摘要：常微分方程作為一門重要數(shù)學(xué)類專業(yè)課，具有理論性和應(yīng)用性強(qiáng)的特點(diǎn)。由于該課程教學(xué)偏向于理論，學(xué)生在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中容易混淆并感到枯燥乏味。Wolfram Alpha是一款計(jì)算知識引擎，囊括了符號運(yùn)算、科學(xué)計(jì)算和圖像繪制等功能。該文試圖通過引入Wolfram Alpha到課程教學(xué)中，以求解析解和數(shù)值解為例，讓復(fù)雜的教學(xué)過程簡單化，調(diào)動學(xué)生的動手能力，提高學(xué)生興趣，使學(xué)生容易掌握知識難點(diǎn)，體會到數(shù)學(xué)方法的魅力所在。

關(guān)鍵詞：Wolfram Alpha 常微分方程 解析解 數(shù)值解

中圖分類號：G642;O1-4? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Application of Wolfram Alpha in the Teaching Process of Ordinary Differential Equation

ZHAO Zhiguo

（Henan Institute of Technology， Xinxiang， Henan Province， 453003 China）

Abstract： As an important mathematical course， Ordinary Differential Equation has the characteristics of strong theory and application. Since the teaching of this course is biased towards theory， students are easily confused and bored in the traditional teaching mode. Wolfram Alpha is a computational knowledge engine that includes the functions of symbolic computing， scientific calculation and image drawing. With finding analytical solutions and numerical solutions as and example， this paper attempts to introduce Wolfram Alpha to the teaching of ODE to simplify the complex teaching process， mobilize students practical ability， improve students interest in learning， and enable students to easily master knowledge difficulties and experience the charm of mathematical methods.

Key Words： Wolfram Alpha; Ordinary Differential Equation; Analytical solution; Numerical solution

常微分方程作為數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生需要學(xué)習(xí)的一門專業(yè)核心課[1-4]，其理論方法是隨機(jī)微分方程和偏微分方程等后續(xù)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，并且已經(jīng)被應(yīng)用到自動化、物理、力學(xué)、神經(jīng)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融等學(xué)科領(lǐng)域中。為了能夠跟隨時(shí)代的發(fā)展，培養(yǎng)出高質(zhì)量的應(yīng)用型人才，有必要參照一流本科專業(yè)的建設(shè)要求對常微分方程課程進(jìn)行教學(xué)改革。在實(shí)際問題解決中，如新冠肺炎感染模型感染人數(shù)預(yù)測、人口增長模型預(yù)測、神經(jīng)元電生理模型動作電位產(chǎn)生機(jī)制和機(jī)械系統(tǒng)等效力學(xué)模型的動態(tài)仿真等，都需要對建立相應(yīng)模型的解的特性進(jìn)行分析。常微分課程主要針對不同方程模型進(jìn)行分析，獲得相應(yīng)解的性質(zhì)[1-4]，從而為實(shí)際模型分析提供數(shù)學(xué)方法。在常微分方程教學(xué)內(nèi)容中，存在有幾個(gè)難點(diǎn)：第一，方程類型多，方法復(fù)雜，同一方程可以用不同方法求解，學(xué)生容易對方程和方法混淆，不能深入理解解的性質(zhì)；第二，對于解的特性，如存在性和唯一性，證明過程繁冗，不能夠充分理解證明的原因和目的；第三，部分方程無法取得解析解，需要采用數(shù)值計(jì)算方法來展示解的結(jié)果，而常微分方程主要為理論課，缺乏實(shí)踐工具，課堂內(nèi)容不能完整給出。

Wolfram Alpha是著名數(shù)學(xué)軟件開發(fā)公司——沃爾夫勒姆公司開發(fā)的新一代計(jì)算知識引擎，有網(wǎng)頁版和手機(jī)版。該引擎具有符號運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析和圖像繪制等功能，具有方便易用、操作簡單和可遠(yuǎn)程運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)。Wolfram Alpha的這些優(yōu)點(diǎn)，使得在常微分方程課程理論教學(xué)中無需計(jì)算機(jī)就可以引入動手實(shí)踐，可以極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步保證教學(xué)內(nèi)容的完整性，提高教學(xué)質(zhì)量。除此之外，Wolfram Alpha的Step-by-step solution（分步計(jì)算功能）功能可以詳細(xì)展示每一步的計(jì)算方法和過程，為學(xué)生課下計(jì)算練習(xí)提供了方便。本文選取常微分方程高等教育版（王高雄主編）教材中常見方程類型，討論Wolfram Alpha在這些方程教學(xué)過程中的應(yīng)用。

1 利用Wolfram Alpha獲取線性方程的解析解

對于一階常系數(shù)線性方程，可以使用多種方法，例如常數(shù)變易法、化為恰當(dāng)微分方程和拉普拉斯變換等方法[5-6]。利用Wolfram Alpha不僅可以求得方程的解析解，還可以利用step-by-step solution功能可展示具體解法的過程。除此之外，Wolfram Alpha還提供多種解法。下面將以非齊次方程為例，使用Wolfram Alpha選擇不同方法來求解。在Wolfram Alpha中輸入y=2x+y，給出了方程類型，即一階線性常微分方程，除此之外，給出了方程的通解。

對于該方程，Wolfram Alpha提供了多種方法，包括看作線性方程求解、化為恰當(dāng)方程求解和拉普拉斯變換求解，點(diǎn)擊Step-by-step solution可以選擇求解方式，并顯示出每一步過程。

1.1 當(dāng)作線性方程求解

將原方程當(dāng)作線性方程求解時(shí)，Wolfram Alpha的具體步驟如下：

令 ，方程等式兩端乘以，得

替換，得

根據(jù)逆乘積運(yùn)算法則，上式變?yōu)?/p>

兩端同時(shí)積分，得

計(jì)算得

，為任意常數(shù)。

1.2 拉普拉斯變換求解

采用化為恰當(dāng)微分方程求解時(shí)，Wolfram Alpha的具體步驟如下：

2 利用Wolfram Alpha獲取非線性方程的解

2.1 非線性方程的解析解

在常微分方程中，大部分非線性方程解析解不能夠求出，利用Wolfram Alpha可以獲得部分非線性方程的解，如下面方程

這里是雅可比橢圓函數(shù)。

2.2 非線性方程的數(shù)值解

Wolfram Alpha除了可以解出線性方程和一些非線性方程外，還可以數(shù)值解出一些非線性方程，如滿足初始條件的數(shù)值解，在Wolfram Alpha中輸入Runge-Kutta method， y'' = -2x^2 ysiny， y（0） = 2， y'（0）=1， from 0 to 20， h = .05，將采用龍格庫塔方法，以0.05的積分步長數(shù)值積分獲得區(qū)間的數(shù)值解，如圖1所示。除了獲得相應(yīng)的數(shù)值解之外，Wolfram Alpha還提供了對于數(shù)學(xué)軟件Mathematica的程序代碼。學(xué)生可以直接復(fù)制該代碼到Mathematica軟件來運(yùn)行，這對于學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用Mathematica有很大的幫助。

由于在傳統(tǒng)課堂中，只能夠講解方程的解析解，對于解到底是什么模樣，學(xué)生也不清楚，以及解在模型中的意義也就不知道了。Wolfram Alpha的繪圖功能展示出的結(jié)果更有助于學(xué)生理解，學(xué)生對于理解解的意義。除了解非線性方程外，對于線性方程，Wolfram Alpha不僅可以給出解析解和數(shù)值解，還可以對解進(jìn)行比較，獲得解析解和數(shù)值解的誤差。例如：于，方程采用4階龍格庫塔方法、步長0.25來計(jì)算獲得數(shù)值解。輸入代碼為Runge-Kutta method， dy/dx = -2xy， y（0） = 2， from 1 to 3， h = .25。解析解與數(shù)值解的誤差圖在圖2中給出。除了這些，Wolfram Alpha還給出了不同數(shù)值方法求解方程的誤差和效率，如圖3所示。這不僅可以讓學(xué)生清楚解析解和數(shù)值解的差異，也讓學(xué)生能夠理解數(shù)值解的方法，為以后的數(shù)值方法學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

通過在課堂上使用Wolfram Alpha軟件，可以獲得方程的解析解、數(shù)值解以及和解有關(guān)的信息，尤其是將這些信息圖標(biāo)展示，使學(xué)生更容易理解，達(dá)到事半功倍的效果。可以說Wolfram Alpha軟件的使用，可以很好地?cái)U(kuò)展課堂內(nèi)容，提高課堂效率，讓抽象的知識形象化，是現(xiàn)代化教學(xué)必不可少的軟件。

3 Wolfram Alpha課堂教學(xué)的應(yīng)用及意義

常微分方程課堂中主要講解的是方程的解和方程解的性質(zhì)。方程類型繁多，解題方法較多，解的性質(zhì)如存在性和唯一性，證明繁瑣。在傳統(tǒng)板書教學(xué)過程中，會受到課程性質(zhì)和課堂時(shí)間的限制，不能夠充分講解內(nèi)容[1-4]。學(xué)生在學(xué)習(xí)完該課程，只能夠掌握簡單類型題目的解題方法，對為何要學(xué)習(xí)方程的解不清楚。相對于專業(yè)計(jì)算軟件Matlab和Mathematica[1-6]，Wolfram Alpha是計(jì)算知識引擎，雖然不能夠計(jì)算大型運(yùn)算，但可以通過網(wǎng)頁或體積較小的手機(jī)軟件來實(shí)現(xiàn)，具有方便易用的特點(diǎn)，可以求解常微分方程課程中的所有方程，滿足日常教學(xué)需求。除此之外，Wolfram Alpha還可以給出不同方法計(jì)算的每一步過程，不僅可以使學(xué)生扎實(shí)掌握所學(xué)知識，還可以拓展學(xué)生的思路。借助于Wolfram Alpha的繪圖和數(shù)值計(jì)算功能，可以演示解的特點(diǎn)，尤其是解的存在唯一性這一重點(diǎn)難學(xué)的內(nèi)容。在課堂教學(xué)中引入Wolfram Alpha，可以改變傳統(tǒng)教學(xué)的枯燥模式，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用意義有所認(rèn)識，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且可以改變學(xué)習(xí)方式，增強(qiáng)學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)的能力，有助于學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，拓展學(xué)生的思路，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和實(shí)踐打下基礎(chǔ)，對于培養(yǎng)出高質(zhì)量的應(yīng)用型人才具有重要意義。

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