劉 穎，王 威，夏艷波，周凌峰

(湖南交通工程學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

輸流管道在航空、水利、核能、石油和海洋等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,這使得與之相關(guān)的流固耦合振動(dòng)問題在近一個(gè)世紀(jì)以來受到了廣泛的關(guān)注和研究[1-7],但學(xué)者們的工作內(nèi)容大部分是圍繞單跨輸流管道,對多跨輸流管道的研究很少。李寶輝等[8]以Timoshenko梁為模型,從波動(dòng)的角度出發(fā),運(yùn)用波動(dòng)法對管道進(jìn)行了研究,借助流固耦合方程得到了波在固支、簡支和自由三種端部條件下的反射矩陣以及波在中間彈性支撐處的散射矩陣,然后以一段4 m長的簡支管道為實(shí)例驗(yàn)證了波動(dòng)法的正確性,最后結(jié)合上述散射矩陣,得到了分析多跨管道流固耦合振動(dòng)的頻率特征方程。陰豪等[9]考慮了軸向力、液體壓力、泊松比對充液直管的影響,通過分析其模態(tài)函數(shù)的特征方程得到低頻情況下的點(diǎn)矩陣,然后以五跨充液直管為實(shí)例,驗(yàn)證了傳遞矩陣法以及計(jì)算方法的正確性,最后分析了閥門對單跨和多跨模態(tài)頻率的影響。

本文采用Bernoulli-Euler梁模型,運(yùn)用Laplace變換對多跨輸流管道的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解,提出求解多跨輸流管道固有特性的Green函數(shù)法,可為分析多跨輸流管道提供一種新的計(jì)算方法。

1 運(yùn)動(dòng)微分方程

如圖1所示,鉸支支撐的多跨輸流管道內(nèi)流體以恒定流速流動(dòng)。

管道采用Bernoulli-Euler梁模型,考慮了材料的粘彈性。位置x處、t時(shí)刻的撓度為w(x,t),其運(yùn)動(dòng)微分方程見式(1):

(1)

其中,EI為管道抗彎剛度;E*為粘彈性系數(shù);w為管道橫向位移;L為管道長度;M為單位長度管道內(nèi)流體的質(zhì)量;m為管道單位長度質(zhì)量;U為管內(nèi)流體流速;Fj為中間第j個(gè)支座的支座反力,視為荷載處理,自由振動(dòng)時(shí)為簡諧力,其頻率為系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率Ω。

引入以下無量綱量(見式(2)):

(2)

將式(1)無量綱化為式(3):

(3)

2 運(yùn)動(dòng)微分方程的求解

假設(shè)方程(3)的解為以下形式(見式(4)):

W(ξ,τ)=Re{η(ξ,τ)}

(4)

其中,η(ξ,τ)的計(jì)算公式見式(5):

η(ξ,τ)=X(ξ)eiωτ

(5)

將式(5)代入式(3)得式(6):

(6)

對式(6)進(jìn)行Laplace變換得式(7):

(7)

解得式(8):

(8)

其中,a1的計(jì)算公式見式(9):

(9)

(10)

通過Laplace逆變換可得到式(11)—式(15):

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中,A1(ξ)～A4(ξ)的計(jì)算公式見式(16):

(16)

式(15)中ε(ξ-j)為單位階躍函數(shù)。

運(yùn)用式(11)—式(15)對式(8)進(jìn)行Laplace逆變換可以得到X(ξ)的Green函數(shù)形式解(見式(17)):

(17)

其中,φ1(ξ),φ2(ξ),φ3(ξ),φj(ξ)的計(jì)算公式見式(18):

(18)

為了得到管道的振型函數(shù)和頻率方程,對式(17)求導(dǎo),得式(19):

(19)

從式(17),式(19)我們可以得到左端(ξ=0處)和右端ξ處的條件關(guān)系式,見式(20):

(20)

3 振型函數(shù)和頻率方程

下文以兩跨簡支輸流管道為基礎(chǔ),計(jì)算兩跨簡支輸流管道的振型和頻率方程。

當(dāng)n=2時(shí),如圖1所示多跨簡支支撐輸流管道的邊界條件見式(21):

(21)

將式(21)代入式(20)整理得式(22):

(22)

解得式(23):

(23)

將式(23)代入式(17)得兩跨簡支支撐輸流管道系統(tǒng)振型函數(shù)的Green函數(shù)解見式(24):

(24)

記式(22)的系數(shù)矩陣為A,則輸流管道系統(tǒng)頻率方程的Green函數(shù)解可通過式(25)獲得:

|A|=0

(25)

4 計(jì)算結(jié)果

4.1 計(jì)算方法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證此方法的正確性,設(shè)n=2,并令粘彈性系數(shù)為零,可以得到流速等于零時(shí)一階和二階的固有頻率,經(jīng)計(jì)算并與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果進(jìn)行換算對比,二者實(shí)質(zhì)上相同。

4.2 計(jì)算結(jié)果及分析

圖2給出了α=0時(shí)兩跨簡支輸流管道的無量綱復(fù)頻率實(shí)部、虛部隨無量綱流速的變化曲線?？梢钥闯?系統(tǒng)一階和二階、三階和四階的變化規(guī)律相似,一階、三階、五階與圖3所示單跨簡支輸流管道的一階、二階、三階相同,二階、四階與固-簡輸流管道(未單獨(dú)圖示)的一階二階相同。一階至五階模態(tài)的初次失穩(wěn)方式均為發(fā)散失穩(wěn)。隨著流速繼續(xù)增加,一階和二階虛部會(huì)無限接近三階和四級虛部,然后開始分離(未相交),且一階和二階會(huì)由發(fā)散失穩(wěn)變?yōu)轭澱袷Х€(wěn)。

圖4給出了α=0.01時(shí)單跨簡支輸流管道的無量綱復(fù)頻率實(shí)部、虛部隨無量綱流速的變化曲線。可以看出:當(dāng)無量綱流速為零時(shí),系統(tǒng)無量綱復(fù)頻率的虛部不為零,階數(shù)越高其虛部也越大;粘彈性會(huì)使系統(tǒng)二階、三階的發(fā)散失穩(wěn)臨界流速增大。實(shí)部為零時(shí),系統(tǒng)不會(huì)立刻發(fā)散失穩(wěn),且階數(shù)越高,虛部分岔所對應(yīng)的流速與發(fā)散失穩(wěn)所對應(yīng)流速的間距也越大。隨著流速的增加,一階虛部分岔后會(huì)再次匯合。

對比圖3,圖4發(fā)現(xiàn):粘彈性會(huì)提高單跨簡支輸流管道系統(tǒng)的二、三階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速和一階顫振失穩(wěn)臨界流速(α=0時(shí),一、二、三階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速分別為3.14,6.28,9.42;一階顫振失穩(wěn)臨界流速為6.31。α=0.01時(shí),一、二、三階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速分別為3.14,9.41,15.71;一階顫振失穩(wěn)臨界流速為6.62)。

圖5給出了α=0.01時(shí)兩跨簡支輸流管道的無量綱復(fù)頻率實(shí)部、虛部隨無量綱流速的變化曲線。可以看出:系統(tǒng)一階和二階、三階和四階的變化規(guī)律相似,一階、三階、五階與圖4的單跨簡支輸流管道的一階、二階、三階相同。

對比圖2,圖5發(fā)現(xiàn):粘彈性會(huì)提高兩跨簡支輸流管道系統(tǒng)的三、四階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速和一、二階顫振失穩(wěn)臨界流速(α=0時(shí),一、二、三、四階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速分別為3.14,4.5,6.28,7.73;一、二階顫振失穩(wěn)臨界流速為6.31,7.76。α=0.01時(shí),一、二、三、四階發(fā)散失穩(wěn)臨界流速分別為3.14,4.5,9.41,10.91;一階、二階顫振失穩(wěn)臨界流速為6.61,8.23)。

5 結(jié)論

本文運(yùn)用Laplace變換對多跨簡支輸流管道的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解,建立了對多跨簡支輸流管道固有特性分析的Green函數(shù)法。本文分析了單跨和兩跨簡支輸流管道無量綱復(fù)頻率隨無量綱流速的變化規(guī)律、粘彈性對無量綱流速為零時(shí)兩跨簡支無量綱復(fù)頻率實(shí)部的影響,得到以下結(jié)論:1)兩跨和單跨輸流管道的固有特性有一定關(guān)聯(lián),兩簡支會(huì)同時(shí)含有單跨簡支和固支-簡支輸流管道的固有特性:兩跨簡支的2n-1階與單跨簡支的n階固有頻率相同,兩跨簡支的2n階與單跨固支-簡支的n階固有頻率相同。兩跨2n-1階和2n階無量綱復(fù)頻率的變化規(guī)律相似。2)粘彈性會(huì)提高系統(tǒng)的顫振失穩(wěn)臨界流速,以及高階(階數(shù)大于跨數(shù))的發(fā)散失穩(wěn)臨界流速。3)兩跨簡支輸流管道復(fù)頻率實(shí)部高階相比于低階對粘彈性系數(shù)更為敏感。階數(shù)越高,減小至零所對應(yīng)的粘彈性系數(shù)也越小,當(dāng)粘彈性系數(shù)超過一定值時(shí),系統(tǒng)將完全處于穩(wěn)定狀態(tài)。