唐和生，何展朋，廖洋洋，謝麗宇

(同濟大學結構防災減災工程系，上海 200092)

力學正反問題普遍存在于各類工程問題中，其求解方法一直為學術及工程界所關注。正問題是指已知受力狀態(tài)、邊界等條件來求解其力學響應；反問題是某些邊界條件或者參數(shù)未知，通過獲取力學物理信息來反向推演相關未知參數(shù)[1?2]。

這是一個新陳代謝的速度超乎尋常，使人稍不留神，就在熟悉的地方迷路的年代。但是一個村莊，無論如何變遷，都得留著一些標識，留著一些老樹、古塔、老房子、老路、老橋和老店鋪。如果這些都漸漸消失了，村莊就只是村莊，而不是與一個人骨肉相連的故鄉(xiāng)了。

隨著計算機技術的快速發(fā)展，深度學習在固體力學問題中的應用越來越廣泛。江守燕等[3]基于數(shù)據驅動的神經網絡實現(xiàn)大體積混凝土結構中縫深的無損檢測，通過考察波經過帶縫結構傳播的信號進而預測裂縫深度。韓小雷等[4]基于RC 梁低周往復試驗數(shù)據，對模型本構骨架參數(shù)和滯回參數(shù)進行辨識，并建立塑性鉸RC 梁構件參數(shù)深度學習預測模型。趙林鑫等[5]基于機器學習的缺陷反演模型，建立薄板的結構動力響應和缺陷參數(shù)的映射關系，用于預測薄板結構的缺陷位置和大小信息。

物理信息神經網絡是一類將物理信息(邊界條件、初始條件和物理方程等)嵌入到網絡結構中的深度學習模型。該模型最大的特點是在對訓練數(shù)據的處理中利用了物理信息先驗知識，進而使得模型具有更好的可解釋性和擴展性。物理信息的存在不僅減輕了模型對大量訓練數(shù)據的依賴性，同時也為模型提供了物理約束，進而提高預測精度。RAISSI 等[6]提出物理信息神經網絡(Physicsinformed Neural Network, PINN)以實現(xiàn)常微分方程和偏微分方程系統(tǒng)問題的求解和參數(shù)的識別。SUN 等[7]提出了一種不使用任何標記數(shù)的流體模擬代理模型，并通過最小化流體質量和動量守恒定律損失函數(shù)來訓練該模型。研究表明該模型能很好地定義和解決偏微分方程。MAO 等[8]基于PINN 來模擬高速氣動流動的歐拉方程，其結果表明PINN 在傳統(tǒng)方法難以解決的反問題上更具有優(yōu)越性。SHUKLA 等[9]基于PINN 實現(xiàn)了金屬板中表面裂紋的識別和表征問題的求解。侯龍鋒等[10]基于PINN 構建了低雷諾數(shù)下的槽道流數(shù)值模型，并對槽道流的流動參數(shù)進行預測，驗證該方法具有較高的模擬精度。陸至彬等[11]以具有內熱源的二維穩(wěn)態(tài)導熱方程和平板間二維穩(wěn)態(tài)對流傳熱方程為案例，基于軟邊界和硬邊界兩種設定方法構建PINN，驗證代理模型的可信度較高。在PINN 的基礎上，國內外學者相繼提出了不同的改進模型，典型的有守恒型PINN(cPINN)、變分型PINNs(vPINNs)等。PINN 也因此在流體力學、材料力學等領域得到了廣泛的應用[12?13]。KARNIADAKIS 等[14]研究表明PINN 模型適用于各類基礎科學學科。

可以看出，對高校決算報表分析的重要性認識比較一致，這也是當前中國高校要解決好如何提供具有參考和應用價值的數(shù)據的通性問題。

力學正問題的損失函數(shù)為預測結果的損失值Lossu和物理信息約束損失值Lossr之和，如式(16)所示：

本文基于網絡遷移學習策略，建立了一種基于遷移學習增強的物理驅動神經網絡模型來求解矩形薄板力學正反問題。首先以深度神經網絡為基礎，將對應的邊界條件、初始條件和控制方程等嵌入網絡結構中，建立物理信息深度神經網絡；其次使用源域的樣本對設計好的神經網絡進行預訓練，保存預先訓練好的網絡模型；然后基于遷移學習策略，調用預訓練模型及參數(shù)(權重和偏差)，凍結部分網絡層及參數(shù)，以保留在源域模型中的特征知識；最后通過目標域中小樣本集重新訓練模型，實現(xiàn)目標任務的求解。深度遷移學習使得模型訓練更加高效，且可有效避免小樣本訓練過程中網絡過度擬合。通過不同邊界矩形薄板力學正反問題的求解，表明該方法具有良好的適應性和魯棒性。

1 物理信息神經網絡

1.1 神經網絡框架

物理信息神經網絡的基本框架包括神經網絡逼近函數(shù)和物理信息約束兩個部分(圖1)。輸入數(shù)據通過全連接神經網絡逼近函數(shù)獲得預測值。利用自動微分算法獲取預測結果的物理信息殘差，將其作為正則項約束放入損失函數(shù)中，利用梯度下降算法訓練神經網絡連接權重參數(shù)和偏差向量，直到殘差達到收斂條件停止訓練，進而實現(xiàn)對模型參數(shù)的求解和結果的預測。

圖1 物理信息神經網絡基本框架Fig.1 The framework of physical-informed neural network

式中：w為薄板撓度；q為薄板上均布荷載大?。籇為薄板抗彎剛度；E為薄板彈性模量；δ 為薄板厚度；ν為薄板泊松比。

因此，PINN 的損失函數(shù)可表示為：

隱藏層中激活函數(shù)采用雙曲正切函數(shù)，如式(4)所示：

對于所求解的偏微分方程(式(5))，需要考慮參數(shù)λ 和u(x)的共同影響：

對于不同的力學偏微分方程問題，其對應的解應滿足邊界條件，如式(6)所示：

對于非線性偏微分方程，利用PINN 所預測的結果應滿足下式：

式中：u(x,y)為偏微分方程的解；N(?, λ)為參數(shù)λ 的非線性微分算子；Ω為歐式空間RD的子集；x和y為空間變量。

1.2 損失函數(shù)

傳統(tǒng)物理模型是通過給定任意點(x,y)的初始狀態(tài)、邊界狀態(tài)和物理參數(shù)λ 來求解偏微分方程。在無法獲得解析解時，通常采用有限差分、有限體積等數(shù)值方法進行求解。PINN 以深度神經網絡為基礎，將物理信息嵌入到網絡框架中，進而建立物理信息神經網絡來逼近u(x,y)。其中，模型殘差包含兩部分：預測結果的殘差(式(8))和物理信息約束的殘差(式(9))：

沈侯嘗了一口，“不錯！你們女生可真能折騰，我們男生就用開水泡一泡?！币驗殄伜苄?，一次只夠煮一包面，顏曉晨開始給自己下面，沈侯一直等著。顏曉晨說：“你怎么不吃？方便面涼了就不好吃了！”

周作人對《對話集》的深度關注，一個顯在的理由是，《路吉阿諾斯對話集》所表現(xiàn)出的“非圣無法”的“疾虛妄”的精神。這一點周作人已在《關于路吉阿諾斯》中略有說明，他指出這二十篇譯作的主題主要包括諷刺權力、宗教、迷信，以及哲學、財富等“人類欲望的空虛”等，一言以概之便是“疾虛妄”。作為一部譯作，《路吉阿諾斯對話集》不僅僅具有文化價值或文學價值，應該說周作人更為看重的是它別具一格的思想價值?！堵芳⒅Z斯對話集》的思想駁雜，兼具健全的物理與深厚的人情之思想，和周作人的思想多所契合，構成周作人的思想核心的許多關鍵詞在這里均可以找到，其中最關鍵的即是“疾虛妄”。

基于 PINN求解力學正反問題的過程如下：

1)使用參數(shù)λ 構造神經網絡參數(shù)；

(1)鉆進中將抓斗緩慢下放，避免泥渣淤泥積、堵死；若停止鉆進應將抓斗提出孔外，鉆進中控制好泥漿指標，防止塌方。

2)通過邊界條件和初始條件建立損失函數(shù)；

3)通過對偏微分方程和邊界條件殘差求和，確定損失值；

4)通過最小化損失函數(shù)L(x; λ)求解u?(x,y)和λ*。

2 遷移學習

2.1 遷移學習分類

力學反問題的損失函數(shù)為偏微分方程表示的物理信息損失函數(shù)和邊界條件識別的損失函數(shù)之和，如式(19)所示：

圖2 遷移學習示意圖Fig.2 The schematic diagram of transfer learning

根據源域和目標域之間的相關性，遷移學習方法可分為四類[22]：基于實例遷移、基于特征遷移、基于模型(參數(shù))遷移和基于關系遷移。其中基于實例遷移是根據一定的權重生成規(guī)則，對數(shù)據樣本重用進行遷移學習。基于特征遷移是通過特征變換的方式互相遷移[23]。基于模型遷移是在源域和目標域中尋找共享的模型信息，從而實現(xiàn)模型的遷移?；灸Ｐ瓦w移的基本條件為：源域任務中的數(shù)據與目標域任務中的數(shù)據可以共享部分模型的參數(shù)[24]?；陉P系遷移是關注源域和目標域的樣本之間的關系，借助于馬爾科夫邏輯網絡來挖掘不同領域之間的關系相似性[25]。

因此，醫(yī)院迫切需要建立創(chuàng)新診療模式和運營模式，以應對新醫(yī)療體制改革帶來的沖擊和影響，通過研究新診療模式下的病種成本核算，以期實現(xiàn)提高醫(yī)院精益化管理的目標。

2.2 遷移學習增強的神經網絡

本文采用基于模型參數(shù)的遷移學習策略，其實現(xiàn)過程如圖3 所示。該方法在較低層次的網絡中，提取普適和共性的特征，這些特征具有高度的可遷移性[26?27]。在較高的層次中，模型特征往往具有高度特性，因此需要學習更具體的高級特征。為實現(xiàn)模型層面的自適應，首先利用源域數(shù)據訓練模型得到原有模型的結構，在源域數(shù)據訓練的模型基礎之上，凍結特征提取的網絡層，選擇較低層次網絡的參數(shù)進行保留。利用目標域數(shù)據對原有模型進行微調更新，實現(xiàn)釋放層的重新訓練，在目標域中學習新行為樣本的特征，進而獲得解決目標域問題的模型。

圖3 遷移學習增強的神經網絡示意圖Fig.3 The schematic diagram of physical-informed neural network enhanced by transfer learning

將彎曲產生的應力作為力學正問題的物理信息，基于物理信息部分的損失函數(shù)如式(15)所示：

1)準備源域數(shù)據和目標域數(shù)據；

2)利用源域數(shù)據訓練獲得源域模型；

3)提取源域模型的神經網絡層參數(shù)，凍結源域模型的參數(shù)，釋放全連接層并修改輸出類別；

4)利用目標域樣本數(shù)據更新釋放層參數(shù)，用于解決目標域問題。

3 基于深度遷移學習求解矩形薄板力學正反問題

通過PINN 解決工程領域的力學問題的一個主要瓶頸在于需要為不同的問題采集大量的數(shù)據，訓練成本巨大。為了解決這個問題，本文提出遷移學習增強的PINN。首先，凍結源域問題的前L-1層網絡結構，保留其參數(shù)和權重，釋放第L層的參數(shù)進行訓練。其次，第L層訓練得到的預測結果，計算其物理信息，將模型數(shù)據驅動的損失值和物理信息的損失值求和得到總的損失值。最后，將損失值進行反向傳播繼續(xù)訓練釋放層的參數(shù)，直至模型精度達到要求。以兩邊簡支兩邊固支的物理信息神經網絡為源域模型，采用遷移學習的方法對四邊簡支、四邊固支的目標域問題進行求解。其中，薄板的撓度預測為力學正問題，對于邊界的識別為力學反問題。

3.1 力學正問題

基于彈性薄板理論建立矩形薄板彎曲基本方程[28]，如下：

ICR小鼠64只，5周齡，在標準小鼠籠內飼養(yǎng)，給予標準食物和水，飼養(yǎng)溫度（22±2）℃。動物由北京維通利華實驗動物技術有限公司提供，醫(yī)學動物合格證書號：SCXK（京2012-0001）。

如圖1 所示，該模型是一個 Rdin→Rdout的L層神經網絡，由輸入層、隱藏層和輸出層組成。第一層為輸入層，輸入訓練數(shù)據如式(1)所示；隱藏層的第L層有N個神經元，第L層權重矩陣和偏差向量是wI∈RNT×NT?1和bI∈RNT，損失值通過前反饋算法進行傳遞，每一層通過式(2)為下一層創(chuàng)建數(shù)據；輸出層為全連接層，通過式(3)生成預測結果：

矩形薄板各點的本構關系如式(13)所示：

力學正問題的研究是通過已知參數(shù)和相應邊界條件求解結構的力學響應。本文將應力-應變本構關系引入到損失函數(shù)中，基于PINN 求解矩形薄板力學正問題，網絡模型的輸出值為矩形薄板各點撓度大小。結合薄板彎曲基本方程式(11)，基于數(shù)據驅動部分的損失函數(shù)為Lossu，如式(14)所示：

式中：w*為矩形薄板撓度的精確值；w為矩形薄板撓度的預測值。

基于遷移學習的求解過程如下：

還有個有趣但并不嚴謹?shù)慕y(tǒng)計，那就是在遇見她的日子里，我考試的平均分數(shù)比較高。這或許意味著讓我成績進步的最佳解，便是提高上學時遇見她的機率。

盡管如此，基于PINN 方法實現(xiàn)工程結構設計優(yōu)化過程中物理場的快速仿真(正問題)與精確反演(反問題)仍是一項具有挑戰(zhàn)性的任務，其主要原因是關于復雜結構系統(tǒng)的有效實驗數(shù)據數(shù)量十分有限。遷移學習是深度學習中的一項重要技術，其通過將源域任務的特征知識遷移至目標域任務，從而使目標域任務具有更高的效率和精度。該方法可用于解決小數(shù)據問題(源域中有足夠的標記數(shù)據，而目標域中只有少量標記數(shù)據的情況)和增強神經網絡的魯棒性[15?16]。CHAKRABORTY[17]基于遷移學習和物理-數(shù)據驅動的深度學習技術，成功將求解低保真度問題所獲得的特征知識轉移并用于求解高保真度問題。HAGHIGHA 等[18]基于有限元模型劃分稀疏網格生成小數(shù)據集，通過再次訓練預訓練網絡模型實現(xiàn)數(shù)據解和參數(shù)的快速收斂，驗證了遷移學習在物理信息神經網絡框架中的適用性，并發(fā)現(xiàn)在網絡再培訓過程中大大加快了收斂速度。GAO 等[19]基于神經網絡的遷移學習，利用相對較少的圖像標記建立起結構損傷識別方法，實現(xiàn)包括結構部件類型確認、剝落狀態(tài)檢查、損傷等級評估和損傷類型的判定。

3.2 力學反問題

力學反問題是已知部分解的信息，來確定模型中部分未知參數(shù)，即對結構的未知參數(shù)進行識別。假設矩形薄板的力學反問題識別參數(shù)為λ，對未知參數(shù)的識別可以表示為下列最優(yōu)化的問題：

本文利用矩形薄板在均布荷載作用下若干點的撓度和已知的材料參數(shù)，識別薄板的四條邊界條件。為了對邊界進行有效的識別，引入四個參數(shù)α1、α2、α3、α4，分別代表矩形薄板四邊支撐的邊界條件，損失函數(shù)采用交叉熵損失函數(shù)，通過對四個未知參數(shù)的識別實現(xiàn)對矩形薄板邊界條件的識別(式(18))：

式中：i為四個邊界條件；j為訓練邊界上各點位移的樣本數(shù)。

設數(shù)據對象In經過n個處理步驟Pr1,Pr2,,Prn，演變?yōu)閿?shù)據對象Out，則Out從In開始的數(shù)據世系可表示為

在傳統(tǒng)機器學習場景中，對于兩個相關領域，通常需要兩個標記數(shù)據集來分別訓練兩個模型。該方法忽略了領域之間的相似性，導致計算效率較低。工程領域中的標記數(shù)據具有樣本小、維度高、稀疏等特征，易導致傳統(tǒng)機器學習模型過度擬合，且泛化能力較差、適用范圍有限。通過遷移學習，將一個領域已存“知識”運用到一個新的相關領域，對不同但相關領域問題進行求解，放寬了傳統(tǒng)機器學習必須具有足夠的訓練樣本才能得到一個好的訓練模型的限制[20?21]。遷移學習的實現(xiàn)過程如圖2 所示，首先利用大量的標記數(shù)據訓練源域模型，將訓練源域模型獲得的特征知識遷移至目標域模型中，使用少量的標記數(shù)據對目標域進行訓練，從而避免了獲取大量數(shù)據的成本。

以檸條塔煤礦S1200-Ⅲ綜掘工作面為對象，運用Fluent軟件進行流體分析[16]，得到風流場的原始場數(shù)值模擬下的運移分布，如圖2所示。

4 算例分析

4.1 矩形薄板力學正問題

以矩形薄板在均布荷載q作用下的問題為例，選取材料參數(shù)：彈性模量E=1000 GPa、泊松比ν=0.25、均布荷載q=1 kPa、面板長度a=b=1 m，厚度取單位尺寸。x表示橫軸，y表示縱軸，空間坐標系建立如圖4 所示。

圖4 矩形薄板受均布荷載作用示意圖Fig.4 Schematic diagram of rectangular thin plate under uniformly distributed load

基于PINN 求解矩形薄板的力學正問題，訓練數(shù)據為20×20 均勻劃分薄板的撓度數(shù)據，神經網絡一共四層隱藏層，每層隱藏層40 個神經元，每批次訓練樣本大小為32，優(yōu)化器采用Adam，學習率為0.001，迭代次數(shù)為1000 次，求解力學正問題的網絡結構如圖5 所示。

圖5 力學正問題的網絡結構示意圖Fig.5 The schematic diagram of the neural network for solving forward mechanics problems

對于兩邊簡支兩邊固支矩形薄板問題，利用20×20 數(shù)據集進行模型訓練，訓練迭代過程如圖6 所示，其中模型在500 代左右逐漸迭代收斂。矩形薄板的精確結果和預測結果如圖7 所示，預測結果的撓度分布規(guī)律與精確結果一致。精確結果和預測結果的誤差值如圖8 所示，最大誤差為0.08%，模型的預測精度較高。

圖6 迭代收斂曲線(兩邊簡支+兩邊固支板)Fig.6 The curve of iterative convergence (Simply supported plates on both sides and fixed plates on both sides)

圖7 撓度預測值與精確值對比(兩邊簡支+兩邊固支板)Fig.7 A comparison between the predicted value of deflection and its exact value (Simply supported plates on both sides and fixed plates on both sides)

圖8 誤差分布(兩邊簡支+兩邊固支板)Fig.8 The distribution of error (Simply supported plates on both sides and fixed plates on both sides)

采用遷移學習方法求解矩形薄板的力學正問題，通過20×20 的數(shù)據訓練得到兩邊簡支兩邊固支矩形薄板的模型(源任務)，其網絡結構共有四個隱藏層。四邊簡支和四邊固支力學正問題(目標任務)，訓練數(shù)據為劃分網格10×10 點的撓度，數(shù)據量為源域模型的四分之一。源任務和目標任務的訓練數(shù)據分布不同，訓練數(shù)據集的規(guī)模不同，但兩者的輸出預測指標相同。采用模型遷移策略[26]，凍結隱藏層之間的偏置和權重，釋放最后一個網絡層和全連接層參數(shù)，使用少量數(shù)據求解目標任務。

基于遷移學習模型求解四邊簡支問題的迭代收斂曲線如圖9 所示，遷移學習方法的初始損失值較小，模型的迭代收斂速度更快；薄板的撓度精確結果和預測結果如圖10 所示，撓度的分布規(guī)律基本一致；預測結果的損失值如圖11 所示，遷移學習訓練輸出的目標域模型誤差為0.3%。

圖9 不同網絡模型迭代收斂曲線(四邊簡支板)Fig.9 Iterative convergence curves of different network models (Simply supported plates on four sides)

圖10 撓度預測值與精確值對比(四邊簡支板)Fig.10 A comparison between the predicted value of deflection and its exact value (Simply s upported plates on four sides)

圖11 誤差分布(四邊簡支)Fig.11 The distribution of error (Simply supported plates on four sides)

基于遷移學習模型求解四邊固支問題的迭代收斂曲線如圖12 所示，薄板的撓度預測如圖13所示，薄板預測的損失值如圖14 所示。

圖12 不同網絡模型迭代收斂曲線(四邊固支板)Fig.12 Iterative convergence curves of different network models (Four sided fixed support plate)

圖13 撓度預測值與精確值對比(四邊固支板)Fig.13 A comparison between the predicted value of deflection and its exact value (Four sided fixed support plate)

圖14 誤差分布(四邊固支板)Fig.14 The distribution of error (Four sided fixed support plate)

經過收斂情況和計算結果的對比，可以看出基于遷移學習求解板的正問題，訓練數(shù)據量為原來源域模型的四分之一，迭代的初始損失值較小，迭代收斂效果良好且模型預測精度不下降，這表明遷移學習方法對于解決小樣本數(shù)據的矩形薄板力學正問題具有良好的精度和泛化能力。

2.1 實用性和可操作性 即確定的指標應能切實反映護理質量的核心，能合理解釋護理質量現(xiàn)象，同時應考慮到質量管理的成本因素。指標的概念和原理要便于理解，指標的計算公式、運算過程也要簡單實用。

4.2 矩形薄板力學反問題

以受均布荷載作用的矩形薄板問題(兩邊簡支+兩邊固支)為例(源任務)，基本的物理參數(shù)與正問題的相同?？紤]到反問題的邊界條件和撓度分布等比較復雜，選擇隱藏層為8 層，每層40 個節(jié)點的網絡進行訓練。固支邊界理論值為0，簡支邊界理論值為1。取薄板固支邊界為x=0、y=0，簡支邊界為x=a、y=b，設定四個邊界參數(shù)的初始值均為0.5。邊界條件示意圖如圖15 所示。

圖15 兩邊簡支兩邊固支薄板示意圖Fig.15 The schematic diagram of simply supported plates with fixed supports on both sides

劃分20×20 的網格撓度數(shù)據訓練并預測矩形薄板各點撓度和四條邊界條件(源任務)，模型的訓練迭代過程如圖16 所示，該模型的迭代收斂速度較快，矩形薄板的邊界參數(shù)識別結果如表1 所示，邊界識別結果較為準確。

表1 矩形薄板邊界參數(shù)預測結果(兩邊固支兩邊簡支板)Table 1 Predicted values of boundary parameters for the thin rectangular plate (Simply supported plates with fixed supports on both sides)

圖16 模型撓度迭代收斂曲線(兩邊固支兩邊簡支板)Fig.16 The curve of iterative convergence (Simply supported plates with fixed supports on both sides)

四邊簡支和四邊固支薄板的識別問題(目標任務)，劃分網格10×10。基于模型參數(shù)遷移的方法，釋放源域模型的最后一個網絡層和全連接層，對目標任務進行求解。對四邊簡支矩形薄板的四個邊界參數(shù)進行初始化，其初始值均為0.5，利用10×10 的數(shù)據訓練并預測矩形薄板四條邊界條件。四邊簡支板的反問題迭代過程如圖17 所示，邊界條件的識別結果如表2 所示，基于遷移學習的訓練模型損失值更小，迭代收斂速度更快，且精度不發(fā)生下降。

表2 矩形薄板邊界參數(shù)預測結果(四邊簡支板)Table 2 Predicted values of boundary parameters for the thin rectangular plate (Simply supported plates on four sides)

圖17 不同網絡模型撓度迭代收斂曲線(四邊簡支板)Fig.17 Iterative convergence curves of different network models (Simply supported plates on four sides)

基于遷移學習模型求解四邊固支板的反問題迭代收斂過程如圖18 所示，邊界條件的識別結果如表3 所示。

表3 矩形薄板邊界參數(shù)預測結果(四邊固支板)Table 3 Predicted values of boundary parameters for the thin rectangular plate (Four sided fixed support plate)

圖18 不同網絡模型撓度迭代收斂曲線(四邊固支板)Fig.18 Iterative convergence curves of different network models (Four sided fixed support plate)

通過收斂情況和計算結果的對比，基于遷移學習求解力學反問題過程中，使用的數(shù)據量為原來的四分之一。在滿足模型預測精度的要求下，模型的初始損失值減少，模型的收斂速度提高。

4.3 模型能力對比

本文以兩邊簡支兩邊固支物理信息神經網絡為源域模型，基于模型參數(shù)遷移方法求解四邊簡支、四邊固支目標域問題。源域模型采用20×20的數(shù)據進行訓練，基于遷移學習對目標域問題采用10×10 的數(shù)據進行訓練，表4 對比兩種方法求解力學正問題的結果，可以看出，目標域問題在訓練數(shù)據樣本減少的情況下，訓練輸出的模型精度不發(fā)生下降。表5 對比兩種方法求解力學反問題的結果，唐明建等[29]采用20×20 的數(shù)據求解得到兩邊簡支兩邊固支力學反問題的平均誤差為4.93%，遷移學習訓練輸出的目標域誤差在5%以內，模型的預測精度較高且泛化能力較強。

利用二極管的寄生電容,通過增加電路系統(tǒng)方程的維數(shù)從而實現(xiàn)整體電路系統(tǒng)方程的建模,進而對提出的電路進行動力學分析,研究系統(tǒng)隨控制參數(shù)變化下的動力學行為。

表4 力學正問題計算誤差對比 /(%)Table 4 Comparison of calculation errors of mechanical forward problems

表5 力學反問題計算誤差對比 /(%)Table 5 Comparison of calculation errors of mechanical inverse problems

5 結論

本文建立了一種基于遷移學習增強的物理驅動深度網絡模型，用于解決數(shù)據稀疏的力學正反問題。在此基礎上利用PINN 和遷移學習方法，對不同邊界條件的矩形薄板力學正、反問題進行了求解。通過對矩形薄板撓度響應的預測及其邊界條件的識別，驗證了PINN 的有效性和準確性?；谶w移學習構建目標域問題的預測模型，采用少量訓練數(shù)據求解了四邊簡支和四邊固支矩形薄板的力學正反問題。研究結果對于解決訓練數(shù)據量不足的實際問題具有重要意義。本文的主要結論如下：

德國足球長期居于世界領先地位，不僅與德國足球的技戰(zhàn)術水平有關，也與德國長期注重青少年校園足球運動的開展相關。德國足協(xié)采用了學校、俱樂部、地方足協(xié)三方合作的模式來開展青少年足球運動。德國足協(xié)一共建立了 380 多個校園足球基地。為了提高實際成效，德國足協(xié)并非采取均等資助的方式，而是對德國東北部地區(qū)的部分學校給予重點資助。足協(xié)與學校密切協(xié)作，制定特別的選拔制度，對青少年的運動技術水平和競賽潛能進行科學、動態(tài)的測量評定。同時，對不同年齡、學段的青少年學習均有相應的標準要求。完善的政策制度保證了青少年足球人才培養(yǎng)的科學與合理。這些政策經驗對我國校園足球政策的完善有積極的啟示價值。

(1)以兩邊簡支、兩邊固支邊界的PINN 模型為源域模型，基于遷移學習方法對四邊簡支、四邊固支的目標域問題進行求解。建立的代理模型預測結果與真實值吻合度良好，撓度預測的最大誤差絕對值為4.84%，表明PINN 模型具有較高的精度，證明了PINN 具有構建高精度代理模型的能力。

(2)使用遷移學習將源域的模型參數(shù)遷移到目標域的模型，采用源域模型四分之一的數(shù)據實現(xiàn)了撓度預測和邊界識別。對于四邊簡支和四邊固支的力學問題，訓練的數(shù)據量大大減少，預測效率提高且精度不下降。這表明模型具有良好的精確性、魯棒性和泛化能力。對于解決數(shù)據收集成本高、數(shù)據采集困難的工程問題具有重要意義。