張凱旋　樂源

摘要：以兩自由度鐵道機車輪對自治系統(tǒng)為研究對象，得到行進過程中隨速度參數(shù)變化的橫移分岔圖進行數(shù)值模擬。基于Floquent乘子刻畫周期解穩(wěn)定性，利用Lyapunov指數(shù)刻畫混沌運動。將滯后環(huán)與多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象聯(lián)系起來，在滯后環(huán)內(nèi)部，系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài)共存；在滯后環(huán)外部，多穩(wěn)態(tài)共存消失，滯后環(huán)邊界處產(chǎn)生邊界激變現(xiàn)象，邊界激變是由于不穩(wěn)定周期軌道與穩(wěn)定周期軌道相接觸導(dǎo)致分岔圖產(chǎn)生的跳躍現(xiàn)象?；谖驁D，對滯后環(huán)內(nèi)外多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象的出現(xiàn)和消失進一步解釋并求解了邊界處的Floquent乘子和混沌區(qū)域的最大Lyapunov指數(shù)。

關(guān)鍵詞：輪對系統(tǒng)；滯后分岔；激變；多穩(wěn)態(tài)；Floquent乘子

中圖分類號：O322；U27?????????????????????????? 文獻標志碼：A????????????????? doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.08.001

文章編號：1006-0316 （2023） 08-0001-07

Crisis and Multistability of Railway Wheelset System

ZHANG Kaixuan，YUE Yuan

（ Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province， School of Mechanics and Aerospace Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China ）

Abstract：Taking a two-degree-of-freedom railway wheelset autonomous system as the research object， the transverse bifurcation diagram varying with the speed parameter during the traveling process is obtained for numerical simulation. The stability of periodic solution is described based on Floquet multipliers， and chaotic motion is described by Lyapunov exponents. The hysteresis loop is connected with the phenomenon of multistability. Inside the hysteresis loop， there is the coexistence of multistability in the system; outside the hysteresis loop， the coexistence of multistability disappears， and the boundary crisis phenomenon occurs at the boundary of the hysteresis loop. The boundary crisis is the jumping phenomenon resulted from the bifurcation diagram， which is caused by the contact between the unstable periodic trajectory and the stable periodic trajectory. Based on the basin of attraction， the appearance and disappearance of the multistability coexistence phenomenon inside and outside the hysteresis loop are further explained. The Floquet multipliers at the boundary and the largest Lyapunov exponents of the chaotic region are solved.

Key words：wheelset system；hysteresis bifurcation；crisis；multistability；Floquet multiplier

列車行進過程中時常會有蛇行運動現(xiàn)象，蛇行運動會導(dǎo)致列車輪對與軌道之間出現(xiàn)碰撞接觸，長期的碰撞接觸會使輪對和軌道產(chǎn)生磨損消耗，極易發(fā)生脫軌、傾覆等安全問題，并且這種不規(guī)律的往復(fù)橫移會極大影響乘坐舒適性。蛇行運動的橫移幅值和頻率受到很多參數(shù)的影響，因此需要對輪對系統(tǒng)進行動力學(xué)研究，使在列車設(shè)計和安全檢測的過程中，有理論根據(jù)地進行參數(shù)優(yōu)化，避免很多安全隱患。

在國外研究中，Huilgol^[1]對鐵道車輛動力學(xué)進行了分岔分析，并發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)中的非對稱運動，但沒有進行更加深入的分析和解釋。其后，Isaksen^[2]在機車動力學(xué)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了混沌，Meijaard等^[3]通過對正弦軌道上滾動輪對的研究，得出混沌是由于受迫振動產(chǎn)生的結(jié)論。近代對動力學(xué)的研究中，Knudsen等^[4]用延續(xù)算法求解了非線性車輛系統(tǒng)的分岔問題。Hoffman^[5]數(shù)值模擬出歐洲雙軸客車的周期解和混沌吸引子共存的動力學(xué)現(xiàn)象。Zboinski等^[6]研究了車輛系統(tǒng)中的不同參數(shù)對列車在曲線軌道上運動的穩(wěn)定性的影響。在國內(nèi)研究中，高學(xué)軍等^[7]提出合成分岔圖，將系統(tǒng)在升速和降速時繪制的分岔圖合成在一張圖中，發(fā)現(xiàn)車輛系統(tǒng)在經(jīng)過擬周期運動后進入混沌。董浩^[8]采用范式法證明了高速動車組在簡單輪軌接觸關(guān)系下均存在亞臨界和超臨界Hopf分岔。楊紹普等^[9]考慮非線性滯后彈簧對轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)的Hopf分岔現(xiàn)象的影響，表明轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)蛇行運動的本質(zhì)是一種Hopf分岔現(xiàn)象。繆鵬程^[10]對含干摩擦阻尼的輪對系統(tǒng)進行全局動力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)輪對系統(tǒng)存在大量多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象是指，一個參數(shù)作為變量、其他參數(shù)固定的情況下，賦予動力學(xué)微分方程不同初值，會得到不同穩(wěn)態(tài)解。歐陽茹荃等^[11]利用胞映射方法觀察到船舶系統(tǒng)的吸引子共存和周期倍化等非線性特性，黃羽等^[12]觀察到一個單自由度自治系統(tǒng)在時滯反饋控制的影響下產(chǎn)生多吸引子共存等現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)不同，系統(tǒng)的求解結(jié)果會有很大差異，這對研究系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性有很大影響。Erazo等^[13]為計算Filippov系統(tǒng)的吸引域，提出一種改進胞映射算法。吳鑫等^[14]使用胞映射方法尋找懸臂梁振動系統(tǒng)的吸引子和吸引域，揭示了系統(tǒng)由周期運動到混沌的過程，同時發(fā)現(xiàn)分岔圖中出現(xiàn)激變現(xiàn)象。

激變現(xiàn)象是指分岔圖中穩(wěn)態(tài)解在很小的參數(shù)范圍內(nèi)發(fā)生激烈變化。分岔圖中混沌區(qū)域突然變大的現(xiàn)象稱為內(nèi)部激變，對應(yīng)吸引域圖形中混沌吸引子突然變大；混沌區(qū)域突然消失的現(xiàn)象稱為邊界激變，樂源等^[15]在一類碰撞振動系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)兩個共軛的混沌吸引子與對稱不動點接觸，導(dǎo)致激變的發(fā)生和陣發(fā)性。張惠等^[16]在一類分段光滑碰撞系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)，吸引子的消失與混沌吸引子和吸引域邊界碰撞產(chǎn)生的內(nèi)部激變有關(guān)，一般情況都是由混沌運動突然變?yōu)橹芷谶\動，對應(yīng)吸引域圖形中混沌吸引子突然消失，有時邊界激變會伴隨著滯后分岔現(xiàn)象。

滯后分岔是平衡點的一種基本分岔，常出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中，在很小的參數(shù)范圍內(nèi)，穩(wěn)定解發(fā)生很大改變，在分岔圖中表現(xiàn)為跳躍現(xiàn)象，分岔曲線在發(fā)生滯后分岔的位置不連續(xù)，且會有上下兩支，兩個滯后分岔點之間會有一條不穩(wěn)定的周期軌道，兩支分岔曲線組成一個類似平行四邊形的圖形，稱為滯后環(huán)^[17]。

1 單輪對模型運動微分方程

2 融合激變與多穩(wěn)態(tài)

由Floquent乘子的理論可知，在四維系統(tǒng)中，發(fā)生音叉分岔的點的乘子應(yīng)該為兩個1，其中一個1是自治系統(tǒng)本身具有的特征乘子，其余的乘子模長應(yīng)不大于1，與表中A₁的乘子對應(yīng)較好，進一步驗證A₁點的音叉分岔性質(zhì)。發(fā)生周期倍化分岔的點的乘子應(yīng)該為一個1，一個-1，同樣的，1是自治系統(tǒng)本身具有的特征乘子，其余的乘子模長也不大于1，與表中B₁、D₁的乘子對應(yīng)較好，進一步驗證B₁點和D₁點的周期倍化分岔性質(zhì)。

對于圖2的C₁點，采用Lyapunov指數(shù)^[20]進行驗證。Lyapunov指數(shù)是表征狀態(tài)空間中相鄰軌道的平均指數(shù)發(fā)散率或收斂率，是數(shù)值識別混沌運動的有力工具。計算出C₁點的Lyapunov指數(shù)如圖3所示。可以看出，C₁點的最大Lyapunov指數(shù)大于0，對應(yīng)于此時分岔圖中系統(tǒng)的混沌運動。

由圖2可以看出，系統(tǒng)此時具有多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，為進一步說明此時系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性，對取不同參數(shù)時的吸引域進行分析，分岔參數(shù)v如果取在A₁C₁范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象，如果取在A₁C₁范圍外，系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象消失。在A₁C₁范圍內(nèi)時，系統(tǒng)的吸引域和吸引子如圖4所示。

由圖4可以看出，當取v＝75 m/s時，系統(tǒng)為兩個周期一吸引子共存，其中紅色周期一吸引子對應(yīng)的吸引域為藍色區(qū)域，藍色吸引子對應(yīng)的為黃色區(qū)域，黃色吸引域和藍色吸引域之間相互嵌套滲透，呈現(xiàn)出復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu)，如果給初值加以擾動，系統(tǒng)會從一個吸引子吸引到另一個吸引子上，從而產(chǎn)生多種穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象。當v增加到83 m/s時，系統(tǒng)發(fā)生周期倍化分岔，由周期一運動倍化分岔為周期二運動，此時系統(tǒng)為兩個周期二吸引子共存，其中紅色周期二吸引子對應(yīng)的吸引域為黃色區(qū)域，藍色周期二吸引子對應(yīng)的吸引域為藍色區(qū)域。隨著v增加到90 m/s，系統(tǒng)經(jīng)過周期倍化分岔通向混沌，此時系統(tǒng)周期吸引子經(jīng)歷周期倍化分岔演變?yōu)榛煦缥樱渲兴{色混沌吸引子對應(yīng)的吸引域為黃色區(qū)域，紅色混沌吸引子對應(yīng)的吸引域為藍色區(qū)域。從吸引域的圖形可以看出，此時兩種顏色的吸引域相較于之前速度參數(shù)下的吸引域圖分形程度變小，兩種吸引域開始融合在一起，在v增加到95 m/s時，系統(tǒng)的兩種吸引域融合為同一個吸引域，單個吸引子使得吸引域分形結(jié)構(gòu)消失，呈現(xiàn)出光滑結(jié)構(gòu)。這是由于音叉分岔產(chǎn)生的不穩(wěn)定周期軌道A₁C₁接觸到C₁點的穩(wěn)定軌道，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生融合激變，在分岔圖上表現(xiàn)為兩個不同穩(wěn)態(tài)下的混沌區(qū)域在C₁點之后融合交織為一個混沌區(qū)域，系統(tǒng)由兩種不同的穩(wěn)態(tài)融合成為一個穩(wěn)態(tài)，多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象消失。

3 邊界激變與多穩(wěn)態(tài)

滯后環(huán)A₂B₂C₂D₂內(nèi)部有兩個穩(wěn)定的周期軌道和不穩(wěn)定的周期軌道共存，藍色的周期軌道存在完整的周期倍化序列，分岔圖中依次出現(xiàn)紅色周期一軌道和藍色周期一軌道共存、紅色周期一軌道和藍色周期二軌道共存、紅色周期一吸引子和藍色混沌吸引子共存的現(xiàn)象。由圖7可以看出，取v＝60 m/s時，分岔圖中為兩個周期一軌道，有兩個周期一吸引子共存，其中紅色吸引子對應(yīng)吸引域中的藍色區(qū)域，藍色吸引子對應(yīng)黃色區(qū)域；取v＝73 m/s時，分岔圖中對應(yīng)一個周期一軌道和一片混沌區(qū)域，有一個周期一吸引子和一個混沌吸引子共存，其中紅色吸引子對應(yīng)吸引域中的藍色區(qū)域，藍色吸引子對應(yīng)黃色區(qū)域，吸引子和吸引域的形狀及大小較之前并無太大變化，但是混沌吸引子的出現(xiàn)使得系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性降低，繼續(xù)增加速度參數(shù)到A₂點，系統(tǒng)分叉圖中發(fā)生跳躍現(xiàn)象，在很小的速度變化后，分岔圖由A₂點跳躍到B₂點，吸引域由兩種共存的吸引域變?yōu)橐粋€周期一的吸引域，混沌吸引子突然消失，原來的混沌吸引子和周期一吸引子共存變?yōu)閮H剩一個周期一吸引子，分岔圖中表現(xiàn)為混沌區(qū)域突然消失，與之共存的周期一軌道繼續(xù)隨參數(shù)增加而延伸，此時系統(tǒng)發(fā)生邊界激變，這是由于從C₂點出發(fā)的不穩(wěn)定周期軌道接觸到藍色混沌區(qū)域，形成臨界點A₂，導(dǎo)致其躍遷至穩(wěn)定焦點B₂，在滯后環(huán)左邊界處，不穩(wěn)定周期軌道與穩(wěn)定的紅色周期一軌道接觸，產(chǎn)生臨界點C₂，導(dǎo)致其躍遷到穩(wěn)定的焦點D₂，多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象因此被破壞，故而在滯后環(huán)內(nèi)部存在多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，而在滯后環(huán)外部多穩(wěn)態(tài)共存消失。

4 結(jié)論

本文通過研究單輪對系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為，揭示了列車輪對系統(tǒng)在列車行進過程中，隨著速度參數(shù)改變，從周期運動到混沌運動的動力學(xué)行為，其中包含音叉分岔、倍周期分岔、滯后分岔、融合激變、內(nèi)部激變、邊界激變、多穩(wěn)態(tài)共存等多種動力學(xué)現(xiàn)象。結(jié)合Floquent乘子和Lyapunov指數(shù)對發(fā)生音叉分岔、倍周期分岔、滯后分岔以及發(fā)生混沌的不動點性質(zhì)進行闡述，通過胞映射方法，結(jié)合吸引域和吸引子圖形對多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象的出現(xiàn)和消失解釋說明，以滯后環(huán)為邊界，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在滯后環(huán)內(nèi)部存在周期吸引子和周期吸引子共存，周期吸引子和混沌吸引子共存，在滯后環(huán)外部，系統(tǒng)由于發(fā)生邊界激變，不穩(wěn)定周期軌道接觸穩(wěn)定軌道，改變系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性，使共存的吸引子突然消失。本文采用列車系統(tǒng)的參數(shù)和動力學(xué)方程進行數(shù)值模擬，對列車行進安全性，穩(wěn)定性和舒適性的優(yōu)化設(shè)計有一定的參考價值。

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