閆方正,靳華偉,2

(安徽理工大學(xué) 1.機(jī)械工程學(xué)院;2.安徽省礦山智能裝備與技術(shù)重點實驗室,安徽 淮南 232001)

二十一世紀(jì)是海洋的世紀(jì),全球海洋面積占地球總面積的71%,世界各國都把目光轉(zhuǎn)向資源豐富的海洋[1]。中國幅員遼闊,管轄海域面積較廣,其海洋資源種類豐富,包括生物資源、油氣資源、海底固體礦產(chǎn)資源等。要開發(fā)海洋資源,水下航行器的應(yīng)用必不可少[2-3]。

自主水下航行器(Autonomous Underwater Vehicle, AUV),擁有體積小、靈活性高、穩(wěn)定性強(qiáng)、續(xù)航能力強(qiáng)、精確度高的優(yōu)勢,沒有線纜的約束,能夠在大范圍惡劣的水下環(huán)境中工作。AUV的軌跡跟蹤控制是指預(yù)先規(guī)劃航線,確保AUV從初始位置進(jìn)入航線,并沿著預(yù)先規(guī)劃的航線到達(dá)目的地,在此過程中能夠一直保持穩(wěn)定[4]。

針對AUV的軌跡跟蹤問題,楊澤文[5]針對AUV軌跡跟蹤的響應(yīng)速度較慢、系統(tǒng)嚴(yán)重抖振、運(yùn)動軌跡與期望軌跡誤差較大等問題,設(shè)計了一種欠驅(qū)動AUV水平面軌跡跟蹤控制器。Kong Shihan[6]考慮軌跡跟蹤任務(wù)中的欠驅(qū)動特性、速度約束和集總擾動,設(shè)計了一種由模型預(yù)測調(diào)速器的控制器組成的控制方案。Gao ZY[7]提出了一種有限時間和固定時間反推控制方案,AUV可以在所有信號均有界的情況下跟蹤給定的航向,并且跟蹤誤差在穩(wěn)定時間內(nèi)收斂到零附近。

針對AUV的軌跡跟蹤中出現(xiàn)的擾動問題,Ruikun Xu[8]研究了存在參數(shù)不確定性、未知干擾和輸入飽和的情況下,AUV的姿態(tài)跟蹤控制的問題。嚴(yán)浙平[9]在考慮時變外界干擾條件下,設(shè)計在出時變干擾下的欠驅(qū)動AUV水平面軌跡跟蹤控制器;李鑫濱[10]針對欠驅(qū)動AUV的水平面軌跡跟蹤問題,考慮了外界干擾和輸入受限的情況,提出了基于非線性干擾觀測器和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑?？刂破?王金強(qiáng)[11]針對欠驅(qū)動AUV的三維路徑跟蹤問題,考慮參數(shù)不確定性和外界未知干擾,設(shè)計了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反步滑模控制器;劉麗萍[12]考慮環(huán)境中的海流速度對AUV的影響,設(shè)計了海流觀測器對其進(jìn)行估計,并基于自適應(yīng)理論設(shè)計了AUV的反演滑模軌跡跟蹤控制器。

針對AUV的軌跡跟蹤中出現(xiàn)的輸入飽和問題,Jiangshuai Huang[13]考慮輸入飽和下欠驅(qū)動船舶的全局跟蹤控制問題,設(shè)計出一種有限時間偏航控制器。Zhu Guibing[14]同時考慮未知參數(shù)、未知有界干擾和輸入飽和,提出了全局穩(wěn)定魯棒自適應(yīng)軌跡跟蹤控制方案。Khoshnam Shojaei[15]通過在控制器的設(shè)計中使用飽和函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),降低了制動器飽和的風(fēng)險,補(bǔ)償飽和非線性、不確定參數(shù)、未建模動態(tài)和波浪、風(fēng)和洋流引起的環(huán)境干擾。

綜上所述,針對AUV控制研究中的執(zhí)行器輸入飽和及不確定性擾動等問題,大多數(shù)學(xué)者通過較為復(fù)雜的算法,例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模型預(yù)測等,設(shè)計了較為復(fù)雜的控制器去抵消輸入飽和及不確定性擾動帶來的影響;而針對抗飽和輔助系統(tǒng)及擾動觀測器的研究較少。

基于上述問題,本文的貢獻(xiàn)如下。

(1)針對AUV水平面模型存在不確定性擾動的情況,通過設(shè)計非線性擾動觀測器估計AUV受到的不確定性擾動,從而降低不確定性擾動所帶來的影響。

(2)引入指令濾波器,消除了對虛擬控制量求導(dǎo)時的微分爆炸現(xiàn)象。

(3)針對AUV所擁有的輸入飽和狀況,設(shè)計一個抗飽和的輔助系統(tǒng),從而抵消AUV輸入飽和的影響,進(jìn)而提高AUV水平面軌跡跟蹤的穩(wěn)定性。

1 AUV水平面模型建立

1.1 AUV連續(xù)系統(tǒng)水平面模型

對于水下航行器運(yùn)動,通常需要建立六自由度AUV的動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)模型。本文研究水下機(jī)器人在水平面上的運(yùn)動空間;忽略水下機(jī)器人在豎直方向的運(yùn)動,考慮AUV在水平面的三個自由度,考慮AUV在水平面上前進(jìn)速度u、橫漂速度v和偏航角度三個自由度,將空間6自由度運(yùn)動分解為3自由度水平面運(yùn)動。利用固定坐標(biāo)系(定系E)和運(yùn)動體坐標(biāo)系(動系B)來描述AUV在水平面的運(yùn)動,建立AUV水下運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型。AUV水平面坐標(biāo)變換及軌跡跟蹤示意圖,如圖1所示。

圖1 AUV水平面坐標(biāo)變換及軌跡跟蹤示意圖

AUV水平面運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型,如式(1)所示。

(1)

式(1)中,η=[x,y,Ψ]表示AUV在固定坐標(biāo)系{E}下的位置向量,由AUV的實際位置(x,y)及其偏航角Ψ組成,Ψ是AUV的航向與ox軸方向的夾角,取逆時針方向為正;v=[u,v,r]表示在運(yùn)動坐標(biāo)系下的AUV速度向量,u為前進(jìn)速度、v為橫漂速度、r為偏航角速度;τ=[τu,τv,τr]T為AUV的控制輸入,τu為前進(jìn)方向控制力、τv為橫漂方向控制力、τr為偏航方向控制力矩;Δ=[Δu,Δv,Δr]T∈R3為在運(yùn)動坐標(biāo)系下由海流引起的環(huán)境干擾,M為可逆的正定對稱矩陣,表示包括附加質(zhì)量的慣性矩陣;C(v)∈R3×3表示科里奧利及向心力矩陣;D(v)∈R3×3是非線性水動力阻尼矩陣;通過旋轉(zhuǎn)矩陣R(Ψ)可將運(yùn)動體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為固定坐標(biāo)系,且R(Ψ)R-1(Ψ)=I3,即R-1(Ψ)=RT(Ψ),R(Ψ)旋轉(zhuǎn)矩陣表達(dá)形式如式(2)所示。

(2)

同時,M、C(v)∈R3×3、D(v)∈R3×3表達(dá)形式如式(3)-式(5)所示。

(3)

(4)

(5)

1.2 AUV水平面控制系統(tǒng)設(shè)計

本文基于Lyapunov理論和Backstepping理論,為了對AUV進(jìn)行軌跡跟蹤控制,在反步法中結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制理論,閉環(huán)控制系統(tǒng)構(gòu)建如圖2所示。

圖2 軌跡跟蹤控制流程圖

在AUV模型存在執(zhí)行器輸入飽和及不確定性擾動的情況下,會使AUV軌跡跟蹤的誤差較大。為降低輸入飽和對AUV軌跡跟蹤運(yùn)動的影響,設(shè)計抗飽和輔助系統(tǒng)對其執(zhí)行器輸入飽和進(jìn)行補(bǔ)償;設(shè)計非線性擾動觀測器來估計AUV受到的不確定性擾動,以降低不確定性擾動對AUV控制的影響;為克服對虛擬控制律求導(dǎo)過程中會出現(xiàn)“微分爆炸”現(xiàn)象,在此引入指令濾波來克服此缺點;最后,再根據(jù)AUV水平面運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型,結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)控制理論,設(shè)計AUV軌跡跟蹤滑模控制器。

2 AUV水平面軌跡跟蹤反步控制

2.1 擾動觀測器設(shè)計

為觀測水平面的不確定性擾動,基于Lyapunov理論和Backstepping理論及AUV水平面運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型,設(shè)τ=[τ1,τ2,τ3],定義干擾觀測器設(shè)計的輔助變量為Ξ,設(shè)該輔助變量Ξ如式(6)所示。

Ξ=v-χ

(6)

式(6)中,對χ求導(dǎo),有:

(7)

式(7)中,λi=R3×3(i=1,2,3)為觀測器的輔助狀態(tài)矩陣,為對角矩陣,且λ2>ρ;

式(6)對時間求導(dǎo)如式(8)所示。

(8)

將擾動觀測器設(shè)計如式(9)所示。

(9)

為了證明擾動觀測器的性能,定義擾動觀測器的估計誤差如式(10)所示。

(10)

將式(9)代入式(10)可得式(11)。

(11)

由式(11)可知,該擾動觀測器的觀測值可以保證收斂。

選擇Lyapunov函數(shù)如式(12)所示。

(12)

對式(12)求導(dǎo)如式(13)所示。

=ΞT(-λ1Ξ+λ2sgn(Ξ)-Δ)

≤λ1(ΞTΞ)

≤0

(13)

2.2 反步滑?？刂破髟O(shè)計

本小節(jié)將基于Lyapunov理論和Backstepping理論,由AUV水平面運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型來設(shè)計AUV水平面軌跡跟蹤滑模閉環(huán)控制器,并設(shè)計抗飽和輔助系統(tǒng)來補(bǔ)償執(zhí)行器輸入飽和。

由AUV水平面運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型式(1)可得式(14)。

(14)

第一步,設(shè)置AUV水平面運(yùn)動軌跡期望為ηd,定義AUV軌跡跟蹤位置誤差向量e1,建立水平面軌跡誤差方程如式(15)所示。

e1=η-ηd

(15)

并將式(14)代入式(15)并對其求導(dǎo),可得式(16)。

(16)

構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)V1如式(17)所示。

(17)

對式(17)求導(dǎo)如式(18)所示。

(18)

(19)

式(19)中,c1∈R3×3為正定對角矩陣。

為了得到β的導(dǎo)數(shù),解決Backstepping的微分爆炸問題,我們引入指令濾波,指令濾波方程如式(20)所示。

(20)

根據(jù)式(20),得到的濾波誤差向量如式(21)所示。

γ=α-β

(21)

第二步,定義AUV速度跟蹤誤差向量e2,建立水平面速度誤差方程如式(22)所示。

e2=υ-α

(22)

將式(22)代入式(18),如式(23)所示。

=e1(R(Ψ)(e2+γ)-c1e1)

(23)

為使速度跟蹤誤差向量e2趨于穩(wěn)定,設(shè)計積分滑模面s如式(24)所示。

(24)

對式(24)求導(dǎo)可得式(25)。

(25)

為了提高AUV控制系統(tǒng)收斂效率以及動態(tài)響,應(yīng)設(shè)計趨近律如式(26)所示。

(26)

式(26)中,k>0,ε>0為待設(shè)計參數(shù),0<ξ<1。

結(jié)合李雅普諾夫理論和反步法,構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)V2如式(27)所示。

(27)

對式(27)求導(dǎo),如式(28)所示。

(28)

(29)

將式(29)代入式(28),如式(30)所示。

(30)

(31)

AUV運(yùn)動的過程中通常存在著制動器輸入飽和的問題,為了消除該影響,設(shè)計如下抗飽和系統(tǒng)來補(bǔ)償制動器輸入飽和如式(32)所示。

(32)

式(32)中,dτ=satτ-τ為輸入誤差,k>0,κ是一個較小的正參數(shù);

由此在制動器存在輸入飽和情況下,可將其控制律設(shè)計如式(33)所示。

(33)

2.3 穩(wěn)定性分析

本小節(jié)將基于Lyapunov理論和Backstepping理論,分析滑動面及抗飽和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為證明積分面s及抗飽和系統(tǒng)w的穩(wěn)定性,構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)V3如式(34)所示。

(34)

對式(34)求導(dǎo)可得式(35)。

(35)

考慮在輸入飽和的情況時,以下式子成立,如式(36)和式(37)所示。

(36)

(37)

將式(36)和式(37)代入式(35),并整理如式(38)所示。

(38)

又由不等式關(guān)系,可得式(39)。

(39)

所以,可將式(39)整理為式(40)。

(40)

(41)

基于上述穩(wěn)定性分析證明:AUV水平面的軌跡跟蹤控制在控制律式(33)的作用下,能夠達(dá)到控制目標(biāo),即該控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)行。

3 AUV水平面仿真研究

3.1 模型參數(shù)

為證明控制器的有效性和魯棒性,對設(shè)計的基于擾動觀測器的AUV水平面軌跡跟蹤滑?？刂破鬟M(jìn)行了仿真分析,在Matlab/Simulink軟件上進(jìn)行運(yùn)動仿真,仿真中所用到的AUV模型參數(shù)如表1所示。

表1 AUV主要模型參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果

為了進(jìn)一步驗證所設(shè)計控制器的有效性,故設(shè)計一組水平面復(fù)合軌跡進(jìn)行跟蹤,設(shè)其軌跡方程如式(42)所示。

(42)

在仿真環(huán)境的設(shè)定中,將外界擾動設(shè)定為連續(xù)的擾動,即:Δ1=10,Δ2=0.3。所設(shè)計的控制器參數(shù)為c1=5,c2=2,σ=0.1。濾波器參數(shù)為f=25,ζ=0.7?？癸柡洼o助系統(tǒng)參數(shù)為k=10,κ=0.01。

如圖3和圖4所示,AUV可以快速跟蹤目標(biāo)軌跡,跟蹤誤差較小,最終趨于零。如圖5所示,AUV可以快速到達(dá)期望速度并保持恒定速度進(jìn)行跟蹤。如圖6所示,AUV軌跡跟蹤控制輸入也在控制的范圍內(nèi),并且相對平緩。

圖3 AUV軌跡跟蹤曲線

圖5 AUV速度跟蹤曲線

圖6 AUV軌跡跟蹤控制輸入

4 結(jié)論

本文針對AUV在水平面的軌跡跟蹤問題,設(shè)計擾動觀測器觀測水中的不確定性擾動;存在執(zhí)行器輸入飽和的情況下,設(shè)計抗飽和輔助系統(tǒng)抵消執(zhí)行器輸入飽和;通過Backstepping理論與動態(tài)滑?？刂评碚?設(shè)計了AUV水平面軌跡跟蹤控制器;其仿真結(jié)果表明,本文所設(shè)計的控制器可以實現(xiàn)AUV在水平面上軌跡跟蹤,并跟蹤其速度誤差,使AUV能夠保持穩(wěn)定的航速,快速跟蹤上期望軌跡,且跟蹤誤差很小,最終趨向于0;本文設(shè)計的抗飽和輔助系統(tǒng)能使AUV輸入穩(wěn)定在一個有限的邊界內(nèi),從而提高了AUV的控制精度,使AUV的軌跡跟蹤達(dá)到了理想的效果。