郭子文 章公也 糜長穩(wěn)

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京 210096)

引言

力電耦合效應(yīng)是廣泛存在于各類電介質(zhì)材料中的多場耦合效應(yīng)之一,常見的形式有壓電效應(yīng)、電致伸縮效應(yīng)、鐵電效應(yīng)等[1-5].一些線性力電耦合效應(yīng),如壓電效應(yīng)和撓曲電效應(yīng),由于可以實現(xiàn)電能和機械能之間的相互轉(zhuǎn)化而被廣泛應(yīng)用于多種機電器件和設(shè)備中,例如諧振器、傳感器、發(fā)電機和濾波器等[6-10].

撓曲電效應(yīng)是電介質(zhì)中應(yīng)變梯度(非均勻應(yīng)變)與電極化之間的耦合(正撓曲電效應(yīng)),或者電極化梯度與應(yīng)力的耦合關(guān)系(逆撓曲電效應(yīng)).正撓曲電效應(yīng)將機械能轉(zhuǎn)化為電能,可用于制造傳感元件或發(fā)電元件.逆撓曲電效應(yīng)能夠?qū)㈦娔苻D(zhuǎn)化為機械能,可應(yīng)用于制造驅(qū)動元件.在傳統(tǒng)壓電材料中,均勻應(yīng)變(如單軸拉壓)能夠通過壓電效應(yīng)激發(fā)電極化,其中,非中心對稱晶體是材料表現(xiàn)壓電性的必要條件;而撓曲電效應(yīng)即使在中心對稱晶體中,也可通過非均勻應(yīng)變(如彎曲變形)局部破壞材料內(nèi)部正負(fù)電荷的對稱性并誘發(fā)撓曲電極化.近年來,撓曲電效應(yīng)逐漸引起了研究者們的廣泛關(guān)注.相比于壓電效應(yīng),撓曲電效應(yīng)具有明顯的優(yōu)勢.一方面,壓電效應(yīng)僅存在于20 種非中心對稱的介電材料中,這極大限制了壓電材料的進一步發(fā)展與應(yīng)用.而非均勻應(yīng)變能夠在所有介電材料中產(chǎn)生電極化,即撓曲電材料的來源比壓電材料更廣泛.另一方面,由于壓電材料在高于居里溫度時會發(fā)生相變,導(dǎo)致材料對稱性增高,壓電性消失,因而壓電效應(yīng)很難應(yīng)用于高溫場合,而撓曲電效應(yīng)沒有這個限制,故撓曲電材料的工作溫度范圍更廣.除此之外,撓曲電效應(yīng)會隨著尺度的降低而急劇增強,當(dāng)材料特征尺寸達到微納米量級時,撓曲電效應(yīng)會變得十分顯著,因此在微納米材料中撓曲電效應(yīng)變得更加不可忽視[11-12].

在考慮撓曲電效應(yīng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型中,機械載荷引起的彎曲變形和曲率引起的撓曲電極化是大多數(shù)研究人員關(guān)心的問題[13-20].除此之外,利用熱彈性、熱電性或磁致伸縮效應(yīng)引起的熱或磁致變形和電極化在多場耦合領(lǐng)域也已得到廣泛應(yīng)用[21-24].特別地,與直接施加機械載荷相比,利用磁電耦合材料進行磁調(diào)控是一種非接觸式的智能驅(qū)動方法,通常出現(xiàn)在以壓磁性材料作為驅(qū)動器的復(fù)合結(jié)構(gòu)中,能夠?qū)崿F(xiàn)磁-力-電的多場耦合.磁電耦合材料具有很多重要的應(yīng)用,包括磁傳感器、數(shù)據(jù)存儲、醫(yī)學(xué)中的遠(yuǎn)程藥物傳遞和無線能量采集器等[25-27].雖然自然界中的磁電耦合單相材料確實存在,如BiFeO3,Cr2O3和YMnO3,但是,它們具有較低的居里溫度并且在室溫下的磁電耦合性能很弱,這無疑限制了磁電耦合材料的應(yīng)用[25].為此,人們轉(zhuǎn)而采用壓電和磁致伸縮復(fù)合結(jié)構(gòu),用以規(guī)避單一構(gòu)型磁電材料的缺點,如BaTiO3和CoFe2O4磁電復(fù)合材料[28]、PZT 壓電陶瓷與稀土合金Terfenol-D 磁電復(fù)合材料等[29].近期,Li 等[30]針對一維非壓電懸臂梁的研究表明,通過磁場也可以激發(fā)撓曲電極化,這進而拓寬了撓曲電器件的應(yīng)用范圍.

現(xiàn)有文獻對于撓曲電效應(yīng)的結(jié)構(gòu)理論研究大多只針對彎曲和屈曲等靜態(tài)問題,缺乏對于較為復(fù)雜的受迫振動等動態(tài)問題的研究,尤其是將磁場作為驅(qū)動源時的動態(tài)振動機制尚不明晰.有鑒于中心對稱撓曲電介電材料在微納米尺度下顯著的力電耦合效應(yīng)和磁場的非接觸驅(qū)動特性,本文以具有單個撓曲電層和兩個對稱壓磁層組成的夾層板為例,通過多物理場結(jié)構(gòu)理論建模,研究夾層板在全局和局部磁場驅(qū)動下的動態(tài)力電耦合響應(yīng),以期為磁控機電器件的優(yōu)化設(shè)計提供新的改進思路.

1 結(jié)構(gòu)理論框架

從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的角度看,對于特定的模型結(jié)構(gòu),可以將三維框架簡化為一維的梁、桿或二維的板模型,再通過解析法對這些模型進行求解.因此,本節(jié)將基于Mindlin 發(fā)展的多物理場結(jié)構(gòu)理論分析方法建立撓曲電夾層板的二維理論分析框架.

1.1 單層撓曲電板

如圖1 所示的單層撓曲電薄板,長度和寬度分別為a和b,厚度為2h.采用直角坐標(biāo)系 (x1,x2,x3),在外部橫向力q(x1,x2)的作用下發(fā)生變形.根據(jù)Mindlin 結(jié)構(gòu)理論假設(shè),板內(nèi)任意質(zhì)點的位移可沿板的厚度方向按級數(shù)形式展開,其一階截斷的表達式為[31-32]

圖1 單層板及采用的坐標(biāo)系Fig.1 A single-layer plate and coordinate system

其中,φ(0)和 φ(1)表示沿板面的零階電勢和沿板橫向的一階電勢.

根據(jù)經(jīng)典偶應(yīng)力理論[33-36],無窮小應(yīng)變張量定義為 ε=(?u+u?)/2;曲率張量表達式為χ=θ ??,其中 θ(=(?×u)/2) 為旋轉(zhuǎn)矢量.結(jié)合式(1) 可得非0應(yīng)變和曲率分量分別為

此外,靜電場強度可由電勢的負(fù)梯度計算得到,即E=-?φ.結(jié)合式(2)可得其分量形式為

根據(jù)偶應(yīng)力撓曲電理論[36-37],單層撓曲電板的Gibbs 自由能(G)在 [0,T]時間內(nèi)的一階變分為

對應(yīng)于上式的本構(gòu)方程為[38]

其中,Cijkl為撓曲電板的4 階彈性剛度張量、sij為介電系數(shù)張量、fikl為3 階撓曲電系數(shù)張量,反映電極化和曲率之間的力電耦合效應(yīng).

1.2 夾層板的三維本構(gòu)關(guān)系

考慮圖2 所示的三明治式壓磁驅(qū)動撓曲電夾層板結(jié)構(gòu),該模型建立在直角坐標(biāo)系 (x1,x2,x3)之中,由中間的撓曲電層和沿著撓曲電層的中面呈上下對稱分布的兩個壓磁層組成.其中,撓曲電層選用具有中心對稱的立方晶體結(jié)構(gòu)(m3m 點群)材料,具有撓曲電性.壓磁層選用具有橫觀各向同性的六方晶體結(jié)構(gòu)(6mm 點群)材料,不含壓電性和磁電耦合效應(yīng),僅考慮壓磁性能.兩側(cè)六方晶體壓磁層的c軸雖均沿x3方向,但是二者極化方向相反.在橫向磁場H3作用下,當(dāng)其中一個壓磁層在面內(nèi)由磁致伸縮效應(yīng)產(chǎn)生拉伸變形時,另一個壓磁層則會產(chǎn)生壓縮變形,夾層板結(jié)構(gòu)整體的拉壓變形得以相互抵消,反之亦然.

圖2 磁場作用下的夾層板模型Fig.2 A sandwich plate model under a magnetic field

對于立方晶體結(jié)構(gòu)材料,撓曲電層的三維本構(gòu)關(guān)系為[38]

對于橫觀各向同性結(jié)構(gòu)材料,上部壓磁層的三維本構(gòu)關(guān)系為[39]

下部壓磁層的c軸方向為負(fù)時,壓磁系數(shù)的符號發(fā)生改變,因而其面內(nèi)正應(yīng)力本構(gòu)方程變?yōu)?/p>

1.3 夾層板的控制方程和邊界條件

對應(yīng)的邊界條件為

其中,ρ表示質(zhì)量密度.式(13) 中的物理量建立在(n,s,x3)下,由坐標(biāo)系(x1,x2,x3)轉(zhuǎn)換得到[41].

將式(3)～式(5)、式(8)～式(10)代入式(13),再將所得二維本構(gòu)代入式(11),可得到以位移,,,電勢 φ(1)以及磁場強度H3表示的夾層板控制方程,即

其中

2 受迫振動分析

為了論證上節(jié)建立的撓曲電夾層板二維理論模型,本節(jié)將分別對其在全局和局部橫向磁場作用下的動態(tài)力電耦合響應(yīng)展開研究.以簡支板閉合電路狀態(tài)為例(邊界配置如圖3 所示),邊界條件可根據(jù)式(12)得到,即

圖3 橫向磁場驅(qū)動下夾層板的邊界配置Fig.3 Boundary configuration of sandwich plate under a transverse magnetic field

對于矩形板,沿x1=0 和x1=a,邊界條件為

將二維本構(gòu)代入式(18)可進一步得到

沿x2=0和x2=b,邊界條件為

將二維本構(gòu)代入式(21)可進一步得到

本節(jié)主要分析外部磁場對模型的驅(qū)動作用,不考慮體力項,即令.夾層板受到時諧磁場的作用,磁場強度表達式為

其中,ξm=mπ/a,ζn=nπ/b,ω是板的激振頻率,i 是虛數(shù)單位并滿足i2=-1.代表磁場強度正弦級數(shù)展開式的系數(shù),可通過積分計算得到,即

取決于外加驅(qū)動磁場的形式,位移場和電勢場也必然具有相應(yīng)的時空分布特征,即

將式(23)和式(25)代入控制方程(14)得線性方程組

其中,Kij和Mij分別為4×4 的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,二者的非零分量為

為了求解數(shù)值結(jié)果,本節(jié)選取的板尺寸參數(shù)為:h=10 nm,c=0.4h,a=b=40h.壓磁層和撓曲電層材料分別選取CoFe2O4和Si,二者的物理參數(shù)如表1 所示[40,42].值得注意的是,由于CoFe2O4的撓曲電系數(shù)無法在現(xiàn)有文獻中得出,本文忽略了壓磁層的撓曲電效應(yīng)[43].

表1 CoFe2O4 和Si 的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of CoFe2O4 and Si

2.1 全局磁場驅(qū)動

本小節(jié)研究全局磁場驅(qū)動下復(fù)合板的受迫振動問題,考慮幅值為h0=1.0×106A/m 的正弦型磁場強度分布形式

圖4 展示了單側(cè)壓磁層驅(qū)動撓曲電雙層板(藍(lán)色線條)(參見文獻[40])與當(dāng)前夾層板模型(紅色線條)在正弦型全局磁場驅(qū)動下的一階電勢幅頻關(guān)系對比,兩種模型的材料組分占比和幾何尺寸均保持一致.從圖中可以看出,一階電勢表現(xiàn)出明顯的頻率依賴性,當(dāng)激振頻率遠(yuǎn)離固有頻率時,一階電勢的振動幅值幾乎為零,而當(dāng)激振頻率靠近固有頻率時,一階電勢的振動幅度急劇增加,在固有頻率處達到最大值.此外,相較于“雙層復(fù)合板”、“當(dāng)前夾層板”的一階電勢明顯增大,峰值提高了10%以上,這表明對稱式驅(qū)動壓磁層分布方式趨于提高多層復(fù)合板的力電耦合性能.

圖4 全局磁場驅(qū)動下的一階電勢幅頻關(guān)系對比Fig.4 Comparison of amplitude-frequency curve of first-order potential under the global magnetic field

2.2 局部磁場驅(qū)動

本小節(jié)采用H3=h0exp(iωt)的均布局部磁場驅(qū)動復(fù)合板,磁場的驅(qū)動范圍是一個長度為2d(d＜a/2),寬度為2e(e＜b/2)的矩形區(qū)域,如圖5 所示的灰色區(qū)域,關(guān)于矩形板的中心(x0,y0)對稱.對于該均布局部磁場,式(24)中的傅里葉系數(shù)可計算為

圖5 局部驅(qū)動磁場作用區(qū)域(灰色區(qū)域)Fig.5 Local magnetic field area (grey area)

局部磁場的具體驅(qū)動范圍可通過改變d和e進行調(diào)整,為了便于進行數(shù)值計算,本小節(jié)取d=e=25 nm.

圖6 展示了局部磁場驅(qū)動下復(fù)合板的撓度振動幅值與激振頻率關(guān)系,其中,h0=1.0×106A/m.在式(23) 中共保留了30 項,此時的計算結(jié)果與保留60 項時在小數(shù)點后第3 位依然一致,表明在驅(qū)動磁場的傅里葉級數(shù)中取30 項可以滿足收斂性要求.從圖6 中可以看出,在0～5.0×1010rad/s 的激振頻率范圍內(nèi),一共出現(xiàn)了3 階固有頻率,相應(yīng)產(chǎn)生了3 個共振峰,并且,隨著固有頻率的增加,共振峰值越來越低.受到復(fù)合板振動阻尼的影響,固有頻率不再表現(xiàn)為單一的頻率值,而是表現(xiàn)為一小段固有頻率區(qū)間.

圖6 局部磁場驅(qū)動下夾層板的撓度幅頻關(guān)系Fig.6 Deflection amplitude-frequency curve of the sandwich plate under local magnetic field

與圖6 的前兩階固有頻率相對應(yīng),圖7 給出了夾層板的撓度、轉(zhuǎn)角和橫向電勢振型.雖然這些振型實際上是復(fù)值,但由于它們的虛部遠(yuǎn)小于實部,因此可略去虛部.由于矩形板幾何尺寸和磁場作用范圍的對稱性,夾層板的轉(zhuǎn)角的分布類似,出于簡化的目的,的分布未做展示.從圖7 中可以看出,這些振型具有很強的頻率依賴性,低階振型具有更大的振動幅值,而高階振型沿復(fù)合板長度和寬度方向具有更短的周期.特別地,從圖7(b)和圖7(f)中還可以明顯看出,由于磁場的局部驅(qū)動特征,在作用區(qū)域中心附近產(chǎn)生撓度、轉(zhuǎn)角和電勢峰值.圖7所展示的結(jié)果對板型磁驅(qū)動器(磁能轉(zhuǎn)換為機械能)和板型磁傳感器(磁能轉(zhuǎn)換為電能)的優(yōu)化設(shè)計具有重要的參考價值.

圖7 局部磁場驅(qū)動下夾層板的前兩階撓度、轉(zhuǎn)角和一階電勢振型Fig.7 The first two order deflection,rotation angle and first-order potential mode of the sandwich plate under the local magnetic field

圖7 局部磁場驅(qū)動下夾層板的前兩階撓度、轉(zhuǎn)角和一階電勢振型 (續(xù))Fig.7 The first two order deflection,rotation angle and first-order potential mode of the sandwich plate under the local magnetic field (continued)

3 結(jié)論

本文以探索新型磁控納米機電器件為研究背景,提出了一種新的三明治式壓磁驅(qū)動撓曲電夾層板模型,構(gòu)建了夾層板的二維控制方程和邊界條件,并分析了矩形簡支板在全局和局部磁場激勵下的動態(tài)力電耦合響應(yīng).基于本文的數(shù)值研究結(jié)果可以獲得以下兩點重要結(jié)論.

(1) 在外部時諧磁場驅(qū)動下,夾層板的位移和電勢振動幅值依賴于激振頻率.隨著固有頻率的增加,振型幅值迅速衰減,振型表現(xiàn)出周期變化特征.

(2) 驅(qū)動壓磁層的分布方式對復(fù)合板結(jié)構(gòu)的力電耦合響應(yīng)具有重要影響,本文設(shè)計的對稱式驅(qū)動壓磁層分布方式趨于提高復(fù)合板的力電耦合性能.

本文的理論模型和研究結(jié)果可為磁控機電器件的優(yōu)化設(shè)計提供新的改進思路.