劉慶升,劉友瓊,柯春海

(信陽師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

隨著黏彈本構(gòu)方程和模擬技術(shù)的發(fā)展,準確刻畫聚合物熔體的流變特性成為可能。數(shù)值模擬作為一種描述和預測黏彈流體流變性的重要方法,成為聚合物加工工業(yè)中的一種重要的設計輔助工具。

一直以來,人們都希望能夠?qū)碗s流體尤其是聚合物熔體的非線性動力學行為進行準確刻畫。為此發(fā)展了一系列的黏彈本構(gòu)方程,包括PTT模型[1]、Wagner模型[2]、Doi-Edwards模型[3]、Pom-Pom模型[4]、Rolie-Poly模型[5]以及相應的改進模型[6],并將這些本構(gòu)模型應用于非牛頓流體力學的研究[7-9]。上述模型各有優(yōu)缺點,根據(jù)聚合物分子鏈的特征,Rolie-Poly模型適宜描述線型聚合物熔體的流變特征,而Pom-Pom模型適宜描述分支型聚合物熔體的流變特征。

聚合物在復雜的加工成型條件下常牽扯到熔體的流動與變形,這與收縮流中復雜流體的流動類似。因此,收縮流常作為基準流動用于研究聚合物熔體的流變行為[10-13]。HASSELL等[14]基于實驗研究了不同類型的聚苯乙烯熔體在收縮擴張型腔中的流變行為,詳細討論了收縮口的曲率、熔體的流率對流動不穩(wěn)定性的影響。COMBEAUD等[15]通過擠出成型實驗研究了口模的收縮角對流動雙折射的影響,并得出了制件表面缺陷受到收縮角強烈影響的結(jié)論。AGASSANT等[16]詳細綜述了聚合物熔體擠出成型過程的流動不穩(wěn)定的實驗后發(fā)現(xiàn),這些擠出不穩(wěn)定是影響擠出生產(chǎn)線最大輸出量的關(guān)鍵因素;作者還詳細總結(jié)了影響收縮流中擠出不穩(wěn)定的可能因素,并提出了消除或盡可能減少這些擠出不穩(wěn)定的方法。AGASSANT等[17]簡要綜述了聚合物加工在工業(yè)、實驗研究及模型研究的發(fā)展現(xiàn)狀,同時指出了精確地預測聚合物熔體的流變行為一直是一個挑戰(zhàn)。

在擠出成型中,聚合物熔體在收縮口附近往往會產(chǎn)生應力集中現(xiàn)象,該現(xiàn)象會導致熔體破裂以及最終制件出現(xiàn)鯊魚皮型的表面缺陷。本文的主要目的是基于有限體積法和Rolie-Poly本構(gòu)模型研究聚苯乙烯熔體在收縮口模中的流變行為,探究在不同收縮長度的條件下V-型收縮口模及喇叭型收縮口模對聚苯乙烯熔體流變性的影響,同時給出流場中有關(guān)主應力差、剪切力、伸展率等更多更詳細的信息,能夠更好地理解聚合物熔體進入收縮口時的動力學響應過程。

1 數(shù)學模型

1.1 質(zhì)量和動量守恒方程

基于不可壓縮及等溫條件,對聚苯乙烯熔體流變性進行研究,同時不考慮表面張力的影響。因此,質(zhì)量和動量守恒方程可以寫成如下的形式:

?·u=0,

(1)

(2)

式中:u、σ分別表示速度矢量和應力張量,ρ、p及ηs分別表示熔體的密度、壓力及溶劑的黏度。

1.2 Rolie-Poly本構(gòu)方程

Rolie-Poly本構(gòu)方程,常用該模型來描述線型聚合物熔體的應力-應變狀態(tài),其形式為

(3)

1.3 動量方程及Rolie-Poly本構(gòu)方程的無量綱形式

數(shù)值結(jié)果將采用無量綱形式來表示,定義U和L分別為速度和長度尺度,則動量方程和Rolie-Poly本構(gòu)方程的無量綱化可通過式(4)得到

(4)

動量方程的無量綱化形式為:

(5)

式中:Re=ρUL/η表示雷諾數(shù),η=ηs+ηp為總黏度,β=ηs/(ηs+ηp)為溶劑黏度與總黏度的比值,ηp表示聚合物黏度。

Rolie-Poly本構(gòu)方程的無量綱化形式為:

(1-β)(?u+(?u)T)-

(6)

式中:τ=We/(1-β)·trσ+trI,We=τdU/L和WeR=τRU/L分別為基于鏈的取向和伸展松弛時間所定義的Weissenberg數(shù)。

1.4 邊界條件

速度矢量u和應力張量σ的入口邊界條件為

u=uinflow,

(7)

σ=0。

(8)

出口邊界采用齊次Neumann邊界條件:

(9)

(10)

式中:n表示出口的熔體的流出方向。

固壁采用無滑移邊界條件,相應的應力張量可以由方程(6)推導得到,可參閱文獻[12],在此不再贅述。

1.5 流動誘導雙折射

聚合物熔體的流動誘導雙折射可以通過偏光彈性儀得到,這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是應力的各向異性引起了光折射率的各向異性。實驗觀測到的雙折射與模擬得到的主應力滿足應力光學定律,即

△n=c△σ,

(11)

式中:△n表示雙折射;△σ表示主應力差;c為常數(shù),又稱為應力光學系數(shù)。對于二維情況,△σ的形式為

(12)

2 數(shù)值方法

基于同位網(wǎng)格有限體積法對質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程和Rolie-Poly本構(gòu)方程進行離散,并采用SIMPLE算法[18]進行求解。

在控制體內(nèi)對質(zhì)量守恒方程進行積分,可得到其離散形式

(ue-uw)△y+(vn-vs)△x=0,

(13)

式中:uw和ue分別表示控制單元左側(cè)和右側(cè)界面上x方向的流率,vn和vs分別表示控制單元上側(cè)和下側(cè)界面上y方向的流率,△x和△y分別表示x和y方向上的網(wǎng)格步長。

以同樣方式對動量方程進行離散,對流項采用中心差分格式,可得

aPuP=aEuE+aWuW+aNuN+aSuS+S(u),

(14)

式中:S為動量方程的源項,系數(shù)aP、aE、aW、aN、aS與對流項和擴散項密切相關(guān),其形式為

aE=DeA(|Pe|)+max(-Fe,0),

aW=DwA(|Pw|)+max(-Fw,0),

aN=DnA(|Pn|)+max(Fn,0),

aS=DsA(|Ps|)+max(Fs,0),

aP=aE+aW+aN+aS+ρ△x△y/△t,

式中:De、Dw、Dn、Ds為單元面上的擴散系數(shù),Pe、Pw、Pn、Ps為單元面上的Peclet數(shù),Fe、Fw、Fn、Fs為單元面上的通量,對流項的離散采用中心差分格式A(|P△|)=1-0.5|P△|。上述系數(shù)的表達式為

Fe=ρue△y,De=η△y/Re(xE-xP),Pe=Fe/De,

Fw=ρuw△y,Dw=η△y/Re(xP-xW),Pw=Fw/Dw,

Fn=ρvn△x,Dn=η△x/Re(yN-yP),Pn=Fn/Dn,

Fs=ρvs△x,Ds=η△x/Re(yP-yS),Ps=Fs/Ds。

本構(gòu)方程的離散形式可類似得到。

3 數(shù)值結(jié)果

所采用的聚合物材料為巴斯夫公司提供的聚苯乙烯(代號為PS2)。數(shù)值模擬基于單模式的Rolie-Poly本構(gòu)模型描述聚苯乙烯熔體在不同收縮口模流動過程中的應力-應變關(guān)系,熔體溫度設為200 ℃。首先,基于4∶1收縮流驗證模型及算法的有效性;接著,討論在不同的收縮長度L下,V-型收縮口模及喇叭型收縮口模對聚苯乙烯熔體流動的影響。當收縮長度L=0時,此時型腔為4∶1突然收縮型腔,如圖1(a)所示。

圖1 4∶1收縮口模示意圖(a)突然收縮口模;(b)V-型口模;(c)喇叭型口模Fig. 1 Schematic diagram of 4∶1 contraction dies (a) Abrupt contraction; (b)V-shaped contraction; (c) Trumpet-shaped contraction

當收縮口為V-型口或喇叭口時,如圖1(b)和圖1(c)所示,為了保證數(shù)值算法的順利實施,采用區(qū)域擴充法[18]將計算區(qū)域擴充為圖1(a)所示區(qū)域。計算區(qū)域的直角坐標系如圖1所示,計算過程中采用的網(wǎng)格為均勻網(wǎng)格△x=△y=0.025。本文算法基于Visual C++語言在3.6 GHz的酷睿i7-4790處理器上實現(xiàn)。

3.1 模型及算法驗證

收縮流常用于擠出成型和注射成型等聚合物加工領(lǐng)域,高剪切和高拉伸的流動分別出現(xiàn)在模壁附近及收縮口附近區(qū)域,收縮流能更好地反映聚合物流體的物理特性,而4∶1突然收縮流常作為基準算例。選用文獻[10]中的算例驗證模型及算法的有效性以及Rolie-Poly本構(gòu)方程刻畫聚合物熔體應力-應變關(guān)系的能力。主要目的是基于上述模型和算法研究收縮口的不同外形對聚苯乙烯熔體流變行為的影響,下面僅簡要給出驗證性結(jié)果。圖2為不同流率下聚苯乙烯熔體在4∶1突然收縮口模中的雙折射實驗及模擬結(jié)果對比圖,其中圖2(a)—(c)分別對應的流率為1.433 3、2.866 7、4.3 mm/s,圖的下半部分為實驗結(jié)果[10],上半部分為本文的模擬結(jié)果。

圖2 不同流率下由實驗[10]及模擬所得到的雙折射圖(a)1.433 3 mm/s;(b)2.866 7 mm/s;(c)4.3 mm/sFig. 2 Comparison between experimental and predicted birefringence for PS2 melt at different flow rates(a) 1.433 3 mm/s; (b) 2.866 7 mm/s; (c) 4.3 mm/s

從圖2可以看出,當流率為1.433 3 mm/s時,所預測的條紋數(shù)與實驗是相同的,而在高流率時,預測出的條紋數(shù)比實驗測的條紋數(shù)略少。眾所周知,對黏彈流體流變性的準確預測一直是個難題,為了更準確地描述黏彈流體的流動和變形特性,人們一直在不斷地改進已有本構(gòu)方程及相應算法?？傮w來說,本文預測的雙折射結(jié)果與實驗結(jié)果基本上是一致的,能夠反映聚苯乙烯熔體在收縮流中的流變性,同時說明了本文的模型及相應的求解算法的有效性。

3.2 V-型收縮口模對聚合物熔體流動的影響

本節(jié)主要研究V-型收縮口模在不同收縮長度條件下對流動的影響。圖3為本文預測的V-型收縮口模在不同收縮長度條件下沿入口和出口中心線上的主應力差、第一法向應力差、伸展率以及速率。

圖3 本文預測的不同收縮長度的V-型口模沿型腔中心線上的主應力差、第一法向應力差、伸展率和速率Fig. 3 The present simulation results of principal stress difference, first normal stress, stretch ratio and velocity along the centerline of V-dies with different contraction length

從圖3可以看出,隨著收縮長度的變化,這些量在遠離收縮口的上游和下游區(qū)域并沒有發(fā)生變化,而在收縮口區(qū)域附近發(fā)生了明顯的變化。主要原因可解釋為:在遠離收縮口的上游區(qū)域,流場的變化趨勢是相對平穩(wěn)的,對聚合物的分子鏈幾乎沒有影響,分子鏈的構(gòu)型并沒有受到擾動,仍處于平衡狀態(tài)。在離收縮口一定距離的下游區(qū)域,流體流動充分發(fā)展,聚合物分子鏈達到了完全松弛狀態(tài),相應的物理量不發(fā)生變化。而當流體流經(jīng)收縮口及其附近區(qū)域時,分子鏈受到了較強的剪切和拉伸影響,相應的物理量在此區(qū)域變化強烈。隨著收縮長度的變大,主應力差、第一法向應力差和伸展率的最大值明顯降低,而速率的最大值明顯增大,這也是符合理論分析的,眾所周知,當流體流經(jīng)收縮的流道時,截面積的減小將會導致流體速率的增大。

3.3 喇叭型收縮口模對聚合物熔體流動的影響

本節(jié)主要研究喇叭型收縮口模在不同收縮長度條件下對流動的影響。圖4為本文預測的V-型收縮口模在不同收縮長度條件下沿入口和出口中心線上的主應力差、第一法向應力差、伸展率以及速率。

圖4 本文預測的不同收縮長度的喇叭型口模沿型腔中心線上的主應力差、第一法向應力差、伸展率和速率Fig. 4 The present simulation results of principal stress difference, first normal stress, stretch ratio and velocity along the centerline of trumpet-shaped dies with different contraction length

從圖4可以看出,主應力差、第一法向應力差、伸展率和速率的變化趨勢與V-型收縮口模的情況類似,隨著收縮長度的變大,主應力差、第一法向應力差和伸展率的最大值明顯降低,而速率的最大值明顯增大。從圖3和圖4容易看出,在相同收縮長度的條件下,喇叭型的收縮口模中聚合物熔體的主應力差、第一法向應力差和伸展率要比V-型口模中的更小,而速率更大。所以相對于突然收縮口,采用V-型口?；蚶刃涂谀６紝p小收縮口附近的應力集中現(xiàn)象(應力的局部增高),而喇叭型口模的效果更好,能夠更大程度地減小應力集中現(xiàn)象,從而能夠減小擠出成型中由應力集中導致的制品表面缺陷。

4 結(jié)論

主要研究了不同收縮長度下的V-型和喇叭型口模對聚苯乙烯熔體流變性的影響。數(shù)值結(jié)果表明:(1) 本文所采用的數(shù)值方法和算法切實有效,Rolie-Poly模型能夠刻畫聚苯乙烯熔體的流變特征,這也是復雜流體可計算建模的一次成功實踐;(2)相對于突然收縮流,具有V-型和喇叭型收縮口的型腔能夠有效減小流場中的主應力差、第一法向應力差和伸展率,而喇叭型收縮口減小的效果更好;(3)不論是V-型還是喇叭型收縮口模,隨著收縮長度的增大,聚苯乙烯熔體在收縮流中的主應力差、第一法向應力差和伸展率都具有明顯的下降趨勢;(4)在擠出成型中,為盡量減少或避免由應力集中導致的制件表面缺陷,應盡可能選擇具有喇叭型外形且具有盡可能長的收縮長度的口模。