馬 穎*，吳小青

（無(wú)錫南洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫）

引言

隨著對(duì)三維動(dòng)態(tài)測(cè)量的需求不斷增加，各種快速相位恢復(fù)方法不斷涌現(xiàn)[1-2]。由于傅里葉變換方法只需要一個(gè)條紋圖案來(lái)求解相位輪廓，因此它引起了研究人員的注意。結(jié)合多頻率時(shí)間展開[3]和格雷編碼[4]，以額外投影更多的圖像為代價(jià)來(lái)解決相位模糊問(wèn)題。

2015 年，涂顏帥[5]提出了一種基于時(shí)間頻率編碼的高速三維測(cè)量方案。利用高速率投影儀，在不同時(shí)間投影不同頻率的編碼條紋，并用較低的幀速率，將若干個(gè)不同時(shí)刻的變形條紋曝光在同一張圖中。通過(guò)對(duì)圖像的分析處理, 可以獲得各個(gè)條紋對(duì)應(yīng)的三維數(shù)據(jù)，即對(duì)應(yīng)時(shí)刻的三維面形數(shù)據(jù)。由于需要大量的圖案投影，此方案高速投影和高速攝像機(jī)記錄至關(guān)重要。2020 年，李勇等人[6]對(duì)條紋投影動(dòng)態(tài)三維表面成像技術(shù)進(jìn)行了總結(jié)。介紹了動(dòng)態(tài)成像，包括高速投影方案和采用速度相對(duì)低的相機(jī)進(jìn)行動(dòng)態(tài)三維表面成像的方案。特別是動(dòng)態(tài)三維成像中絕對(duì)相位獲取方法，主要是模擬和數(shù)字編碼法及高精度動(dòng)態(tài)相位測(cè)量法。至今，準(zhǔn)確性和速度之間的權(quán)衡仍然是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，值得進(jìn)一步探討。

本文提出了一種徑向空間載波相移算法來(lái)適應(yīng)圓形條紋圖案，并有效地實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)三維測(cè)量。該算法通過(guò)捕獲沿徑向方向具有像素錯(cuò)位的條紋圖案來(lái)提取兩幅相移條紋圖案，實(shí)現(xiàn)了數(shù)字徑向相移。仿真和實(shí)驗(yàn)皆證明了該方法的有效性。

1 測(cè)量原理及步驟

根據(jù)此前對(duì)圓條紋的理論分析[7]，本文將圓條紋應(yīng)用到相移上來(lái)。本文選取圓條紋右下角的部分圓弧，將其投影到被測(cè)物體上，并令采集到的變形條紋圖的像素坐標(biāo)為（x，y）。為了方便起見，在本文的以下敘述中，將這部分條紋統(tǒng)稱為圓形條紋，其光強(qiáng)表達(dá)式為：

其中，a（x，y）為背景光強(qiáng)；b（x，y）為調(diào)制度；（x，y）為相機(jī)的像素坐標(biāo)；φ（x，y）為相位分布。

采集投影在物體上的變形條紋，取其中一幀圖像作為原始圖像，原始圖像記為I2（x，y）。將條紋向接近圓心的方向移動(dòng)一個(gè)像素，即表現(xiàn)為將I2（x，y）先向左移動(dòng)一個(gè)像素再向上移動(dòng)一個(gè)像素，得到的光強(qiáng)圖記為I1（x，y）；將條紋向遠(yuǎn)離圓心方向移動(dòng)一個(gè)像素，定義為將原始圖像先向右移動(dòng)一個(gè)像素再向下移動(dòng)一個(gè)像素，得到的光強(qiáng)圖記為I3（x，y）；這樣即獲得新的三幅具有相移量的光強(qiáng)圖，其光強(qiáng)表達(dá)式為：

其中，δx（x，y）和δy（x，y）為I1（x，y）和I3（x，y）在x、y 方向的相對(duì)相移量；Φ（x，y）為載波相位，Φ（x，y）=2π·f·r；f 為條紋頻率；r 為極坐標(biāo)半徑。ak（x，y）為第k幅光強(qiáng)圖的背景光強(qiáng)；bk（x，y）為第k 幅光強(qiáng)圖的調(diào)制度。

由于這三幅光強(qiáng)圖的背景光強(qiáng)和調(diào)制度的變化緩慢，所以參數(shù)a，b 變化基本可以忽略不計(jì)。

根據(jù)傅里葉變換方法和歐拉公式，式（2）可以表示為：

其中，Ik（x，y）表示第k 幅光強(qiáng)圖；ck（x，y）*表示ck（x，y）的復(fù)共軛；ck（x，y）為待測(cè)物體的復(fù)振幅分布，k=1，2，3。ck（x，y）可以表示為：

其中，i 為單位虛數(shù)；φk為第k 幅光強(qiáng)圖的相位分布，可表示為：

取第一和第三幅光強(qiáng)圖分別進(jìn)行傅里葉變換，再利用一個(gè)低通濾波器，得到+1 階頻譜，并將頻譜移到中心。然后進(jìn)行逆傅里葉變換，并對(duì)c1（x，y）和c3（x，y）直接進(jìn)行了減法運(yùn)算：

根據(jù)歐拉公式，可以得到：

兩式相除得到：

即:

其中，w 為包裹算子。

由于φ1，φ2，與φ3之間僅存在約一個(gè)像素錯(cuò)位，且相互聯(lián)系，所以取兩值平均可得：

即可得到原始圖像的相位分布，即為它的包裹相位。

在快速解得包裹相位后，利用相位展開算法[8]即可獲得連續(xù)相位。

根據(jù)傳統(tǒng)的標(biāo)定高度- 相位的映射關(guān)系：

獲得的連續(xù)相位，通過(guò)設(shè)定多個(gè)已知高度與此高度上對(duì)應(yīng)的相位差即可解得標(biāo)定參數(shù)，結(jié)合相機(jī)標(biāo)定參數(shù)，從而得到物體的三維輪廓信息。

2 模擬仿真

通過(guò)模擬仿真驗(yàn)證該方法的可行性。圖1(a)是一幅512×512 像素的圓條紋圖，頻率為0.156 Hz。函數(shù)“peaks”是MATLAB 中內(nèi)置的實(shí)例函數(shù)，本文將圓形條紋圖加載至此函數(shù)上，此時(shí)圖像被函數(shù)“peaks”調(diào)制，產(chǎn)生帶有峰值輪廓信息的變形條紋。根據(jù)本文提出的方法，計(jì)算得到圖1(b)為最終計(jì)算得到的相位值，如圖1(b)所示，與原始峰值圖基本一致。

圖1

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文實(shí)驗(yàn)以電燈燈罩為待測(cè)物體，并保持燈罩上下移動(dòng)，構(gòu)成動(dòng)態(tài)待測(cè)物體。期間連續(xù)采集投影在此物體上的變形條紋，同時(shí)處理成一幀幀的圖像；取其中一幀幀圖像作為原始圖像，按照以上算法，測(cè)量算法在動(dòng)態(tài)場(chǎng)景下的適用性。本文選擇4 個(gè)不同位置的圖像作為測(cè)量樣本（分別對(duì)應(yīng)于第1 幀，第79 幀和第136 幀圖像）。圖2（a）- 圖2（d）為上述四個(gè)位置處采集到的變形條紋圖像；圖2（e）- 圖2（h）為對(duì)應(yīng)這4 個(gè)位置的三維測(cè)量結(jié)果。由圖可見，此物體的面型輪廓得到了很好的恢復(fù)。

圖2

4 結(jié)論

本文提出了一種利用徑向空間載波相移算法實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)三維測(cè)量的方法。它從捕獲的具有徑向像素錯(cuò)位的圓形條紋圖像中獲取三個(gè)相移條紋圖案，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)字上的徑向相移。此外，仿真和實(shí)驗(yàn)證明了本文方法的有效性，該方法具有較低的相位誤差和較高的精度，并以較高的效率成功地實(shí)現(xiàn)了三維動(dòng)態(tài)測(cè)量。