趙 瑋

（1.承德石油高等?？茖W(xué)校機械系，河北承德 067000；2.北京科技大學(xué)機械工程學(xué)院，北京100083）

1 引言

串行機器人，特別是串行機械臂，具有工作空間寬、速度高和靈活性高的優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域，例如組件裝配、物體運輸以及材料噴涂和切割［1?2］。但是，單個機械臂很難完成復(fù)雜的組裝任務(wù)或高負荷運輸任務(wù)。因此，多機械臂進行協(xié)調(diào)運動控制的研究成為了該領(lǐng)域研究的重點熱點［3］。

作為一種特殊的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，歸零神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Zeroing Neu?ral Network，ZNN）結(jié)合各種框架模型長期以來一直用于處理單機械臂的運動控制問題［4］。許多相關(guān)研究將焦點集中在ZNN模型在收斂性或魯棒性方面。從收斂性能的角度出發(fā)，通過設(shè)計變參數(shù)收斂微分神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠應(yīng)用多準則方法，提升了收斂性能。此外，通過使用相容的凸?非凸約束雙神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，突破了凸集的局限，并將問題求解擴展到了非凸問題［5］。從魯棒性的角度出發(fā)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的積分信息，提出了兩種新型的ZNN模型，即耐噪ZNN模型和積分增強ZNN模型，均取得了較好的效果［6］。但是在使用ZNN進行單機械臂運動控制的現(xiàn)有方法中，由于在沒有擾動的情況下呈指數(shù)形式收斂，因此在有限時間跟蹤任務(wù)中，有些具有收斂時間接近無限長，另外有些研究雖然考慮了外部干擾抑制，但仍處于漸近收斂階段，收斂速度較慢［7］。以上兩個限制嚴重阻礙了ZNN在復(fù)雜環(huán)境中用于多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制的發(fā)展。

在實際復(fù)雜條件下的多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制中，魯棒性和收斂性對控制性能具有同等重要性，應(yīng)同時考慮。由于控制理論中ST算法在非線性系統(tǒng)控制中的出色性能，因此利用ST算法的開發(fā)可以為構(gòu)建新的ZNN統(tǒng)一框架提供可行的方法，從而同時實現(xiàn)多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制的有限時間收斂性和魯棒性［8］。因此提出了一種ST?ZNN多機械臂協(xié)同運動控制模型。通過兩個實驗對比和收斂性能測試，驗證了所提出的ST?ZNN模型的有效性和優(yōu)越性。

2 問題描述

對于多機械臂的一個子機器人，可以通過相關(guān)機器人關(guān)節(jié)狀態(tài)來計算末端執(zhí)行器的位置。對于具有m維工作空間的n自由度（n?DoF）機械臂，獲取正向運動學(xué)映射：

這里，f(?)：Rn→Rm表示一個連續(xù)的非線性函數(shù)，其中包含特定機械臂的給定建模參數(shù)。矢量θ(t) ∈Rn表示實時關(guān)節(jié)狀態(tài)矢量，而ra(t)∈Rm表示末端執(zhí)行器的實時位置矢量。對于以任務(wù)執(zhí)行中的實時跟蹤為目標的末端執(zhí)行器，一種有效的解決方案需要開發(fā)，這種方案是通過使用預(yù)定義的笛卡爾路徑rp(t)∈Rm實現(xiàn)實時的聯(lián)合狀態(tài)信號θ(t)，使得：

通過計算（2）兩側(cè)的時間導(dǎo)數(shù)，得出：

其中J(θ(t) )∈Rm×n表示末端執(zhí)行器的雅可比矩陣，計算公式為：

矢量?(t) ∈Rn表示實時聯(lián)合控制信號，其中向量(t) ∈Rm，以及向量(t)分別表示末端執(zhí)行器的實時笛卡爾速度矢量和預(yù)設(shè)笛卡爾速度矢量。以上的等式（3）是以運動控制為目標的子機器人運動學(xué)的一般描述。

假設(shè)多機械臂配備有k個機械臂，根據(jù)對多機械臂的子機器人的運動學(xué)描述，得到以下正向運動學(xué)映射：

以運動控制為目標的多機械臂的速度級運動學(xué)描述為：

其中，j= 1，2，…，k。映射f j(?)：Rn→Rm表示第j個連續(xù)和非線性函數(shù)。向量θj(t) ∈Rn表示第j個機械臂的實時聯(lián)合狀態(tài)向量。矩陣Jj(θ(t)) ∈Rm×n表示第j個機械臂末端執(zhí)行器的雅可比矩陣。向量(t) ∈Rm和向量(t)分別表示末端執(zhí)行器的實時笛卡爾速度矢量和預(yù)定義笛卡爾速度矢量。在實際應(yīng)用中，例如物體運輸，為多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制不可避免地需要考慮外部干擾。因此，考慮外部干擾多機械臂的運動控制模型為：

其中，ρj∈Rm是在第j個機械臂末端執(zhí)行器中注入的矢量形式的外部干擾，用于跟蹤預(yù)定路徑。

大量研究表明，ZNN常規(guī)框架逼近平衡點的解的指數(shù)收斂性和無限時動態(tài)響應(yīng)已得到了驗證［9］。相關(guān)的傳統(tǒng)ZNN模型可在外部干擾的影響下用于多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制，其公式如下：

其中，(Jj(θ(t)))?∈Rn×m表示第j個機械臂的雅可比矩陣Jj(θ(t))的偽逆。向量uj(t)表示發(fā)送到第j個機械臂的控制輸入信號，參數(shù)γ∈R+是預(yù)定義的參數(shù)。因此，可以得到多機械臂的整個控制輸入矩陣為：U(t) =[u1(t)u2(t)…uj(t)…uk(t)]T∈Rk×n。

引理1［10］：假設(shè)多機械臂都不受外部干擾，如果應(yīng)用正設(shè)計參數(shù)γ> 0 ∈R，第j個機械臂從任意初始位置(0) ≠(0)開始，則末端執(zhí)行器軌跡(t)通過傳統(tǒng)ZNN模型（8）對于具有k個子機器人的多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制問題（6），時間t趨于+∞時，全局收斂到預(yù)定路徑(t)，指數(shù)收斂率為γ。

引理2［11］：假設(shè)第j個機械臂受到外部干擾ρj的影響，如果使用預(yù)定義參數(shù)γ> 0 ∈R，并且第j個機械臂從任意初始位置(0) ≠(0)開始，則向量值誤差函數(shù)εj(t) =(t) ?(t)在時間t∈[0，+∞)經(jīng)由傳統(tǒng)ZNN模型（8）收斂到具有最高點的穩(wěn)態(tài)誤差，即對于具有k個子機器人的多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制問題，

以上引理說明，在假設(shè)模型不受外部干擾的情況下，由于指數(shù)收斂特性，傳統(tǒng)ZNN 模型（8）的解有趨于無限大的收斂時間。此外，在穩(wěn)態(tài)下所產(chǎn)生的殘余誤差仍然是存在外部干擾的前提。

3 ST?ZNN

3.1 ST-ZNN設(shè)計框架

對于多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制，可以從第j(j= 1，2，…，k)個子機器人開始設(shè)計框架，其中k是多機械臂的數(shù)量。在多機械臂開始運動控制任務(wù)之前，需要輸入第j個機械臂的末端執(zhí)行器，該預(yù)定義路徑具有由(t)表示的3D 曲線方程。然后，第j個機械臂的矢量形式誤差函數(shù)εj(t) ∈Rm是用來在瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)下測量末端執(zhí)行器的預(yù)定義路徑(t)與實際軌跡(t)之差，用第i個元素定義為：

其中，i= 1，2，…，m。為了使誤差函數(shù)(t)的每個元素在有限時間內(nèi)具有擾動抑制特性收斂至零，可以設(shè)計調(diào)零神經(jīng)動力學(xué)設(shè)計公式并將其用于：

其中，參數(shù)φ> 0 ∈R是用戶預(yù)定義的參數(shù)(t)表示中間矢量形式的變量，可充分利用時間積分信息作為來自多機械臂的反饋來抑制外部干擾ρj，進一步描述：

因此，一個完整的動力學(xué)方程可以集成到以下方程中：

式（12）中描述的方程正好是ST算法的動力學(xué)方程，其一般描述為：

其中，s1=(t)，s2=(t)。參數(shù)l1= 2φ和l2=φ2是ST算法的兩個設(shè)計參數(shù)。另外，參數(shù)p= 1/2通常是根據(jù)控制理論中的ST算法設(shè)置的。文獻［11］已經(jīng)研究了ST算法在控制理論中的嚴格理論發(fā)展。ST算法的應(yīng)用包括系統(tǒng)控制、干擾觀測和魯棒的精確區(qū)分?？梢酝ㄟ^利用ST算法來有效設(shè)計魯棒的控制器，而無需先驗估計。

通過利用上述（12）中描述的ST算法，矢量值神經(jīng)動力學(xué)方程的第i個元素描述如下：

等式（14）可以寫成第j個機械臂的以下向量形式：

其中向量映射功能數(shù)組Sigp(?)：Rm→Rm的第i個元素被定義為：

同時，i= 1，2，…，m。

回憶方程式（7）中描述的具有外部干擾的多機械臂的運動控制目標，動力學(xué)式（17）用速度級的控制輸入信號uj(t)表示為以下形式：

因此，可以得到多機械臂的整個控制輸入矩陣，即U(t) =[u1(t)u2(t)…uj(t)…uk(t)]T∈Rk×n。

人作為多個機器人用戶，通過在用于整個機器人控制系統(tǒng)的主計算機中給出指令。然后，指令作為輸入信息rp(t)和r?p(t)傳輸?shù)綑C器人計劃器和求解器。最后，由求解器生成的解被傳輸?shù)娇刂葡到y(tǒng)的執(zhí)行器，即多機械臂，用于執(zhí)行諸如攜帶物體之類的主要任務(wù)。整個控制系統(tǒng)是一個不使用遙控的自主機器人系統(tǒng)。

3.2 理論分析

定理1：ST?ZNN模型的全局穩(wěn)定性和收斂性。假設(shè)多個機械臂都不受外部干擾。如果使用正的預(yù)定義參數(shù)φ> 0 且p= 1/2，則第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0)和任意初始誤差(0) ≠0開始，則ST?ZNN模型（18）全局穩(wěn)定，對于具有i= 1，2，…，m和j= 1，2，…，k的k個子機器人的多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制問題（7），在Lyapunov的意義上，末端執(zhí)行器軌跡的第i個元素(t)全局收斂于第i個預(yù)定義路徑(t)。

證明：對于多機械臂，第j個子機器人的第i個子系統(tǒng)的ST?ZNN模型（18）的動力學(xué)方程式等效于在多機械臂都不受外部干擾條件下處理協(xié)調(diào)運動控制問題（7）的下列方程：

參數(shù)為p= 1/2。請注意，必須繼續(xù)使用Lyapunov候選函數(shù)。定義以下Lyapunov函數(shù)候選：

當且僅當(t) = 0 時，上面的Lyapunov 函數(shù)候選κ(t) =φ2(t) |+((t))2/2是不連續(xù)的。(t) = 0恰好是所提出的用于多機械臂協(xié)調(diào)運動控制的ST?ZNN模型（18）的解決方案。在第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0)和任意初始誤差(0) ≠0 開始的情況下，Lyapunov 函數(shù)候選κ(t)保持連續(xù)。因此，鑒于(t) ≠0時κ(t) > 0，并且僅(t) = 0時κ(t) = 0，κ(t)是正定的。隨后，可以計算出κ(t)的時間導(dǎo)數(shù)為：

因此，對于設(shè)計參數(shù)φ> 0和p= 1/2，對于時間t∈[0，+∞)，(t)是負定的?；贚yapunov穩(wěn)定性理論以及對不連續(xù)系統(tǒng)La?Salle 不變性原理的推廣，ST?ZNN 模型（18）在誤差函數(shù)(t) =(t) ?(t)的第i個子系統(tǒng)中是全局穩(wěn)定的，全局收斂到0。由此得出，對于多機械臂的第j個子機器人，第i個末端執(zhí)行器軌跡(t)全局收斂于第i個預(yù)定義路徑(t)。

第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0)，即任意初始誤差(0) ≠0開始。其中(t) = 0正是所提出的用于多機械臂協(xié)調(diào)運動控制的ST?ZNN模型（18）的解決方案。ST?ZNN模型（18）的全局穩(wěn)定性和收斂在原點附近但不包含原點（或稱為平衡點(0) ≠0）時成立。證明完成。

定理2：ST?ZNN模型的有限時間收斂。假設(shè)多個機械臂都不受外部干擾。如果使用預(yù)定義參數(shù)φ> 0且p= 1/2，并且第j個機械臂從任意初始狀態(tài)開始，且在時間實例t= 0 時誤差(0) ≠0，則第i個實際軌跡(t)通過提出的ST?ZNN模型（18）在以下有限時間Tf中全局收斂到第i個預(yù)定義路徑(t)：

證明：對于第j個子機器人機械臂的第i個子系統(tǒng)，選擇一個中間變量為：

然后，通過代入中間變量J(t)，狀態(tài)等式（12）可以改寫為：

以及：

同時，p= 1/2。因此，可以很容易地具有以下動力學(xué)方程：

將Lyapunov函數(shù)候選定義為：

隨后，它遵循Η(t)的時間導(dǎo)數(shù)為：

根據(jù)式（27），可以得到：

通過將式（31）代入式（30），可以進一步獲得：

注意：

永遠成立。等價于：

所以存在：

進一步得到：

通過結(jié)合式（32）、式（36）的結(jié)果，可以得到：

因此，可以將（37）重新表示為：

等式（38）等于：

通過在式（39）的兩側(cè)進行積分，可以得出：

以及等式（40）會導(dǎo)致：

因此得出：

從式（42）可以很容易地發(fā)現(xiàn)，對于p= 1/2和：

使得Η(t) = 0。

根據(jù)結(jié)果式（43）、式（37），得出結(jié)論，當t≥時，Η(t) = 0成立。因此，結(jié)果是，第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0)開始，且初始誤差(0) ≠0，由ST?ZNN 模型（17）合成的第i個實際軌跡(t)在有限時間全局收斂到第i個預(yù)定義路徑(t)。此外，由于：

等式χji(0) = 0成立，得出：

其中，中間變量J(t)僅對于(t) = 0是不可微的。當(t) =0時正是所提出的用于多機械臂協(xié)調(diào)運動控制的ST?ZNN 模型（18）的解決方案。僅在原點（或稱為平衡點）處，對于(t) = 0，狀態(tài)系統(tǒng)（25）和（26）也是不可微的。因此，不等式（44）在原點附近但不包含原點的情況下成立，即，第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0)開始，并且存在任意初始誤差(0) ≠0。證明完成。

定理3：帶有外部干擾的ST?ZNN模型的全局穩(wěn)定性和收斂性。假設(shè)第j個機械臂受到外部干擾ρj的影響。如果使用預(yù)定義參數(shù)φ> 0 且p= 1/2，則第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0)和任意初始誤差(0) ≠0 開始，則ST?ZNN 模型（18）全局穩(wěn)定，對于具有i= 1，2，…，m和j= 1，2，…，k的k個子機器人的多機械臂的協(xié)調(diào)運動控制問題（7），在Lyapunov的意義上，末端執(zhí)行器軌跡的第i個元素(t)全局收斂于第i個預(yù)定義路徑(t)。

證明：給定第j個子機器人機械臂的ST?ZNN 模型（18）存在附加擾動ρj，則第i個動態(tài)子系統(tǒng)對應(yīng)于ST?ZNN模型（18）的誤差函數(shù)εj(t)可以描述為：

選擇一個中間變量：

得到：

其中，i= 1，2，…，m且? = 0。與定理1 中的步驟相似，將Lyapunov函數(shù)候選定義為：

因此，鑒于對于(t) ≠0的l(t) > 0，l(t)是正定的，并且僅對于(t) = 0時，l(t) = 0。那么，l(t)的時間導(dǎo)數(shù)為：

因此，對于設(shè)計參數(shù)φ> 0 和p= 1/2，當時間t∈[0，+∞)，l?(t)是負定的?；贚yapunov 穩(wěn)定性理論以及不連續(xù)系統(tǒng)La?Salle不變性原理的一般化，對于第j個機械臂，在第i個子系統(tǒng)下的誤差函數(shù)(t) =(t) ?(t)全局收斂于0時，具有加性常數(shù)擾動的ST?ZNN 模型（18）是全局穩(wěn)定的。換句話說，第j個機械臂的第i個末端執(zhí)行器軌跡(t)全局收斂到第i個預(yù)定義路徑(t)。類似地，第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0)開始，即，任意初始誤差(0) ≠0。請注意，情形(t) = 0正是提出的用于多機械臂協(xié)調(diào)運動控制的具有加性常數(shù)擾動的ST?ZNN模型（18）的解決方案。具有加性常數(shù)擾動的ST?ZNN模型（18）的全局穩(wěn)定性和收斂性在原點附近但不包含原點（或稱為平衡點(0) ≠0）時成立。證明完成。

定理4：具有外部干擾的ST?ZNN模型的有限時間收斂。假設(shè)第j個機械臂受到外部干擾ρj的影響。如果使用預(yù)定義參數(shù)φ> 0 且p= 1/2，則第j個機械臂從第i個任意初始位置(0) ≠(0) 和任意初始誤差(0) ≠0 開始，則具有i=1，2，…，m和j= 1，2，…，k的k個子機器人的多機械臂協(xié)調(diào)運動控制問題（7）的ST?ZNN 模型（18）是全局穩(wěn)定的，末端執(zhí)行器軌跡的第i個元素(t)在有限時間Tf中收斂于第i個預(yù)定義路徑(t)。

此外，有限的收斂時間與多機械臂的外部干擾ρ的值無關(guān)。

證明：鑒于加性常數(shù)擾動ρ≠0時的ST?ZNN 模型（18）與無擾動情況下的動力學(xué)方程相同，如（12）所示。因此，通過與（24）和（25）相同的J(t)變量替換，可以從定理1中的步驟推廣出相同的結(jié)果。證明完成。收斂時間Tf取決于預(yù)定義參數(shù)φ和初始誤差(0)。當初始誤差(0)大時，φ應(yīng)該更大，以使收斂時間Tf縮短。請注意，參數(shù)φ是提出的ST?ZNN模型（18）的重要參數(shù)，該模型由從業(yè)者預(yù)先定義。理論上，可以設(shè)定滿足φ> 0 ∈R的任意值。有限收斂時間Tf與預(yù)定義參數(shù)φ成反比。為了縮短收斂時間，可以將預(yù)定義參數(shù)φ的值設(shè)置為硬件在實際機器人應(yīng)用中允許的適當大?。?2］。

4 實驗結(jié)果與分析

ST?ZNN 模型的設(shè)計過程說明了一種用于多機械臂協(xié)調(diào)運動控制的新框架，其中許多實際應(yīng)用都適合于ST?ZNN框架。在本節(jié)中，對多機械臂系統(tǒng)進行了兩個驗證性任務(wù)，并對結(jié)果進行了比較和測試，其中，每個機器人都是k= 3和k= 4的PUMA560冗余機械臂。不失一般性，將機器人系統(tǒng)的持續(xù)時間設(shè)置為Td=5s。第j個PUMA560 機器人的關(guān)節(jié)角矢量的初始值設(shè)置為θj(0) =[0，?π/4，0，2π/3，?π/4，0]Trad，關(guān)節(jié)速度矢量的初始值設(shè)為(0) =[0，0，0，0，0，0]Trad/s。兩個說明性任務(wù)和比較中的預(yù)定義參數(shù)設(shè)置為φ= 2，注入到第j個機器人中的外部干擾設(shè)置為ρj=[0.06，0.04，0.05]。

4.1 任務(wù)1：三角形物體運輸

圖1顯示了用于多機械臂來運輸具有外部干擾的三角形物體的ST?ZNN模型（18）的結(jié)果。圖1（a）說明了3D視圖中用于多機械臂運輸三角形物體的運動控制過程。多個機械臂協(xié)調(diào)配合。有效的協(xié)調(diào)運動控制可以在圖1（b）的另一個視圖中找到。末端執(zhí)行器的三個實際軌跡在過渡狀態(tài)下快速且和諧地朝著預(yù)定路徑移動，并最終在穩(wěn)態(tài)下與預(yù)定運動路徑重疊，如圖1（c）所示。殘留誤差驗證了每個PUMA560 機器人的有限時間收斂性，如圖2（d）所示。數(shù)值研究中的收斂時間tc約為0.2s，與t≥的結(jié)果一致。

圖1 提出的ST?ZNN模型（17）進行協(xié)調(diào)運動控制結(jié)果Fig.1 Proposed ST?ZNN Model（17）for Coordinated Motion Control Results

圖2 當ST?ZNN模型（17）進行協(xié)調(diào)運動控制結(jié)果Fig.2 Results of Coordinated Motion Control when St?Znn Model（17）is Applied

4.2 任務(wù)2：矩形物體運輸

圖2 顯示了用于多機械臂來運輸具有外部干擾的矩形物體的ST?ZNN模型（18）的結(jié)果。圖2（a）展示了3D視圖中用于多機械臂運輸這個大物體的運動控制過程。運動過程的另一個視圖可以在圖2（b）中找到。四個末端執(zhí)行器的實際軌跡在過渡狀態(tài)下快速且有效地朝著預(yù)定義的運動路徑移動，并最終在穩(wěn)態(tài)下與預(yù)定義的路徑重疊，如圖2（c）所示。殘留誤差也說明了有限時間收斂性，如圖2（d）所示。數(shù)值研究中的收斂時間tc也約為0.2s，與結(jié)果一致。

4.3 比較

傳統(tǒng)ZNN模型（8）和ST?ZNN模型（18）進行了比較，以進行無外部干擾和有外部干擾的協(xié)調(diào)運動控制。如圖3、圖4 所示。多機械臂的末端執(zhí)行器通過無外部干擾的模型（8）和模型（18）傳輸三角形和矩形物體，從而說明了不同的收斂性能，如圖3（a）、圖3（c）所示。通過提出的ST?ZNN模型進行的運輸運動在兩個任務(wù)中均顯示出在瞬態(tài)下更快的運動速度。殘留誤差驗證了ST?ZNN 模型（18）有具有較短收斂時間tc的有限時間收斂特性，如圖3（b）、圖3（d）所示。在外部干擾注入的情況下，通過ST?ZNN 模型（18）產(chǎn)生的殘留誤差仍然具有魯棒性和有限時間收斂性，而通過傳統(tǒng)ZNN 模型（8）產(chǎn)生的殘留誤差具有更高的穩(wěn)態(tài)誤差。綜上所述，所提出的ST?ZNN 模型（18）同時具有有限時間收斂性和對外部干擾的魯棒性，與現(xiàn)有研究相比取得了新的進展。

圖3 比較了傳統(tǒng)ZNN模型（7）和ST?ZNN模型（17）的協(xié)調(diào)運動控制效果Fig.3 Compares the Coordinated Motion Control Effects of Traditional ZNN Model（7）and ST?ZNN Model（17）

圖4 比較了傳統(tǒng)ZNN模型（7）和ST?ZNN模型（17）在有外部干擾條件下，多機械臂的末端執(zhí)行器運輸三角形和矩形物體時的協(xié)調(diào)運動控制效果Fig.4 Compares the Coordinated Motion Control Effect of Traditional ZNN Model（7）and ST?ZNN Model（17）in the Transportation of Triangle and Rectangular Objects by the end Effector of Multiple Mmanipulators under the Condition of External Interference

4.4 測試

首先，如果在相同的初始機器人系統(tǒng)狀態(tài)和相同的外部干擾下，參數(shù)φ的值從1增加到5，如圖5所示。殘留誤差表現(xiàn)出較短的收斂時間。已經(jīng)證明，ST?ZNN模型（18）的有限收斂時間理論上為預(yù)定義參數(shù)φ的值越大，所得解的有限收斂時間越短。其次，如果第j個機器人的初始誤差εj(0)的值與相同的設(shè)計參數(shù)φ和相同的外部干擾一起減小，則產(chǎn)生的殘留誤差說明收斂時間更短，如圖6所示。結(jié)果與理論分析一致。

圖5 在預(yù)定義參數(shù)的不同值條件下，多機械臂的末端執(zhí)行器運輸三角形和矩形物體時，通過ST?ZNN模型（17）進行的協(xié)調(diào)運動控制過程中的殘留誤差Fig.5 The Residual Error of the ST?ZNN Model（17）in the Coordinated Motion Control Process of the Multi Manipulator’s end Effector Transporting Triangular and Rectangular Objects Under Different Values of the Predefined Parameters

圖6 在不同初始位置條件下，多機械臂的末端執(zhí)行器運輸三角形和矩形物體時，通過ST?ZNN模型（17）進行的協(xié)調(diào)運動控制過程中的殘留誤差Fig.6 The Residual Errors in the Process of Coordinated Motion Control by ST?ZNN Model（17）When the end Effector of Multi Manipulator Transports Triangular and Rectangular Objects Under Different Initial Positions

最后，利用圖7所示的第j個機器人的剩余誤差，研究了不同外部干擾對ST?ZNN模型（18）的影響。由此產(chǎn)生的殘留誤差在兩個跟蹤控制任務(wù)中表現(xiàn)出幾乎相同的收斂性，也就是說，在相同的設(shè)計參數(shù)φ和初始執(zhí)行器狀態(tài)下，在不同的外部干擾ηi(i=1，2，…，5)下，收斂時間相同，如圖7所示。有限的收斂時間與外部干擾無關(guān)。

圖7 不同外部干擾值的條件下，多機械臂的末端執(zhí)行器運輸三角形和矩形物體時，通過ST?ZNN模型（17）進行的協(xié)調(diào)運動控制過程中的殘留誤差Fig.7 The Residual Error of the ST?ZNN Model（17）in the Coordinated Motion Control of the End Effector of the Multi Manipulator in the Transportation of Triangular and Rectangular Objects Under Different External Interference Values

5 結(jié)論

為了解決傳統(tǒng)ZNN存在的缺點，提出了一種ST?ZNN多機械臂協(xié)調(diào)運動控制模型。通過理論分析證明與兩個多機械臂協(xié)調(diào)運動控制實例驗證得出如下結(jié)論：

（1）ST?ZNN模型與傳統(tǒng)ZNN相比，在不同的外部干擾條件下，具有更快的瞬態(tài)運動速度、更短的收斂時間以及更小的殘留誤差，驗證了提出方法相對于傳統(tǒng)ZNN的優(yōu)越性。（2）ST?ZNN模型中，預(yù)定義參數(shù)的值越大，所得解的有限收斂時間越短，有限收斂時間的大小以及殘留誤差的收斂性均與外部干擾大小無關(guān)。（3）所提出的ST?ZNN模型在具有干擾的多機械臂協(xié)調(diào)運動控制具有全局穩(wěn)定性、有限時間收斂性和魯棒性，能夠有效地實現(xiàn)外部干擾條件下的多機械臂協(xié)調(diào)運動控制。