呂 寧，趙 欣，羅忠潔，姜金剛

（1.揚州職業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇揚州 225009；2.哈爾濱理工大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150080；3.哈爾濱理工大學(xué)機(jī)械動力工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150080）

1 引言

3D打印作為新興的增材制造技術(shù)，融合了機(jī)械結(jié)構(gòu)、軟件設(shè)計、新型材料、傳感器、自動化控制、人工智能等多個學(xué)科的新技術(shù)，自二十世紀(jì)八十年代以來在機(jī)械零部件、醫(yī)用材料、航空航天、模型模具等領(lǐng)域應(yīng)用日趨廣泛［1?2］。熔融沉積成型（FDM?Fused Deposition Modeling）3D成型工藝基于逐層沉積構(gòu)建原理，具有材料多樣、工藝簡單、成本低等優(yōu)點，常見的FDM 設(shè)備有Delta結(jié)構(gòu)和Cartesian結(jié)構(gòu)，Cartesian型是串聯(lián)機(jī)構(gòu)、運動慣性及累計誤差較大，Delta型并行機(jī)構(gòu)使用剛性臂約束動平臺在三維空間內(nèi)做平移運動，速度較快、動慣性小，具有更大的應(yīng)用場景和更好的發(fā)展前景［3］。目前Delta型并行機(jī)構(gòu)主要有兩種，一種是驅(qū)動器直接帶動連桿，運動速度較高，但難以精確定位，通常應(yīng)用于物料分揀和生產(chǎn)線上的抓取搬移領(lǐng)域；另一種Delta型并行結(jié)構(gòu)采用3?P?2［SS］（P?移動直線副，S?球面副）形式，三組從運動臂以靜平臺為中心呈120°對稱分布，驅(qū)動器通過絲杠或柔性齒帶控制滑塊運動連接動平臺，傳動效率高、運動慣性小、穩(wěn)定性好，易于精確控制［4］。但3?P?2［SS］機(jī)構(gòu)復(fù)雜，制造和裝配等環(huán)節(jié)造成的結(jié)構(gòu)誤差對設(shè)備精度影響很大［5?6］，為此在分析打印過程中機(jī)構(gòu)運動機(jī)理的基礎(chǔ)上提出打印機(jī)參數(shù)精度補償校準(zhǔn)方法，對提高構(gòu)件成型精度具有現(xiàn)實意義。

2 3?P?2［SS］結(jié)構(gòu)3D打印機(jī)工作原理

3?P?2［SS］結(jié)構(gòu)，如圖1所示。機(jī)構(gòu)主要包括由三組運動副驅(qū)動的動平臺、滑動運動副、從動連接臂和工件成型平臺（靜平臺）。其中動平臺是承載打印組件的移動執(zhí)行機(jī)構(gòu)（M1，M2，M3），靜平臺是包括構(gòu)建平臺的機(jī)架非運動部分；滑動運動副由直線導(dǎo)軌、滑塊（P1，P2，P3）和絲杠組成；從動臂以球面副和連桿將移動副和動平臺連接起來，用三個剛性臂約束動平臺在三維空間中運動［7］。工作中對每一層進(jìn)行分層構(gòu)建時動平臺必須始終與工作平臺（構(gòu)建平臺）保持平行以獲得足夠的精度［8?9］。3?P?2［SS］機(jī)構(gòu)3D打印機(jī)運動控制流程，如圖2所示。先讀取機(jī)構(gòu)預(yù)設(shè)幾何約束條件，構(gòu)建出動平臺可移動的空間區(qū)域，根據(jù)規(guī)劃好的分層打印路徑，逐點對移動路徑進(jìn)行運動參數(shù)解算，將平動位移解算為移動副的垂直位移，動平臺以點的形式在工作平臺（靜平臺）上方水平分層進(jìn)行打印構(gòu)建，堆疊出成型件。構(gòu)建過程中動平臺的實際位置數(shù)據(jù)與解算數(shù)據(jù)之間的差值即為動平臺定位精度誤差。

圖1 3?P?2［SS］并聯(lián)傳動機(jī)構(gòu)Fig.1 3?P?2［SS］Parallel Transmission Mechanism Diagram

圖2 3?P?2［SS］機(jī)構(gòu)運動控制流程Fig.2 The Flow Chart of 3?P?2［SS］Motion Control System

3 動平臺特性及垂直精度補償算法

分析動平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)對打印件成型精度的影響，首先需要建立動平臺系統(tǒng)運動模型，需計算的各部分參數(shù)變量定義和機(jī)構(gòu)等效簡化圖，如圖3所示。

圖3 3?P?2［SS］機(jī)構(gòu)參數(shù)定義Fig.3 Parameter Definition of 3?P?2［SS］Mechanism

圖中：Rc—靜平臺機(jī)架立柱中心與動平臺中心水平距離；Rt—立柱的半厚度；Rn—連接桿件下側(cè)球副中心與動平臺中心水平距離；Rj—球副半徑；Lj—球副套長度；Hs—桿件上端球副中心距離移動副底部的垂直距離；Hn—動平臺頂部距離噴嘴底部的距離；Hg—構(gòu)建平臺的厚度；Lr—連桿的長度。

為簡化運動學(xué)計算，定義：

圖3中的打印構(gòu)建平臺（靜平臺）O?C1C2C3理論上為水平面，設(shè)O為三維坐標(biāo)系原點，任一從動臂兩端分別為A點和B點，可定義向量rOA和rOB，其中，i，j，k分別為構(gòu)建平臺坐標(biāo)系在X、Y、Z方向上的單位向量，可得：

式中：?—ReRe與X軸的夾角，進(jìn)而可得到：

式中：li(i= 1，2，3)—移動副高度(i= 1，2，3)，表達(dá)式如下：

對于式（8），動平臺任意一個給定位置可對應(yīng)移動副以平臺垂直中心點的上下兩個位置，理想情況下移動副應(yīng)該在平臺上側(cè)，有：

在有效構(gòu)建打印區(qū)域計算時，除了需要考慮動平臺運動機(jī)構(gòu)各連接件的可運動最大行程外，還需要將3?P?2［SS］機(jī)構(gòu)自身的幾何約束考慮進(jìn)去。

第一類約束：滑動運動副行程受垂直導(dǎo)軌或絲杠的幾何約束：

第二類約束：鉸接從動連桿的方向矢量需指向構(gòu)建平臺，rAB在3軸的其他方向上沒有分量：

第三類約束：球副對連接桿件的運動角度約束：

其中球副的轉(zhuǎn)動角?m受?m球副和連接機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)共同約束，連桿關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度（0~20）°，連接桿件的上下兩端球副轉(zhuǎn)動角相同。另由于球副和連接桿件的結(jié)構(gòu)限制，球鉸的最大轉(zhuǎn)動角度為π/3，因此?m允許的最大轉(zhuǎn)動角為π/9。

在上述約束條件下的打印件可有效構(gòu)建區(qū)域仿真，如圖4所示?？梢娖湫螤罱朴谌R洛圓弧三角形。桿件受力在可打印構(gòu)建的區(qū)域內(nèi)萊洛三角形面上各點是不一樣的，在邊緣區(qū)域時桿件相對受力最大，相應(yīng)的應(yīng)力形變也越大，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)動作時產(chǎn)生的運動誤差也越大，由此在打印過程中承載打印頭的動平臺與靜平臺的平行精度變差，進(jìn)一步使構(gòu)建層水平度不一致，越靠近邊緣的區(qū)域高度差越大，也就越容易產(chǎn)生成型件邊緣與平臺粘結(jié)不牢、翹曲變形等現(xiàn)象，影響成型精度［7］。

圖4 有效構(gòu)建區(qū)域平面圖Fig.4 Effective Construction Area Plan

從上述打印誤差機(jī)理分析可知，影響打印成型件表面水平精度的主要因素是運動機(jī)構(gòu)各種誤差累計耦合，因此也無法針對某一單獨誤差來源采用修正或分離的方式來提高打印平整度。由于平整度主要體現(xiàn)在Z方向誤差，因此可采用Z方向誤差補償?shù)姆绞綄崿F(xiàn)平整度的修正。

在可構(gòu)建區(qū)域內(nèi)按打印模型文件控制驅(qū)動動平臺到各校準(zhǔn)數(shù)據(jù)采樣點，如圖5所示。測量各點垂直高度數(shù)據(jù)，利用反距離加權(quán)插值（Inverse Distance Weighted，IDW）對高度采樣點和補償點的距離進(jìn)行加權(quán)平均［10?11］。IDW插值原理是假定區(qū)域分布內(nèi)各點存在相關(guān)性，距離上越接近的點相關(guān)度越大，隨著待插值點與相關(guān)點的距離增加相關(guān)度逐漸減小，計算時權(quán)重也隨之減小，待插值點計算通過相鄰的觀測點所采集數(shù)據(jù)來加權(quán)平均插值。

圖5 加權(quán)插值補償方案的采樣取點示意圖Fig.5 Schematic Diagram of Sampling and Taking Point of Weighted Interpolation Compensation Scheme

IDW的一般描述如下：

式中：Z0—待插值點計算值；

n—相鄰點數(shù)；

λi—點計算權(quán)重。

定義待插值點坐標(biāo)為O(X，Y，Z)，與待插值點距離最近的4個點坐標(biāo)為(Xa，Ya，Z1)、(Xa，Yb，Z2)、(Xb，Yb，Z3)、(Xb，Ya，Z4)，ΔZ為高度補償值，則：

進(jìn)而與式（9）結(jié)合可得到高度補償后的移動副位置為：

利用式（17）修正移動副運動進(jìn)給量進(jìn)而實現(xiàn)誤差補償。

4 實驗研究

實驗裝置，如圖6所示。

圖6 FDM?3D打印機(jī)Fig.6 FDM?3D Printer

構(gòu)建平臺采用直徑為420mm硼硅玻璃，HBP加熱板粘在構(gòu)建平臺底部，保證工作過程中溫度場穩(wěn)定［12］。按初始打印層高數(shù)據(jù)在靜平臺構(gòu)建區(qū)域內(nèi)控制動平臺移動，按照X和Y方向?qū)ζ脚_進(jìn)行逐點高度測量得到初始層高度數(shù)據(jù)等高線，如圖7所示。圖中可看出動平臺運動并不能與靜平臺平面保持一致平行，在可構(gòu)建區(qū)域的邊緣翹曲高度明顯變大。利用補償式（16）、式（17），將修正參數(shù)導(dǎo)入控制程序，測量修正后的打印頭對構(gòu)建平臺平行度，高度補償后的動平臺運行等高線，如圖8所示。從圖中可看出參數(shù)補償優(yōu)化后的構(gòu)建平臺相對高度誤差為±0.02mm，極大縮小了高度誤差。

圖7 構(gòu)建平臺原始層高度等高線圖Fig.7 Construct the Original Height Contour Map of the Platform

圖8 補償后的構(gòu)建高度等高線圖Fig.8 Constructed Height Contour Map After Compensation

通過打印實驗件來測試系統(tǒng)打印精度。為便于測量，打印模型選擇方形平板，尺寸為（100×100）mm，通過改變預(yù)打印件厚度測試算法適應(yīng)性，厚度從5mm開始每次實驗遞增0.5mm，共進(jìn)行10次實驗。每次打印實驗完成后，分別測量實驗件的平面度和X、Y、Z三個方向的實際尺寸數(shù)據(jù)，與理論模型原始數(shù)據(jù)比對。為了消除打印過程中慣性等其他因素對實驗結(jié)果的影響，對實驗中打印頭運行速度、加速度、空駛速度等參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置，如表1 所示。打印過程及成型實驗件，如圖9、圖10所示。測量10組實驗件三個方向的誤差ΔX、ΔY、ΔZ，實驗測量數(shù)據(jù)，如表2所示。從實驗數(shù)據(jù)可看出，十組實驗件在成型過程中都發(fā)生了不同程度形變，其中，Z方向上在進(jìn)行垂直高度參數(shù)補償后，打印各厚度實驗件的成型尺寸誤差都在±0.03mm以內(nèi)。X、Y兩個方向上誤差較大，最大值接近0.5mm，這主要是由于FDM工藝熱熔材料的流變和冷卻過程收縮變形所致，一方面可以通過減小打印分層厚度、減小打印擠出頭徑、降低打印速度來解決，但帶來的問題是分層堆疊層厚越小，所需打印層數(shù)越多，打印時間增加，減小擠出頭徑也會使運動路徑增加，同樣增加打印時間，難以同時兼顧速度和打印精度，這也是制約FDM技術(shù)提高成型精度的共性問題。

表1 設(shè)備參數(shù)Tab.1 Equipment Parameters

表2 實驗件測量數(shù)據(jù)Tab.2 Experimental Measurement Data

圖9 打印過程Fig.9 Print Process

圖10 成型實驗件Fig.10 Forming Test Pieces

5 結(jié)論

在對3?P?2［SS］結(jié)構(gòu)FDM?3D打印機(jī)運動學(xué)特性分析的基礎(chǔ)上，提出一種用于打印機(jī)出廠前構(gòu)建參數(shù)的標(biāo)定校準(zhǔn)方法，利用反距離加權(quán)插值算法，補償機(jī)構(gòu)部件加工、裝配誤差，從控制軟件上補償了成型過程Z方向的高度誤差，提高了垂直方向的成型精度，并通過實驗驗證了方法的有效性。影響FDM結(jié)構(gòu)3D打印機(jī)成型精度的因素有很多，運動機(jī)構(gòu)、電氣傳動、控制算法、材料熱熔冷卻特性和過程工藝參數(shù)等都會對精度造成重要影響［13］。基于IDW的動平臺誤差補償算法可以較好地解決結(jié)構(gòu)加工裝配中的垂直誤差修正問題，但對X和Y方向的成型精度補償問題并未做討論，實際上不同于Cartesian型坐標(biāo)系FDM機(jī)，3?P?2［SS］結(jié)構(gòu)的設(shè)備是無法通過補償動平臺位置來減小X、Y方向誤差的，如果要達(dá)到較高的精度，必須提高關(guān)鍵零部件的加工和裝配精度。