李斐朱曉磊

(1. 山東建筑大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101；2. 山東建筑大學(xué)山東省智能建筑技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250101；3. 積成電子股份有限公司，山東 濟(jì)南 250100)

0 引言

圖像分割是指根據(jù)目標(biāo)與背景的先驗(yàn)知識(shí)，將圖像劃分為某些特性上相近的連通區(qū)域的集合，通常為模式識(shí)別、圖像理解、圖像壓縮等應(yīng)用的基礎(chǔ)準(zhǔn)備，是從圖像處理到圖像分析的關(guān)鍵步驟[1]。 目前，自動(dòng)化的圖像分割主要基于邊緣和區(qū)域的方法。由于每種方法具有不同特點(diǎn)，故適用于不同類型的圖像。 其中，基于圖像灰度的閾值分割方法屬于后者，是一種最為簡(jiǎn)單有效的分割方法，根據(jù)圖像灰度的相似性，直接得到劃分好的區(qū)域。 閾值分割的前提是圖像中要提取的目標(biāo)物與其背景在灰度特性存在差異，具有了不同的灰度值區(qū)域。 圖像的閾值個(gè)數(shù)由具體的劃分程度要求決定，單域值可以簡(jiǎn)單地將圖像劃分為兩個(gè)區(qū)域，當(dāng)實(shí)際應(yīng)用中需要將圖像劃分為多個(gè)目標(biāo)區(qū)域時(shí)，需要多個(gè)分割閾值。 傳統(tǒng)的閾值分割算法，通過(guò)窮舉法遍歷所有灰度值尋找最優(yōu)閾值，其耗時(shí)較長(zhǎng)，特別是當(dāng)利用閾值分割算法進(jìn)行多閾值分割時(shí)，計(jì)算法復(fù)雜度隨閾值個(gè)數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，因此需要更加高效和智能的閾值尋找方法。

元啟發(fā)式算法于20 世紀(jì)60 年代提出，利用仿生學(xué)原理，模擬生物或自然現(xiàn)象中群體移動(dòng)和定位的行為機(jī)制進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化，具有計(jì)算量低、優(yōu)化效率高和自我調(diào)節(jié)等優(yōu)點(diǎn)，已在解決非確定性多項(xiàng)式困難(Nondeterministic Polynomial－h(huán)ard，NPH)、組合優(yōu)化等問(wèn)題上取得廣泛的應(yīng)用。 元啟發(fā)式算法也已用于圖像的多閾值選擇問(wèn)題上。 閾值處理可視為一種統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題，常用的統(tǒng)計(jì)鑒別分析中的測(cè)度有最大類間方差和信息熵，呂鑫等[2]結(jié)合鳥(niǎo)群算法中飛行行為的思想優(yōu)化麻雀搜索算法，提出改進(jìn)麻雀搜索算法(Improved Sparrow Search Algorithm，ISSA)，提高算法的搜索能力和開(kāi)拓能力，獲得更好的全局最優(yōu)值，同時(shí)將最大類間方差和Kapur 熵作為ISSA 的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行圖像的多閾值尋優(yōu)，得到更加穩(wěn)定高效的分割性能；常君杰等[3]在烏鴉算法中引入Levy 飛行機(jī)制，提高全局搜索能力，并采用自適應(yīng)尺度調(diào)整系數(shù)限制Levy 飛行的搜索范圍，加快尋優(yōu)速度，改善了二維Tsallis 熵多閾值圖像分割計(jì)算量大的問(wèn)題；賈鶴鳴等[4]采用Kent 混沌映射初始化螢火蟲(chóng)算法，并利用改進(jìn)后的優(yōu)化算法優(yōu)化了二維Renyi 熵函數(shù)中的變量，分割了復(fù)雜環(huán)境中的污油圖像，提高了圖像分割的準(zhǔn)確度；霍星等[5]提出一種新的天牛須算法(Antennae Search Algorithm，BAS)進(jìn)行二維K 熵下圖像的多閾值分割，將原始BAS 算法拓展為二進(jìn)制離散形式并將其作為輔助算法與BAS 結(jié)合，解決了BAS 易陷入局部最優(yōu)的不足。 基于二維灰度直方圖的方法比基于一維灰度直方圖的方法計(jì)算更加復(fù)雜。 灰狼算法(Grey Wolf Optimizer，GWO)是MIRJALILI 等[6]提出的一種新型元啟發(fā)式算法，其算法簡(jiǎn)單、參數(shù)少、易實(shí)現(xiàn)，具有良好的搜索和開(kāi)發(fā)能力，已廣泛應(yīng)用在工程調(diào)度[7]、頻譜分配[8]、圖像分割等領(lǐng)域。 劉磊等[9]提出一種改進(jìn)的灰狼算法(Improved Grey Wolf Optimizer，IGWO)，在搜索過(guò)程引入萊維飛行機(jī)制，避免陷入局部極值；動(dòng)態(tài)調(diào)整收斂因子和隨機(jī)權(quán)重以提高搜索精度，在Otsu 測(cè)度下取得了優(yōu)秀的圖像多閾值分割結(jié)果，在這一算法中，灰狼的社會(huì)等級(jí)劃分是固定不變的，一定程度上限制了算法的收斂性能。

綜上所述，層出不窮的元啟發(fā)式算法在處理圖像多閾值分割問(wèn)題上各有優(yōu)勢(shì)，并且在有效改進(jìn)策略下優(yōu)化性能顯著提升。 為充分利用灰狼算法良好的搜索能力并進(jìn)一步提升算法的收斂速度和計(jì)算精度，文章提出融合多種策略的灰狼算法(Grey Wolf Optimizer Fused With Multiple Strategies，MSGWO)，對(duì)復(fù)雜圖像和多目標(biāo)圖像開(kāi)展了Renyi 熵多閾值分割；提出動(dòng)態(tài)搜索策略，動(dòng)態(tài)調(diào)整迭代初期和后期的頭狼等級(jí)劃分方式，對(duì)個(gè)體位置更新范圍進(jìn)行前期擴(kuò)展和后期壓縮，加快尋優(yōu)速度，克服迭代后期易陷于局部極值的缺陷。 采用所提算法與其他幾種元啟發(fā)式算法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)圖像的多閾值分割實(shí)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)比迭代曲線、峰值信噪比和特征相似度，證明所提算法的優(yōu)勢(shì)。

1 Renyi 熵

Renyi 熵是香農(nóng)熵的推廣，在香農(nóng)熵基礎(chǔ)上引入階參數(shù)α，對(duì)信息的度量更加靈活和具有一般性[10]。 假設(shè)N個(gè)離散隨機(jī)變量X具有概率分布{pk}，k為隨機(jī)變量編號(hào)，k＝1，2，…，N，其α階Renyi 熵形式由式(1)表示為

基于Renyi 熵的多閾值圖像分割原理為:假設(shè)大小為m×n的灰度圖像記為f(x，y)(1≤x≤m，1≤y≤n)，其灰度級(jí)數(shù)為L(zhǎng)，希望將圖像分割為K個(gè)目標(biāo)區(qū)域，則需要選取D＝K－1 個(gè)閾值t1，t2，…，tK－1。此時(shí)圖像的Renyi 熵由式(2)表示為

熵衡量了系統(tǒng)的不確定性或平均信息量，閾值分割希望每個(gè)分割后的區(qū)域內(nèi)部的灰度是相近的，目標(biāo)和背景的信息量最大，因此閾值分割的目標(biāo)函數(shù)為最大化各個(gè)區(qū)域的Renyi 熵，由式(3)表示為

2 策略融合的灰狼優(yōu)化算法

2.1 灰狼算法

灰狼算法(GWO)是一種新型的元啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，通過(guò)模擬灰狼的社會(huì)階層結(jié)構(gòu)和狩獵行為從而尋找適應(yīng)函數(shù)的最優(yōu)解。 根據(jù)分配任務(wù)的不同，將個(gè)體分成頭狼、探狼、猛狼，個(gè)體間互相協(xié)助、共享信息、協(xié)同完成覓食任務(wù)。 狼群算法通過(guò)對(duì)當(dāng)前群體施加游走、奔襲、圍攻3 種智能行為捕獲獵物，從而使群體進(jìn)化到接近最優(yōu)解的狀態(tài)。 GWO 算法具有良好的廣度開(kāi)拓和深度開(kāi)采能力且算法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，其初始參數(shù)較少、收斂速度較快。

狼群的社會(huì)等級(jí)分為4 級(jí)。 狩獵過(guò)程中，離獵物最近的3 只狼記為α、β和δ狼，其社會(huì)地位最高，其他狼群則記為ω狼，在α、β和δ狼的引領(lǐng)下更新自己的位置。 狼的社會(huì)地位并非一成不變，每次位置更新后，狼群將進(jìn)行一次優(yōu)勝劣汰，α、β和δ狼隨之更新為當(dāng)前3 個(gè)最優(yōu)的解，其他候選解ω狼不斷向群體中的3 個(gè)最優(yōu)解移動(dòng)。 算法的數(shù)學(xué)模型描述如下:

追蹤獵物過(guò)程，首先計(jì)算當(dāng)前灰狼與α、β和δ狼之間的距離和，由式(8)表示為

ω狼的位置更新由式(9)表示為

最終ω狼個(gè)體移動(dòng)后的新位置由式(10)表示為

2.2 非線性收斂因子

如式(6)所示的a是收斂因子，按照迭代次數(shù)線性遞減，該因子決定了個(gè)體更新的幅度。 而線性變化的振幅并不能很好地適應(yīng)尋優(yōu)過(guò)程，可能導(dǎo)致收斂速度較慢。 分析迭代過(guò)程，在初期的隨機(jī)分布位置下，大部分個(gè)體距離最優(yōu)點(diǎn)可能較遠(yuǎn)，需要更大的步長(zhǎng)以便快速靠攏最優(yōu)位置，在迭代后期，距離最優(yōu)位置已經(jīng)比較接近，更小的更新幅度適合局部精細(xì)查找，避免出現(xiàn)最優(yōu)位置附近的震蕩，從而加速收斂、提高算法精度。 為此，文章提出一種變化幅度由大到小的非線性振幅調(diào)節(jié)因子，由式(11)表示為

式中t為當(dāng)前迭代次數(shù)；M為最大迭代上限。

2.3 自適應(yīng)探索策略

灰狼算法將狼群分為α、β、δ和ω等4 個(gè)等級(jí)，每次迭代中α、β、δ狼對(duì)應(yīng)前3 個(gè)最優(yōu)解，引領(lǐng)種群中其他個(gè)體ω進(jìn)化。 文獻(xiàn)[11]提出了3 個(gè)等級(jí)的改進(jìn)灰狼算法，將狼群的最低2 個(gè)等級(jí)合并為一組，以降低計(jì)算復(fù)雜度，加快收斂。 在新型元啟發(fā)算法黑猩猩算法[12]中，個(gè)體的更新步驟與灰狼算法類似，不同的是個(gè)體的位置更新是同時(shí)向驅(qū)趕者、攔截者、追逐者和狩獵者4 類黑猩猩的當(dāng)前位置靠攏。在此啟發(fā)下，文章提出一種自適應(yīng)探索策略，改進(jìn)灰狼算法。

縱觀整個(gè)迭代過(guò)程，雖然在求解過(guò)程中事先并不知道最優(yōu)解的位置，但隨著狼群開(kāi)發(fā)和探索，種群的位置是逐步向最優(yōu)解的位置靠攏的，種群的更新也是逐步細(xì)化的。 始終選取α、β、δ3 個(gè)最優(yōu)解位置作為更新方向，并不適應(yīng)從粗到細(xì)的更新變化，因此文章考慮采用動(dòng)態(tài)探索策略，在迭代的初期和末期，采用不同的等級(jí)劃分方法。 初期階段，狼群距離最優(yōu)解位置可能較遠(yuǎn)，即便跟隨3 個(gè)最優(yōu)解進(jìn)行位置更新，個(gè)體也是從大方向上向獵物靠攏，此階段所有個(gè)體均距離獵物較遠(yuǎn)，可以將4 個(gè)最優(yōu)解記為γ狼，與α、β、δ狼共同帶領(lǐng)其他個(gè)體進(jìn)行位置更新，個(gè)體位置更新的落點(diǎn)由3 個(gè)最優(yōu)解包圍的范圍擴(kuò)展到4個(gè)最優(yōu)解包圍的范圍，加大了前期搜索的范圍。 經(jīng)過(guò)多輪迭代后，狼群已經(jīng)發(fā)現(xiàn)獵物并聚集在其附近，此時(shí)狼群與獵物之間的距離比較近，適當(dāng)收縮更新位置落點(diǎn)范圍，以便個(gè)體進(jìn)行精細(xì)位置更新，減少計(jì)算復(fù)雜度，在迭代后期，將帶領(lǐng)等級(jí)減小到兩個(gè)，即只保留α、β狼2 個(gè)高級(jí)等級(jí)，其他狼均劃為ω狼等級(jí)。

自適應(yīng)探索過(guò)程的狼群位置更新過(guò)程如下，首先引入距離獵物最近的排名第4 的個(gè)體記為γ狼，社會(huì)等級(jí)位于ω狼之上，計(jì)算個(gè)體與其之間的距離，并以γ狼為引導(dǎo)，個(gè)體向其靠攏，由式(12)和(13)表示為

式中t為當(dāng)前迭代次數(shù)；為第i個(gè)個(gè)體的更新位置；d(t) 為當(dāng)前最優(yōu)解位置與上次迭代的最優(yōu)解的歐氏距離；和分別為解空間的上、下限。用最優(yōu)解距離變化為標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)變化大于空間最大距離的0.01 時(shí)，說(shuō)明該個(gè)體距離獵物還較遠(yuǎn)，取距離獵物最近的前4 個(gè)最優(yōu)解為引領(lǐng)，擴(kuò)大了其他個(gè)體的位置落點(diǎn)范圍；反之，說(shuō)明該個(gè)體距離獵物較近，取距離獵物最近的前兩個(gè)最優(yōu)解為引領(lǐng)，其他個(gè)體均作為ω狼，在收縮的較小落點(diǎn)范圍內(nèi)進(jìn)行精細(xì)更新。

2.4 柯西變異

為了避免在尋優(yōu)的過(guò)程中個(gè)體陷入局部極值的問(wèn)題，在迭代過(guò)程中引入個(gè)體的柯西變異機(jī)制，增大狼群對(duì)全局的探索能力。 標(biāo)準(zhǔn)柯西分布比標(biāo)準(zhǔn)高斯分布更加矮寬，具有更大的拖尾，因此容易產(chǎn)生更大的擾動(dòng)能力，個(gè)體按照柯西分布隨機(jī)產(chǎn)生較大擾動(dòng)，變異公式由式(15)表示為

3 策略融合的灰狼算法多閾值圖像分割流程

利用Renyi 熵最大化作為圖像分割的目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化算法通常以尋找最小值為優(yōu)化目標(biāo)，因此取Renyi 熵的負(fù)值為優(yōu)化的適應(yīng)度函數(shù)。 多策略融合灰狼算法下的多閾值圖像分割流程圖如圖1所示。

圖1 多策略融合灰狼算法下的多閾值圖像分割流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證文章提出的多閾值分割算法的有效性，選取灰度級(jí)為256 的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Lena、cameraman和peppers 作為多目標(biāo)分割對(duì)象，進(jìn)行不同閾值數(shù)量下的分割。 同時(shí)，為了說(shuō)明融合策略灰狼優(yōu)化算法的尋優(yōu)效果，選取原始灰狼算法、正弦余弦算法(Sine Cosine Algorithm，SCA)[13]、 蜻蜓算法(Dragonfly Algorithm，DA)[14]、以及新型元啟發(fā)式算法的改進(jìn)——麻雀搜索算法(ISSA)[2]和改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法(IGWO)[9]作為對(duì)比。

設(shè)置所有的優(yōu)化算法種群數(shù)為20，最大迭代次數(shù)為200，個(gè)體每個(gè)維度的取值范圍為[0，255]。 所有算法的初始化時(shí)隨機(jī)生成，實(shí)驗(yàn)結(jié)果取重復(fù)20 次實(shí)驗(yàn)的均值。 衡量分割的指標(biāo)采用峰值信噪比(Peak Signal－to－Noise Ratio，PSNR)，記作P。 通常，P值越大，圖像的分割效果越好。 計(jì)算公式由式(16)表示為

式中f(i，j) 為原始圖像；g(i，j) 為分割圖像；m和n分別為圖像的長(zhǎng)和寬。

此外，特征相似性(Feature Similarity，F(xiàn)SIM)，記作F，也是衡量圖像分割效果的有效指標(biāo)，通過(guò)相位一致(Phase Congruency，PC) 特征和梯度幅度(Gradient Magnitude，GM)的耦合評(píng)估原始圖像與分割圖像的相似度，計(jì)算公式由式(17)表示為

式中Ω 為整個(gè)圖像空間；x為二維圖像中的像素坐標(biāo)；SL(x) 為相位一致特征與梯度幅度在x處的融合相似度；PCm(x) 為原始圖像與分割圖像的在x處的相位一致特征的最大值，關(guān)于該指標(biāo)的具體描述可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[15]；F取值在[0，1]，越接近1，圖像越相似。

4.1 MSGWO 算法的有效性

為說(shuō)明多策略融合灰狼算法改進(jìn)的有效性，考查每種改進(jìn)單獨(dú)作用與原始灰狼算法以及MSGWO的迭代過(guò)程對(duì)比。 以Lena 圖像的3 閾值分割為例，其迭代曲線如圖2 所示。

圖2 GWO 改進(jìn)方法效果對(duì)比圖

由圖2 可見(jiàn)，每一種改進(jìn)方式單獨(dú)作用在GWO時(shí)，幾乎都會(huì)產(chǎn)生更加低的適應(yīng)度函數(shù)值，除了自適應(yīng)搜索方法在迭代次數(shù)30 附近有個(gè)別位置遜于原始GWO，但是后續(xù)該曲線迅速收斂到GWO 對(duì)應(yīng)的黑色實(shí)線之下。 整體上看，3 種改進(jìn)策略的MSGWO表現(xiàn)最佳，收斂速度最快且精度也最高，說(shuō)明改進(jìn)策略的有效性。

4.2 多閾值分割效果

選取不同閾值個(gè)數(shù)，采用MSGWO 對(duì)3 幅標(biāo)準(zhǔn)圖像的分割結(jié)果如圖3 所示。

圖3 文章算法對(duì)Lena、cameraman 和peppers 的不同閾值下的分割結(jié)果圖

第一列圖像為原始圖像，第2 到5 列是閾值個(gè)數(shù)分別為2、3、5 和6 等4 種情況的分割圖像。 其分割結(jié)果直觀地反映了隨著閾值的增加，圖像細(xì)節(jié)越豐富，則信息越完整，由此也看出多閾值分割的必要性。

4.3 迭代過(guò)程對(duì)比

為觀察算法的精度和收斂性，對(duì)比文章算法與其他元啟發(fā)式算法的迭代過(guò)程。 選取3 幅標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行6 閾值的分割，以最小化負(fù)的Renyi 熵為優(yōu)化目標(biāo)，迭代過(guò)程曲線如圖4 所示。

圖4 迭代過(guò)程曲線圖

觀察3 幅曲線圖，從迭代過(guò)程上看，改進(jìn)后的優(yōu)化算法普遍比原始優(yōu)化算法的收斂性好。 從迭代結(jié)果可知，改進(jìn)算法的精度也普遍優(yōu)于原始算法，其中DA 算法的精度有時(shí)優(yōu)于部分改進(jìn)算法，但整體收斂較慢； MSGWO 和ISSA 為精度最好的兩個(gè)算法，而MSGWO 相比于ISSA 的優(yōu)勢(shì)在于其快速的收斂性，這一點(diǎn)在迭代初期表現(xiàn)很明顯，MSGWO 的曲線明顯地處于最低位置。 以Lena 圖像為例，ISSA 的迭代曲線收斂也很迅速，在迭代60 次后達(dá)到－22.72 bit的最小適應(yīng)度值，而收斂到相同適應(yīng)度值，MSGWO 僅需迭代15 次，迭代次數(shù)節(jié)省75%；cameraman 圖像中，ISSA 迭代49 次收斂到最小適應(yīng)度值－24.65 bit，MSGWO 僅用10 次，迭代次數(shù)節(jié)省82.1%；peppers 圖片中，ISSA56 次收斂到最小適應(yīng)度值－20.56 bit，MSGWO 僅用36 次，迭代次數(shù)節(jié)省35.7%；迭代次數(shù)平均可減少64.3%。 因此，MSGWO是收斂速度快且精度高的多閾值求解方法。

4.4 分割指標(biāo)對(duì)比

為更加客觀地對(duì)比幾種元啟發(fā)式算法在多閾值圖像分割上的性能，將4.3 節(jié)中精度較高的3 種算法——ISSA、IGWO、GWO 和所提算法MSGWO 進(jìn)行峰值信噪比和特征相似性指標(biāo)的對(duì)比，分別用3 和6 閾值對(duì)3 幅標(biāo)準(zhǔn)圖像多閾值分割，兩項(xiàng)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1。

表1 峰值信噪比和特征相似性指標(biāo)統(tǒng)計(jì)表

觀察表中數(shù)據(jù)，峰值信噪比和特征相似性指標(biāo)并非完全分布一致，因?yàn)榉逯敌旁氡葐渭冇?jì)算圖像灰度值差異，而特征相似性結(jié)合相位一致性和梯度的特征，可以描述圖像中的感興趣區(qū)域，往往認(rèn)為其是比峰值信噪比更好的圖像相似性評(píng)價(jià)指標(biāo)，MSGWO 可以取得至少一個(gè)指標(biāo)下的最高分，不失為一種穩(wěn)定優(yōu)質(zhì)的多閾值分割方法。

5 結(jié)論

通過(guò)上述研究可知:

(1) 通過(guò)消融實(shí)驗(yàn)，在灰狼算法上單獨(dú)實(shí)施了3 種改進(jìn)措施，即非線性收斂因子、自適應(yīng)搜索機(jī)制和柯西變異。 其均提高了灰狼算法的收斂性和精度，3 種改進(jìn)策略融合可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)疊加，得到更高的收斂性和精度。 表明文章提出對(duì)灰狼算法的3 種融合改進(jìn)策略可以有效提高收斂性和精度。

(2) 多閾值分割對(duì)比了MSGWO 與其他新型元啟發(fā)式算法。 從分割結(jié)果上看，MSGWO 可取得峰值信噪比和特征相似性中至少一項(xiàng)指標(biāo)的最高分，分割精度高。 從分割過(guò)程看，MSGWO 具有更加快速的收斂性，達(dá)到與次優(yōu)算法相同的最小收斂值，MSGWO 的迭代次數(shù)平均可節(jié)省64.3%。