陳雨琴，孫建東，王兆杰，陳海燕

（瑞納智能設(shè)備股份有限公司，安徽合肥，230000）

0 引言

磁懸浮軸承是一種通過電磁力使定轉(zhuǎn)子之間無機(jī)械接觸的新型軸承，磁懸浮軸承與普通機(jī)械軸承相比具有無摩擦、無油污、噪音小和使用壽命長等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于航空航天、真空超凈、高速機(jī)床、儲能飛輪等領(lǐng)域[1-2]。在磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于加工誤差以及材質(zhì)不均勻等因素導(dǎo)致轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均勻，在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過程中，慣性主軸與幾何中心不重合給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)引入同頻的不平衡激勵力，這種不平衡激振力會激發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動，并通過軸承傳遞到基座上，引起系統(tǒng)的共振。

目前，針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡振動抑制的方法主要有兩種：慣性力最小補(bǔ)償和位移最小補(bǔ)償[3]，其中慣性力最小補(bǔ)償也被稱為自動平衡（Autobalance）[4]，其基本原理通過抵消或者濾波等方式衰減或者濾除位移傳感器檢測信號中的不平衡振動分量，從而使控制器不產(chǎn)生該分量的控制力，使轉(zhuǎn)子繞其慣性主軸旋轉(zhuǎn)。位移最小補(bǔ)償被稱為不平衡補(bǔ)償（Unbalance Compensation）[5]，其原理是通過一定的補(bǔ)償策略，在磁懸浮軸承上施加與不平衡力大小相等方向相反的控制作用，使轉(zhuǎn)子盡可能繞其幾何對稱中心轉(zhuǎn)動[6]。

在針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡振動抑制的研究中，文獻(xiàn)[7]中針對陷波濾波器在實際應(yīng)用過程中干擾抑制和穩(wěn)定性矛盾的問題，基于根軌跡、頻域分析法提出了一種陷波濾波器的設(shè)計方法，可有效減小不平衡振動導(dǎo)致轉(zhuǎn)速衰減和噪聲，文獻(xiàn)[8]研究了力自由度控制和開環(huán)前饋控制，得出力自由度控制適用于以控制能量較小為目標(biāo)的系統(tǒng)，開環(huán)前饋控制適用于要求轉(zhuǎn)子的振動幅度較小的系統(tǒng)。文獻(xiàn)[9]基于自適應(yīng)濾波器針對不同應(yīng)用場合對開閉環(huán)控制與位移剛度力補(bǔ)償進(jìn)行切換，實現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的不平衡振動抑制。

本文針對磁懸浮轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時不平衡問題，研究了兩種補(bǔ)償方法，一種是最小均方自適應(yīng)算法（LMS），一種是凹陷濾波算法。對上述兩種算法進(jìn)行理論推導(dǎo)并基于MATLAB/Simulink 進(jìn)行仿真驗證，仿真結(jié)果表明上述兩種算法對不平衡振動具有明顯的抑制效果。

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)不平衡振動分析

磁懸浮轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均是導(dǎo)致轉(zhuǎn)子不平衡激振力的主要原理，在高速旋轉(zhuǎn)過程中由于轉(zhuǎn)子慣性主軸與幾何中心線不重合產(chǎn)生離心力，其方向與轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)呈周期性變化，其大小主要由轉(zhuǎn)子質(zhì)量、慣性主軸與幾何中心線的偏心距轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速相關(guān)。這種不平衡激振力產(chǎn)生的振動幅值超過軸承安全間距時，轉(zhuǎn)子與軸承會發(fā)生碰撞，通過軸承傳遞到機(jī)座上，引起系統(tǒng)振動。在實際應(yīng)用中，當(dāng)轉(zhuǎn)子運(yùn)行轉(zhuǎn)速低于轉(zhuǎn)子鋼支一階臨界轉(zhuǎn)速的25%時，將轉(zhuǎn)子作為剛性轉(zhuǎn)子處理，將轉(zhuǎn)速超出此范圍的轉(zhuǎn)子看作撓性轉(zhuǎn)子，剛性轉(zhuǎn)子與撓性轉(zhuǎn)子的平衡力的計算原理是完全相同的[10]。本文為了分析方便，以剛性轉(zhuǎn)子為例進(jìn)行轉(zhuǎn)子不平衡振動問題分析。

不平衡振動可分為靜態(tài)不平衡振動和動態(tài)不平衡振動[11]，轉(zhuǎn)子的靜態(tài)不平衡指的是由于轉(zhuǎn)子加工工藝等因素造成的質(zhì)量分布不均勻，使轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心有偏心距，慣性主軸與旋轉(zhuǎn)主軸平行但不重合而產(chǎn)生的離心力。如圖1 所示，其中O為轉(zhuǎn)子幾何中心為O，轉(zhuǎn)子質(zhì)心為M，轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心的偏心距為ε，當(dāng)轉(zhuǎn)子運(yùn)行轉(zhuǎn)速為? 時，質(zhì)量為m的轉(zhuǎn)子靜態(tài)不平衡力可表示為：

圖1 剛性轉(zhuǎn)子的靜態(tài)不平衡

由式(1)可知，轉(zhuǎn)子的靜態(tài)不平衡力與轉(zhuǎn)子質(zhì)量、轉(zhuǎn)速的平方以及偏心距成正比。

轉(zhuǎn)子的動態(tài)不平衡指的是轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，慣性主軸與旋轉(zhuǎn)主軸不再平行，不平衡力隨著轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)周期性變化，假設(shè)?為初始相位，則轉(zhuǎn)子的不平衡力可表示為：

2 不平衡補(bǔ)償算法設(shè)計

■2.1 最小均方自適應(yīng)算法（LMS）設(shè)計

最小均方自適應(yīng)算法（LMS）是基于最速下降的算法，其結(jié)構(gòu)簡單，不需要進(jìn)行矩陣運(yùn)算，LMS 算法是慣性力最小補(bǔ)償控制策略中最常用的算法之一。其基本原理是在位置閉環(huán)控制回路中添加自適應(yīng)濾波器，通過濾除位移反饋信號中某一固定頻率的不平衡振動信號，從而使控制器不對該分量進(jìn)行控制，繼而轉(zhuǎn)子繞其慣性主軸旋轉(zhuǎn)。應(yīng)用該方法使軸承控制器不產(chǎn)生不平衡控制力，大大降低了軸承振動，減小轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中線的偏心量，從而減小幾何中心的渦動半徑。對于慣性力最小準(zhǔn)則，隨機(jī)振動成分是唯一有用的信號，與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期同步的周期振動信號為干擾信號。振動補(bǔ)償?shù)哪康木褪窃诒ＷC系統(tǒng)正常運(yùn)行的同時濾除振動信號，只保留隨機(jī)振動信號，使控制器不產(chǎn)生對該振動信號的控制力。

基于LMS 算法的振動補(bǔ)償原理如圖2 所示，d(k)為原始輸入，即傳感器檢測到的位移信號，它包含了周期性干擾信號和隨機(jī)振動信號（有用信號）。參考輸入是與干擾信號同周期的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號，兩個信號相位相差90°。LMS 算法的目的是獲得w1(k)和w2(k)的值，使得組合后的輸出信號y(k)與原始輸入信號中的周期干擾信號相抵消，從而達(dá)到誤差的均方值最小。

圖2 LMS 算法振動補(bǔ)償原理

LMS 算法在每個采樣時間更改增益參數(shù)，具有結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)點(diǎn)，在算法實現(xiàn)上比較容易。

等式兩邊平方取期望值，可得到系統(tǒng)輸出的均方根誤差為：

其中：Wk=[w1(k) w2(k)]T，X(k)=[x1(k)x2(k)]T。

由于LMS 算法的目標(biāo)是通過調(diào)整權(quán)值使均方根誤差值最小，因此采用梯度理論，引入均方根誤差的梯度。

梯度為零時均方誤差最小，則：

最小均方差為：

則有：

權(quán)向量迭代采用最速下降法搜索最優(yōu)的權(quán)向量，使得均方誤差達(dá)到最小，迭代公式為：

式中μ為固定步長因子，當(dāng)滿足條件

寫成分量形式，w1、w2的迭代公式為：

μ的選取是LMS 算法的關(guān)鍵，μ取值越大系統(tǒng)收斂的速度越快，但是會拓寬自適應(yīng)濾波的帶寬，會對不需要濾除的信號產(chǎn)生影響，導(dǎo)致LMS 算法的發(fā)散，對整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，另一方面μ取值越小時系統(tǒng)收斂速度越慢，但是性能會變好。

■2.2 凹陷濾波算法設(shè)計

凹陷濾波器全稱帶阻陷波濾波器，這種濾波器的優(yōu)點(diǎn)在于只對特定的頻率段起作用，對作用頻率范圍之外的頻率幅值及相位無影響。基于以上特性，凹陷濾波器已經(jīng)成為磁軸承不平衡振動補(bǔ)償?shù)囊环N常用算法并成功應(yīng)用于工業(yè)控制系統(tǒng)中。其基本原理為在磁軸承轉(zhuǎn)子位移檢測回路加入凹陷濾波器，將凹陷濾波器的中心頻率設(shè)置轉(zhuǎn)子臨界頻率，將回路中的同期振動成分濾除，使轉(zhuǎn)子順利越過臨界轉(zhuǎn)速。如圖3 所示，將凹陷濾波器置于位移傳感器反饋信號之后，這樣可以有效地濾除反饋信號中的同頻成分。

圖3 凹陷濾波振動補(bǔ)償原理

一般將凹陷濾波器幅值衰減最大處對應(yīng)的頻率稱為ω0，將幅值衰減至通頻帶處的0.707倍對應(yīng)的頻率稱為截止頻率，一般存在兩個截止頻率ωL和ωH（ωL<ωH)，小于ωL或者大于ωH的頻率稱為通頻段，處于兩個頻率之間的頻段稱為阻帶。

傳統(tǒng)的凹陷濾波器的傳遞函數(shù)如下：

式中：ωr為共振頻率（rad/s），ξz為分子阻尼比，ξp為分母阻尼比。凹陷濾波器的凹槽越窄，衰減幅值越大，但是相角滯后就越大。

從圖4 可知，凹陷濾波器對信號有很強(qiáng)的選擇性，在共振頻率附近，信號幅度衰減明顯，而在其他頻率段，信號幅值基本無變化。由此可知，頻率在共振頻率附近的信號無法通過凹陷濾波器，這樣可濾除轉(zhuǎn)子位移反饋信號中的共振信號，從而使轉(zhuǎn)子圍繞慣性主軸旋轉(zhuǎn)。

圖4 凹陷濾波器伯德圖

上述凹陷濾波器的剪切寬度和陷波深度主要通過阻尼比進(jìn)行調(diào)節(jié)，結(jié)構(gòu)不靈活，在實際應(yīng)用中，一般將凹陷濾波器設(shè)計成如下形式：

將式（12）進(jìn)行雙線性變換，得到：

式中：

其中fs為采樣頻率。

由式(13)可得到數(shù)字凹陷濾波器的算法如下：

3 仿真驗證

■3.1 最小均方自適應(yīng)算法（LMS）仿真結(jié)果

為了驗證LMS 自適應(yīng)算法的可行性，基于MATLAB/Simulink 進(jìn)行算法可行性仿真，給LMS 自適應(yīng)算法中加入一個標(biāo)準(zhǔn)正弦波來模擬轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率，其頻率為400Hz，取進(jìn)行仿真，并對補(bǔ)償后的信號進(jìn)行FFT 分析，仿真分析結(jié)果如圖5 所示。

圖5 LMS 算法仿真結(jié)果

從圖5 可看出，輸入的400Hz 正弦信號經(jīng)過LMS 算法后經(jīng)過幾個周期的振蕩，400Hz 正弦信號的幅值衰減嚴(yán)重，信號基本被濾除，可有效地抑制不平衡振動。

為了從理論上驗證LMS 對頻率波動的適應(yīng)性，圖6 為LMS 算法在波動頻率為2Hz 情況下的補(bǔ)償波形及FFT 分析，從FFT 分析可知，400Hz 信號幅值衰減為0.308，相比于無波動情況補(bǔ)償效果有所降低。

圖6 LMS 算法頻率波動2Hz 仿真結(jié)果

為進(jìn)一步驗證頻率波動對LMS 算法的影響，仿真分析在波動頻率為10Hz 情況下的補(bǔ)償波形及FFT 分析，如圖7所示，400Hz 信號幅值衰減為1.39，由此可知，LMS 對于頻率波動較為敏感，當(dāng)頻率波動超過一定范圍，補(bǔ)償效果變差。綜上可知，隨著波動頻率的增加，補(bǔ)償效果變差，故可推測出LMS 算法不適合變頻的應(yīng)用場合。

圖7 LMS 算法頻率波動10Hz 仿真結(jié)果

■3.2 凹陷濾波算法仿真結(jié)果

為驗證該濾波器的有效性，給定一個400Hz 的正弦信號，取陷波頻率為400Hz，陷波寬度為50Hz，陷波幅值為100dB，得到濾波后的對比波形以及FFT 分析如圖8 所示，400Hz 的頻率分量被極大地衰減，400Hz 信號幅值為0.02，仿真結(jié)果證明該濾波方案的有效性。

圖8 凹陷濾波算法結(jié)果

同時對比驗證凹陷濾波器對頻率波動的適應(yīng)性，對凹陷濾波算法在不同波動頻率下的補(bǔ)償效果進(jìn)行仿真，如圖9所示為頻率波動2Hz 情況下的仿真結(jié)果輸出。

圖9 凹陷濾波算法頻率波動2Hz 仿真結(jié)果

從圖7 FFT 分析可知，400Hz 信號幅值衰減為0.227，相比于無波動情況補(bǔ)償效果有所降低，但是同比于LMS 算法補(bǔ)償效果更好。

為進(jìn)一步驗證凹陷濾波器對頻率波動的適應(yīng)性，仿真分析在波動頻率為10Hz 情況下的補(bǔ)償波形及FFT 分析，如圖10 所示，400Hz 信號幅值衰減為0.86，故可知凹陷濾波器具備帶寬適應(yīng)性，當(dāng)頻率在一定范圍內(nèi)波動時，可以很好地進(jìn)行補(bǔ)償。

圖10 凹陷濾波算法頻率波動10Hz 仿真結(jié)果

4 結(jié)論

本文針對磁軸承不平衡振動問題提出了兩種補(bǔ)償方案：LMS 自適應(yīng)濾波算法以及凹陷濾波器。通過仿真結(jié)果可知，最小均方自適應(yīng)算法（LMS）在定頻時可完全補(bǔ)償不平衡振動，但LMS 算法對于頻率比較敏感，當(dāng)頻率波動超過一定范圍后，補(bǔ)償效果變差，不適合升頻應(yīng)用場合。凹陷濾波器補(bǔ)償效果明顯且頻率適應(yīng)性好，即使頻率波動達(dá)到10Hz 也可以很好地進(jìn)行補(bǔ)償。綜上，兩種算法都可以改善系統(tǒng)的性能，有效地抑制轉(zhuǎn)子的不平衡振動。