金 波，郭 榮，方棋洪

(1.湖南大學土木工程學院，工程結(jié)構(gòu)損傷診斷湖南省重點實驗室，長沙 410082；2.湖南湖大建設(shè)監(jiān)理有限公司，長沙 410082；3.湖南大學機械與運載工程學院，長沙 410082)

隨著社會經(jīng)濟與工程技術(shù)的發(fā)展，設(shè)計師們開始將游泳池等運動場所設(shè)置在建筑頂部，這不僅提升了建筑的科技含量，使建筑的用途變得多元化，還可以滿足新時代人們?nèi)找嬖鲩L的精神文化需求。同時屋頂游泳池可視為調(diào)諧液體阻尼器(TLD)裝置，對在地震以及風荷載作用下結(jié)構(gòu)的振動進行調(diào)節(jié)與控制。

調(diào)諧液體阻尼器(TLD)是一種被廣泛應(yīng)用的被動振動控制系統(tǒng)，主要優(yōu)點是便于裝卸，安裝后系統(tǒng)的特性不發(fā)生改變，且不需要外部電源啟動[1]。自20 世紀80 年代MODI 等[2? 3]第一次將懸掛型圓環(huán)形液體阻尼器運用到建筑結(jié)構(gòu)的風振控制后，TLD 控制系統(tǒng)便開始得到土木工程界的廣泛關(guān)注。目前對TLD-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的研究主要分為實驗研究[4? 11]和數(shù)值模擬[12?25]。許國山等[4]采取等效力控制方法進行TLD 減振控制結(jié)構(gòu)振動臺子結(jié)構(gòu)試驗，以解決通常使用的小比例尺試驗無法真實反應(yīng)TLD 減振控制結(jié)構(gòu)的抗震性能的問題，并且該方法的試驗結(jié)果能較好的吻合精確解，表明該方法具有很好的精度。陳鑫等[5]根據(jù)高聳鋼煙囪模型，設(shè)計環(huán)形TLD 試驗?zāi)Ｐ瓦M行了三種工況的減振試驗，與數(shù)值模擬分析結(jié)果對比，為高聳鋼結(jié)構(gòu)環(huán)形TLD 減振的設(shè)計和應(yīng)用提供了參考數(shù)據(jù)。田志昌等[6]提出了一種可間接測量水箱頻率的試驗方法，通過兩次不同剛度的振動試驗采用常用的自由振動原理換算出水箱的自振頻率，可借助該方法測量不規(guī)則形狀水箱的自振頻率。

由于實驗研究需要昂貴的實驗設(shè)備，實驗周期較長，隨著計算機的迅速發(fā)展，數(shù)值模擬已經(jīng)成為普遍使用的方法。HOUSNER[12]最早提出的集中質(zhì)量模型成為工程運用最廣泛的一種簡化模型，其核心理論是用兩個與容器連接的等效質(zhì)量來代替液體晃蕩對側(cè)壁產(chǎn)生的脈沖壓力和晃蕩壓力，以達到簡化計算的目的。柳國環(huán)等[13]結(jié)合圓形和矩形TLD 的計算參數(shù)，提出將TLD 轉(zhuǎn)化為TMD的方法計算結(jié)構(gòu)減振控制效果，并通過實例分析說明該方法的合理性?？琢顐}等[14]以一實際工程為研究背景，使用SAP2000 建立工程實際模型，分析得到了在地震荷載下各影響因素對TLD 減振效果的影響。董勝等[15]利用試驗數(shù)據(jù)驗證了二維不可壓縮Navier-Stokes 方程的數(shù)值模型的準確性，模擬計算了不同深度的淺水TLD 晃蕩產(chǎn)生的阻尼力，得到了淺水TLD 中不同液深對TLD 減振效果的影響規(guī)律。

建筑頂部設(shè)置游泳池已成為國內(nèi)外設(shè)計上的亮點，但是目前關(guān)于大跨屋頂標準游泳池結(jié)構(gòu)的設(shè)計以及該類結(jié)構(gòu)對抗振性能的影響，這兩種情況的研究都較少，大部分由試驗得到的等效力學模型很少考慮到TLD 中的液體在振動過程中與結(jié)構(gòu)的相互作用，在實際工程中，液體與結(jié)構(gòu)的雙向耦合作用[26? 30]是不容忽視的重要因素。因此，本文以某大跨屋頂標準游泳池結(jié)構(gòu)為研究背景，將屋頂游泳池視為TLD 減振裝置，研究考慮流固耦合作用時屋頂游泳池對結(jié)構(gòu)抗振性能的影響，為實際工程中屋頂游泳池的設(shè)計提供參考依據(jù)。

1 工程概況

湖南省某大廈由雙塔、中部裙樓組成，雙塔與中部裙樓間采用伸縮縫分隔。考慮到該項目用地緊張，同時為提高大廈的科技含量，因此計劃將一標準恒溫游泳池設(shè)在中部裙樓頂層，池長50 m，池寬21 m，共設(shè)置8 條泳道，池內(nèi)只設(shè)淺水區(qū)，水深1.7 m，游泳池最高水位與地面高差為0.2 m。中部裙樓共六層，建筑平面尺寸為57.2 m×38.0 m，標準層高4.2 m，總建筑高度23.8 m，工程效果圖與屋頂游泳池結(jié)構(gòu)平面布置圖分別如圖1～圖2 所示。該項目設(shè)計實施的重難點在于：結(jié)構(gòu)跨度大，游泳池下方為40.5 m×24.8 m 的大空間，無框架柱，最小凈高為2.2 m；屋頂設(shè)置游泳池容易導致結(jié)構(gòu)形成“頭重腳輕”的不利布置，對結(jié)構(gòu)抗振性能存在影響。目前大跨屋頂標準游泳池對結(jié)構(gòu)抗振性能的影響研究較少，在該項目結(jié)構(gòu)選型的基礎(chǔ)上，研究大跨屋頂標準游泳池對結(jié)構(gòu)的抗振性能的影響具有重大的工程價值與理論意義。

圖1 工程效果圖Fig.1 Engineering renderings

圖2 平面布置圖Fig.2 Layout plan

2 流固耦合系統(tǒng)運動方程

根據(jù)TLD 減振工作原理，屋頂游泳池可視為TLD 減振裝置控制結(jié)構(gòu)在地震荷載或風荷載作用下的動力響應(yīng)[31]。在考慮流固耦合作用時，可根據(jù)基本假設(shè)與邊界條件通過位移-壓力有限元格式[32]給出TLD-結(jié)構(gòu)流固耦合系統(tǒng)的運動方程。

2.1 基本假設(shè)與邊界條件

2.1.1 基本假設(shè)

假設(shè)TLD 中的液體為均勻、無粘、小擾動，結(jié)構(gòu)為線彈性狀態(tài)。TLD-結(jié)構(gòu)流固耦合模型包含3 部分：流體部分Vf、箱體部分Vs、流固交界面Si。TLD-結(jié)構(gòu)簡化模型如圖3 所示。其中，Sf為流體的上部自由邊界，Sb為底部的固壁邊界，S0為箱體的力邊界，設(shè)n為耦合邊界單位法線方向向量。

圖3 TLD-結(jié)構(gòu)簡化模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of TLD-structure model

2.1.2 邊界條件

1)箱體域

平衡方程：

力的邊界條件：

式 中：σij,j為 σij對 坐 標xj偏 導 數(shù)；σij為 應(yīng) 力 分量；ρs為箱體質(zhì)量密度；u¨i為箱體加速度。

2)流體域

固壁邊界Sb上，流體法向速度分量為0：

自由邊界Sf上：

式中：p為流體壓力；ρf為流體的質(zhì)量密度；g為重力加速度；w0為z=0處液體質(zhì)點的垂向位移。由動力平衡條件可知：

將式(4)代入式(5)可得：

3)流固交界面

由運動學條件可知，在耦合邊界上法向速度保持連續(xù)：

由力連續(xù)條件可知，耦合邊界上法向應(yīng)力保持連續(xù)：

2.2 流體運動方程

流體的連續(xù)條件為[33]：

對于一般三維問題，很難求得在各種邊界條件下流體運動微分方程的解析解，本文選擇使用Galerdin 法進行離散化處理，流場內(nèi)任一點的壓力分布p(x,y,z,t)可近似的表示為：

式中：N為形狀函數(shù)矢量；p為壓力矢量。

于是式(9)近似滿足：

式中：R為殘量，為讓殘量R達到最小值，可根據(jù)Galerdin 法按下式得到壓力矢量為：

對式(12)采用分部積分法，并將邊界條件代入可得：

式中，u¨n為流體交界面上的法向加速度，將之離散為：

式中：Ns為結(jié)構(gòu)部分的插入函數(shù)矢量；u¨n為節(jié)點法向加速度矢量。

設(shè)us為結(jié)構(gòu)相對地面位移矢量，a¨n為地震動加速度，得：

式中，L為坐標變換矩陣，于是：

經(jīng)過上述的離散化，流體的運動方程可表示為：

式中：

2.3 結(jié)構(gòu)運動方程

結(jié)構(gòu)的運動方程為：

式中：us為結(jié)構(gòu)位移矢量；Ms為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；Cs為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，采用瑞利阻尼形式；ks為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；Fp為流固交界面上流體動力的節(jié)點矢量；Fs為結(jié)構(gòu)外載荷，F(xiàn)s=Msa¨。

式中，Nse為結(jié)構(gòu)元的形狀函數(shù)。

結(jié)合式(10)可知，交界面上的動水壓力對該節(jié)點虛位移所作的虛功為：

由此可知，法向的廣義力矢量為：

由類似式(15)的變換，可求得整體坐標廣義力為：

各流體元的貢獻集總得：

由此可得結(jié)構(gòu)的運動方程為：

2.4 流固耦合系統(tǒng)求解

聯(lián)立流體與結(jié)構(gòu)的運動方程，可得到TLD-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的流固耦合有限元運動方程：

對流固耦合有限元運動方程采用Newmark 預(yù)測校正積分法[34]多步遞推、迭代計算：

式中：

由上述遞推公式可求得TLD-結(jié)構(gòu)流固耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

3 數(shù)值模型的建立

3.1 ABAQUS 流固耦合模型

為簡化計算，建模時只建中部裙樓部分，不考慮雙塔的影響。利用ABAQUS 建立有限元模型，模擬結(jié)構(gòu)頂部游泳池在考慮流固耦合時地震荷載作用下的動力響應(yīng)，流固耦合模型如圖4 所示。

圖4 流固耦合模型Fig.4 Fluid-structure coupling model

在ABAQUS 中基于耦合拉格朗日歐拉法[35](CEL)建立了流固耦合模型。CEL 方法融合了拉格朗日分析與歐拉分析二者的優(yōu)點，對結(jié)構(gòu)部分使用拉格朗日單元，對流體部分使用歐拉單元，兩者利用歐拉-拉格朗日接觸進行相互作用，進而起到結(jié)構(gòu)與流體之間的雙向耦合分析的作用，使用ABAQUS 中的顯式計算實現(xiàn)分析求解，得到結(jié)構(gòu)在考慮流固耦合作用影響時的動力響應(yīng)結(jié)果。

在結(jié)構(gòu)模型中結(jié)構(gòu)梁、結(jié)構(gòu)柱使用B32 單元，樓板使用S4R 單元，總單元數(shù)量為80093 個。流體域采用EC3D8R 單元，總單元數(shù)量為341700 個，水與池壁的接觸定義為通用接觸。根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(2016 版)，本文選?、蝾悎龅氐卣鸩ㄖ械膬蓷l天然波EL-Centro 波和Taft 波和一條人工波蘭州波，加載時間步長0.02 s，持續(xù)時間15 s。

3.2 等效TMD 模型

根據(jù)YU 等[36]提出的TLD 等效非線性TMD簡化理論將本文TLD 模型等效成非線性TMD 簡化模型，TMD 模型參數(shù)根據(jù)式(39)～式(45)轉(zhuǎn)換求得，在SAUSAGE 軟件中建立簡化TMD 子結(jié)構(gòu)，等效TMD 減振模型如圖5 所示。同樣選取EL-Centro 波、Taft 波和蘭州波。在SAUSAGE 中結(jié)構(gòu)動力分析方法采用修正的中心差分格式法，加載時間步長為0.000 12 s：

圖5 等效TMD 模型Fig.5 Equivalent TMD model

式中：a為TLD 沿振動方向的長度；b為TLD 垂直震動方向的長度；h為液體深度；κ為Jin-kyu Yu 經(jīng)過大量實驗統(tǒng)計得出的剛度硬化系數(shù)；ξd為等效TMD 模型阻尼比。κ與 ξd由無量綱激勵振幅λ求得：

3.3 模型參數(shù)對比

對ABAQUS 流固耦合模型和SAUSAGE 等效TMD 模型進行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，其周期與結(jié)構(gòu)質(zhì)量對比如表1 所示。

表1 模型主要參數(shù)Table 1 The main parameters of the model

由表1 對比結(jié)果可知，由于游泳池等效TMD自身也具有了一定的剛度，增大了等效TMD 模型結(jié)構(gòu)的剛度，因此，等效非線性TMD 模型周期計算結(jié)果略小于流固耦合模型。其中第一振型周期兩模型之間誤差為0.9%，第二振型周期誤差為2.1%，本文考慮控制第一、二階振型反應(yīng)的減振效果，可認為兩模型計算結(jié)果對比可以用來評估流固耦合作用對結(jié)構(gòu)減振效果的影響[37?38]。對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的前三階振型分別為X向、Y向平動以及Z向扭轉(zhuǎn)。

4 計算結(jié)果分析

4.1 位移-壓力格式與ABAQUS 模擬結(jié)果對比

通過位移-壓力格式有限元運動方程編程計算與ABAQUS 軟件分析，得到了將游泳池視為TLD并考慮流固耦合作用時地震荷載作用下結(jié)構(gòu)頂點位移與加速度時程曲線，結(jié)果如圖6～圖9 所示，原結(jié)構(gòu)是指不考慮游泳池減振作用的計算結(jié)果。減振率 δ按式(46)計算：

圖6 X 方向地震荷載下結(jié)構(gòu)頂部位移響應(yīng)Fig.6 Displacement response of structure top under Xdirection earthquake load

圖7 Y 方向地震荷載下結(jié)構(gòu)頂部位移響應(yīng)Fig.7 Displacement response of structure top under Ydirection earthquake load

圖8 X 方向地震荷載下結(jié)構(gòu)頂部加速度響應(yīng)Fig.8 Acceleration response of structure top under Xdirection earthquake load

圖9 Y 方向地震荷載下結(jié)構(gòu)頂部加速度響應(yīng)Fig.9 Acceleration response of structure top under Ydirection earthquake load

由圖6～圖9 可知，流固耦合運動方程求解結(jié)果與ABAQUS 數(shù)值模擬結(jié)果基本保持一致，三種地震波作用下的結(jié)果誤差在5%～8%，采用流固耦合運動方程求解時計算效率整體提升約為43%。由位移-壓力格式得到的TLD-結(jié)構(gòu)流固耦合運動方程能較為準確求解結(jié)構(gòu)在地震作用下的動力響應(yīng)，并且計算效率更高。

由地震荷載作用下頂部位移和加速度響應(yīng)曲線可以看出，將屋頂游泳池視為TLD 控制裝置時，并不能在地震一發(fā)生就能發(fā)揮減振作用，在地震前幾秒，結(jié)構(gòu)位移與加速度響應(yīng)并不能得到有效抑制，甚至還有增大的趨勢，這是因為游泳池中的水還沒有與結(jié)構(gòu)發(fā)生相互作用。當?shù)卣鸢l(fā)生幾秒后，游泳池中的水會作用在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生一個與結(jié)構(gòu)晃動相反的液動壓力，這時的減振效果才能明顯提升。

由圖6～圖9 可知，在不同的地震荷載以及地震荷載作用方向不同時，將屋頂游泳池視為TLD的減振效果也各不相同，其中在EL-Centro 波作用于X方向時，結(jié)構(gòu)減振效果最好，結(jié)構(gòu)頂點位移減振率達到21.6%，結(jié)構(gòu)頂點加速度減振率達到20.4%；作用于Y方向時，結(jié)構(gòu)頂點位移減振率達到10.1%，結(jié)構(gòu)頂點加速度減振率達到12.9%。而在蘭州波作用下減振效果則相對較差，地震荷載作用方向為X向時，結(jié)構(gòu)頂點位移減振率為16.4%，加速度減振率為17.7%；地震荷載作用方向為Y向時，結(jié)構(gòu)頂點位移減振率為7.2%，加速度減振率為11.3%。不同的地震荷載作用下，將屋頂游泳池視為TLD 的減振效果不同主要是因為TLD 的減振效果與地震荷載的周期、頻率等因素有關(guān)。由3.3 節(jié)模型模態(tài)分析計算結(jié)果可知，結(jié)構(gòu)的第一階振型為X方向，并且，游泳池長邊方向也是沿X方向，在結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時，游泳池中水晃動能提供更大的減振力，所以在地震荷載作用于X方向時，減振效果也會優(yōu)于Y向。

4.2 流固耦合模型與等效TMD 模型結(jié)果對比

由SAUSAGE 計算得到將屋頂游泳池等效為TMD 子結(jié)構(gòu)時，在地震荷載作用下結(jié)構(gòu)的減振效果，提取結(jié)構(gòu)頂層位移和基底剪力平均值，由4.1 節(jié)分析可知，地震荷載作用于X方向時，減振效果優(yōu)于Y方向，故本節(jié)只討論第一階模態(tài)控制結(jié)果。頂層位移與基底剪力減振效果如表2 所示，樓層位移對比結(jié)果如圖10 所示。

表2 頂層位移與基底剪力減振效果Table 2 Vibration reduction effect of top floor displacement and base shear

圖10 樓層位移對比結(jié)果Fig.10 Floor displacement comparison

由表2 可知，流固耦合模型在三條地震波作用下頂層位移減振率介于16.4%～21.6%，基底剪力減振率介于17.6%～20.1%，而等效TMD 模型頂層位移減振率介于9.4%～13.7%，基底剪力減振率介于8.9%～12.8%。流固耦合模型的頂層位移減振率比等效TMD 模型提高了7%～7.9%，基底剪力減振率提高了7.3%～8.7%。

由圖10 可知，在三條地震波作用于X方向時，樓層位移減振率介于1.2%～21.6%。結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)隨著樓層的增加而增大，樓層位移減振率同樣沿著樓層的增大而增加，在結(jié)構(gòu)頂層位移減振率最佳。并且流固耦合模型各樓層位移減振率相較等效TMD 模型均有明顯提高。

出現(xiàn)上述現(xiàn)象主要是因為流固耦合模型在計算過程中時刻考慮了水與結(jié)構(gòu)的雙向耦合作用，水在振動過程中產(chǎn)生的壓力與結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的變形在耦合面上反復(fù)傳遞，而水體對結(jié)構(gòu)的液動壓力方向則與結(jié)構(gòu)的運動方向相反，這對結(jié)構(gòu)的運動有一定的抑制效果。因此，相比較非流固耦合模型，流固耦合模型減振過程更加符合實際工程情況，減振效果也更加明顯。

5 結(jié)論

本文將屋頂游泳池視為TLD 裝置，基于位移-壓力格式有限元方法，給出了流固耦合體系運動方程，建立屋頂游泳池流固耦合模型與等效TMD 模型，以某大跨屋頂標準游泳池結(jié)構(gòu)為背景，研究了地震荷載下屋頂游泳池對結(jié)構(gòu)抗振性能的影響，為實際工程中屋頂游泳池設(shè)計提供了參考，結(jié)論如下：

(1) 將流固耦合系統(tǒng)運動方程計算結(jié)果與ABAQUS 軟件數(shù)值模擬結(jié)果進行對比，發(fā)現(xiàn)位移與加速度時程曲線基本吻合，驗證了流固耦合運動方程的準確性；

(2) 流固耦合模型在X方向地震荷載作用下，結(jié)構(gòu)頂層位移減振率介于16.4%～21.6%，加速度減振率介于17.7%～20.4%；在Y方向地震荷載作用下，結(jié)構(gòu)頂層位移減振率介于7.2%～10.1%，加速度減振率介于11.3%～12.9%。兩個方向減振效果均較為明顯，且X方向減振效果優(yōu)于Y方向，表明在結(jié)構(gòu)頂部設(shè)計游泳池對結(jié)構(gòu)的第一、二階模態(tài)振動響應(yīng)均有較好的抑制作用；

(3) 通過流固耦合模型與等效TMD 模型計算結(jié)果對比，流固耦合模型樓層位移及基底減振率分別提高了7%～7.9%與7.3%～8.7%，說明屋頂游泳池考慮流固耦合作用時減振效果更優(yōu)于不考慮流固耦合作用時的情形，考慮流固耦合作用能更加準確的描述TLD-結(jié)構(gòu)在實際工程中的動力響應(yīng)情況。

(4) 通過分析大跨屋頂標準游泳池對結(jié)構(gòu)抗振性能的影響，表明大跨屋頂標準游泳池具有一定的減振效果，可為大跨屋頂標準游泳池結(jié)構(gòu)設(shè)計提供指導。