侯玉蓮

［摘 要］在小數(shù)除法學習中體會運算一致性不可或缺。教學可以分三步走：一是基于整體思想梳理教材，為解決問題奠定基礎；二是通過前測數(shù)據(jù)，準確把握學生的學情，為教學提供依據(jù)；三是創(chuàng)新課堂教學，通過口算引入、多元表征、遷移推理、對比梳理等方式，使學生學以致用，發(fā)現(xiàn)數(shù)學運算的本質與一致性，提高學習力、遷移力與數(shù)學素養(yǎng)。

［關鍵詞］小數(shù)除法；以理驅法；運算一致性

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0053-04

所謂運算一致性，就是算理和算法相互貫通。從本質上說，運算一致性不是指向知識，而是指向方法與思想；不是碎片化，而是對數(shù)學知識體系的整體構建與結構化合攏。就小學除法而言，學生可能會誤認為整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)除法的算理和算法不一樣。實際上，通過整體梳理可以找出三者之間的聯(lián)系點與一致性，做到前后勾連、環(huán)環(huán)相扣、整體理解。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》明確指出運算教學應體現(xiàn)數(shù)學的整體性與一致性。過去，“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”是兩個主題，現(xiàn)在已經(jīng)整合為“數(shù)與運算”一個主題。這樣的調(diào)整為我們提供了新的課改風向標。教師應該認識到并正視運算一致性的重要性，秉持一種“用一根線串起珠子”的教學觀與方法觀，以結構重建的方式進行關聯(lián)性開發(fā)，將零散的知識內(nèi)容串起來，這樣才能為學生學習力的提升提供建設性思路。

一、梳理教材尋找支點

當下的數(shù)學教學中，“唯教材是從”的現(xiàn)象仍然存在?；诮滩耐七M教學的優(yōu)勢是能夠抓住重難點完成教學任務。但弊端也是顯而易見的，即缺乏整體，知識與知識、單元與單元之間不能關聯(lián)在一起。教師不一定要“唯教材是從”。由此，基于學理與算理層面梳理教材、尋找支點成為關鍵。這里的“支點”，在作用上指向“橋梁”作用，能夠貫通前后知識點；在方法上指向舉一反三，做到由零散呈現(xiàn)過渡到本質勾連。

人教版教材的“小數(shù)除法”單元安排了五道例題，兼顧了小數(shù)除法的不同類型。其中“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”比較簡單，只需注意小數(shù)點的位置；“一個數(shù)除以小數(shù)”注重商不變的性質；“商的近似數(shù)”注重“四舍五入”；“循環(huán)小數(shù)”注重循環(huán)節(jié)；“用計算器探索規(guī)律與解決問題”重在實踐、應用與印證。盡管這樣的編排分類細致，由易到難，但給學生留下了“難度很大”的印象。教師不妨整體把握，將單元分為兩個課時：“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”和“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”。這兩個課時相互融合（前者是后者的基礎及應用，后者可以看作是前者的變式），算理相同（將計數(shù)單位不斷細分），完全可以通過轉化思想展現(xiàn)運算的一致性，達到構建“知識樹”的目的。厘清小數(shù)除法的算理是貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法的支點。教師應該基于單元教學框架，從整體上對教學內(nèi)容進行優(yōu)化重組（如圖1）。

將五道例題的教學分為兩個關鍵課時，一方面在于整體建構知識，另一方面在于解決問題。從整數(shù)除法到小數(shù)除法，再到后期的分數(shù)除法，有超越單個范疇、可綜合運用的大概念，可以通過總體的算理貫穿各自的算法，不是簡單意義上的增減，而是知識結構上的簡化。其中，感悟小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性不可或缺。

二、分析學情找準切入點

1.化繁為簡，算式導入

對教材的結構性整合，首先從知識的導入開始。在“小數(shù)除法”中，人教版教材編排了跑步的情境為導入環(huán)節(jié)，但缺乏支撐性的算理情境——千米和米之間的單位換算情境。筆者經(jīng)過思考，決定先設計兩道前測題，對學生的小數(shù)除法計算能力進行測試并分析。

前測1：小吳用22.4元買了4支筆，每支筆的價格是多少？請寫出計算過程并說出理由。

前測2：22.4÷4=（），將商填在括號中并說出理由。

經(jīng)過統(tǒng)計與分析，筆者發(fā)現(xiàn)平均正確率超過了97%，這意味著絕大多數(shù)學生計算“22.4÷4”已不存在問題，通過情境提供思考的框架其實意義不大。筆者進一步調(diào)研發(fā)現(xiàn)，借助“元、角、分”進行單位轉化的學生少之又少。這說明學生已經(jīng)有了由抽象到形象的運算能力，情境的作用較弱。因此，通過生硬的情境引入新知識的方式應該舍棄，直接從運算的一致性導入新課反而是有效的方式。

2.分析起點，構想策略

為透徹了解學生的學習起點，了解學生的前知識結構，考查學生對除法算理的掌握情況，知曉學生遇到的困難，筆者以算式“16÷5”為切入點進行測試。通過學生的解題過程，分析學生對除法知識的掌握情況，具體內(nèi)容見表1。

盡管這次測試的正確率為77.8%，但一部分學生是口算或憑借數(shù)感得到正確答案的，并未真正理解運算的一致性，未從整體思想出發(fā)進行知識遷移與內(nèi)化。鑒于此，教師應舍棄算法多樣化，重組教學材料，重構教學框架，注重算法、算理的一致性，鋪設一條前后銜接的整體教學之路，實現(xiàn)教學效益的最大化。

三、教學實踐過程

1.口算引入，引發(fā)認知沖突

既然有一部分學生不理解算理，那么針對“16÷5”的商究竟是用帶有余數(shù)的形式表示，還是用小數(shù)表示？教師應從整數(shù)除法入手，逐步過渡到小數(shù)除法，進行知識脈絡的續(xù)接。由此，整數(shù)、小數(shù)的相關知識勾連在一起，為教學運算一致性埋下伏筆。

比如，口算“16÷5”“9÷4”，學生很容易地得出結論為16÷5=3……1，9÷4=2……1。針對余數(shù)，教師不妨質疑：“有余數(shù)的除法是舊知識，有別的答案嗎？個別同學的答案中有小數(shù)，是否正確？”這些計算題看似簡單，實則是整數(shù)除法到小數(shù)除法的過渡。其中，對余數(shù)的質疑比較關鍵，能促使學生產(chǎn)生究竟要不要繼續(xù)細分“1”的念頭。這樣的思考指向溯源性思考，使得新舊知識之間有了聯(lián)系，便于學生建立新的認知結構，這正是運算一致性的體現(xiàn)。

2.多元表征，體會算理原理

細致分析學生在計算“16÷5”時出錯的原因，是因為不知道怎么處理余數(shù)“1”，即學生缺乏對運算一致性的整體把握與理解。教師不妨引領學生認真觀察豎式特征，通過多元表征，完成前后知識的勾連。

讓學生先呈現(xiàn)用豎式計算的過程，再把想法畫出來。

圖2是一個學生寫的計算過程。

教師提出問題：“你為什么這么寫呢？”這個學生因為已經(jīng)理解了其中的算理，所以脫口而出：“我把余下的1看成了10個0.1?！苯處熢诳隙ǖ耐瑫r進一步追問：“那么，2呢？”這個學生稍作思考后說出過程及理由：“既然10個0.1除以5的結果是2個0.1，那么3后面點上小數(shù)點就是必然的，而2寫在十分位上也是必然的，因為這里表示的是2個0.1?！?/p>

上述過程彰顯著新舊知識的聯(lián)結，彰顯著運算一致性的貫通，引發(fā)了學生的層層思考，調(diào)動了學生的已有經(jīng)驗，進行多元表征。從表面上看，是一位數(shù)變成兩位數(shù)，實際上，計數(shù)單位更小，這正是小數(shù)的意義。這種不斷細分的過程，無疑是計算整數(shù)、小數(shù)乃至分數(shù)除法時都要經(jīng)歷的過程。

3.遷移推理，感受運算本質

在小數(shù)除法算理教學中，教師不能只關注把幾個一轉化成幾十個十分之一，還要秉持舉一反三與遷移推理的原則，引領學生不斷細分，從一次到多次，貫通所有的小數(shù)除法算理，真正達到“一通百通”的效果。

例如，在計算“9÷4”時，學生的豎式中出現(xiàn)了1與2，教師不失時機地追問這兩個數(shù)表示的意義，學生通過討論意識到，既然1這個計數(shù)單位不夠分了，那么就必須繼續(xù)細分，從而產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位——0.1。照此推理，余幾個0.01，可以繼續(xù)添0，變成幾個0.001，不斷細分，直到解決問題為止。這不就是整數(shù)除法的規(guī)律嗎？由此，學生發(fā)現(xiàn)了兩者之間的聯(lián)通點。

從直觀形象的小數(shù)除法豎式入手，學生不難理解細分的意義和作用，當然也認識到“數(shù)的意義”與“數(shù)的運算”之間的關聯(lián)，前者為后者的基礎，后者是對前者的再應用與佐證。同時，學生也理解數(shù)的表示與運算方法的一致性，整數(shù)除法與小數(shù)除法在算理上的一致性。這樣的遷移推理不應小覷，應視作運算教學中的一個重點而大力應用。

4.對比梳理，凸顯算理一致

從上述計算中，學生已經(jīng)理解：無論是整數(shù)除法還是小數(shù)除法，“被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變”的原理是通用的。那么，學生在計算時完全可以將新知轉化為舊知。當然，前提是讓學生理解轉化的原理。學生一旦理解了算理，確定小數(shù)點的位置就變得容易了。筆者的做法是通過兩次對比進行梳理。

第一次對比，讓學生計算并觀察“1.6÷0.5”和“16÷5”的商，學生想：兩個算式的商是一樣的，是因為整數(shù)除法中商不變的性質在小數(shù)除法中也是適用的。

第二次對比，展示學生完成的幾組除法豎式（包括錯解，如圖3），通過對比、歸納、匯報、交流，體會運算一致性。

從對比中，學生發(fā)現(xiàn)把“9÷0.4”看成“90÷4”，實際上就是利用了商不變的性質。而“商不變”的關鍵在于除數(shù)與被除數(shù)必須要同時變化，如果只有其中一個數(shù)變化，就會出現(xiàn)錯位，過渡到小數(shù)，就會出現(xiàn)小數(shù)點位置點錯的問題。可見，理解了整數(shù)除法的意義、算法、算理，轉化思想的滲透就自然而然達成了，循著轉化這一路徑，明算理，清算法，學生辨析錯解變得容易，得出正確答案也變得容易。

以上環(huán)節(jié)用算理貫穿始終，在變中找不變，在“運算一致性”中“多走了幾個來回”，使學生形成科學嚴謹?shù)乃季S，增強推理意識?？梢?，整合小數(shù)除法單元，梳理知識脈絡，歸納知識體系，總結運算一致性，對學生學習數(shù)學很有好處。教師應該進行系統(tǒng)化建構，將單薄斷層變?yōu)樨S厚連續(xù)，為培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)提供支撐力，同時應通過整體的起承轉合，引導學生學以致用，發(fā)現(xiàn)數(shù)學運算的本質與一致性。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王玉彬，姚穎.探索運算本質 ? 構建運算聯(lián)系：數(shù)的運算“一致性”的探索實踐與研究[J].小學數(shù)學教育，2022（9）：26-27.

[2] 侯燕妍.以理驅法，體會運算一致性：小數(shù)除法算理教學思考與實踐［J］.教學月刊小學版（數(shù)學），2023（Z1）：60-63.

[3] 馮玉新.注重“一致”整體施教 ? 貫通“理法”促進學習：以“一個數(shù)除以分數(shù)”為例［J］.福建教育，2023（1）：55-57.

（責編 黃 露）