江旭東, 武子旺, 滕曉艷

(1. 哈爾濱理工大學(xué) 機(jī)械動(dòng)力工程學(xué)院,哈爾濱 150080;2. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

面向金屬增材制造的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)極大地豐富了工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)空間,兼顧了復(fù)雜結(jié)構(gòu)和高性能構(gòu)件成形需求,在航空、航天、交通、核電等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景和發(fā)展空間[1-2]。目前,多數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化研究工作專(zhuān)注于體積約束下的結(jié)構(gòu)剛度最大化問(wèn)題,而工程結(jié)構(gòu)往往服役于交變載荷作用的工作環(huán)境,剛度最優(yōu)的設(shè)計(jì)一般不能完全滿足抗疲勞要求,從而嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)在全壽命周期內(nèi)運(yùn)行的可靠性。為此,在結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)中考慮疲勞性能約束,對(duì)豐富工程結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)理論、提高服役性能有著重要的科學(xué)價(jià)值和工程意義。

為了抑制應(yīng)力集中和高應(yīng)力值引起的結(jié)構(gòu)斷裂,應(yīng)力約束下的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題引起了高度的關(guān)注。應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的難點(diǎn)在于大量局部約束增加了敏度分析的計(jì)算代價(jià)。為了減少應(yīng)力約束數(shù)量,一般采用P范數(shù)[3-5]和K-S函數(shù)[6]等凝聚方法將局部應(yīng)力約束轉(zhuǎn)化為一個(gè)全局約束。為了保持應(yīng)力約束的局部性本質(zhì),代替上述函數(shù)凝聚技術(shù),Silva等[7-9]利用增廣拉格朗日方法,將多約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束子問(wèn)題,求解了局部應(yīng)力約束的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。最近,Oliver等[10]將非結(jié)構(gòu)化多邊形網(wǎng)格技術(shù)[11]與增廣拉格朗日方法相融合,提出了適用于復(fù)雜邊界工程結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。與應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題不同,疲勞失效與加載歷史具有強(qiáng)相關(guān)性,局部特征更為顯著,導(dǎo)致疲勞約束拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題呈現(xiàn)高度非線性,因而相關(guān)研究工作相對(duì)較少。研究學(xué)者利用Palmgren-Miner[12-14]、修正的Goodman[15-16]、Sines[17]及考慮初始缺陷的Murakami[18]等疲勞失效準(zhǔn)則,結(jié)合準(zhǔn)靜態(tài)分析法[19-20]、頻域[21-23]或時(shí)域等效靜載荷等動(dòng)態(tài)分析法[24-25]預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)疲勞損傷,通過(guò)P范數(shù)方法凝聚疲勞約束,初步提出了考慮疲勞性能的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。盡管P范數(shù)方法能夠大幅減少疲勞約束及其敏度分析的計(jì)算成本,但是其近似屬性并不能精確地控制疲勞約束。

由此,本文基于增廣拉格朗日方法提出局部疲勞約束問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化框架。考慮變幅比例載荷作用,通過(guò)Palmgren-Miner疲勞準(zhǔn)則評(píng)定結(jié)構(gòu)的疲勞損傷,以材料用量為目標(biāo)函數(shù),以疲勞性能為約束條件,提出基于局部疲勞約束的結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)方法。此外,將非結(jié)構(gòu)化多邊形網(wǎng)格技術(shù)融入到拓?fù)鋬?yōu)化模型,實(shí)現(xiàn)復(fù)雜幾何邊界結(jié)構(gòu)的抗疲勞拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)比現(xiàn)有P范數(shù)方法的優(yōu)化結(jié)果,驗(yàn)證提出的非凝聚方法處理疲勞約束拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的有效性。

1 優(yōu)化模型

在本文提出的拓?fù)鋬?yōu)化框架內(nèi),以結(jié)構(gòu)輕量化為目標(biāo),分別求解非凝聚的局部疲勞約束問(wèn)題(Q1)和P范數(shù)凝聚的全局疲勞約束問(wèn)題(Q2),對(duì)比分析兩個(gè)問(wèn)題的優(yōu)化解,驗(yàn)證提出方法的有效性。

(1)

1.1 疲勞失效分析

為了估計(jì)變幅比例載荷作用下結(jié)構(gòu)的高周疲勞損傷,本文通過(guò)雨流計(jì)數(shù)法確定多軸應(yīng)力狀態(tài)下的平均應(yīng)力和應(yīng)力幅,采用Sines準(zhǔn)則評(píng)估疲勞等效應(yīng)力,最后基于Palmgren-Miner線性累積損傷模型評(píng)估結(jié)構(gòu)的疲勞失效。工程結(jié)構(gòu)高周疲勞一般表現(xiàn)為低應(yīng)力失效,因而可采用線性準(zhǔn)靜態(tài)分析法,通過(guò)線性疊加參考載荷下的結(jié)構(gòu)響應(yīng),獲得變幅載荷作用下的結(jié)構(gòu)疲勞響應(yīng)。

基于修正的固體各向同性材料懲罰模型(solid isotropic material with penalization,SIMP),材料插值函數(shù)mE[y(z)]表示為[26]

mE[y(z)]=ε+(1-ε)mV[y(z)]p

(2)

(3)

式中:Ersatz數(shù)ε?1;p為懲罰因子;mV[y(z)]為Heaviside投影體積插值函數(shù);α為門(mén)檻密度;η為投影控制參數(shù)。

為了加強(qiáng)優(yōu)化問(wèn)題的適定性,在規(guī)范化映射下將設(shè)計(jì)變量函數(shù)與線性“帽子”核函數(shù)卷積[27],使單元密度變量與設(shè)計(jì)變量具有如下關(guān)系

y=Pz

(4)

(5)

(6)

式中:P為過(guò)濾矩陣;R為過(guò)濾半徑; ‖x-xk‖2為單元與k形心位置矢量x,xk的歐式距離;q為濾波指數(shù)。

為了能夠求解具有復(fù)雜設(shè)計(jì)域結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題,利用非結(jié)構(gòu)化多邊形網(wǎng)格技術(shù)離散空間設(shè)計(jì)域,如圖1所示,對(duì)于n邊形參考單元,其節(jié)點(diǎn)i處的Wachspress形函數(shù)定義為

圖1 多邊形單元Fig.1 Polygon element definition

(7)

(8)

式中:αi(ξ)為插值函數(shù);ξ=[ξ1ξ2]為n邊形單元的內(nèi)點(diǎn);Ai(ξ),Ai+1(ξ)為相應(yīng)陰影三角形的面積(如圖1(a)所示),可根據(jù)式(9)計(jì)算獲得

(9)

式中,pi-1=[p1,i-1p2,i-1]和pi=[p1,ip2,i]為n邊形單元的相鄰節(jié)點(diǎn)位置矢量。

考慮如圖2所示的變幅載荷作用,采用準(zhǔn)靜態(tài)分析法求解結(jié)構(gòu)在參考載荷下的疲勞響應(yīng),則有

圖2 雨流計(jì)數(shù)法Fig.2 Rainflow-counting method

K[y(z)]u=Fr

(10)

(11)

式中:K[y(z)]為結(jié)構(gòu)插值總體剛度矩陣;Ke0為密度變量為1時(shí)的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

為了避免優(yōu)化問(wèn)題的奇異解現(xiàn)象,采用修正的qp松弛技術(shù)處理單元應(yīng)力。對(duì)于無(wú)預(yù)應(yīng)力的線彈性結(jié)構(gòu),參考載荷作用下的單元參考應(yīng)力表示為

(12)

為了預(yù)測(cè)工程結(jié)構(gòu)在變幅載荷下的疲勞損傷,往往通過(guò)雨流計(jì)數(shù)法從應(yīng)力譜中提取峰值與谷值(見(jiàn)圖2),確定不同循環(huán)特征的應(yīng)力循環(huán),由此獲得應(yīng)力幅縮放因子與平均應(yīng)力縮放因子,根據(jù)式(13)估算任一應(yīng)力循環(huán)的應(yīng)力狀態(tài)。

(13)

式中:σea,i,σem,i分別為單元e在第i個(gè)循環(huán)的應(yīng)力幅和平均應(yīng)力列陣;cai,cmi分別為第i個(gè)循環(huán)的應(yīng)力幅和平均應(yīng)力縮放因子。

根據(jù)Sines有限壽命疲勞準(zhǔn)則,平面應(yīng)力狀態(tài)下有限壽命的等效單軸應(yīng)力可由交變的八面體剪切應(yīng)力和靜水平均應(yīng)力依據(jù)式(14)獲得[28]

(14)

Basquin方程描述了單軸等效應(yīng)力與疲勞壽命的關(guān)系,表示為

(15)

式中:σf為疲勞強(qiáng)度系數(shù);Nei為應(yīng)力循環(huán)i下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命;b為疲勞強(qiáng)度指數(shù)。

由此,根據(jù)式(14)、式(15),采用Palmgren-Miner線性累積損傷模型可以評(píng)定整個(gè)載荷譜作用下的任一單元的疲勞損傷,工程結(jié)構(gòu)須滿足如下疲勞約束,方能避免疲勞斷裂發(fā)生。

(16)

式中:De為單元e的累計(jì)損傷;cD為縮放參數(shù)(一般大于1);ni為載荷循環(huán)i的循環(huán)次數(shù);nRF為不同應(yīng)力循環(huán)特征的組合總數(shù)。

1.2 疲勞約束

對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題Q2, P范數(shù)疲勞約束可表示為

(17)

式中,P為P范數(shù)因子。

高的P范數(shù)因子有利于估計(jì)函數(shù)的最大值,但是,也會(huì)增加優(yōu)化問(wèn)題的非線性,不利于問(wèn)題求解和造成收斂困難。為了使P范數(shù)損傷靠近實(shí)際損傷的最大值,一般采用自適應(yīng)約束縮放技術(shù)[29]修正P范數(shù)損傷。

(18)

如圖3所示,多項(xiàng)式約束函數(shù)式(18)在約束違背域的懲罰幅度遠(yuǎn)大于線性約束函數(shù),而在Λj≈0處類(lèi)似于傳統(tǒng)線性約束。盡管式(18)的立方項(xiàng)增加了疲勞約束的非線性,但是,數(shù)值試驗(yàn)表明:相對(duì)于線性約束函數(shù),對(duì)疲勞約束違背域施加非線性懲罰能夠驅(qū)動(dòng)優(yōu)化解更加快速地向低損傷方向迭代。

圖3 傳統(tǒng)線性約束與三次方約束的比較Fig.3 Comparison between traditional linear and cubic constraints

1.3 敏度分析

依據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,優(yōu)化問(wèn)題Q1的目標(biāo)函數(shù)對(duì)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度為

(19)

根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題式(1),目標(biāo)函數(shù)對(duì)于材料插值函數(shù)和體積插值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為

(20)

給定材料剛度參數(shù)E=mE(y)和體積分?jǐn)?shù)V=mV(y),它們對(duì)于設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù)為

(21)

多項(xiàng)式疲勞性能約束對(duì)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度表示為

(22)

由式(18),多項(xiàng)式疲勞性能約束對(duì)于材料插值函數(shù)和體積插值函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為

(23)

(24)

(25)

根據(jù)Palmgren-Miner線性累積損傷模型式(16)和式(15),損傷變量與疲勞壽命的偏導(dǎo)數(shù)分別為

(26)

將式(12)代入式(13),可獲得應(yīng)力幅列陣和平均應(yīng)力列陣的偏導(dǎo)數(shù),表示為

(27)

(28)

(29)

2 增廣拉格朗日方法

圖4 增廣拉格朗日優(yōu)化框架流程圖Fig.4 Schematic flowchart of the AL-based topology optimization framework

當(dāng)單元的數(shù)量足夠大時(shí),懲罰項(xiàng)P(k)(z,u)可能遠(yuǎn)大于目標(biāo)函數(shù)f(z),從而引起算法失效。由此,引入歸一化的懲罰項(xiàng)[31]避免優(yōu)化問(wèn)題的奇異性,則歸一化的拉格朗日子問(wèn)題表示為

(30)

(31)

(32)

μ(k+1)=min[αμ(k),μmax]

(33)

式中:α>1為懲罰因子更新參數(shù),上確界μmax用于抑制算法的數(shù)值失穩(wěn)問(wèn)題。拉格朗日乘子按照式(34)更新

(34)

基于梯度的全局收斂移動(dòng)漸近線算法[32](globally convergent method of moving asymptotes, GCMMA)具有較好的穩(wěn)定性和魯棒性,本文采用GCMMA求解上述疲勞約束拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。按照鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,歸一化的拉格朗日目標(biāo)函數(shù)的靈敏度為

(35)

由式(31),P(k)與體積分?jǐn)?shù)V不直接相關(guān),而通過(guò)局部疲勞性能約束與剛度參數(shù)E相關(guān),它對(duì)于上述參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為

(36)

(37)

對(duì)于變幅載荷作用的多工況問(wèn)題,伴隨方法可有效求解優(yōu)化問(wèn)題式(30)的靈敏度。將參考載荷(分解為應(yīng)力幅載荷與平均應(yīng)力載荷)作用下的平衡方程以殘差形式引入到式(37)中,形成增廣形式的懲罰項(xiàng)敏度分析方程,則有

(38)

Rai=Kuai-Fr,ai=0,Rmi=Kumi-Fr,mi=0

(39)

式中:Rai,Rmi分別為應(yīng)力幅和平均應(yīng)力平衡方程的殘差表達(dá)式;ξai,ξmi為相應(yīng)的伴隨矢量。

將式(39)對(duì)材料剛度參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),則有

(40)

觀察式(38),隨著應(yīng)力循環(huán)數(shù)的增加,伴隨矢量的計(jì)算將消耗大量的時(shí)間。因而,通過(guò)式(41) 縮放參考載荷作用下的位移,表示任意循環(huán)載荷作用下的幅值位移與平均位移,可以有效縮減伴隨矢量的解算規(guī)模。

uai=caiu,umi=cmiu

(41)

由此,式(38)的伴隨項(xiàng)表示為

(42)

另外,為了避免直接求解?u/?E,通過(guò)合理選擇伴隨矢量滿足式(43),使其在式(42)中消失,則有

(43)

由此,確定所有縮放的伴隨矢量后,結(jié)合式(44)則可獲得懲罰項(xiàng)對(duì)于剛度參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

(44)

(45)

(46)

最后,由式(12)和式(13),?σea,i/?u和?σem,i/?u可顯式獲得,表示為

(47)

綜上,編制有限壽命疲勞分析的多邊形有限元計(jì)算程序、敏度分析程序、設(shè)計(jì)變量濾波程序與GCMMA求解器,實(shí)現(xiàn)局部有限壽命約束條件下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

3 結(jié)果與討論

3.1 L型板

如圖5所示,L型支架的尺寸參數(shù)L=1 m,彈性模量E0=70 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。L型支架上端施加固定約束,右側(cè)角點(diǎn)施加橫向變幅載荷F(見(jiàn)圖2),其參考載荷Fr=20 kN。過(guò)濾半徑R=0.065,懲罰因子p=3,門(mén)檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=2～10(增量為0.7,更新頻率為5)。

圖5 L型支架設(shè)計(jì)域與邊界條件Fig.5 Design domain and boundary conditions for a L-bracket

設(shè)計(jì)域離散為N=50 176個(gè)單元,橫向載荷施加于垂向棱邊的8個(gè)單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計(jì)域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=750。圖6為L(zhǎng)型支架采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=8)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對(duì)比兩種方法的分析結(jié)果,盡管設(shè)計(jì)構(gòu)型存在一定的相似性,但是,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)湓谳d荷施加區(qū)域附近具有更加合理的結(jié)構(gòu)形式,結(jié)構(gòu)拓?fù)浣咏诘葟?qiáng)度設(shè)計(jì),因而材料的抗疲勞性能得到充分利用。另外,從材料用量來(lái)看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.305,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.252,后者質(zhì)量減輕17.4%,驗(yàn)證了所提方法的有效性。

圖6 L型支架的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.6 Optimal topology and damage distribution for a L-bracket

3.2 天線支架

如圖7所示,天線支架的尺寸參數(shù)L=4 m,H=6 m,彈性模量E0=120 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。天線支架左端施加固定約束,右側(cè)角點(diǎn)施加橫向變幅載荷F(見(jiàn)圖2),其參考載荷Fr=400 kN。過(guò)濾半徑R=0.06,懲罰因子p=3,門(mén)檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=2～10(增量為1.0,更新頻率為5)。

圖7 天線支架設(shè)計(jì)域與邊界條件Fig.7 Design domain and boundary conditions for an antenna bracket

設(shè)計(jì)域離散為N=50 000個(gè)單元,橫向載荷施加于斜向棱邊的8個(gè)單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計(jì)域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=30 000。圖8為天線支架采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=10)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對(duì)比兩種方法的分析結(jié)果,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)涓淖兞藘?nèi)部加強(qiáng)筋的布局,使得在P范數(shù)約束優(yōu)化拓?fù)渲懈邠p傷區(qū)域處的疲勞損傷有所下降,導(dǎo)致更少的單元承受疲勞失效,因而具有更優(yōu)的抗疲勞性能。另外,從材料用量來(lái)看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.382,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.256,后者質(zhì)量減輕33.0%,有利于工程結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)。

圖8 天線支架的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.8 Optimal topology and damage distribution for an antenna bracket

3.3 門(mén)式鋼架

如圖9所示,門(mén)式鋼架的尺寸參數(shù)L=1.6 m,H=0.8 m,l=0.15 m,彈性模量E0=100 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。門(mén)式鋼架底端施加固定約束,上表面中心處施加橫向變幅載荷F(見(jiàn)圖2),其參考載荷Fr=70 kN。過(guò)濾半徑R=0.035,懲罰因子p=4.5,門(mén)檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=1～10(增量為3,更新頻率為5)。

圖9 門(mén)式鋼架設(shè)計(jì)域與邊界條件Fig.9 Design domain and boundary conditions for a portal frame

設(shè)計(jì)域離散為N=50 000個(gè)單元,橫向載荷施加于上表面棱線中間的12個(gè)單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計(jì)域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=10 000。圖10為門(mén)式鋼架采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=10)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對(duì)比兩種方法的分析結(jié)果,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)鋬?yōu)化了載荷施加區(qū)域附近的傳遞路徑,祛除了對(duì)于削弱疲勞損傷作用較小的冗余結(jié)構(gòu),最優(yōu)拓?fù)鋱D像結(jié)構(gòu)清晰,傳力路徑明確,具有更優(yōu)的抗疲勞性能。另外,從材料用量來(lái)看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.286,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.226,后者質(zhì)量減輕21.0%,驗(yàn)證了所提方法的有效性。

圖10 門(mén)式鋼架的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.10 Optimal topology and damage distribution for a portal frame

3.4 圓孔矩形板

如圖11所示,圓孔矩形板的尺寸參數(shù)L=1.2 m,H=0.4 m,D=0.24 m,彈性模量E0=100 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086?？拙匦伟宓淖蠖耸┘庸潭s束,右端中心處施加橫向變幅載荷F(見(jiàn)圖2),其參考載荷Fr=15 kN。過(guò)濾半徑R=0.05,懲罰因子p=4.5,門(mén)檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=2～10(增量為0.7,更新頻率為5)。

圖11 圓孔矩形板設(shè)計(jì)域與邊界條件Fig.11 Design domain and boundary conditions for a rectangular plate with circular holes

設(shè)計(jì)域離散為N=30 000個(gè)單元,橫向載荷施加于右端垂向棱邊的6個(gè)單元上,避免在加載區(qū)域的應(yīng)力集中。上述單元不包含在設(shè)計(jì)域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=10 000。圖12為圓孔矩形板采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=8)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對(duì)比兩種方法的分析結(jié)果,盡管設(shè)計(jì)構(gòu)型存在一定的相似性,但是,局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)湓趥髁β窂缴嫌行p少了冗余材料,使其與P范數(shù)凝聚的優(yōu)化拓?fù)渚哂邢嘟钠趽p傷,因而具有更優(yōu)的材料分布。另外,從材料用量來(lái)看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.416,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.386,后者質(zhì)量減輕7.2%。與實(shí)體域結(jié)構(gòu)相比,由于結(jié)構(gòu)中增加的圓孔削弱了抗疲勞能力,導(dǎo)致可減少的材料用量受到限制。

圖12 圓孔矩形板的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.12 Optimal topology and damage distribution for a rectangular plate with circular holes

3.5 圓孔曲線板

如圖13所示,圓孔曲線輪廓板的尺寸參數(shù)L=2.8 m,D1=0.35 m,D2=0.6 m,R1=0.3 m,R2=0.5 m,彈性模量E0=100 GPa,泊松比μ=0.3,疲勞強(qiáng)度系數(shù)σf=1 350 MPa,疲勞強(qiáng)度指數(shù)b=-0.086。圓孔曲線輪廓板右端施加固定約束,左端圓孔施加均布橫向變幅載荷F(見(jiàn)圖2),其參考載荷Fr=10 kN。過(guò)濾半徑R=0.03,懲罰因子p=3,門(mén)檻密度α=0.5,投影控制參數(shù)η=1～10(增量為3,更新頻率為5)。

設(shè)計(jì)域離散為N=30 000個(gè)單元,橫向均布載荷施加于左側(cè)圓孔下方所有單元上。上述單元不包含在設(shè)計(jì)域中,它們的密度變量設(shè)置為1。施加隨機(jī)載荷Pk=rand(Fr,-Fr),其中k=1 000,載荷譜縮放參數(shù)cD=11 000。圖14為圓孔曲線輪廓板采用P范數(shù)凝聚方法(P范數(shù)因子P=10)和非凝聚方法獲得的優(yōu)化拓?fù)浼皳p傷分布。對(duì)比兩種方法的分析結(jié)果,考慮局部約束作用的優(yōu)化拓?fù)湓趦蓤A孔間增加了多條加強(qiáng)筋,有效地阻礙了疲勞損傷的傳遞,使得P范數(shù)凝聚方法的高損傷區(qū)域轉(zhuǎn)變?yōu)橹卸葥p傷區(qū)域,提高了結(jié)構(gòu)的抗疲勞性能。另外,從材料用量來(lái)看,P范數(shù)凝聚方法的目標(biāo)值為0.258,非凝聚化方法的目標(biāo)值為0.228,后者質(zhì)量減輕11.6%,驗(yàn)證了所提方法的優(yōu)越性。

圖14 圓孔曲線輪廓板的優(yōu)化拓?fù)渑c損傷分布Fig.14 Optimal topology and damage distribution for a curved plate with circular holes

4 結(jié) 論

(1) 針對(duì)變幅載荷作用下的高周疲勞結(jié)構(gòu)的輕量化問(wèn)題,利用Palmgren-Miner損傷準(zhǔn)則在有限單元上逐一構(gòu)建多項(xiàng)式局部疲勞性能約束,避免任意材料評(píng)估點(diǎn)處的疲勞失效;同時(shí),基于增廣拉格朗日方法將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化子問(wèn)題,有效地解決了拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中的大量局部約束所帶來(lái)的挑戰(zhàn)。

(2) 與疲勞約束凝聚化的優(yōu)化結(jié)果相比,局部疲勞約束條件所獲得的設(shè)計(jì)構(gòu)型與其具有很大的差異,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的疲勞損傷和材料用量都顯著減小,因而考慮局部疲勞約束有益于材料的充分利用和結(jié)構(gòu)抗疲勞性能的改善。

(3) 與現(xiàn)有的基于單元的疲勞問(wèn)題拓?fù)鋬?yōu)化方法相比,本文采用非結(jié)構(gòu)化的多邊形有限元法完成連續(xù)體結(jié)構(gòu)的疲勞分析與損傷評(píng)估,能夠?qū)崿F(xiàn)具有任意曲線邊界設(shè)計(jì)域結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

綜上,所提方法為實(shí)現(xiàn)考慮疲勞性能約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)提供了一種新的思路。未來(lái)工作將以本文為基礎(chǔ),考慮慣性和阻尼效應(yīng)的影響,研究動(dòng)態(tài)載荷作用下結(jié)構(gòu)疲勞約束問(wèn)題的設(shè)計(jì)優(yōu)化。