秦晨熹

生活實例

為了實現(xiàn)減負增效，大面積提高教學(xué)成績，某市推行了小組（每組9人）合作學(xué)習(xí)的教學(xué)模式. 2022年寒假數(shù)學(xué)期末考試成績揭曉后，八（8）班沸騰起來了，各組學(xué)生興致高昂. 一組組長說：“我們組最高分為90分.”二組組長高喊：“我們組平均90分.”另兩位愛思考的同學(xué)也在議論他們所在小組的數(shù)學(xué)成績. 三組的張明說：“我們組成績是90分的同學(xué)最多. ”四組的李麗說：“我們組的9位同學(xué)成績排在最中間的恰好也是90分. ”從以上4位同學(xué)的交流表達中，你能知曉這4個90分所反映出的統(tǒng)計量是什么嗎？請加以解釋.

精講精析

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是數(shù)據(jù)的代表，從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中程度，刻畫了一組數(shù)據(jù)的“平均水平”“中等水平”“多數(shù)水平”，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛. 它們各有優(yōu)缺點：平均數(shù)需要全組所有數(shù)據(jù)來計算，易受數(shù)據(jù)中極端值的影響；中位數(shù)僅需把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小）的順序排列后即可確定（當一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)時，按從小到大或從大到小依次排列后，中間那個數(shù)就是中位數(shù)；當一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時，按從小到大或從大到小依次排列后，中間兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)），不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響；眾數(shù)是數(shù)出來的，它是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

由此，我們可以發(fā)現(xiàn)：二組組長所說的平均分是90分，代表二組學(xué)生數(shù)學(xué)平均水平；張明所說的90分，是三組數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)，代表三組數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分的學(xué)生最多；李麗所說的90分，是9位同學(xué)按成績高低排列后的中間同學(xué)的成績，是四組學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù).

變式演練

變式1：在數(shù)學(xué)期末考試中，八（8）班二組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?nèi)绫?，試問：二組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的最低分是多少？最高分為100分的有幾人？二組數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是多少？

解析：由題意得[y=9-1-2-4=2]（人），

[x×1+85×2+95×4+100×2=9×90]，

解得[x=60].

二組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的最低分為60分，最高分為100分的2人. 由于4人取得95分，人數(shù)最多，故眾數(shù)為95. 將這9個數(shù)從小到大排列，第5個數(shù)為95，故中位數(shù)為95.

變式2：在這次數(shù)學(xué)期末考試中，八（8）班的班主任準備獎勵這四組同學(xué)，并設(shè)置了5個獲獎名額，他們的數(shù)學(xué)成績得分均不相同. 若知道其中魏碩的得分，要判斷他能否獲獎，在這四組9位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的統(tǒng)計量中，只需知道（）.

A. 眾數(shù)? ? ? B. 平均數(shù)? ? C. 中位數(shù)? ? D. 方差

解析：要判斷魏碩能否獲獎，關(guān)鍵是要將他的成績與9位同學(xué)中第5名的成績進行比較，若高于就可以獲獎，反之，則不能. 而9位同學(xué)中第5名的成績恰好就是9位同學(xué)成績的中位數(shù). 故應(yīng)選C.

變式3：校學(xué)生會準備在八（8）班張明、李麗兩位候選人中選擇一人擔任文藝部干事，對他們進行了文化水平、藝術(shù)水平、組織能力的測試，根據(jù)綜合成績擇優(yōu)錄取，他們的各項成績（單項滿分100分）如表2所示，如果想錄取一名組織能力較強的候選人，把文化水平、藝術(shù)水平、組織能力三項成績分別按照[20%]，[20%]，[60%]的比例計入綜合成績，應(yīng)該錄取誰？

解析：根據(jù)題意，張明的平均成績?yōu)閇80×20%+87×20%+82×60%=82.6]（分[）]，

李麗的平均成績?yōu)閇80×20%+96×20%+76×60%=80.8]（分[）].

因為張明的平均成績高于李麗的平均成績，所以應(yīng)該錄取張明.

反思：本題考查加權(quán)平均數(shù)公式. 權(quán)的表現(xiàn)形式有兩種：一種是比的形式，如2∶2∶6；另一種是百分比的形式，如文化水平占20%、藝術(shù)水平占20%、組織能力占60%. 權(quán)的大小能夠反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”，權(quán)的差異對結(jié)果會產(chǎn)生直接的影響. 若要突出某個數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權(quán)”即可.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時間：3分鐘

某中學(xué)八年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽. 用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學(xué)生中抽取20名，其競賽成績?nèi)缬覉D，求這20名學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù). （答案見第23頁）

（作者單位：江蘇省南通市崇川初級中學(xué)）