劉逸晴

［摘 要］類比作為重要的數(shù)學思想在中學數(shù)學教學中有著豐富的應用。以“集合的基本運算”為例，教師可以采用類比教學，在舊知識與新知識之間建立聯(lián)系，實現(xiàn)縱向的認知推進和橫向的知識遷移。

［關(guān)鍵詞］集合；基本運算；類比教學

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0016-03

波利亞曾說：“類比的核心是關(guān)系上的相似。”從本質(zhì)上看，類比即類同、類異、類推，借同化、順應與平衡納入認知圖式，進而探索元素、對象、系統(tǒng)之間的內(nèi)在關(guān)系，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展和遷移。從思維上看，類比是“從特殊到特殊”或“從一般到一般”的推理。類比作為重要的數(shù)學思想在中學數(shù)學教學中有著豐富的應用。

一、教學設(shè)計

（一）路徑類比，集合運算學習的起始點

【教學片段1】

教師：實數(shù)有加、減、乘、除等運算，集合是否也有類似的運算？

問題1：類比實數(shù)的加法運算，你能得出下列集合之間的關(guān)系嗎？

（1）[A=1，3，5]，[B=2，4，6]，[C=1，2，3，4，5，6]。

（2）[A=xx是有理數(shù)]，[B=xx是無理數(shù)]，[C=xx是實數(shù)]。

問題2：你還能列舉出類似的三個集合滿足上述關(guān)系嗎？

設(shè)計意圖：實數(shù)的研究是從含義與表示到大小關(guān)系再到四則運算，類比得出“集合的含義與表示→集合的關(guān)系→集合的運算”的研究路徑。類比實數(shù)的四則運算，引入集合的運算，讓學生感受探究集合運算的必要性。一般地，問題發(fā)現(xiàn)和提出的過程有三種途徑：一是根據(jù)生產(chǎn)生活的需要，通過設(shè)計實際問題讓學生在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)運算學習的必要性，從而抽象出集合的運算；二是類比方法遷移，類比實數(shù)的運算研究，重現(xiàn)從特殊到一般的歸納以及從一般到特殊的演繹；三是通過法則的逆運算發(fā)現(xiàn)新的法則。問題2的舉例，建議從數(shù)學、生活等不同角度切入，觀察分析，豐富實例，以增強學生對抽象概念的直觀理解。

（二）形式類比，概括三種語言的關(guān)鍵點

【教學片段2】

教師：類比前一節(jié)“子集的三種語言表述”，你能分別用自然語言、符號語言和圖形語言準確表達上述關(guān)系嗎？

自然語言：一般地，由所有屬于集合[A]或?qū)儆诩蟍B]的元素組成的集合，稱為集合[A]與[B]的并集，記作[A∪B]（讀作“[A]并[B]”）。

符號語言：[A∪B=xx∈A，或x∈B]。

圖形語言：[A][B]。

思考：對于一個數(shù)學運算，我們會從它的運算對象、運算法則以及運算結(jié)果來認識它。那么你能說說并集的運算對象、運算法則以及運算結(jié)果嗎？

追問1：問題1中的集合關(guān)系如何利用符號表示呢？

追問2：如果問題1中的集合[A=1，2，3，5]，[B=2，4，6]，[C=1，2，3，4，5，6]，那么[A∪B=C]依然成立嗎？

注意，在求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。

［例題1］設(shè)[A=4，5，6，8]，[B=3，5，7，8]，求[A∪B]。

［例題2］設(shè)集合[A=x-1

思考：下列關(guān)系式成立嗎？

（1）[A?A=A]；（2）[A??=A]。

設(shè)計意圖：類比子集的三種語言，給出并集的定義及其三種語言表示。類比學習，滲透集合的三種語言，對后面的交集等其他集合運算的規(guī)范表述產(chǎn)生正遷移。設(shè)置環(huán)環(huán)相扣的問題串，進一步建構(gòu)概念，結(jié)合實數(shù)的符號運算、關(guān)聯(lián)類比，分別從三種表征中掌握并集的運算對象、運算法則和運算結(jié)果。整個過程從特殊到一般，從具體到抽象，猜想、探索、歸納形成概念，再從一般到特殊，熟練轉(zhuǎn)換三種語言，引導學生運用并集的概念驗證、解釋運算規(guī)律，自然進行認知體系的再建構(gòu)、再擴充，感受并集運算的存在性和合理性，達到“既見樹木，又見森林”的效果。

（三）過程類比，探究交集運算的接力點

【教學片段3】

教師：實數(shù)有加、減、乘、除等多種運算，集合的基本運算除了并集，是否還有其他運算？

問題3：觀察實例，你能否得出以下集合之間的關(guān)系？

（1）[A=2，4，6，8，10]，[B=3，5，8，12]，[C=8]；

（2）[A=xx]是我校2022級女[生]，[B=xx]是我校2022級8班學[生]，[C=xx] 是我校2022級8班女[生]。

問題4：你還能列舉出類似的三個集合滿足上述關(guān)系嗎？

追問1：你能分別用自然語言、符號語言和圖形語言準確表達上述關(guān)系嗎？

自然語言：一般地，由所有屬于集合[A]且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合[A]與[B]的交集，記作[A∩B]（讀作“[A]交[B]”）。

符號語言：[A∩B=xx∈A，且x∈B]。

圖形語言：[A][B]。

教師：對于一個數(shù)學運算，我們會從它的運算對象、運算法則以及運算結(jié)果來認識它。那么你能說說交集的運算對象、運算法則以及運算結(jié)果嗎？

追問2：問題3如何利用符號表示呢？

追問3：如果集合[A=1，2]，[B=3]，求[A?B]。

注意，當兩個集合[A]、[B]沒有公共元素時，不能說它們沒有交集，[A∩B=?]。

教師：下列關(guān)系式成立嗎？

（1）[A?A=A]；（2）[A??=?]。

設(shè)計意圖：類比并集的學習路徑，學生獨立思考、交流討論，得到交集的定義以及符號語言、圖形語言等多元表征。層層設(shè)問，引導學生對定義的合理性和唯一性進行解釋，揭示其中蘊含的類比思想。讓學生充分經(jīng)歷運算的建構(gòu)過程，其中交集定義是核心，豐富實例是重點，運算法則是難點。

（四）結(jié)構(gòu)類比，辨析比較兩者的不同點

【教學片段4】

教師出示交集、并集的對應關(guān)系，如下表所示：

[并集、交集的對應關(guān)系 并 ∪ 或 交 ∩ 且 ]

練習（幾何畫板實驗操作）：集合[A=x2≤x<4]，[B=xx≥3]，求[A∪B]，[A∩B]。

變式：集合[A=x2≤x<4]，[B=xx≥2]，求[A∪B]，[A∩B]。

設(shè)計意圖：比較兩種集合運算的記法，辨析“并”“或”與記號“[∪]”之間的對應關(guān)系，以及“交”“且”與記號“[∩]”之間的對應關(guān)系。練習及其變式，通過簡單的變化，將學生的思維引向深入，實現(xiàn)不同情形的轉(zhuǎn)化。將零散的、具有內(nèi)在聯(lián)系的、易混淆的概念和定義等歸類，類同也類異，深刻揭示知識間的聯(lián)系與區(qū)別，在辨析中加深理解，在對比中強化記憶，達到提質(zhì)增效的目的。

（五）思想類比，補集運算學習的探究點

【教學片段5】

問題5：你是否能求出方程[（x-2）（x2-3）=0]在有理數(shù)范圍和實數(shù)范圍內(nèi)的解集？

追問1：你還能列舉出類似的三個集合滿足上述關(guān)系嗎？

（有理數(shù)集、無理數(shù)集與實數(shù)集）

追問2：全集和補集之間是什么關(guān)系呢？

（補集是相對全集而言的，全集不同，補集一般不同。補集是全集的子集）

教師：對于一個數(shù)學運算，我們會從它的運算對象、運算法則以及運算結(jié)果來認識它。那么你能說說補集的運算對象、運算法則以及運算結(jié)果嗎？

設(shè)計意圖：類比并集、交集的研究過程，補集的學習采用“具體問題→共同特征→抽象概念→概念表示→概念應用”的研究路徑，以學生熟悉的實例為切入點，由此自然引入全集與補集。運用橫向類比的方式，以并集、交集為基礎(chǔ)，為學生搭建自主探究的平臺，完善學生原有的認知結(jié)構(gòu)，促進學生對所學新知的內(nèi)化。需要注意的是，類比學習要避免表面化和形式化，相對于并集與交集，補集是較難理解的，教學中教師需啟發(fā)學生深入本質(zhì)去思考問題，培養(yǎng)辨析思維，多借助韋恩圖的直觀性幫助學生理解。

（六）歸納類比，數(shù)學思想方法的延伸點

【教學片段6】

問題6：回顧本單元的學習內(nèi)容，并回答以下問題。

（1）什么是集合？如何研究集合？

（2）在研究集合的過程中，你學到了什么數(shù)學思想方法？

（3）用聯(lián)系的觀點看問題，可以使我們更深刻地理解數(shù)學知識。本章中我們類比數(shù)與數(shù)的關(guān)系和運算研究了集合與集合的關(guān)系和運算。你認為這樣的類比對發(fā)現(xiàn)和提出集合的問題有什么意義？

（4）你能類比數(shù)的減法運算給出集合的減法運算嗎？

引入一個新的數(shù)學對象后，需思考所需要研究的內(nèi)容和途徑等有哪些。由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的推理形式稱為類比。類比是數(shù)學研究的一種重要思維方法。

設(shè)計意圖：集合學習遵循“含義與表示→基本關(guān)系→基本運算”的圖式研究規(guī)律，實現(xiàn)縱向類比，形成可復制、可推廣、可引申的研究路徑，為高中數(shù)學的學習做進一步的鋪墊。整體支架下總結(jié)本單元的學習內(nèi)容，形成單元知識框架，體現(xiàn)數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性以及思維的系統(tǒng)性。以問題的形式提煉研究方法及數(shù)學思想，鼓勵學生學以致用。實際上，類比作為一種思維工具，利用已知生發(fā)出新知的增長點，能進行豐富的再創(chuàng)造工作，例如思想類比、歸納類比，以此得出數(shù)學思想方法的普適性。

二、教學反思

“集合的基本運算”處于集合章節(jié)的最終篇，也是開啟邏輯用語的起始篇。教材里的內(nèi)容并不多，部分教師在教授本節(jié)內(nèi)容時容易照本宣科，忽略對類比思想的應用。倘若基于類比組織教學，就能在原有內(nèi)容的基礎(chǔ)上有所提升，不僅引出集合的研究內(nèi)容和研究方法，還能讓學生掌握研究一類問題的基本途徑，為學生自主研究差集等集合運算提供理論支持，也為后續(xù)其他章節(jié)內(nèi)容的學習奠定基礎(chǔ)。

（一）三條主線：明線、暗線、反思線

認知心理學認為，圍繞主線對同一類概念進行多元聯(lián)系表示，有利于揭示概念的本質(zhì)。本節(jié)課中，教學明線是集合的基本運算，主要圍繞并集、交集和補集三種集合的運算展開循序漸進的教學。穿插其中的教學暗線是數(shù)學思想方法的滲透，類比實數(shù)的研究路徑，定位集合的運算研究；類比子集的形式化語言，得出并集的三種語言表述；類比并集的研究過程，呈現(xiàn)交集的運算特征；類比并集和交集的運算，分類辨析兩者的異同點；類比并集和交集的研究思路，探究全集和補集的概念要義；類比歸納知識體系，總結(jié)遷移至其他數(shù)學問題。“類比是一個偉大的領(lǐng)路人”，凸顯了數(shù)學思想在問題解決中的應用價值。第三條主線是反思線。問題是數(shù)學的心臟，教學過程中教師通過層層設(shè)問，引導學生不斷反思、重構(gòu)。課堂小結(jié)以問題的形式啟發(fā)思維，從知識技能層面上升到過程方法層面，串點成線，明晰知識之間的縱橫聯(lián)系，深度挖掘，促進學習正向遷移。

（二）三輪類比：類同、類異、類推

類比遷移是指用熟悉的方法去解決陌生的問題的一種策略，通過分析、概括和綜合源問題而獲得一種圖式規(guī)則，并成功地把這一圖式規(guī)則運用于靶問題。本節(jié)課中，引導學生充分經(jīng)歷從實數(shù)到集合的“類同”、從并集到交集的“類異”、從并集交集到全集補集的“類推”等多元過程，不斷引發(fā)學生數(shù)學思維的同化與順應，使學生多次感受“研究對象變化，而研究方式不變、數(shù)學思想不變”的本質(zhì)屬性，一隅三反，豐富學生的數(shù)學學習體驗和提升學生的數(shù)學思維能力。

（三）三個階段：感性類比階段、理性類比階段、再感性類比階段

第一階段是“感性類比階段”，感性類比是一種相對簡單的類比，例如路徑類比、形式類比就屬于感性類比。在感性類比階段，學生往往可以通過自己的觀察比較發(fā)現(xiàn)新舊事物的相似之處，進而得到初步的遷移規(guī)律，產(chǎn)生新的類比結(jié)論，但這類結(jié)論往往停留于文字變動的機械替換，學生對規(guī)律本質(zhì)的理性思考仍然存在不足。第二階段是“理性類比階段”，如過程、結(jié)構(gòu)的類比均屬于理性類比，理性類比階段是類比學習最為關(guān)鍵的階段，在這一階段中，學生逐步發(fā)現(xiàn)和理解類比規(guī)律背后的本質(zhì)特征，從“形似”過渡到“神似”。第三階段是“再感性類比階段”，在這個階段主要是進行更為深入的類比規(guī)律應用，以及豐富的再創(chuàng)造，比如進行思想類比、歸納類比，類比的寶貴之處也恰恰體現(xiàn)在這一階段，需要針對不同對象，分時段地、長期地滲透。

（責任編輯 黃桂堅）