摘 ?要：文章使用2015年8月11日至2022年11月30日人民幣兌美元匯率的日交易中間價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。首先對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)差分處理，得到平穩(wěn)的人民幣匯率對(duì)數(shù)收益率序列。其次通過描述性統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)該序列“尖峰厚尾”，而平穩(wěn)性檢驗(yàn)和ARMA模型建立證實(shí)了該序列的非隨機(jī)性質(zhì)，異方差性檢驗(yàn)確認(rèn)了波動(dòng)聚集性。研究采用GARCH、EGARCH和TGARCH模型對(duì)波動(dòng)率方程進(jìn)行擬合，結(jié)果顯示匯率存在杠桿效應(yīng)。最終，使用最佳擬合效果的EGARCH（1，2）模型對(duì)匯率序列進(jìn)行回測分析，并提出相關(guān)建議。

關(guān)鍵詞：ARMA模型；GARCH族模型；杠桿效應(yīng)

中圖分類號(hào)：TP391 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）14-0129-05

Exchange Rate Volatility Forecasting Based on ARMA-GARCH Combined Model

CAI Binjian

（School of Mathematical Science， South China Normal University， Guangzhou ?510631， China）

Abstract： This paper uses daily transaction middle price data of the RMB-USD exchange rate between August 11， 2015 and November 30， 2022 for research. Firstly， the data is processed by logarithmic difference to obtain a stable logarithmic return rate sequence of the RMB exchange rate. Secondly， through descriptive statistical analysis， it is found that the sequence has a “peaked ness and fat tail”. The stationarity test and ARMA model establishment further confirm the non-randomness of the sequence， and the heteroscedasticity test confirms the volatility clustering. This study uses GARCH， EGARCH and TGARCH models to fit the volatility rate equation， and the results show that there is a leverage effect in the exchange rate. Finally， the EGARCH （1， 2） model with the best fitting effect is used for backtesting analysis of the exchange rate sequence， and relevant suggestions are proposed.

Keywords： ARMA model; GARCH family model; leverage effect

0 ?引 ?言

2015年8月11日，央行改革了人民幣對(duì)美元中間匯率報(bào)價(jià)機(jī)制，增強(qiáng)了人民幣匯率與匯率市場的緊密聯(lián)系，也加強(qiáng)了匯率在經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域的作用，但同時(shí)也增強(qiáng)了人民幣匯率的波動(dòng)性。自2018年3月，中美貿(mào)易戰(zhàn)爆發(fā)以來，人民幣匯率市場大幅震蕩。2020年1月21日新冠疫情大規(guī)模擴(kuò)散之后，人民幣匯率快速上升，對(duì)經(jīng)濟(jì)造成了一定的沖擊。

隨著我國經(jīng)濟(jì)水平不斷提高和全球化不斷發(fā)展，中國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r備受世界各國關(guān)注，人民幣匯率波動(dòng)備受國家和投資者關(guān)注。研究匯率的波動(dòng)規(guī)律，平衡人民幣國際化和人民幣匯率穩(wěn)定的關(guān)系，對(duì)于影響國家經(jīng)濟(jì)和進(jìn)出口企業(yè)走勢至關(guān)重要。

1 ?研究方法與理論分析

本節(jié)將會(huì)主要介紹文章建模所需要的ARMA模型、GARCH模型以及GARCH模型的拓展模型——TGARCH模型和EGARCH模型。

1.1 ?ARMA模型

由自回歸模型和滑動(dòng)平均模型結(jié)合而成，能夠分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)的線性部分。表達(dá)式為：

1.2 ?GARCH模型

GARCH模型是一種用于建模時(shí)間序列波動(dòng)率的經(jīng)典方法。它是對(duì)ARCH模型的擴(kuò)展，能夠?qū)Ω唠A自回歸和高階移動(dòng)平均過程建模，并能夠描述更復(fù)雜的異方差性質(zhì)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，ht表示時(shí)間t的波動(dòng)率，α0表示常數(shù)項(xiàng)， 表示時(shí)間t - i的誤差項(xiàng)的平方，αi和βi分別表示ARCH和GARCH過程的系數(shù)，p和q分別表示ARCH和GARCH的階數(shù)。GARCH模型的完整表達(dá)式為：

1.3 ?EGARCH模型

EGARCH[1]模型，又稱為指數(shù)GARCH模型，由Nelson于1991年提出，該模型的結(jié)構(gòu)為：

1.4 ?TGARCH模型

TGARCH模型[2]，又稱為門限GARCH模型，它將門限自回歸的概念與GARCH模型相結(jié)合所得到的GARCH模型拓展形式，其具體表達(dá)式為：

2 ?匯率波動(dòng)性分析及預(yù)測

2.1 ?數(shù)據(jù)來源

本文的實(shí)證研究對(duì)象為人民幣兌美元匯率中間價(jià)，下文簡稱“匯率”。由于2015年8月11日起，人民幣兌美元中間報(bào)價(jià)機(jī)制發(fā)生改革，因此本文選取了2015年8月11日至2022年11月30日的人民幣匯率數(shù)據(jù)，并去除了節(jié)假日和個(gè)別日期的缺失數(shù)據(jù)，共得到2 691個(gè)匯率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源為Choice金融。

2.2 ?數(shù)據(jù)處理

基于圖1的趨勢分析，可以初步推斷人民幣匯率原始序列存在較大波動(dòng)，圍繞平均值的波動(dòng)情況并不穩(wěn)定，這表明該序列可能是不平穩(wěn)的。

通常，若金融資產(chǎn)價(jià)格的時(shí)間序列不滿足平穩(wěn)性要求，則需要分析其收益率時(shí)間序列。在金融資產(chǎn)研究中，多數(shù)學(xué)者采用對(duì)數(shù)收益率表示價(jià)格收益率[3]。圖2展示了人民幣匯率對(duì)數(shù)收益率時(shí)序圖。

基于圖2的表現(xiàn)，可以看出收益率序列呈現(xiàn)波動(dòng)聚集的趨勢，即一段時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)程度相對(duì)較小，但有時(shí)出現(xiàn)極大波動(dòng)，且大波動(dòng)之后會(huì)跟隨更大的波動(dòng)，小波動(dòng)之后也會(huì)跟隨更小的波動(dòng)。綜上所述，我們初步推斷該序列可能具有異方差性。

2.3 ?描述性統(tǒng)計(jì)

在構(gòu)造GARCH模型時(shí)，默認(rèn)該序列服從正態(tài)分布。然而，金融時(shí)間序列通常呈現(xiàn)出尖峰厚尾的性質(zhì)，正態(tài)分布不能很好地解釋它。因此，需要研究該序列是否服從正態(tài)分布。該文章進(jìn)行了JB正態(tài)性檢驗(yàn)和計(jì)算序列的偏度與峰度，以確定適合描述該序列的分布。檢驗(yàn)結(jié)果如表1和表2所示。

根據(jù)表1的檢驗(yàn)結(jié)果，JB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值遠(yuǎn)小于5%的顯著性水平，拒絕序列服從正態(tài)分布的假定。表2中對(duì)數(shù)收益率的偏度和峰度的值表明，該序列的峰度為6.94，超過了正態(tài)分布的峰度值3，暗示著相對(duì)于正態(tài)分布，該序列存在更多的極端值，同時(shí)偏度為0.11＞0，表明該序列呈現(xiàn)右偏態(tài)，是非對(duì)稱的，具有長尾的特征。鑒于此，文章將采用t分布對(duì)該序列進(jìn)行分析。

2.4 ?構(gòu)建ARMA模型

2.4.1 ?單位根檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，常使用ADF檢驗(yàn)，但基于其方差齊性假設(shè)，不適用于異方差序列。因此，文章采用適用于異方差場合的平穩(wěn)性檢驗(yàn)Phillips-Perron檢驗(yàn)對(duì)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行分析，PP檢驗(yàn)得到的P值為0.000 1，小于5%顯著性水平，說明對(duì)數(shù)收益率序列通過了單位根檢驗(yàn)，可用于ARMA模型構(gòu)建。

2.4.2 ?模型識(shí)別

在序列滿足平穩(wěn)性前提下，需要檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性。文章使用Ljung-Box檢驗(yàn)構(gòu)造LB統(tǒng)計(jì)量來對(duì)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，選取12階滯后階數(shù)，結(jié)果如表3所示。

根據(jù)表3，各階延遲階數(shù)的P值均小于5%的顯著性水平，表明序列不是純隨機(jī)性的，因此可以使用ARMA模型來擬合該序列。對(duì)此，我們初步選擇了AR（1）、AR（7）、MA（1）和ARMA（1，1）四個(gè)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。然后，使用AIC和BIC準(zhǔn)則進(jìn)一步確定模型，結(jié)果表明AR（1）模型的AIC值最小，因此我們選擇AR（1）模型作為最合適的模型。然而，在擬合過程中，我們發(fā)現(xiàn)AR（1）的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)不顯著，因此將其剔除，最終得到的模型表達(dá)式為：

2.4.3 ?模型檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證ARMA模型的殘差是否是白噪聲序列，本文采用Ljung-Box檢驗(yàn)對(duì)殘差序列進(jìn)行了檢驗(yàn)。具體結(jié)果如表4所示。

根據(jù)表4的輸出結(jié)果可知，各級(jí)延遲階數(shù)下的LB統(tǒng)計(jì)量的P值均大于5%的顯著性水平，即無法拒絕殘差序列為白噪聲的原假設(shè)，說明殘差序列通過了白噪聲檢驗(yàn)，ARMA模型均值方程信息提取充分。

2.5 ?建立ARMA-GARCH模型

2.5.1 ?ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

在分析人民幣匯率對(duì)數(shù)收益率時(shí)序圖走勢時(shí)，發(fā)現(xiàn)序列存在波動(dòng)集群效應(yīng)，表明該收益率序列可能具有條件異方差性。為了確定ARCH效應(yīng)是否真實(shí)存在，常用的方法是Portmanteau Q檢驗(yàn)和LM檢驗(yàn)。文章使用R軟件進(jìn)行了這兩種檢驗(yàn)方法，觀察了滯后6與12期的殘差平方序列，檢驗(yàn)結(jié)果如表5所示。

根據(jù)表5的ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)結(jié)果，殘差平方序列的Q檢驗(yàn)和LM檢驗(yàn)P值都顯著小于5%，說明存在長期相關(guān)性。因此，需要使用低階GARCH模型來提取殘差平方序列中的相關(guān)關(guān)系[4，5]。

2.5.2 ?AR-GARCH模型

本文采用低階的GARCH模型對(duì)方差方程進(jìn)行擬合，包括GARCH（1，1）、GARCH（1，2）和GARCH（2，1）。根據(jù)比較不同模型的各種信息準(zhǔn)則的結(jié)果，選擇最適合擬合匯率收益率序列的模型。本文發(fā)現(xiàn)GARCH（1，2）模型的AIC、BIC和HQIC結(jié)果均最小，表明GARCH（1，2）最適合刻畫收益率波動(dòng)率的特征。因此，文章采用AR（1）-GARCH（1，2）模型對(duì)對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行擬合，具體結(jié)果如表6所示。

由表6可知，除了方差方程的常數(shù)項(xiàng)外，其余參數(shù)系數(shù)均顯著。常數(shù)項(xiàng)在條件異方差分析中不是重要的觀測參數(shù)，因此其顯著性不大。因此可以得出結(jié)論，GARCH（1，2）模型能夠很好地?cái)M合數(shù)據(jù)。另外，由以上分析可知，ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)之和小于1，即該GARCH（1，2）過程是平穩(wěn)的。

對(duì)于所估計(jì)出的模型，我們還需要對(duì)其殘差進(jìn)行檢驗(yàn)以診斷模型的優(yōu)劣性，判斷該模型是否能夠充分提取波動(dòng)信息。其檢驗(yàn)結(jié)果如表7所示。

根據(jù)表7的檢驗(yàn)結(jié)果可知，模型對(duì)水平信息以及波動(dòng)信息提取均非常充分。這個(gè)AR-GARCH模型顯著成立，擬合效果理想，該模型的擬合方程為：

2.5.3 ?AR-EGARCH模型

根據(jù)前文分析，判斷人民幣匯率收益率可能存在非對(duì)稱性，為驗(yàn)證收益率的杠桿效應(yīng)，需使用更貼合數(shù)據(jù)的GARCH族模型。文章首先采用EGARCH模型驗(yàn)證，通過比對(duì)不同模型的信息準(zhǔn)則大小選擇最適合擬合匯率收益率序列的模型得知，EGARCH（1，2）最小。因此，文章采用AR（1）-EGARCH（1，2）模型擬合對(duì)數(shù)收益率序列，結(jié)果如表8所示。

由表8可知，除了方差方程的常數(shù)項(xiàng)外的所有參數(shù)系數(shù)的P值均小于5%的顯著性水平，均通過了顯著性檢驗(yàn)。又由于EGARCH模型的非對(duì)稱性由參數(shù)αi刻畫，αi為負(fù)則說明序列過程對(duì)負(fù)沖擊的反應(yīng)更大。而在以上的分析中，模型的系數(shù)α1為負(fù)且顯著，說明對(duì)數(shù)收益率的杠桿效應(yīng)存在，AR（1）-EGARCH（1，2）模型能較好地體現(xiàn)對(duì)數(shù)收益率的杠桿效應(yīng)。

對(duì)AR（1）-EGARCH（1，2）模型擬合后顯示的加權(quán)ARCH LM檢驗(yàn)結(jié)果如表9所示。

根據(jù)表9可知，EGARCH模型擬合后的殘差序列不存在ARCH效應(yīng)。因此，我們最終可以確認(rèn)該模型的擬合方程為：

2.5.4 ?AR-TGARCH模型

在本小節(jié)中文章將繼續(xù)使用TGARCH模型來擬合出序列的杠桿效應(yīng)，以對(duì)比EGARCH模型的效果。同樣地，文章結(jié)合信息準(zhǔn)則原理，選擇合適的TGARCH模型為TGARCH（1，1）。

由表10可知，在10%的顯著性水平下，該模型除了方差方程的常數(shù)項(xiàng)外其他系數(shù)均通過了顯著性檢驗(yàn)。同時(shí)，觀察該擬合結(jié)果表可以發(fā)現(xiàn)，TGARCH模型的系數(shù)γ1＞0且表現(xiàn)顯著，說明對(duì)數(shù)收益率的非對(duì)稱效應(yīng)的存在，表明模型擬合合理。AR（1）-TGARCH（1，1）模型同樣也能較好地體現(xiàn)對(duì)數(shù)收益率的杠桿效應(yīng)。

根據(jù)表11的AR（1）-TGARCH（1，1）ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)檢驗(yàn)可知，TGARCH模型擬合后的殘差序列不存在ARCH效應(yīng)。

我們最終可以確認(rèn)該模型的擬合方程為：

綜上所述，由于AR-TGARCH模型在參數(shù)顯著性上相對(duì)于AR-EGARCH模型表現(xiàn)較差，可得AR-EGARCH模型為最優(yōu)擬合模型，其中，AR（1）-EGARCH（1，2）模型具有較好的解釋力。

2.6 ?模型的擬合預(yù)測

為了檢驗(yàn)AR-EGARCH模型有效性，本文采用回測方法：選定樣本時(shí)期，使用模型預(yù)測該時(shí)間段內(nèi)的VaR值，并比對(duì)真實(shí)收益率與VaR值來檢驗(yàn)。如果有效，則落在VaR之外的樣本量應(yīng)與置信水平一致；無效則樣本量過大，說明模型低估風(fēng)險(xiǎn)。

觀察圖3，圓圈圈出的地方為落在VaR曲線的樣本點(diǎn)位置，它們大多分布在發(fā)生較大波動(dòng)之前，說明該模型能在收益率發(fā)生大幅度波動(dòng)之前發(fā)出相應(yīng)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)波動(dòng)發(fā)生的預(yù)警。由此可知，該模型的預(yù)測效果較好，具有一定的參考價(jià)值。

3 ?結(jié) ?論

根據(jù)文章的實(shí)證分析，得出以下結(jié)論：首先，人民幣匯率的對(duì)數(shù)收益率序列是平穩(wěn)時(shí)間序列，呈現(xiàn)出明顯的尖端厚尾特征，可使用t分布作為其密度分布；其次，人民幣匯率的對(duì)數(shù)收益率并非純隨機(jī)過程，序列之間存在一定的相關(guān)性，可使用AR（1）模型消除其線性依賴；第三，經(jīng)過ARMA模型提取了均值的序列顯示出明顯的條件異方差性，使用EGARCH（1，2）模型可較好地提取波動(dòng)率信息。EGARCH模型方程中的杠桿效應(yīng)系數(shù)小于0，說明匯率波動(dòng)存在杠桿效應(yīng)，且負(fù)面沖擊比正面沖擊對(duì)匯率的影響更大。第四，使用AR-EGARCH模型進(jìn)行歷史回測發(fā)現(xiàn)，在大幅度波動(dòng)發(fā)生之前會(huì)有預(yù)警信號(hào)出現(xiàn)，波動(dòng)并非突然發(fā)生。

基于以上研究，提出以下建議：首先，政府部門應(yīng)積極適度地干預(yù)匯率變動(dòng)，維護(hù)外匯市場交易秩序的穩(wěn)定和匯率的平穩(wěn)；其次，應(yīng)權(quán)衡人民幣國際化與匯率穩(wěn)定的關(guān)系，在人民幣國際化的進(jìn)程中擴(kuò)大外匯市場對(duì)內(nèi)對(duì)外開放，鼓勵(lì)“走出去”“迎進(jìn)來”戰(zhàn)略，降低人民幣升值的預(yù)期，緩和杠桿效應(yīng)中的負(fù)面沖擊。當(dāng)匯率波動(dòng)增大時(shí)，應(yīng)適當(dāng)放緩人民幣國際化的步伐，維護(hù)匯率穩(wěn)定。

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作者簡介：蔡斌堅(jiān)（2001—），男，漢族，廣東潮州

人，本科在讀，研究方向：時(shí)間序列分析。