,其中CPU 為Intel Core i7-3630QM,主頻2.40 GHz,內(nèi)存16 GB,仿真軟件為通用仿真工具Matlab R2018a。

為驗證算法的有效性,取滿足條件的z0以及任意的v0。記階梯式增量預測控制為SIMPC-proposed algorithm、使用積極集法的階梯式增量預測控制為SIMPC-active set 和常規(guī)增量預測控制為IMPC。從圖6 的輸出曲線可以看出,不同MPC 作用下的輸出變量能精準跟蹤設定目標。在相同條件下,對比在不同MPC 作用下物料濕度變化不大,物料溫度在階梯式增量預測控制下能夠更快速地響應,達到設定值。同時,可以看出本文算法與積極集法有著相近的控制效果,物料溫度最高達到65.7 ℃附近。但經(jīng)過后續(xù)的時間對比,本文算法能夠在計算速度上優(yōu)于積極集法,兩者時間更是遠小于常規(guī)增量預測控制所使用的計算時間。從圖7 的控制量增量的變化可以看出,對于控制量增量的考慮,使得整體曲線效果較為平滑。對比整體變化情況,階梯式增量預測控制比常規(guī)增量預測控制的變化更加平緩,控制效果更好。其中,在400 s 附近控制增量存在著一次跳變情況,是由于連續(xù)干燥過程到達了物料臨界含水率導致,對整體控制效果幾乎沒有影響。

圖6 連續(xù)干燥過程物料輸出變化曲線

圖7 連續(xù)干燥過程控制增量Δu 變化曲線

表1 為3 種方法的多次運行單步優(yōu)化平均計算時間,是在相同的仿真環(huán)境下,采用不同的預測步長進行15 次仿真,再將15 次仿真時間求平均值得到的。從表中可以看出本文算法采用階梯式策略能夠大幅降低在線運算時間,計算時間小于使用積極集法的階梯式增量預測控制,更是遠小于常規(guī)增量預測控制。

表1 不同算法多次運行單步平均優(yōu)化計算時間

從仿真結(jié)果來看,模糊建模能夠得到擬合程度較好的子空間狀態(tài)模型,基于本文給出的快速增量模型預測控制算法,對于連續(xù)干燥過程的控制能夠達到良好的效果。同時,結(jié)合階梯式策略和原始障礙內(nèi)點法以及牛頓法能夠明顯降低求解最優(yōu)控制問題的在線計算量。

5 結(jié)論

針對連續(xù)干燥過程物料溫濕度的優(yōu)化控制問題,本文將物料含水率作為連續(xù)干燥過程模糊決策變量,再使用子空間辨識算法得到子空間狀態(tài)模型。在此基礎上,采用控制增量狀態(tài)空間模型,并結(jié)合階梯式控制策略壓縮優(yōu)化問題的控制變量,建立具有約束的MPC 優(yōu)化控制問題。再采用原始障礙內(nèi)點法和牛頓法求解該MPC 問題,快速求解計算模糊多變量預測控制量。對比仿真結(jié)果驗證了本文方法在控制結(jié)果和計算時間上的優(yōu)越性。后續(xù)將繼續(xù)深入研究不同物料的干燥過程和可變速傳送帶對于干燥過程的影響,進而提出對應場景下的連續(xù)干燥過程多變量魯棒預測控制器設計方法。