武世伏,張 乾,張晉超,趙 強(qiáng),*

(1.哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,黑龍江 哈爾濱 150001;2.浙江大學(xué) 物理學(xué)系 浙江近代物理中心 先進(jìn)核能理論與應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室,浙江 杭州 310058)

核電仿真機(jī)在核電人員培養(yǎng)和安全運(yùn)行中起著無法替代的作用,堆芯物理的研究是仿真機(jī)的核心研究?jī)?nèi)容之一[1]。由于計(jì)算效率的限制,目前仿真機(jī)中應(yīng)用的堆芯物理計(jì)算方法仍以確定論兩步法為主。在當(dāng)前的確定論方法中,多群方法是對(duì)能量進(jìn)行離散處理的主要方法,其精度直接影響到反應(yīng)堆物理的求解精度[2]。在理論上,能群劃分得越細(xì),多群方法計(jì)算的結(jié)果越精確。但在實(shí)際的確定論方法中,由于實(shí)際計(jì)算資源的限制,能群不能無限細(xì)化。一般是對(duì)能群進(jìn)行多次歸并來降低能量離散對(duì)于計(jì)算資源的需求,但每次能群的歸并都會(huì)引入一定的近似誤差[3]。同時(shí),在傳統(tǒng)兩步法的組件計(jì)算至堆芯計(jì)算的能群歸并中,組件計(jì)算一般為全反射邊界,這種歸并方法難以描述新型堆芯設(shè)計(jì)中的復(fù)雜組件間干涉效應(yīng)[4]。

取消能群歸并的全堆芯一步法或采用連續(xù)能量的蒙特卡羅方法,是提高反應(yīng)堆物理計(jì)算保真度的有效手段,但由于計(jì)算資源的限制,全堆芯一步法和連續(xù)能量的蒙特卡羅方法距離工程實(shí)際應(yīng)用仍有一定的距離[4]。因此,在保證計(jì)算效率的情況下優(yōu)化當(dāng)前計(jì)算框架、提高計(jì)算精度是提升堆芯計(jì)算保真度的有效辦法。廣義多群方法是近年來提出的一種新型并群方法,這一方法利用正交基函數(shù)在少群內(nèi)重構(gòu)精細(xì)能群結(jié)構(gòu),提供了一種在少群結(jié)構(gòu)下利用與少群計(jì)算接近的計(jì)算資源近似恢復(fù)多群能譜的方法[5]?；谶@一理論,進(jìn)一步發(fā)展出了針對(duì)連續(xù)能量到多群的廣義多群方法[6]和由多群到少群的離散廣義多群(DGM)方法[7]。然而,與傳統(tǒng)并群方法相比,采用離散勒讓德正交基的DGM方法的基本形式會(huì)需要高階展開才能有效保留多群能譜中的物理信息,在并群計(jì)算過程中需要更高的內(nèi)存容量和計(jì)算資源[8]?？煺张c本征正交分解結(jié)合可以生成在低階展開中便有效包含樣本快照中物理信息的正交基函數(shù)[9]。這種包含物理信息的離散正交基函數(shù)應(yīng)用在廣義離散并群方法中發(fā)展成了一種新型并群方法,這一方法可通過低階截?cái)嗟姆绞接行Ы档蛷V義并群方法對(duì)于計(jì)算資源的需求,從而在較低的計(jì)算資源需求下達(dá)到與多群計(jì)算近似的能量分辨率。

本文基于離散廣義多群方法,使用一系列小型樣本快照在KLT(K-L變換)下生成通量的本征正交基函數(shù),并進(jìn)行截?cái)嗟膹V義并群計(jì)算,對(duì)一維UO2和MOX組件在不同截?cái)嚯A數(shù)下的特征值、能譜重構(gòu)效果進(jìn)行研究。

1 理論方法

1.1 離散廣義多群方法

Zhu等[10]于2011年發(fā)展了DGM方法,采用離散勒讓德正交基獲得從細(xì)群截面映射到粗群截面的截面矩。粗群截面矩可用于少群計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的粗群通量矩。利用基函數(shù)可將粗群通量矩?cái)U(kuò)展為細(xì)群通量矩。產(chǎn)生的細(xì)群通量可用于更新粗群截面的截面矩,反復(fù)進(jìn)行直至收斂。

DGM方法在一維SN方程中的多群表述[2]為:

(1)

式(1)中φc,g＇,l為:

(2)

式中:Nα為角度離散的個(gè)數(shù);對(duì)于選擇的正交方法,wα為對(duì)應(yīng)于離散角度μα的權(quán)重。

將g個(gè)細(xì)群劃分到G個(gè)粗群中,多群公式可表示為:

(3)

(4)

式中,i為基函數(shù)的階數(shù)。

同時(shí)定義φc,G,i,l、ψc,α,G,i為:

(5)

(6)

由此可定義從細(xì)群結(jié)構(gòu)到粗群結(jié)構(gòu)的映射關(guān)系為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

聯(lián)系式(6)～(8)可得到:

(12)

將式(6)、式(9)～(12)代入式(4),可得到:

(13)

1.2 本征正交分解

離散勒讓德正交基函數(shù)本身不包含目標(biāo)問題的物理信息,因此需要較高的階數(shù)才能有效重構(gòu)多群能譜中的物理信息,達(dá)到合理的通量誤差。因此傳統(tǒng)的DGM方法在低階截?cái)嘞轮貥?gòu)的少群通量與多群偏差較大,導(dǎo)致能譜和特征值計(jì)算的結(jié)果與多群計(jì)算偏差較大[12]。本征正交分解(POD)采用具有代表性的小型樣本作為快照,生成正交基,可以有效獲得樣本中的物理信息,提高低階截?cái)嘞碌挠?jì)算精度。POD的核心是將一個(gè)離散的或者連續(xù)的函數(shù)f(x)進(jìn)行截?cái)嗾归_,獲得具有對(duì)應(yīng)展開階的最小二乘誤差的正交基[9]。在該方法的一些其他應(yīng)用領(lǐng)域,如圖像壓縮中,f(x)是已知的,在其他的應(yīng)用領(lǐng)域如流體動(dòng)力學(xué)中,f(x)則是未知的[11]。采用這一正交基代替?zhèn)鹘y(tǒng)的離散勒讓德正交基便可以發(fā)展出一種新的并群方法。

在本文工作中,快照是一個(gè)與能譜相關(guān)的函數(shù)[13]。由于在實(shí)際求解問題中的中子通量是一個(gè)未知量,因此需要設(shè)置一些具有代表性的小規(guī)模樣本快照來獲取與測(cè)試問題近似的通量形狀,從而通過奇異值分解(SVD)得到含有近似物理信息的本征正交基函數(shù)。

通過向量dn可以表示快照中每一個(gè)空間單元的通量,這些向量組合成為1個(gè)M×N的矩陣D,其中M是能群的數(shù)目,N是快照的數(shù)量。該正交基首先定義1個(gè)半正定矩陣B=DTD,這一半正定化矩陣過程可有效簡(jiǎn)化矩陣計(jì)算量。同時(shí)對(duì)B進(jìn)行奇異值分解得到下式:

(14)

式中:UB和VB為N×N酉矩陣,包含左右奇異向量;ΣB為包含奇異值的對(duì)角N×N矩陣;Q為N×N酉矩陣,包含B的特征向量,對(duì)應(yīng)的特征值包含在Λ中。

(15)

為了形成POD基,將其特征值和對(duì)應(yīng)的向量按照降序排列,將0階基作為最基本的模態(tài)。將快照投射到模態(tài)上可得到:

pj=Dqj或P=DQ

(16)

式中:P∈RM×N;qj為Q中降序排列中的第j個(gè)向量。

將得到的向量pj進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化,得到對(duì)應(yīng)的POD基。任意長度M的f可近似表示為:

(17)

式中,aj=fTpj。

POD基創(chuàng)建了1組長度為M的基向量,只要保證快照近似于函數(shù)f,這些基向量就可提供最小二乘誤差意義上的最佳K階展開。當(dāng)N≥M時(shí),P是1組完整的基,任意長度M的向量f都可用P的前M個(gè)向量精確表示。

2 程序設(shè)計(jì)

2.1 并群算法

為了測(cè)試基于POD的新型并群方法在截?cái)嗷碌谋憩F(xiàn)效果,采用Reed等[11]開發(fā)的一維并群程序Unotron進(jìn)行計(jì)算。Unotron采用16角高斯積分和菱形差分處理角度變量和空間變量,并以Krasnoselskij迭代替代傳統(tǒng)的Picard不動(dòng)點(diǎn)迭代,其基本過程如式(18)所示,以降低迭代速度為代價(jià)提高收斂的穩(wěn)定性,減少負(fù)通量的產(chǎn)生[2]。

x(n+1)=(1-λ)xn+λAxn

(18)

式中:x為迭代值;n為迭代次數(shù);λ為松弛因子;A為算子。

由式(11)可發(fā)現(xiàn),裂變譜的矩不依賴于重構(gòu)的能群通量,可在重構(gòu)前先計(jì)算裂變譜的矩,然后使用當(dāng)前迭代的正交基和精細(xì)群通量來計(jì)算截面矩,進(jìn)而采用輸運(yùn)求解器求解0階通量矩和特征值。最后如式(13)所示,利用0階解求解高階矩的源項(xiàng)。在得到當(dāng)前所有的矩后,便可使用正交基更新細(xì)群通量,并在下一次迭代計(jì)算過程中更新截面矩,直到達(dá)到收斂條件。DGM方法計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 DGM方法計(jì)算流程圖

2.2 少群結(jié)構(gòu)劃分

Gibson等[2]提出了DGM方法中粗群結(jié)構(gòu)選擇的基本準(zhǔn)則,這一準(zhǔn)則同樣適用于新的并群方法。通過選擇適當(dāng)?shù)拇秩航Y(jié)構(gòu),可以在Krasnoselskij迭代中使用更高的λ減少迭代次數(shù),提高計(jì)算效率。這一準(zhǔn)則的基本要求如下:1) 限制粗群中細(xì)群總截面最大值與最小值的極限比;2) 在總截面較小的粗群中放寬極限比;3) 限制粗群中的細(xì)群數(shù)目;4) 當(dāng)需要時(shí),強(qiáng)制劃分粗群。

本研究中,對(duì)于4群的少群結(jié)構(gòu)具體采用的數(shù)據(jù)是:截面極限比例為1.3;如果粗群中最大的總截面小于1.0 cm-1,忽略該比例限制;每個(gè)粗群中最多含有60個(gè)細(xì)群。在2群的少群結(jié)構(gòu)中則將最大最小截面比值擴(kuò)大到5。

2.3 問題描述

為測(cè)試基于POD分解的并群方法在恢復(fù)新型反應(yīng)堆堆芯設(shè)計(jì)造成的局部復(fù)雜能譜中的表現(xiàn),采用UO2和MOX兩種材料設(shè)計(jì)測(cè)試問題,構(gòu)建局部復(fù)雜干涉能譜[14]。同時(shí),為降低復(fù)雜空間效應(yīng)對(duì)并群方法機(jī)理的干擾,采用一維設(shè)計(jì),最終形成結(jié)構(gòu)和尺寸如圖2所示的測(cè)試問題。問題共包含5個(gè)UO2柵元和5個(gè)MOX柵元,兩側(cè)采用反射邊界。每個(gè)柵元的燃料劃分為28個(gè)空間區(qū)域、6個(gè)水區(qū)域和22個(gè)燃料區(qū)域[15]。

圖2 柵元尺寸與排布

POD方法需要適當(dāng)?shù)木哂写硇缘哪茏V快照來構(gòu)建正交基,在理論上,效果最好的能譜應(yīng)當(dāng)是由測(cè)試問題本身構(gòu)建的正交基,但在實(shí)際反應(yīng)堆物理計(jì)算過程中,這一快照是未知量,但通過這一快照可獲得當(dāng)前階數(shù)下的最佳結(jié)果。因此,在本文中這一快照用作與其他快照比較的對(duì)照,命名為full-basis。為測(cè)試不同快照恢復(fù)精細(xì)能譜的效果,分別采用具有空間結(jié)構(gòu)的UO2和MOX柵元、單獨(dú)的UO2柵元和MOX柵元、單獨(dú)UO2柵元、單獨(dú)MOX柵元進(jìn)行44群精細(xì)化計(jì)算,以獲得能譜作為快照構(gòu)建正交基,并分別命名為combine-basis、junction-basis、UO2-basis、MOX-basis。所有快照都在全反射邊界條件下進(jìn)行計(jì)算。

3 數(shù)值結(jié)果

3.1 4群結(jié)果

采用2.2節(jié)的能群劃分方式,生成的少群中的多群編號(hào)列于表1。不同正交基在不同截?cái)嚯A數(shù)下的特征值如圖3所示。由圖3可見:所有正交基在0階下,即傳統(tǒng)并群方法下的特征值偏差均為1 359 pcm;在高階下,以50 pcm偏差為參考值,對(duì)于full-basis在4階下便可以穩(wěn)定收斂到這一范圍內(nèi),但由于這一正交基是無法預(yù)先得到的,因此表現(xiàn)最好的是combine-basis,在7階時(shí)便可以將特征值偏差穩(wěn)定在50 pcm以內(nèi),為37 pcm,其次便是junction-basis,在9階時(shí)穩(wěn)定在50 pcm偏差之內(nèi),為49 pcm,這兩種正交基都是由包含完整柵元信息的快照生成的,combine-basis由于包含柵元間能譜干涉的信息而表現(xiàn)得更好。而UO2-basis和MOX-basis由于包含的物理信息不完整,表現(xiàn)相對(duì)較差,只有在全階下才會(huì)有較好的特征值偏差結(jié)果。由于在SN方法低階截?cái)嘤?jì)算過程中會(huì)出現(xiàn)負(fù)通量,導(dǎo)致了低截?cái)嚯A下即使是full-basis基函數(shù),在重構(gòu)能譜過程中也會(huì)出現(xiàn)負(fù)通量的問題,進(jìn)而導(dǎo)致了特征值收斂的不穩(wěn)定,即3階時(shí)出現(xiàn)了特征值偏差的變大。

表1 4群少群結(jié)構(gòu)

圖3 不同截?cái)嚯A下的4群特征值

圖4示出5階截?cái)嗖煌换哪茏V偏差。圖4中各種正交基在5階下與44群精細(xì)計(jì)算的能譜的偏差可以進(jìn)一步證明這一結(jié)論。由于低截?cái)嚯A下負(fù)通量的存在,在本研究中為統(tǒng)一這一過程,對(duì)最終統(tǒng)計(jì)的能譜采取了取絕對(duì)值的處理。在5階能譜偏差中,combine-basis的相對(duì)偏差與full-basis基本重合保持在1%以內(nèi),junction-basis的相對(duì)偏差稍差一些,但可以控制在5%以內(nèi),UO2-basis和MOX-basis的相對(duì)偏差遠(yuǎn)高于其他3種正交基。

為進(jìn)一步分析combine-basis在能譜重構(gòu)上的精度,對(duì)測(cè)試問題整體能譜、結(jié)合處UO2柵元能譜、結(jié)合處MOX兩種柵元能譜與44群精細(xì)化計(jì)算的能譜之間的偏差進(jìn)行了比較,分別如圖5～7所示。

圖5 組件能譜與偏差

圖6 結(jié)合處UO2柵元能譜及偏差

圖7 結(jié)合處MOX柵元能譜及偏差

對(duì)于測(cè)試問題,采用combine-basis時(shí),在7階時(shí)便可對(duì)測(cè)試問題的能譜進(jìn)行有效恢復(fù),各能群通量相對(duì)偏差均小于0.3%。對(duì)于空間干涉最明顯的結(jié)合處的UO2和MOX柵元的能譜重構(gòu),在7階時(shí)各能群通量相對(duì)偏差均小于0.5%。相較于POD并群方法的表現(xiàn),0階能譜即傳統(tǒng)并群方法的能譜與精細(xì)化能譜在少群下的平均通量相比,在效果最好的第1群相對(duì)偏差也在14%以上。

傳統(tǒng)并群方法的偏差遠(yuǎn)高于POD并群方法,原因就是傳統(tǒng)的并群方法中采用全反射邊界條件,不考慮組件間的干涉效應(yīng),造成了實(shí)際的能譜和并群后的能譜偏差較大。而基于POD的并群方法通過選取合適的樣本空間,在正交基函數(shù)中有效包含了能譜干涉的物理信息,從而在少群計(jì)算中有效恢復(fù)了受到干涉影響的能譜,提高了少群能譜和特征值的計(jì)算精度。

3.2 2群結(jié)果

為進(jìn)一步探索POD并群方法的能譜重構(gòu)效果,測(cè)試了兩種并群到2群的方法和對(duì)應(yīng)的結(jié)果。第1種為不遵循Gibson等[2]的并群條件,按照傳統(tǒng)快熱2群劃分方式進(jìn)行能群歸并,但程序出現(xiàn)了無法收斂的情況。第2種采用放寬并群條件的方法,將并群條件中的截面極限比例調(diào)整為5,其他條件不變,在這一并群條件下的少群結(jié)構(gòu)列于表2。

表2 2群少群結(jié)構(gòu)

在這一少群結(jié)構(gòu)下,測(cè)試問題中原本表現(xiàn)較好的 combine-basis正交基下的特征值與基準(zhǔn)偏差如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)隨著階數(shù)增大,特征值在7階達(dá)到50 pcm以內(nèi),并群效果略差于4群,整體結(jié)果較為理想,但計(jì)算效率相對(duì)較低。對(duì)combine-basis的能譜做進(jìn)一步分析,如圖9所示,可以發(fā)現(xiàn)在2群能群結(jié)構(gòu)下能譜重構(gòu)效果同樣較好,但同階下偏差整體高于4群的結(jié)果。

圖8 不同截?cái)嚯A下2群特征值偏差

圖9 combine-basis 2群重構(gòu)能譜及偏差

4 結(jié)論

本文面向基于本征正交分解的廣義并群理論在一維UO2和MOX組件中的效果進(jìn)行驗(yàn)證,首先針對(duì)不同快照生成的正交基的計(jì)算精度進(jìn)行對(duì)比分析,可以發(fā)現(xiàn)具有空間結(jié)構(gòu)UO2和MOX柵元生成的combine-basis是所有實(shí)際可用的正交基中表現(xiàn)最好的,在7階時(shí)便可以達(dá)到37 pcm以內(nèi)的偏差,同時(shí)計(jì)算時(shí)間可以和4群計(jì)算控制在同一量級(jí)下。為進(jìn)一步分析combine-basis正交基的能譜重構(gòu)效果,對(duì)其在不同少群結(jié)構(gòu)和截?cái)嚯A數(shù)下的能譜重構(gòu)情況與偏差進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)在符合Gibson等提出的并群規(guī)則的4群結(jié)構(gòu)中,combine-basis可以有效地恢復(fù)測(cè)試問題的精細(xì)能譜,并且在干涉效應(yīng)最為明顯的UO2和MOX柵元結(jié)合位置的裂變材料能譜重構(gòu)效果同樣較好,在截?cái)嚯A數(shù)為7階時(shí),測(cè)試問題的整體能譜中偏差最大能群的通量相對(duì)偏差在0.3%以內(nèi),干涉效應(yīng)最明顯的結(jié)合處柵元能群通量的最大相對(duì)偏差在0.5%以內(nèi),精度遠(yuǎn)高于標(biāo)準(zhǔn)并群方法得到的結(jié)果。將這一方法作為子程序嵌入到兩步法堆芯計(jì)算程序中,通過與combine-basis正交基類似的樣本空間選取規(guī)則選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g進(jìn)行計(jì)算,并進(jìn)行本征正交分解獲得含有能譜干涉物理信息的正交基函數(shù),對(duì)堆芯計(jì)算的少群進(jìn)行重構(gòu),可有效降低堆芯計(jì)算與組件計(jì)算的能譜偏差,提高堆芯計(jì)算保真度。這一方法在放寬并群規(guī)則后的兩群結(jié)果中通量重構(gòu)結(jié)果略差于4群結(jié)果,但由于能群劃分規(guī)則與傳統(tǒng)快熱2群有所不同,基于POD的并群方法直接應(yīng)用于常規(guī)堆芯2群擴(kuò)散計(jì)算仍有一定問題,這將是后續(xù)研究中需要關(guān)注的一個(gè)問題。同時(shí),本研究結(jié)果只是針對(duì)本征正交分解的廣義并群理論在一維問題中的初步應(yīng)用,面向更加接近實(shí)際工程需求的二維和拉伸三維問題,在樣本快照選擇上還沒有明確的方法。在本研究中,combine-basis作為干涉效應(yīng)最強(qiáng)、包含物理信息最豐富的樣本快照制作的正交基,能夠最有效地重構(gòu)精細(xì)能譜。這一結(jié)論可為后續(xù)復(fù)雜問題的廣義并群研究提供一定思路,即對(duì)于二維和拉伸三維問題,可以采用選取小型干涉效應(yīng)明顯的柵元結(jié)構(gòu)進(jìn)行交叉排列組合的方式來獲得有效包含目標(biāo)問題物理信息的樣本快照,但其有效性仍需要后續(xù)的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。