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        怎樣利用面積法求解線段問題

        2023-08-03 07:18:47蔣弟弟
        關(guān)鍵詞:本題線段比例

        蔣弟弟

        面積法是利用面積相等或成比例關(guān)系,利用面積與邊、角之間的關(guān)系來解題的一種方法.它能夠把兩個(gè)表面看起來沒有任何關(guān)系的變量關(guān)聯(lián)在一起.在面對一些無從下手的線段問題時(shí),同學(xué)們?nèi)裟芡诰蛳嚓P(guān)幾何量與所涉及的圖形的面積的內(nèi)在聯(lián)系,則可以收到意想不到的效果.

        一、利用面積法,證明線段相等

        圖形的面積公式都是用含有線段的代數(shù)式來表示的,因此面積與線段之間可以互相轉(zhuǎn)換.利用面積法證明兩條線段相等,即通過證明兩個(gè)三角形面積相等,然后借助三角形面積公式推導(dǎo)出兩條線段相等.

        例 1如圖 1 所示,已知 D 是△ABC 內(nèi)∠ABC 的平分線上的一點(diǎn),作 AE ∥ DC 交 BC 的延長線于點(diǎn) E ,作 CF ∥ AD交 BA 的延長線于點(diǎn) F ,AE、CF 相交于點(diǎn) G .求證:AF = CE.

        分析:若按照常規(guī)思路證明 AF = CE,需證明兩個(gè)三角形全等,顯然全等的證明條件不充分.由于已知圖形中出現(xiàn)兩組平行線,這樣容易出現(xiàn)等面積的三角形,因此不妨考慮利用面積法解題.

        證明:

        評注:本題借助等面積變換證明了 S△ADF= S △CDE,而這兩個(gè)三角形的高 DH =DK,這樣根據(jù)三角形的面積公式,即可證明它們的底邊 AF = CE,目標(biāo)得證.

        二、利用面積法,證明線段成比例

        我們常利用相似三角形對應(yīng)邊成比例來證明線段成比例.但當(dāng)待證的線段在兩個(gè)三角形中,又很難用三角形相似來證明時(shí),我們可以觀察這兩個(gè)三角形是否在某一邊上的高(底)相等,然后利用兩個(gè)等底(高)的三角形的面積之比等于它們對應(yīng)高(底)之比來證明線段成比例.

        例2如圖2所示,已知在△ABC 中,BM平分∠ABC.求證:MC(AM)= BC(BA).

        分析:

        證明:

        評注:利用面積法證明線段成比例,實(shí)際上就是借助面積公式來實(shí)現(xiàn)比例式的轉(zhuǎn)化. 本題根據(jù)三角形面積公式,得到 S△BAM S△BCM = BA BC ,再根據(jù)等底(高)的兩個(gè)三角形面積比等于高(底)的比,得到 S△BAM S△BCM = AM MC ,進(jìn)而得到所要求證的目標(biāo)比例式.

        三、利用面積法,求線段的長度

        利用面積法求線段的長度,一般根據(jù)題意采用兩種解題思路:一是若題目已知圖形的面積,可直接利用面積公式構(gòu)建關(guān)于所求目標(biāo)線段的關(guān)系式;二是若幾個(gè)圖形之間存在等面積關(guān)系,則可以利用等面積法構(gòu)建線段之間的關(guān)系式.最后通過求圖形的高或底邊長,求出目標(biāo)線段的長度.

        例3

        分析:

        證明:

        評注:本題根據(jù)“S△MQP+S△NQO+S△PQO=S 四邊形MNPO” 這一面積關(guān)系,建立起已知線段與待求線段之間的關(guān)系式,從而求出 QR 的長度.該解法簡捷、巧妙.

        總之,面積法是解答平面幾何問題的重要方法之一,在解答線段問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛.除了上述提及的三種應(yīng)用情況外,還可以利用面積法求解線段之和、線段的比值等問題.同學(xué)們應(yīng)靈活運(yùn)用所學(xué)知識以及掌握的解題方法,提升解題效率.

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