田傳帥 詹 林 肖 銳 ,2)

* (河海大學工程力學系,南京 210098)

? (浙江大學工程力學系,杭州 310027)

引言

玻璃態(tài)聚合物在變形過程中會表現(xiàn)出復雜的力學行為[1-4],其應(yīng)力-應(yīng)變曲線可分為4 個階段: 彈性、應(yīng)變軟化、平臺和應(yīng)變強化.當前已有不少學者開展了系統(tǒng)的實驗和理論研究玻璃態(tài)聚合物的力學行為[5-11].例如Boyce 等[12]利用屈服強度隨時間的演變來描述應(yīng)變軟化行為.關(guān)于應(yīng)變強化行為的模擬,目前普遍采用超彈性模型,主要有兩個經(jīng)典的超彈性模型應(yīng)用的最為廣泛.一個是Neo-Hookean模型,例如Senden 等[13]采用其模擬取向后的聚碳酸酯(PC) 在單軸拉伸和壓縮中的應(yīng)變強化響應(yīng);Van Melick 等[14]用其擬合來獲得聚苯乙烯(PS)和聚苯醚(PPO)共混物在單軸壓縮中的強化模量.另一個廣泛使用的模型是Arruda 等[15]提出的超彈性八鏈模型.該模型被用以模擬PC 和聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)在單軸壓縮和平面應(yīng)變壓縮中的強化行為;Dupaix 等[16]對其改進后,用其模擬玻璃態(tài)聚合物在整個玻璃化轉(zhuǎn)變區(qū)間的應(yīng)變強化行為.

超彈性理論建模一直是固體力學的研究重點,在過去的幾十年間,有大量的超彈性模型被建立,例如Shariff 模型、Haines-Wilson 模型、Mooney-Rivlin 模型、Ogden 模型、三鏈模型、全鏈模型和p-root 模型等.相關(guān)學者也全面評估了這些超彈性模型的有效性[17-18].例如,Marckmann 等[19]在比較了20 個超彈性模型后,發(fā)現(xiàn)擴展管道模型、Shariff模型和p-root 模型能夠較好地再現(xiàn)實驗結(jié)果.Steinmann 等[20]詳細比較了14 個常見超彈性模型后發(fā)現(xiàn),這些模型在模擬橡膠材料多軸變形條件下的力學響應(yīng)時均表現(xiàn)不佳.Hossain 等[21]比較了八鏈和全鏈模型及其6 個改進版本,表明雙參數(shù)改進后的八鏈模型優(yōu)于傳統(tǒng)的八鏈模型,而在全網(wǎng)絡(luò)模型情況下,Elías Zuniga 等[22]的模型比Wu 等[23]的Giessen 模型更優(yōu).

雖然這些超彈性模型在描述橡膠超彈性方面的表現(xiàn)得到了全面的評估[24-27],但是這些模型能否更好地用來模擬玻璃態(tài)聚合物的應(yīng)變強化行為還需進一步驗證.本文中,將三鏈模型、八鏈模型、全鏈模型和p-root 模型這幾種超彈性模型引入到黏塑性模型中,分別用這些模型來描述玻璃態(tài)聚合物的強化行為,并對文獻中玻璃態(tài)聚合物PC 和PMMA 的單軸壓縮和平面應(yīng)變壓縮條件下力學響應(yīng)進行了模擬,全面評估這些模型的表現(xiàn),為后續(xù)玻璃態(tài)聚合物的理論建模提供參考.

1 黏塑性本構(gòu)模型

這里介紹玻璃態(tài)聚合物有限變形黏塑性本構(gòu)模型.圖1 是本文所采用黏塑性模型的示意圖,主要由3 個部分組成: 一個線性彈簧,用于表征彈性響應(yīng);一個黏壺,用來表示與應(yīng)變率相關(guān)的黏塑性變形行為;以及一個與黏壺并聯(lián)的非線性橡膠彈性彈簧,用來描述大變形下的強化響應(yīng).

圖1 黏塑性模型流變學示意圖Fig.1 Rheological representation of the viscoplastic model

首先變形梯度F可以分解成彈性部分Fe和黏塑性部分Fv

變形率張量D定義為

黏塑性變形率Dv可表示為

其演化方程可采用下面的流動法則來表示[15]

玻璃態(tài)聚合物的應(yīng)變軟化可以通過演化的屈服強度來表征,本文將采用如下的屈服強度演化方程[15]

其中,h是屈服應(yīng)力相對于塑性應(yīng)變的下降速率,sss是穩(wěn)態(tài)時的屈服強度,初始屈服強度為s0=0.077μ/(1-ν)[28],其中 μ 是剪切模量,ν是泊松比.

黏塑性驅(qū)動應(yīng)力T定義如下

其中 σ是Cauchy 應(yīng)力,J=detF=detFe是變形體積比,B是背應(yīng)力.Cauchy 應(yīng)力表達式為[29]

其中,μ是剪切模量,v是泊松比,lnUe是Hencky 應(yīng)變.

如圖1 所示,背應(yīng)力B由右側(cè)非線性彈簧決定,本文中將采用三鏈模型、八鏈模型、全鏈模型和proot 模型來分別構(gòu)建背應(yīng)力模型,并對其進行對比研究.上述4 種模型,主要是從微觀力學角度出發(fā),利用統(tǒng)計力學原理建立長鏈分子的自由能,再提出合適的分子鏈網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型,將材料的宏觀力學行為與內(nèi)在的物理機理聯(lián)系起來.在三鏈模型[30]中,主要假設(shè)在單位體積的立方體內(nèi)包含了n條分子鏈,且在變形的過程中,3 個獨立的分子鏈組分別平行于3 個拉伸主方向,相當于每個主方向上有n/3 條分子鏈,最后根據(jù)單鏈分子的自由能得到整體的自由能函數(shù).Arruda-Boyce 八鏈模型[31]則認為8 個分子鏈正好連接著單位立方體的中心和8 個頂點,使得幾何形狀關(guān)于3 個主軸對稱,因此在變形的過程中8 個分子鏈始終具有相同的伸長率.Wu 等[23]提出的全鏈模型假設(shè)所有的分子鏈在單位球體內(nèi),且鏈的一端在球體中心,另一端在球體表面,最后通過對這些單鏈自由能進行積分得到總體的自由能函數(shù).Miehe 等[32]建立的p-root 模型認為高分子的微結(jié)構(gòu)可以由微球體表示,并通過最小平均自由能原理確定了微球體上的拉伸比,接著以非仿射形式將微觀運動學變量與宏觀連續(xù)體的拉伸相關(guān)聯(lián).

下面將給出這4 種超彈性模型的相關(guān)方程.在3 個主應(yīng)變方向上,右柯西格林張量可以寫成下面的形式

其中F是變形梯度,λ1,λ2和 λ3分別是3 個主方向上的拉伸比.對于超彈性響應(yīng),當給定了自由能函數(shù)Ψ,可以通過下面的關(guān)系來計算應(yīng)力

其中 σi是第i主方向上的柯西應(yīng)力.

在統(tǒng)計模型中,高分子單鏈的自由能可由朗之萬統(tǒng)計給出

在Wang 等[30]的三鏈模型中,由于3 個分子鏈分別平行于3 個主方向,且是相互獨立的,其自由能函數(shù)可以表示為3 個方向上自由能之和,如下所示

Wu 等[23]的全鏈模型主要認為在空間中隨機取向的分子鏈可以用單位球體來表示,然后對這些單鏈進行積分,可以得到總的自由能函數(shù),表示如下

Miehe 等[32]建立的非仿射p-root 模型假設(shè)等效拉伸 λ是拉伸比在仿射條件下計算的p次平均根,其數(shù)值離散形式表示如下

而自由能函數(shù)可以寫成如下形式

2 結(jié)果與討論

這里首先評估4 種超彈性模型的應(yīng)力響應(yīng).如圖2 所示,對于每一種模型,選取相同的參數(shù)(G=0.1,N=10),分別給出在單軸壓縮和平面應(yīng)變壓縮條件下的應(yīng)力響應(yīng).圖2(a)是4 種模型在單軸壓縮條件下的應(yīng)力-伸長比曲線(p-root 模型中p=1),可以看到,4 種模型在大變形時差別較大.其中三鏈模型的強化效應(yīng)最大,全鏈模型次之,八鏈模型最小.同時,考慮到p-root 模型比其他3 種模型多了一個控制參數(shù),圖2(b)則繪制不同p值下單軸壓縮的應(yīng)力響應(yīng).如圖所示,隨著p值的增加,大變形時的強化效應(yīng)逐漸增大.圖2(c)是平面應(yīng)變壓縮條件下的應(yīng)力響應(yīng),圖2(d)是平面應(yīng)變壓縮下不同p值時的p-root 模型的模擬結(jié)果,其趨勢與單軸壓縮時相同.這表明,與其他3 種模型相比,p-root 模型在模擬橡膠的超彈性響應(yīng)時具有一定的靈活性.

圖2 各個模型超彈性響應(yīng)Fig.2 Hyperelastic responses of different models

進一步利用這幾種模型模擬了文獻中玻璃態(tài)聚合物的應(yīng)力響應(yīng)[15],即聚碳酸酯PC 材料的單軸壓縮和平面應(yīng)變壓縮結(jié)果.除了強化部分,黏塑性模型參數(shù)采用文獻[15]的數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)基于上述參數(shù)能夠很好的模擬屈服階段和應(yīng)變軟化階段,而強化部分的模型參數(shù),通過尋找誤差最小值來標定

這里采用了兩種方法來評估模型的性能.第1 種方法是通過同時對單軸壓縮和平面應(yīng)變壓縮的實驗數(shù)據(jù)進行擬合,從而得到模型的參數(shù)和相應(yīng)的模擬誤差.第2 種方法則是單獨對單軸壓縮的數(shù)據(jù)進行擬合,進而得到相應(yīng)的模型參數(shù),并進一步對平面應(yīng)變壓縮變形進行模擬,得到相應(yīng)的誤差.所獲得的模型參數(shù)見表1～表3.

表1 模擬PC 時不同背應(yīng)力模型的參數(shù)和模擬誤差(方法1)Table 1 Parameters and simulation error for different models of PC (method 1)

表2 模擬PC 時不同背應(yīng)力模型的參數(shù)和模擬誤差(方法2)Table 2 Parameters and simulation error of different modes of PC (method 2)

表3 模擬PC 和PMMA 時黏塑性模型參數(shù)Table 3 Parameters of the viscoplstic model for PC and PMMA

采用第1 種方法的模擬結(jié)果如圖3 所示.可見,三鏈模型和全鏈模型均不能較好的描述PC 在大變形條件下的應(yīng)力響應(yīng).相比之下,八鏈模型和proot 模型能夠預測PC 在整個變形區(qū)間的應(yīng)力應(yīng)變曲線,包括單軸壓縮和平面應(yīng)變壓縮的結(jié)果.值得注意的是,雖然八鏈模型的整體趨勢模擬較好,但在大變形時,其擬合的單軸壓縮結(jié)果偏小,這也可以從表1 的模擬誤差中得到證實.總的來說,在這幾種模型中,p-root 模型在擬合效果上表現(xiàn)最好.

圖3 關(guān)于PC 的實驗和模擬結(jié)果對比(方法1)Fig.3 Comparison between the experimentally measured and simulated results of PC (method 1)

第2 種擬合方法的模擬結(jié)果如圖4 所示.當通過單軸壓縮的實驗數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)后,再對平面應(yīng)變壓縮結(jié)果進行預測時,三鏈模型和全鏈模型的預測值明顯偏大很多,尤其是在大變形區(qū)時,預測值幾乎是實驗值的2 倍;八鏈模型的預測結(jié)果則相對較好,基本吻合實驗所得到的平面應(yīng)變壓縮的應(yīng)力響應(yīng),但結(jié)果仍偏大;而p-root 模型的預測效果是最好的,與實驗結(jié)果保持一致.通過這兩種方法的模擬結(jié)果可知,無論是哪種方法擬合得到的模型參數(shù),proot 模型均表現(xiàn)出最優(yōu)異的模擬性能,八鏈模型稍遜一些,而三鏈模型和全鏈模型的模擬效果是最差的.

圖4 關(guān)于PC 的實驗和模擬結(jié)果對比(方法2)Fig.4 Comparison between the experimentally measured and simulated results of PC (method 2)

此外,對PMMA 材料也采用了同樣的方法來評估模型的性能,黏塑性模型參數(shù)如表3 所示,兩種方法的背應(yīng)力模型參數(shù)及模擬誤差見表4 和表5.第1 種方法是單軸和平面變形同時擬合,結(jié)果如圖5所示.可以看到,在大變形時,八鏈模型和p-root 模型的結(jié)果要優(yōu)于三鏈模型和全鏈模型的結(jié)果.第2 種方法是單軸標定參數(shù)然后預測平面應(yīng)變,結(jié)果如圖6 所示.三鏈模型和全鏈模型在預測平面應(yīng)變壓縮結(jié)果時,明顯比實驗值偏大一些;而八鏈模型和p-root 模型的預測結(jié)果相對較好,與實驗結(jié)果基本吻合.由此可見,本文所獲得的結(jié)論對于不同玻璃態(tài)聚合物的應(yīng)變強化行為均適用.

表4 模擬PMMA 時不同背應(yīng)力模型的參數(shù)和模擬誤差(方法1)Table 4 Parameters and simulation error for different models of PMMA (method 1)

表5 模擬PMMA 時不同背應(yīng)力模型的參數(shù)和模擬誤差(方法2)Table 5 Parameters and simulation error of different modes of PMMA (method 2)

圖5 關(guān)于PMMA 的實驗和模擬結(jié)果對比(方法1)Fig.5 Comparison between the experimentally measured and simulated results of PMMA (method 1)

圖6 關(guān)于PMMA 的實驗和模擬結(jié)果對比(方法2)Fig.6 Comparison between the experimentally measured and simulated results of PMMA (method 2)

最后,為了考慮加載速率對玻璃態(tài)聚合物黏塑性行為的影響,還對PETG 在單軸壓縮實驗中不同應(yīng)變率的結(jié)果進行了模擬,首先通過對0.01/s 應(yīng)變率的實驗結(jié)果進行擬合,得到相應(yīng)的參數(shù)(表3 和表6),然后再模擬0.1/s 和1/s 應(yīng)變率下的實驗結(jié)果.模擬結(jié)果如圖7 所示.可以看見這4 種模型均能模擬不同應(yīng)變率下的應(yīng)力響應(yīng)結(jié)果,具有一定的預測能力,其中三鏈模型和全鏈模型在模擬大變形時仍稍稍偏大,而八鏈模型和p-root 模型整體的模擬效果較好.

圖7 不同應(yīng)變率下PETG 的實驗和模擬結(jié)果對比Fig.7 Comparison between the experimentally measured and simulated results of PETG at different strain rate

3 結(jié)論

本文建立有限變形黏塑性本構(gòu)來表征玻璃態(tài)聚合物的力學行為,并基于三鏈模型、八鏈模型、全鏈模型和p-root 模型等4 種超彈性模型來構(gòu)建背應(yīng)力模型,以描述應(yīng)變強化行為,并分析對比了其整體表現(xiàn).選用兩種確定模型參數(shù)的方法,利用這幾種模型模擬了文獻中關(guān)于玻璃態(tài)聚合物PC 的實驗結(jié)果,結(jié)果表明無論選用何種參數(shù)確定方法,八鏈模型和p-root 模型均可較好的描述PC 在整個實驗過程中的應(yīng)力響應(yīng),且這兩個模型的誤差均顯著小于三鏈模型和全鏈模型.此外,p-root 模型的模擬效果比八鏈模型稍好一些.本文所采用的4 種背應(yīng)力模型,單個分子鏈均采用朗之萬自由能,其區(qū)別在于假設(shè)了不同的分子鏈網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型.正是由于這些不同的分子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型假設(shè),導致相同變形下4 種模型的宏觀自由能和應(yīng)力響應(yīng)的不同.在描述超彈性行為時,八鏈模型的雙軸預測額能力相對于三鏈和全鏈模型有所提高,而 p-root 模型的雙軸表現(xiàn)能力相較于經(jīng)典超彈性模型又有了大幅提高.可見,八鏈模型和proot 模型可更加準確地表征真實高分子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型的主要特征,因此他們在模擬玻璃態(tài)聚合物強化方面也同樣具有優(yōu)越性.本文相關(guān)結(jié)果為玻璃態(tài)聚合物本構(gòu)建模提供重要的參考意義.