覃文杰,張嘉敏,向中義

(1. 三峽大學(xué) 理學(xué)院, 湖北 宜昌 443002; 2. 云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 云南 昆明 650504;3. 湖北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 恩施 445000)

0 引言

傳染病危害著人類(lèi)生命健康、影響著社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展,因此人們一直以來(lái)都在與傳染病作斗爭(zhēng)。通過(guò)發(fā)展傳染病動(dòng)力學(xué)模型來(lái)研究疾病的傳播機(jī)制[1],可為傳染病的預(yù)防和控制提供理論和數(shù)據(jù)支持,具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

影響傳染病傳播的因素有很多,近年來(lái)人們?cè)絹?lái)越關(guān)注媒體報(bào)道對(duì)人們行為方式的改變。在疾病暴發(fā)初期,媒體會(huì)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)、電視、報(bào)紙等不同的渠道實(shí)時(shí)報(bào)道相關(guān)情況,人們便會(huì)自覺(jué)采取相應(yīng)的預(yù)防措施來(lái)阻止和減少疾病的傳播,如出門(mén)戴口罩、少聚集、常消毒等[2]。因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者也持續(xù)關(guān)注媒體報(bào)道對(duì)疾病傳播的影響。

2003年,RUAN等[3]用f(I)=k/(1+aI2)刻畫(huà)媒體影響,得出基本再生數(shù)R0對(duì)疾病的暴發(fā)或消除起決定性作用。2007年,LIU等[4]通過(guò)構(gòu)造傳染率βexp(a1E-a2I-a3H)來(lái)研究媒體或心理效應(yīng)對(duì)傳染病的影響。2008年,CUI等[5]考慮含有媒體影響因子m的傳染率βexp(-mI),建立SEI模型來(lái)討論媒體報(bào)道對(duì)疾病傳播的影響。2013年,劉玉英等[6]構(gòu)造具有飽和性的媒體影響因子函數(shù)來(lái)刻畫(huà)媒體對(duì)傳染病感染率的影響。其他有關(guān)媒體效應(yīng)的傳染病模型可見(jiàn)文獻(xiàn)[7-13]。

然而,目前基于媒體影響的傳染病模型主要集中在連續(xù)模型,對(duì)于媒體影響的離散傳染病模型還并不多見(jiàn)。事實(shí)上,對(duì)于某些傳播速度較慢或疾病數(shù)據(jù)收集單位不連續(xù)的情形,用離散模型來(lái)刻畫(huà)傳播規(guī)律將更為合理。本文正是基于此而建立媒體報(bào)道誘導(dǎo)的離散傳染病切換模型,研究媒體報(bào)道因子對(duì)傳染病傳播的影響。

1 模型的建立

在KERMACK和MCKENDRICK[14]的SIR倉(cāng)室模型基礎(chǔ)上,考慮具有媒體報(bào)道影響的SIR連續(xù)模型:

(1)

式中:S=S(t)、I=I(t)、R=R(t)分別表示t時(shí)間內(nèi)易感者、感染者、恢復(fù)者的數(shù)量,b是內(nèi)稟增長(zhǎng)率,K是環(huán)境容納量,d是自然死亡率,α是因病死亡率,γ是感染者的自然恢復(fù)率,β(I)表示疾病在媒體報(bào)道影響下的傳染率?；谖墨I(xiàn)[3-6],考慮媒體影響因子m,以及疾病達(dá)到暴發(fā)點(diǎn)時(shí)感染者數(shù)量的臨界值Ic,將其構(gòu)造為非線(xiàn)性飽和函數(shù):

這里所有參數(shù)都是非負(fù)數(shù)。

借助Euler離散[15-17],將模型(1)離散化,得到

(2)

由于模型(2)的前兩個(gè)方程不含Rn,故簡(jiǎn)化模型(2)可得

(3)

通常情形下,當(dāng)感染人數(shù)較少(I

(4)

然而隨著感染人數(shù)的不斷增加并達(dá)到閾值Ic時(shí),相關(guān)媒體會(huì)持續(xù)關(guān)注此類(lèi)傳染病的傳播與流行,全媒體的宣傳和報(bào)道會(huì)使公眾關(guān)注疾病的動(dòng)態(tài),從而采取相應(yīng)的防護(hù)措施,改變個(gè)人行為,此時(shí)模型(4)為

(5)

綜合模型(4)和(5),得到如下切換模型:

(6)

式中:

離散模型(6)是一個(gè)基于閾值控制策略的動(dòng)態(tài)切換系統(tǒng),接下來(lái)將從理論和數(shù)值兩方面來(lái)研究模型(6)的動(dòng)力學(xué)行為。

2 子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

為了敘述方便,將模型(6)改寫(xiě)成向量形式

(7)

式中:

I(Z)=In-Ic,Z=[Sn,In]T。

特別地,切換系統(tǒng)定義在區(qū)域G1和G2的子系統(tǒng)分別記為FG1和FG2,下面將分析研究?jī)蓚€(gè)子系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性。

2.1 子系統(tǒng)FG1的動(dòng)力學(xué)行為

子系統(tǒng)FG1的平衡點(diǎn)由如下方程決定:

R0為子系統(tǒng)FG1的基本再生數(shù),且有b-d>0。記D=b-d,M=d+α+γ。

定理1 若子系統(tǒng)FG1滿(mǎn)足下列條件之一:

(8)

(9)

(10)

由式(10)可得

2.2 子系統(tǒng)FG2的動(dòng)力學(xué)行為

子系統(tǒng)FG2的平衡點(diǎn)滿(mǎn)足

(11)

AI2+BI+C=0,

(12)

式中:

方程(12)的判別式為

在R0>0的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行分析:

(1)當(dāng)Δ=B2-4AC<0時(shí),方程(12)不存在實(shí)根;

(2)當(dāng)Δ=B2-4AC>0,即

時(shí),考慮以下3種情況:

①若C=1-R0<0,則方程(12)必存在一個(gè)正實(shí)根;

②若C=1-R0=0,則當(dāng)-B/(2A)>0時(shí)方程(12)存在唯一的正實(shí)根,當(dāng)-B/(2A)≤0時(shí)不存在正實(shí)根;

③若C=1-R0>0,則當(dāng)-B/(2A)>0時(shí)方程(12)存在兩個(gè)正實(shí)根,當(dāng)-B/(2A)<0時(shí)不存在正實(shí)根。

定理2 若子系統(tǒng)FG2滿(mǎn)足如下條件:

(13)

(14)

子系統(tǒng)FG2的雅可比矩陣為

(15)

顯然,其特征方程為

P(λ)=λ2-tr(J2)λ+det(J2),

(16)

式中:

3 切換系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為

由于離散切換系統(tǒng)各類(lèi)平衡態(tài)存在的類(lèi)型比較復(fù)雜,從理論上研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為存在很多困難,因此本節(jié)將通過(guò)數(shù)值仿真方法研究傳染病切換系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,其中包括平衡點(diǎn)分支、單參數(shù)分支、初值敏感性和多吸引子共存等。

3.1 切換系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分支分析

為了研究方便,給出切換系統(tǒng)真假平衡態(tài)的定義[19-22]:

為了研究系統(tǒng)以?xún)?nèi)稟增長(zhǎng)率b和閾值Ic為分支參數(shù)的平衡點(diǎn)分支,固定參數(shù)K=0.5,β=1.8,m=0.28,d=0.02,α=0.35,γ=0.1,如圖1所示,當(dāng)b∈[0.65,2.50],Ic∈[0.1,1.5]時(shí),離散切換系統(tǒng)存在6種情形的平衡態(tài):

圖1 系統(tǒng)以b和Ic為分支參數(shù)的平衡態(tài)分支圖Fig. 1 Equilibria’ bifurcation diagram of system for parameters b and Ic

研究結(jié)果表明:通過(guò)媒體報(bào)道策略影響傳染病的傳播,要將離散切換系統(tǒng)的最終狀態(tài)控制進(jìn)入?yún)^(qū)域II-4,即兩個(gè)子系統(tǒng)都不存在真平衡態(tài),換言之,突發(fā)傳染疾病不會(huì)成為地方病,不會(huì)影響到人們的正常生產(chǎn)、生活。一定要避免區(qū)域II-1及區(qū)域II-3所示的情形發(fā)生,因?yàn)閭魅炯膊∫坏┬纬傻胤讲?將直接威脅著人們的身體健康、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、社會(huì)的穩(wěn)定。

3.2 單參數(shù)分支分析

為了進(jìn)一步研究切換系統(tǒng)的敏感參數(shù)、關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響,本小節(jié)將分別以自然恢復(fù)率γ、傳染率β以及因病死亡率α為分支參數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的單參數(shù)分支分析。

首先,固定參數(shù)b=2.8,K=1.8,β=0.52,m=0.8,d=0.08,α=0.25,Ic=1,以自然恢復(fù)率γ作為分支參數(shù)來(lái)研究切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,如圖2所示。隨著γ從0.05到0.40的不斷變化,切換系統(tǒng)經(jīng)歷了周期解分支、倍周期解分支、混沌、周期減半、周期窗口、擬周期解等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,這也表明了突發(fā)性傳染的自然恢復(fù)率在控制傳染病傳播方面起著相當(dāng)重要的作用,在制定相關(guān)防控策略時(shí)一定要重點(diǎn)關(guān)注疾病的自然恢復(fù)率。

圖2 系統(tǒng)以γ為分支參數(shù)的分支圖Fig. 2 Bifurcation diagram of system for parameter γ

其次,固定參數(shù)b=1.8,K=3,m=0.02,d=0.3,α=0.3,γ=0.02,Ic=5,以疾病的傳染率β作為分支參數(shù)來(lái)研究切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,如圖3所示。當(dāng)β∈[0.60,0.88]不斷變化時(shí),切換系統(tǒng)呈現(xiàn)出穩(wěn)定解、混沌解、周期倍增解、多重穩(wěn)定解等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。這說(shuō)明了傳染率對(duì)疾病的傳播有著重要影響,為了控制疾病傳播穩(wěn)定在可控的范圍內(nèi),需要采取措施降低傳染率,如增大媒體宣傳報(bào)道的力度就是間接降低疾病傳染率的有效途徑之一,這也是本文重點(diǎn)研究的內(nèi)容之一。

圖3 系統(tǒng)以β為分支參數(shù)的分支圖Fig. 3 Bifurcation diagram of system for parameter β

接下來(lái),研究因病死亡率α對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響,以α作為分支參數(shù)來(lái)研究切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。固定b=1.8,K=2.8,β=0.56,d=0.08,m=0.02,γ=0.001,Ic=2,如圖4所示,隨著因病死亡率α的不斷變化,切換系統(tǒng)本身的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生了不同的變化狀態(tài)。

圖4 系統(tǒng)以α為分支參數(shù)的分支圖Fig. 4 Bifurcation diagram of system for parameter α

在圖4 (a)(α=0.5)中,系統(tǒng)具有穩(wěn)定解;當(dāng)α從0.5減小到0.2時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)一個(gè)周期解,如圖4 (b)所示;當(dāng)α繼續(xù)變小達(dá)到0.1或0.06時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)混沌解,如圖4 (c)和圖4 (d)所示。

3.3 初值敏感性分析

除了重要參數(shù)、敏感參數(shù)對(duì)疾病傳播有著重要影響外,一定區(qū)域內(nèi)易感者和感染者的初始密度對(duì)疾病的暴發(fā)狀態(tài)也會(huì)產(chǎn)生不同的影響,本小節(jié)將系統(tǒng)研究切換系統(tǒng)在不同初值下的動(dòng)態(tài)行為。

固定參數(shù)b=1.6,K=2,β=1.85,m=0.2,d=0.5,α=0.85,γ=0.09,Ic=0.36來(lái)研究初值對(duì)離散切換系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響,如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)的初始密度對(duì)疾病控制的影響Fig. 5 The impact of initial densities of system on disease control

圖5中所示情形的初值都在切換線(xiàn)以下,即系統(tǒng)的感染者并未達(dá)到疾病暴發(fā)的閾值。具體而言,圖5 (a)表示在初值(0.820 8,0.246 0)下,切換系統(tǒng)感染者密度未達(dá)到疾病暴發(fā)的閾值;圖5 (b)表示在初值(0.942 3,0.208 9)下,切換系統(tǒng)感染者密度僅僅一次達(dá)到了疾病暴發(fā)的閾值,即突發(fā)性傳染疾病只暴發(fā)一次;圖5 (c)表示在初值(1.075 0,0.236 9)下,切換系統(tǒng)感染者密度兩次達(dá)到了疾病暴發(fā)的閾值,即突發(fā)性傳染疾病暴發(fā)兩次;圖5 (d)表示在初值(1.30, 0.18)下,切換系統(tǒng)感染者的密度多次達(dá)到了疾病暴發(fā)的閾值,即突發(fā)性傳染疾病多次暴發(fā)。研究表明,為了抑制疾病的暴發(fā)流行,應(yīng)該適當(dāng)控制易感者和感染者的初始數(shù)量,讓系統(tǒng)穩(wěn)定在子系統(tǒng)FG1中,即圖5 (a)、圖5 (b)的情形。同時(shí),為了控制疾病暴發(fā),需要反復(fù)多次地對(duì)公眾通過(guò)媒體宣傳疾病傳播的相關(guān)知識(shí),使得人們對(duì)疾病防護(hù)引起相當(dāng)?shù)闹匾?從而改變?nèi)藗兊膫€(gè)人行為方式,達(dá)到控制疾病傳播的目的。

為了更進(jìn)一步研究離散切換系統(tǒng)的初始密度對(duì)突發(fā)性傳染疾病傳播的影響,下面給出了系統(tǒng)的盆吸引區(qū)域圖,即選取參數(shù)b=0.8,K=3,β=1.85,m=0.57,d=0.5,α=0.85,γ=0.2,Ic=1.8,給出系統(tǒng)在區(qū)域S0∈[0,2.5],I0∈[0,2.5]的平面分支圖,將5個(gè)區(qū)域分別記為I、II、III、IV及V,如圖6所示。其中區(qū)域I表示疾病不會(huì)暴發(fā)為地方病;區(qū)域II表示疾病暴發(fā)一次后就不再流行;區(qū)域III表示疾病暴發(fā)二次就不再流行;區(qū)域IV表示疾病暴發(fā)三次就不再流行;區(qū)域V表示疾病會(huì)多次暴發(fā)流行。

圖6 系統(tǒng)的盆吸引域Fig. 6 Basin of attractions of system

研究表明,當(dāng)感染者數(shù)量超過(guò)疾病暴發(fā)的閾值時(shí),要加大媒體的宣傳力度、報(bào)道范圍以及報(bào)道頻率,使得公眾提高警惕并養(yǎng)成良好的預(yù)防習(xí)慣,從而使得疾病即使在暴發(fā)多次后也要穩(wěn)定于安全可控的范圍之內(nèi)。這也說(shuō)明感染者和易感者的初始密度對(duì)后續(xù)疾病的流行趨勢(shì)和程度會(huì)產(chǎn)生重要的影響。

因此,為了更有效地控制疾病傳播流行,需要對(duì)易感者和感染者的密度進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控和上報(bào)。

3.4 多吸引子共存分析

由3.3節(jié)相關(guān)內(nèi)容可知,不同的初值會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生復(fù)雜多變的動(dòng)力學(xué)行為以及致使系統(tǒng)穩(wěn)定在不同的吸引子上,這就是吸引子共存現(xiàn)象,本節(jié)將關(guān)注系統(tǒng)多吸引子共存的研究。

切換系統(tǒng)的吸引子同樣具有很強(qiáng)的初值敏感性,為了研究不同初始密度對(duì)共存吸引子的影響,在不同的初值狀態(tài)下選取參數(shù)b=2.8,K=1.8,β=1.2,m=0.5,d=0.08,α=0.25,γ=0.46,Ic=3,如圖7所示。圖7 (a)為切換系統(tǒng)周期解情形,圖7 (b)為系統(tǒng)擬周期解情形。很顯然,隨著時(shí)間序列的增大,圖7 (b)所示情形必將導(dǎo)致系統(tǒng)呈混沌狀態(tài),這必然會(huì)給疾病防控帶來(lái)一系列挑戰(zhàn)。

圖7 系統(tǒng)不同初值情形下的多吸引子共存Fig. 7 Coexisting attractors of system with different initial values

進(jìn)一步,繼續(xù)研究重要參數(shù)—疾病傳染率β對(duì)系統(tǒng)多吸引子的影響,在初值(S0,I0)=(2,0.1)的情形下,固定參數(shù)b=3,K=2,m=0.1,d=0.5,a=0.85,γ=0.04,Ic=1.8,通過(guò)參數(shù)β的不斷變化,切換系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的振幅和頻率的吸引子。隨著參加β不斷增大,切換系統(tǒng)吸引子波動(dòng)范圍也不斷變大,如圖8 (a)—(f)所示。研究表明,疾病傳染率在傳染病傳播中起著重要作用,防控部門(mén)可以通過(guò)媒體的宣傳和報(bào)道降低疾病傳染率,以達(dá)到有效控制傳染病傳播流行的目的。

圖8 不同參數(shù)b下系統(tǒng)的吸引子Fig. 8 The attractors of system with different parameters β

4 結(jié)語(yǔ)

考慮媒體報(bào)道對(duì)人們行為改變的切換效應(yīng),建立了一類(lèi)由媒體效應(yīng)誘導(dǎo)的離散傳染病切換模型。一方面,從理論上研究了模型兩個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,包括無(wú)病平衡點(diǎn)、地方病平衡點(diǎn)的存在性以及地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。另一方面,通過(guò)數(shù)值方法研究了敏感參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。研究發(fā)現(xiàn):關(guān)鍵參數(shù)的小擾動(dòng)直接影響著疾病的暴發(fā)次數(shù)與頻率,同時(shí)媒體報(bào)道可以降低疾病傳染率,有效遏制疾病的流行與暴發(fā)。

事實(shí)上,決定系統(tǒng)切換的閾值相當(dāng)關(guān)鍵,就目前掌握的文獻(xiàn),還沒(méi)有對(duì)如何確定這個(gè)閾值進(jìn)行相關(guān)的研究,這也是一個(gè)非常具有挑戰(zhàn)的問(wèn)題。同時(shí)結(jié)合具體的突發(fā)性傳染疾病實(shí)例(如新型冠狀病毒感染),在媒體效應(yīng)的基礎(chǔ)上考慮閾值對(duì)疫情防控的影響,將具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義,這將是后續(xù)需要研究的重要課題。