王福謙,殷 勇

(西南交通大學(xué)希望學(xué)院 基礎(chǔ)部,成都 610400)

1 引言

傾角傳感器是一種測量相對于水平面的傾角變化量的傳感器,經(jīng)常用于系統(tǒng)水平角度變化的測量,廣泛應(yīng)用于高層建筑安全監(jiān)測、水庫大壩安全監(jiān)測、船載水平平臺控制及地殼形變觀測等方面。關(guān)于電容傾角傳感器,文獻[1]～文獻[5]中的學(xué)者分別研究了雙電容環(huán)結(jié)構(gòu)式、四電極式、圓盤狀單級式、自我標定環(huán)裝式及由一個旋轉(zhuǎn)軸和三對固定電極組成的圓柱-圓柱面結(jié)構(gòu)式等類型的傳感器;張文昭等研究了變面積型圓柱面形電容角位移傳感器[6];何成平、袁峰等研究了擺式電容角位移傳感器[7,8]。在以上幾種傳感器的研究中,均沒有考慮傳感器極板邊緣效應(yīng)對測量結(jié)果的影響,從而導(dǎo)致測量結(jié)果出現(xiàn)誤差,影響測量的精確度。為了提高大地測量、高層建筑傾角測量及底盤懸掛系統(tǒng)傾角測量等的水平檢測和傾角測量的精確度,在本文中,給出一種平板電容式傾角傳感器,如圖1 所示。該傳感器的探頭由三個長為L的平板電極組成,其中,旋轉(zhuǎn)電極的寬為l1,其上端到固定點o的距離為r1,另兩個夾角為Φ的固定電極的寬為l2,其上端到固定點o的距離為r2,旋轉(zhuǎn)電極位于兩個固定電極之間,可繞平行于固定平板電極過o點的軸轉(zhuǎn)動。在測量傾角時,旋轉(zhuǎn)電極因重力作用在測量過程保持其豎直位置不變,當測量的傾角θ變化時,旋轉(zhuǎn)電極與兩固定電極的相對位置變化,使得傳感器探頭的電容發(fā)生變化,即該傳感器測量傾角的原理。為此,為了利用格林函數(shù)法消除傳感器電極的橫向邊緣效應(yīng)所引起的測量誤差,提高電容角位移傳感器的測量精確度,針對研究的電容式傾角傳感器的結(jié)構(gòu),首先建立與之對應(yīng)的復(fù)平面z上的二維靜電場邊值問題的數(shù)學(xué)模型,利用保角變換函數(shù)ζ=f(z),將z平面上的邊值問題變換為位于ζ平面的上半平面的二維邊值問題,由格林函數(shù)法求得ζ平面的上半平面的電勢分布;再通過函數(shù)變換關(guān)系,將ζ平面的上半平面的電勢分布變換為電容傳感器內(nèi)的電勢分布,繼而得到其場強分布;再積分得到傳感器電極的帶電量及其電容量,給出傳感器的輸出量C(θ)的數(shù)學(xué)表達式,利用MATLAB 軟件繪制出輸出特性曲線,分析傳感器在不同區(qū)域的靈敏度及線性度,通過數(shù)值模擬分析給出了優(yōu)化電容傳感器輸出性能的途徑。

圖1 擺式電容傾角傳感器的實物簡圖Fig.1 Physical diagram of pendulous capacitive tilt sensor

2 斜平板電容器的電場和電容

為了研究計及傳感器電極橫向邊緣效應(yīng)的擺式電容傾角傳感器的輸出特性,首先討論斜平板電容器的電場和電容。

2.1 斜平板電容器的電場

如圖2 所示,一斜平板電容器由兩塊寬度分別為l1和l2、夾角為α長度為L(圖2 中未體現(xiàn))的極板組成,兩極板橫截面的延長線相交于o點,其左端到坐標原點o的距離分別為r1和r2,極板CD和AB的電勢分別為U0和-U0。當極板的長度遠大于其寬度時,在垂直于極板長度方向的所有截面上的電場分布均相同,故可取任一截面為z平面來討論電勢和場強在其上的分布。為了利用格林函數(shù)法計算z平面上斜平板電容器內(nèi)電勢的分布,可作保角變換[9]。

圖2 斜平板電容器的橫截面Fig.2 Cross section of inclined plat capacitor

經(jīng)變換,z平面上由電容器極板橫截面位置所限定的角域,映射為ζ平面的上半平面,如圖3 所示。

圖3 變換后ζ 平面的上半平面Fig.3 Upper half plane after transformation

變換后的ζ平面上各極板橫截面的位置及其端點坐標可由公式(1)確定,其中,A和C兩端點的位置分別為ξA和ξC,而和D兩端點的位置分別為ξB=-1 和ξD=1。

經(jīng)上述變換后,z平面上的斜平行板電容器內(nèi)的電勢分布φ(x,y)就變換為ζ平面上的位于其上半平面的如下邊值問題

對公式(2)應(yīng)用格林函數(shù)法[10],可得ζ平面上的電勢分布φ(ξ,η)為

為了給出變面積型平行板電容傳感器內(nèi)的電場分布圖的直觀圖像,以驗證本研究所得結(jié)論的正確性,用數(shù)學(xué)軟件MATLAB 對其電場分布進行數(shù)值模擬[11],其電場線和等勢線的分布如圖4 所示,電場線與等勢線及導(dǎo)體邊界均垂直,場線分布正確,為預(yù)期結(jié)果。

圖4 斜平板電容器內(nèi)的電場Fig.4 Electric field in inclined plate capacitor

2.2 斜平板電容器的電容

由場強與電勢的微分關(guān)系E=-▽φ,利用公式(5)可得極板CD表面的場強分布為

則極板CD上的電荷面密度σ0為

為避免公式(7)的積分發(fā)散,可使極板AB的電勢為U0,極板CD的電勢為零,則極板CD上的感應(yīng)電荷面密度為

斜平板電容器極板CD的帶電量Q為

按公式(9)計算斜平板電容器的電容量C為

3 擺式電容傾角傳感器的輸出特性

3.1 輸出特性

當被測平面的傾角為θ時,傾角傳感器的旋轉(zhuǎn)電極相對于固定電極擺過角度θ,其與兩個固定電極的夾角分別為。若該傳感器差動輸出,由圖1 中給出的傳感器的幾何尺寸,則根據(jù)公式(10)可得該傳感器的輸出特性為

由于在討論中計及了該傳感器電極的橫向邊緣效應(yīng),故公式(11)具有較高的精確度。

3.2 輸出特性曲線

利用MATLAB[12]軟件的數(shù)值模擬功能,通過公式(11)繪制出擺式電容傾角傳感器的輸出特性曲線,如圖5 所示。

圖5 擺式電容傾角傳感器的輸出特性曲線Fig.5 Output charactreristic cuve of pendulous capacitive tilt sensor

4 影響傳感器輸出特性的因素

4.1 電極面積對輸出特性的影響

在該傳感器的r1、r2及Φ給定時,對公式(11)通過MATLAB 軟件進行數(shù)值模擬,結(jié)果表明:隨著電極面積S1=l1×L和S2=l2×L的增大,該傳感器的平均靈敏度提高,但其線性度均有所降低,如圖6 所示。

圖6 電極面積對傳感器輸出特性的影響Fig.6 Influence of elelctrode area on output characteristics of pendulous capacitive tilt sensor

4.2 電極上端到其懸掛點距離對輸出特性的影響

在該傳感器的l1、l2及Φ給定時,對公式(11)通過MATLAB 軟件進行數(shù)值模擬,結(jié)果表明:隨著電極上端到其懸掛點距離的減小,該傳感器的平均靈敏度提高,但線性度降低,如圖7 所示。

圖7 電極上端到懸掛點距離對傳感器輸出特性的影響Fig.7 Influence of the distance from the upper end of the elelctrode to its suspension point on the output characteristics of pendulous capacitive tilt sensor

4.3 固定電極間的夾角對輸出特性的影響

在該傳感器的r1、r2及L給定時,對公式(11)通過MATLAB 軟件進行仿真,結(jié)果表明:在測量范圍一定的情況下,隨著兩規(guī)定電極間的夾角的減小,該傳感器的平均靈敏度提高,但線性度降低,如圖8 所示。

圖8 固定電極間的夾角對傳感器輸出特性的影響Fig.8 Influence of the angle between the fixed elelctrode on the output characteristics of pendulous capacitive tilt sensor

5 傳感器輸出特性優(yōu)化的途徑

綜合4.1～4.3 節(jié)中的數(shù)值模擬結(jié)果可以看出,擺式電容傾角傳感器輸出特性優(yōu)化有三個途徑:一是增大電極面積;二是減小電極上端到懸掛點或固定點的距離;三是適度增大兩固定電極的夾角。通過這三個途徑,選取合適的傳感器幾何參數(shù),應(yīng)用MATLAB 軟件進行數(shù)值模擬,可看出該傳感器同時具有較高的靈敏度及線性度,輸出特性較好,其輸出特性曲線圖如圖9 所示。

圖9 優(yōu)化后的擺式電容傾角傳感器輸出特性曲線Fig.9 Optimized output characteristic curve of pendulous capacitive tilt sensor

6 結(jié)束語

計算機數(shù)值模擬的研究方法已成為繼試驗研究和理論分析之外的第三種研究手段。本研究將理論分析與計算機數(shù)值模擬相結(jié)合,研究了擺式電容傾角傳感器的輸出特性,消除了傳感器電極的橫向邊緣效應(yīng)對測量結(jié)果的影響,從理論上指出了該傳感器輸出特性優(yōu)化的途徑,研究結(jié)論為傳感器的理論設(shè)計與研究提供了一種新的方法,在科研上具有一定的理論價值,也可供相關(guān)問題研究參考。