陳俊生 徐承凱 高 強(qiáng)

（1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510640；2.華南巖土工程研究院，廣東廣州 510640）

0 引言

目前盾構(gòu)法已經(jīng)成為城市地鐵隧道的重要施工方法，同時(shí)，盾構(gòu)法施工引起的地表沉降以及對(duì)周邊環(huán)境的影響也成為重要課題。當(dāng)前針對(duì)盾構(gòu)施工地表沉降問(wèn)題而提出的理論大致可以分為兩類：一類是將土體看作分散運(yùn)動(dòng)體，采用隨機(jī)介質(zhì)理論對(duì)巖土體的運(yùn)動(dòng)加以研究[1-2]；另一類是將土體看作半無(wú)限彈性體進(jìn)行求解，如C.Sagaseta 法[3]、Mindlin 解[4]等。本文主要延續(xù)運(yùn)用Mindlin 解推導(dǎo)地表沉降曲線的思路，該思路首先由魏 綱等[5]提出，利用彈性力學(xué)Mindlin 解推導(dǎo)出盾構(gòu)機(jī)正面推力和盾殼周邊摩擦力引起的縱向地面變形公式。Shi 等[6]基于經(jīng)典的Mindlin 彈性理論，建立了土體與土壓平衡盾構(gòu)相互作用的模型，采用積分方法求解了土體在盾構(gòu)機(jī)殼體作用下引起的地表沉降。金波等[7]利用積分變換和邊界積分方法求解任意層數(shù)彈性體平面應(yīng)變和軸對(duì)稱問(wèn)題的Mindlin 解，并利用Somigliana 關(guān)系式計(jì)算彈性體內(nèi)部任意點(diǎn)位移。楊敏等[8]建立了廣義的Mindlin 課題解，利用軸對(duì)稱彈性層狀理論和矩陣遞推的方法得到多層彈性地基內(nèi)部任意點(diǎn)的應(yīng)力和位移表達(dá)式。魏綱等[9]根據(jù)彈性力學(xué)Mindlin 解，計(jì)算土體損失、正面附加推力和盾構(gòu)摩擦力等多因素引起的土體變形理論解，同時(shí)基于統(tǒng)一土體移動(dòng)模型解計(jì)算土體損失引起的土體變形理論解。邱明兵等[10]基于Mindlin 應(yīng)力解，利用積分和回代的方法求解了均布荷載作用下土體內(nèi)部任意一點(diǎn)的豎向應(yīng)力系數(shù)初等解。

從上軟下硬復(fù)合地層盾構(gòu)施工引起地層沉降的典型背景工程問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)分析盾構(gòu)施工過(guò)程中盾構(gòu)與土體之間復(fù)雜的相互作用，總結(jié)出影響復(fù)合地層施工沉降的主要因素；基于Mindlin 解分析復(fù)合地層沉降問(wèn)題時(shí)，將復(fù)合地層等效為均勻地層，建立雙坐標(biāo)體系得到掌子面和盾殼上各自作用力的地層沉降值；基于擴(kuò)展Mindlin 解分析問(wèn)題時(shí)，引入層面狀態(tài)向量，有效地解決了復(fù)合地層地表沉降計(jì)算問(wèn)題。最后對(duì)盾構(gòu)與土體相互作用所引起的土體變形特征進(jìn)行分析，并結(jié)合背景工程的沉降數(shù)據(jù)，進(jìn)一步驗(yàn)證了兩種計(jì)算方法的合理性。

1 復(fù)合地層盾構(gòu)施工力學(xué)問(wèn)題

1.1 復(fù)合地層施工沉降因素分析

對(duì)于土層中進(jìn)行盾構(gòu)施工引起地表沉降的力學(xué)問(wèn)題，學(xué)者們提出了多個(gè)模型，包括基于經(jīng)驗(yàn)的Peck模型、基于隨機(jī)介質(zhì)理論的地層損失模型等。盾構(gòu)推進(jìn)時(shí)與周邊土體發(fā)生復(fù)雜的力學(xué)作用，根據(jù)引起地面發(fā)生變形的作用方式的不同，可以分為如下主要因素：

（1）掌子面附加推力Δp；

（2）刀盤(pán)扭矩與周圍土體之間的摩擦力fc；

（3）盾殼周邊的摩擦力f；

（4）盾尾同步注漿壓力ps；

（5）地層損失率ρ。

針對(duì)以上因素，唐曉武等[11]指出刀盤(pán)扭矩與周圍土體之間的摩擦力fc對(duì)地表沉降的貢獻(xiàn)微小，可忽略不計(jì)。梁榮柱等[12]指出注漿壓力ps與地層損失率 ρ引起的前方土體位移微小，基本可以忽略其影響，而盾殼周邊的摩擦力f與掌子面附加推力 Δp是盾構(gòu)施工引起前方土體位移的主要因素。王智德等[13]指出在盾構(gòu)通過(guò)后，地層損失率 ρ是影響地表沉降的重要因素。鄧皇適等[14]指出計(jì)算模型的不同會(huì)極大地影響地層損失率 ρ產(chǎn)生的地表沉降值計(jì)算準(zhǔn)確度。Shi 等[6]指出掌子面附加推力Δp和盾殼周邊摩擦力f在地表沉降問(wèn)題中引起彈性變形，地而層損失率 ρ引起塑形變形和不可逆變形。

1.2 復(fù)合地層施工受力分析及基本假定

為了更好地驗(yàn)證擴(kuò)展Mindlin 解在復(fù)合地層中的適用性，綜合考慮1.1 所述因素，選取了盾殼通過(guò)期間的階段沉降數(shù)據(jù)。由于土體損失主要是由于盾尾通過(guò)后產(chǎn)生的建筑空隙引起的，考慮到盾構(gòu)通過(guò)期間開(kāi)挖卸載產(chǎn)生的土體損失較小[5,15]，隨著盾構(gòu)施工的進(jìn)行，已施工部分對(duì)周圍土體的作用力會(huì)隨著注漿的進(jìn)行而逐漸消散，盾構(gòu)施工對(duì)周圍土體的作用力主要通過(guò)盾殼傳遞到周圍土體，從而確定盾殼周邊的摩擦力f和掌子面附加推力 Δp為影響地表沉降的關(guān)鍵因素。此外，為了反映盾構(gòu)頂進(jìn)時(shí)的普遍規(guī)律，特做如下假定：

（1）土體不排水固結(jié)且為均質(zhì)的線彈性半無(wú)限體；

（2）盾殼周邊的摩擦力均勻分布；

（3）盾構(gòu)的推進(jìn)僅為空間位置上的變形，不考慮時(shí)間效應(yīng)。

Shi 等[6]推導(dǎo)出盾殼周邊摩擦力由上覆壓力乘以摩擦系數(shù)得到，即：

式中：p0為 盾殼中部處的靜止土壓力；p1為盾殼底部的靜止土壓力；p2為 盾殼頂部的靜止土壓力；μ為土體與盾殼之間的摩擦系數(shù)，可以按照文獻(xiàn)[6]進(jìn)行選取。

掌子面上的分布力是由于盾殼的頂推而產(chǎn)生的，假定背景工程中的土體已經(jīng)自然沉降完成，土體自身的土壓力不再引起地層變形，因此對(duì)于分布在掌子面上的作用力：

式中：p為正面頂推力；p0為 掌子面上的土壓力，按p0=k0γH計(jì)算，k0為土體靜止土壓力系數(shù)，k0=1-sinφ。

盾殼周邊摩擦力f和掌子面上的分布力Δp兩者組合后的力學(xué)模型如圖1 所示。

圖1 盾構(gòu)施工力學(xué)模型

2 均勻地層的Mindlin 解

2.1 Mindlin 基本解

式中：x、y、z為土體內(nèi)任意一點(diǎn)坐標(biāo)；E為變形模量；μ為泊松比；c為集中力P到地表的距離。

為解決Mindlin 解要求荷載作用點(diǎn)位于z 軸,c)的弊端，建立雙坐標(biāo)系以便于計(jì)算，坐標(biāo)系(x,y,z)為 全局坐標(biāo)系，坐標(biāo)系 (ξ,ζ,η)為局部坐標(biāo)系，局部坐標(biāo)ξ、ζ 距全局坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離分別為 ξ0、ζ0，則有

2.2 附加推力沉降計(jì)算

積分計(jì)算示意圖如圖3 所示，取掌子面內(nèi)微元面積rdrdθ，通過(guò)積分得到掌子面區(qū)域內(nèi)均布荷載引起的地表豎向位移計(jì)算公式

圖3 附加推力積分示意圖

式中：D為隧道直徑；Δp為掌子面附加推力；H為隧道軸線埋深；R1、R2分別為

2.3 盾殼周邊摩擦沉降計(jì)算

利用Mindlin 解[4]，由盾殼周邊摩擦引起的地表變形可以通過(guò)取盾構(gòu)側(cè)面微元面積Rdθdl進(jìn)行積分來(lái)求解

式中：f為盾殼與周邊巖土體之間單位面積摩擦力；L為盾殼長(zhǎng)度；l為積分微面到盾殼切口處的距離；R為盾殼半徑值；R1、R2分別為

從Mindlin 解的應(yīng)用過(guò)程中可以看到：對(duì)于圖1所示的力學(xué)模型，Mindlin 解能夠通過(guò)積分方法反映盾構(gòu)機(jī)對(duì)周圍土體的作用情況，適用于不同埋深的隧道情況，使用簡(jiǎn)單。但應(yīng)該注意到Mindlin 解的應(yīng)用前提是均勻的半無(wú)限土體，在面對(duì)復(fù)合地層時(shí)，從彈性力學(xué)基本方程出發(fā)推導(dǎo)地層沉降表達(dá)式，是工作量巨大且不具備泛用性的，復(fù)合地層相對(duì)復(fù)雜的邊界條件，也使得無(wú)法從伽遼金矢量組合的法進(jìn)行求解。

3 復(fù)合地層的擴(kuò)展Mindlin 解

實(shí)際工程中遇到的地層大多都是層狀地層，采用Mindlin 解往往存在較大的誤差。艾智勇等[16]將復(fù)合地層中作用集中力時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)的彈性力學(xué)問(wèn)題稱作擴(kuò)展Mindlin 解，并根據(jù)彈性層狀理論和矩陣遞推方法得到了可用的擴(kuò)展Mindlin 解。

作為我國(guó)財(cái)務(wù)學(xué)科的老一輩帶頭人之一，谷祺教授為財(cái)務(wù)學(xué)科的發(fā)展做出了杰出貢獻(xiàn)。他順應(yīng)形勢(shì)發(fā)展和改革的需要，在總結(jié)幾十年教學(xué)、科研成果和充分吸收國(guó)內(nèi)外經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，從20世紀(jì)80年代開(kāi)始，相繼主編了《工業(yè)企業(yè)財(cái)務(wù)管理》《財(cái)務(wù)預(yù)測(cè)與控制》和《財(cái)務(wù)管理學(xué)》，實(shí)現(xiàn)了財(cái)務(wù)學(xué)由傳統(tǒng)的蘇聯(lián)式部門(mén)財(cái)務(wù)管理向現(xiàn)代意義上的企業(yè)財(cái)務(wù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，發(fā)展和完善了企業(yè)理財(cái)?shù)睦碚撆c方法體系。

3.1 傳遞矩陣的推導(dǎo)

艾智勇等[16]推導(dǎo)出非軸對(duì)稱荷載作用下單層地基的初始函數(shù)解答見(jiàn)式（7）、式（8）；引入中間參數(shù)uv、uh、τvz、τhz見(jiàn)式（9）和位移與應(yīng)力的級(jí)數(shù)形式，并結(jié)合Hankel 變換[17]進(jìn)行簡(jiǎn)化見(jiàn)式（10）、式（11），可由彈性力學(xué)基本方程得到彈性半無(wú)限體位移與應(yīng)力的遞推形式和遞推矩陣見(jiàn)式（12）、式（13）。

式中：[Ψ]、[T]為傳遞矩陣。

3.2 復(fù)合地層內(nèi)部位移解析解

假設(shè)在計(jì)算時(shí)將土層用n個(gè)層面進(jìn)行劃分，對(duì)每一個(gè)層面的接觸條件進(jìn)行Hankel 變換，并假設(shè)水平作用力Q作用于第m個(gè)層面，則得到層面接觸條件：

根據(jù)層面間的遞推方程式，可以得到多層遞推式：

式(15)、式(16)的結(jié)果還需要經(jīng)過(guò)Hankel 逆變換得到最終結(jié)果：

上述擴(kuò)展Mindlin 解的求解過(guò)程可以有效適用復(fù)合地層內(nèi)部作用集中力的情況，但應(yīng)當(dāng)注意到，為層面狀態(tài)向量，使得擴(kuò)展Mindlin 最終得到的是若干層面上的位移與應(yīng)力狀態(tài)，而非一個(gè)連續(xù)的結(jié)果。在面對(duì)存在沿深度方向的連續(xù)力時(shí)，擴(kuò)展Mindlin 解會(huì)難以反映力全貌。對(duì)此，將圖1 所示的力學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，化分布力為層面上的集中力，對(duì)于某夾層土上的分布力情況，按照式（1）得到如圖4 所示的層面集中力情況，并應(yīng)用擴(kuò)展Mindlin 解，見(jiàn)式（18）。

圖4 某夾層受力情況

假設(shè)將土層分為n層，其中存在分布力的區(qū)域分為m層，應(yīng)用擴(kuò)展Mindlin 解后的結(jié)果為

從式（19）、式（20）可以看到，如果將土層劃分得更細(xì)致，得到的結(jié)果也會(huì)更精確，但運(yùn)算量會(huì)呈指數(shù)增加，求解難度變得極大。

4 工程實(shí)例

珠海市區(qū)到珠海機(jī)場(chǎng)城際軌道交通工程中，拱北至橫琴區(qū)段地鐵盾構(gòu)隧道圍巖為典型的復(fù)合地層，選取該區(qū)段進(jìn)行相關(guān)研究。沿線隧道穿越的地層為粉質(zhì)黏土（上部）和中等風(fēng)化花崗巖（下部），下部巖層的單軸抗壓強(qiáng)度能達(dá)到上部土層無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度的10 倍，下部巖層的變形模量可達(dá)上部土層的20 倍，上下地層的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。在復(fù)合地層區(qū)段內(nèi)，對(duì)地鐵隧道右行線設(shè)置了6 個(gè)截面（A1-A6）進(jìn)行地表沉降的監(jiān)測(cè)，每個(gè)監(jiān)測(cè)截面均垂直隧道軸線設(shè)置多個(gè)沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置如圖5所示。

表1 背景工程相關(guān)土層參數(shù)

圖5 科研段內(nèi)監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置情況

科研段內(nèi)土層起伏較為明顯，A1-A6 斷面具有不同的軟硬地層比例，A1-A6 軟土層厚度占比見(jiàn)表2。

表2 科研段內(nèi)不同監(jiān)測(cè)斷面盾構(gòu)軟土層厚度占比

以A2-A2、A3-A3、A4-A4 斷面地表沉降數(shù)據(jù)分析兩種方法得到結(jié)果的合理性，不同計(jì)算方法與實(shí)測(cè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)得到的地表沉降情況如圖6-圖8 所示，A2-A4 斷面地表三維沉降如圖9 所示，圖中的沉降數(shù)據(jù)為刀盤(pán)面推進(jìn)到Y(jié)DK10+706 時(shí)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，此時(shí)盾殼的幾何中心正好經(jīng)過(guò)A4-A4 斷面，此時(shí)盾構(gòu)機(jī)正處于通過(guò)階段。

圖7 A3-A3 斷面沉降情況

圖8 A4-A4 斷面沉降情況

圖9 A2—A4 斷面地表三維沉降圖

距離隧道軸線的水平距離/m

從圖6-圖9 中可以看到，Mindlin 解由于采用將復(fù)合地層簡(jiǎn)化為均質(zhì)地層來(lái)求解，計(jì)算附加推力和盾殼周邊摩擦力所選取的參數(shù)基本一致，得到的結(jié)果在不同軟硬土層厚度比的復(fù)合地層缺乏特應(yīng)性，但Mindlin 解得到的結(jié)果與不同斷面得到的實(shí)測(cè)結(jié)果相比，沉降值偏大。擴(kuò)展Mindlin 解得到的結(jié)果與監(jiān)測(cè)值擬合較好。

5 結(jié)論

(1)從Mindlin 解出發(fā)，將復(fù)合地層簡(jiǎn)化為較弱層的均勻地層，通過(guò)積分方法得到一個(gè)精確的地層沉降計(jì)算結(jié)果，具有計(jì)算快速、應(yīng)用簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，而計(jì)算所得的地層沉降偏大，可以作為工程設(shè)計(jì)參考。

(2)擴(kuò)展Mindlin 解采用矩陣遞推解決了位移與應(yīng)力在不同層面之間的傳遞問(wèn)題，只需要在集中力作用平面及土層交界面設(shè)置狀態(tài)向量，并建立遞推關(guān)系，再結(jié)合邊界條件即可得到特定層面的位移與應(yīng)力情況。但是由于擴(kuò)展Mindlin 解實(shí)現(xiàn)的只是層面間的應(yīng)力位移傳遞，不是一個(gè)精確的連續(xù)解，因此其對(duì)于沿深度方向分布連續(xù)作用力的情況并不適用。

(3)背景工程監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)證明了擴(kuò)展Mindlin 解引入層面狀態(tài)向量和的計(jì)算方法具備一定的可行性，但缺點(diǎn)是反演的工作量會(huì)隨著層面劃分?jǐn)?shù)量而呈指數(shù)增加。