姚必

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：函數(shù)是從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程，是探索具體問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要模型[1]．其中，“一次函數(shù)圖象”不僅是函數(shù)知識(shí)的入門基礎(chǔ)，還是解決其它實(shí)際問(wèn)題的重要手段[2]．通過(guò)“一次函數(shù)圖象”的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)的圖象，并且根據(jù)圖象了解一次函數(shù)的性質(zhì)，從而掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想[3～4]．知識(shí)空間理論（簡(jiǎn)稱KST）為基于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的知識(shí)和學(xué)習(xí)評(píng)估的發(fā)展提供了一個(gè)有效的數(shù)學(xué)理論框架，能有效地診斷學(xué)生對(duì)于某一個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的掌握情況[5]．知識(shí)空間理論在國(guó)外已經(jīng)廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知診斷中，但是在國(guó)內(nèi)，與該理論相關(guān)的實(shí)證研究?jī)H僅局限于化學(xué)教學(xué)實(shí)踐[6～7]．因此，本研究應(yīng)用知識(shí)空間理論對(duì)八年級(jí)學(xué)生的“一次函數(shù)圖象”的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行具體描述和深入分析．

2 知識(shí)空間理論

Doignon和Falmagne認(rèn)為：?jiǎn)栴}與對(duì)應(yīng)的知識(shí)之間存在聯(lián)系[8]．如果學(xué)習(xí)者能夠解答某個(gè)問(wèn)題，那么該學(xué)習(xí)者擁有這個(gè)問(wèn)題相應(yīng)的知識(shí)[8]．將某一個(gè)領(lǐng)域看成相關(guān)問(wèn)題組成的集合Q[8]．問(wèn)題有高低層次之分，如果作答者能解決高層次的問(wèn)題，那么也一定可以解決相應(yīng)的低層次問(wèn)題[8]．將各個(gè)層次問(wèn)題之間的關(guān)系稱為推測(cè)關(guān)系（surmise relation），符合推測(cè)關(guān)系的集合稱為知識(shí)狀態(tài)（knowledge state）[8]．所有知識(shí)狀態(tài)加上空集和集合Q組成的集合稱為知識(shí)結(jié)構(gòu)（knowledge structure），記為（）Qκ，[8]．若（）Qκ，滿足對(duì)并運(yùn)算的封閉性，即知識(shí)狀態(tài)的任意并還是知識(shí)狀態(tài)，則（）Qκ，稱為知識(shí)空間（knowledge space）[8]．在知識(shí)空間中，我們用箭頭表示包含的覆蓋關(guān)系，如果L是包含知識(shí)狀態(tài)K的極小知識(shí)狀態(tài)，那么存在從知識(shí)狀態(tài)K到知識(shí)狀態(tài)L的箭頭，以空集為起始點(diǎn)、全集為終止點(diǎn)，將各個(gè)知識(shí)狀態(tài)通過(guò)一定的順序依次連接起來(lái)，建立具有層級(jí)關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[8]．每一個(gè)從空集到全集的知識(shí)狀態(tài)組合，形成問(wèn)題有序增長(zhǎng)的組合稱為分級(jí)[6]．各個(gè)分級(jí)中，可以找到一條具有最大出現(xiàn)概率的問(wèn)題有序組合，我們稱這個(gè)問(wèn)題的有序組合為關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑[8]．

3 研究方法

3.1 研究對(duì)象

本研究選取江蘇省蘇州市吳江區(qū)某中學(xué)八年級(jí)兩個(gè)普通班共102名學(xué)生進(jìn)行專題測(cè)試．這兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)整體相當(dāng)．在八年級(jí)第二學(xué)期進(jìn)行測(cè)試，參與本次測(cè)試的學(xué)生對(duì)于“一次函數(shù)圖象”的知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶中，測(cè)試結(jié)果可以較好地體現(xiàn)學(xué)生關(guān)于該知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)情況．

3.2 研究工具

本研究基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》，使用《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（八年級(jí)上）》（江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社），先初步篩選測(cè)試題，再結(jié)合專家型數(shù)學(xué)教師的建議對(duì)測(cè)試題進(jìn)行修改，最后征求專家教授的建議對(duì)測(cè)試題進(jìn)行精選．本研究測(cè)試卷涉及6個(gè)知識(shí)點(diǎn)，詳見表1．其中，知識(shí)點(diǎn)的序號(hào)代表了專家預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑．

3.3 研究流程

在八年級(jí)第二學(xué)期的第一個(gè)月內(nèi)完成“一次函數(shù)圖象”的專題測(cè)試．測(cè)試結(jié)束后，筆者回收試卷，批改學(xué)生的作答結(jié)果和記錄學(xué)生的答題情況．將學(xué)生答對(duì)、答錯(cuò)的情況分別記錄為1和0，則測(cè)試卷上所有問(wèn)題的解答情況可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)有序數(shù)字組合．該組合就是學(xué)生的反應(yīng)模式．例如，某位學(xué)生僅答對(duì)了第1、2、3、5題，那么該學(xué)生的反應(yīng)模式為[111010]……

3.4 數(shù)據(jù)處理

參考知識(shí)空間理論，本研究使用python語(yǔ)言自主設(shè)計(jì)相關(guān)算法程序，并且將所有的反應(yīng)模式和相應(yīng)的人數(shù)作為原始數(shù)據(jù)．本研究的算法程序需要經(jīng)歷兩個(gè)過(guò)程．首先，統(tǒng)計(jì)每一個(gè)反應(yīng)模式所對(duì)應(yīng)學(xué)生的人數(shù)，并且獲取相應(yīng)的知識(shí)狀態(tài)；同時(shí)，根據(jù)問(wèn)題之間的推測(cè)關(guān)系，添加必要的工作假設(shè)（working hypothesis）[9]，從而建立完整的知識(shí)空間．通過(guò)可視化功能，呈現(xiàn)知識(shí)空間的示意圖．其次，計(jì)算反應(yīng)模式的概率，并且通過(guò)概率值確定關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑．在此過(guò)程中，基于已有文獻(xiàn)[679]，，的研究，該程序設(shè)定猜測(cè)幸運(yùn)（lucky guess）和粗心失誤（careless error）的概率均為0.1．

4 研究結(jié)論

4.1 學(xué)生的答題情況

學(xué)生總體的平均答對(duì)率為45.15%．其中，每一道題的平均答對(duì)率詳見表2．

由表2可見，第1題的答對(duì)率最高．結(jié)合表1中對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的說(shuō)明，可以發(fā)現(xiàn)“用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生的掌握較為熟練．進(jìn)一步地，由學(xué)生答題情況的質(zhì)性分析還表明：學(xué)生對(duì)圖象過(guò)于依賴，導(dǎo)致學(xué)生缺乏函數(shù)圖象和函數(shù)解析式之間轉(zhuǎn)化的能力．同時(shí)，第4題的答對(duì)率明顯較低．根據(jù)學(xué)生解答過(guò)程的分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生傾向于默認(rèn)“單調(diào)性”為“單調(diào)遞增”，而往往會(huì)忽視“單調(diào)遞減”這種情況．究其原因，結(jié)合對(duì)任課教師的深度訪談，是教學(xué)中教師通常會(huì)以單調(diào)遞增的函數(shù)作為例題和練習(xí)題．此外，由表2還可見，第3題的答對(duì)率最低．這充分說(shuō)明對(duì)于定點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生的理解和掌握有嚴(yán)重的欠缺．深度分析教材內(nèi)容，其原因很可能是由于教材中未詳細(xì)解釋和區(qū)分“原點(diǎn)”和“定點(diǎn)”的內(nèi)涵，導(dǎo)致絕大多數(shù)學(xué)生無(wú)法對(duì)“正比例函數(shù)圖象”實(shí)施有效的思維拓展．

4.2 學(xué)生的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑

八年級(jí)學(xué)生關(guān)于“一次函數(shù)圖象”的知識(shí)空間的示意圖詳見圖1．關(guān)于“一次函數(shù)圖象”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，圖1顯示了知識(shí)狀態(tài)的數(shù)量較多，并且知識(shí)狀態(tài)之間的連線也較多．由此可見，八年級(jí)學(xué)生關(guān)于該知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)空間的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜．通過(guò)計(jì)算反應(yīng)模式的整體概率，我們可以得到八年級(jí)學(xué)生的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑，如表3所示．

基于學(xué)生關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的分析，可以發(fā)現(xiàn)：“描點(diǎn)法”和“一次函數(shù)的圖象是一條直線”出現(xiàn)的位置處于較前端．這說(shuō)明八年級(jí)學(xué)生將上述兩個(gè)知識(shí)作為“一次函數(shù)圖象”學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．同時(shí)，還可以發(fā)現(xiàn)：“一次函數(shù)的單調(diào)性”以及“正比例函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)”處于學(xué)習(xí)路徑的末端．這說(shuō)明對(duì)于這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生較難理解和掌握．究其原因，可能是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，只有熟練掌握了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生才能將“一次函數(shù)圖象”和“一次函數(shù)解析式”融合起來(lái)，從而有效地解決一次函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)問(wèn)題．進(jìn)一步地，由表3還發(fā)現(xiàn)：學(xué)生實(shí)際的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑與專家預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑存在明顯的差異．例如，知識(shí)點(diǎn)“知道b是與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)”和“掌握一次函數(shù)圖象的平移”出現(xiàn)在學(xué)生實(shí)際的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的中間位置．

5 結(jié)論與建議

5.1 研究結(jié)論

以“一次函數(shù)圖象”為例，本文首次將知識(shí)空間理論應(yīng)用于八年級(jí)學(xué)生代數(shù)關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的探討和分析中，從而為數(shù)學(xué)教育心理學(xué)中的代數(shù)學(xué)習(xí)研究提供了一個(gè)新的視角．研究結(jié)果表明：（1）學(xué)生實(shí)際的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑與專家預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)路徑存在明顯的差異；（2）學(xué)生知識(shí)空間的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，同時(shí)出現(xiàn)了23個(gè)知識(shí)狀態(tài)；（3）學(xué)生在一次函數(shù)單調(diào)性和正比例函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題上的學(xué)習(xí)表現(xiàn)有待改善．

韜爾將函數(shù)的概念作為數(shù)學(xué)認(rèn)知根源，并將函數(shù)的概念分為前程序、程序、過(guò)程、對(duì)象和過(guò)程性概念五個(gè)層次[10]．基于該理論，本次調(diào)研發(fā)現(xiàn)：有極少數(shù)學(xué)生處于前程序階段，對(duì)于畫出一次函數(shù)圖象還一無(wú)所知；大多數(shù)學(xué)生處于程序階段，解題依賴于固定的操作步驟；只有少數(shù)學(xué)生處于過(guò)程階段，能夠熟練應(yīng)用函數(shù)的輸入與輸出，不依賴于固定的操作步驟；僅僅有一到兩位學(xué)生處于對(duì)象層次；沒有學(xué)生能到達(dá)過(guò)程性概念層次．

5.2 教學(xué)建議

基于學(xué)生實(shí)際的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑，我們可以提出如下三點(diǎn)教學(xué)建議． 第一，教師預(yù)設(shè)的教學(xué)設(shè)計(jì)和學(xué)生實(shí)際的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀存在差異．教師需要判斷對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)存在認(rèn)知障礙的知識(shí)點(diǎn)，例如，將“正比例函數(shù)過(guò)原點(diǎn)”放在關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑的后面，體現(xiàn)出學(xué)生尚未熟悉函數(shù)不同表征之間的關(guān)聯(lián)，不知道什么時(shí)候用哪一種表征比較容易解決問(wèn)題．盡管大多數(shù)學(xué)生都知道正比例函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，但是用另一種非標(biāo)準(zhǔn)形式去表示正比例函數(shù)的時(shí)候，學(xué)生會(huì)無(wú)從下手．因此，在后續(xù)的教學(xué)中，教師需要培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別函數(shù)的能力，提升學(xué)生從函數(shù)的一種表征轉(zhuǎn)化到另一種表征的能力． 第二，對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，過(guò)于依賴一次函數(shù)的表達(dá)式，而難以從圖象上獲取相關(guān)信息．教師應(yīng)該在教學(xué)過(guò)程中，將用圖象表示函數(shù)的方法貫穿整個(gè)一次函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，不斷提高學(xué)生用圖象直觀表示函數(shù)的性質(zhì)以及解釋由圖象表示的函數(shù)相關(guān)信息的能力．同時(shí)，教師也可以利用相關(guān)計(jì)算機(jī)軟件來(lái)輔助教學(xué)，比如幾何畫板，將函數(shù)運(yùn)動(dòng)、變換等特點(diǎn)直觀化．

第三，考慮到同一所學(xué)校近幾年的生源比較相似，在下一學(xué)年的教學(xué)中，對(duì)于“一次函數(shù)圖象”這節(jié)課，教師要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)于一次函數(shù)單調(diào)性和定點(diǎn)問(wèn)題的掌握程度，并在教學(xué)后通過(guò)專題訓(xùn)練等方式加以鞏固．同時(shí)，學(xué)生實(shí)際的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑可以為教師的新課教學(xué)提供一定的參考．從學(xué)生實(shí)際的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑中可以看出，學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平仍處于初級(jí)階段，需要教師在新課教學(xué)中重點(diǎn)突出函數(shù)解析式與圖象之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)換．

5.3 研究展望

本研究以“一次函數(shù)圖象”為例，深入探討和具體分析了八年級(jí)學(xué)生的知識(shí)空間結(jié)構(gòu)．在未來(lái)的研究中，對(duì)于不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)生，還可以應(yīng)用知識(shí)空間理論進(jìn)行深入的探討和分析，從而豐富已有的研究成果，進(jìn)而為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程提供更多的實(shí)踐依據(jù)和理論支撐．