楊家鑫，唐圣金，*，李良，孫曉艷，祁帥，司小勝

1.火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025

2.火箭軍工程大學(xué) 作戰(zhàn)保障學(xué)院，西安 710025

3.火箭軍裝備部駐鄭州軍代表室， 鄭州 450000

在工程應(yīng)用中，設(shè)備的性能會(huì)隨著時(shí)間累積呈現(xiàn)一種緩變的退化趨勢(shì)［1］，當(dāng)其退化水平超過失效閾值時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致設(shè)備停機(jī)，甚至引發(fā)事故。剩余壽命是指設(shè)備在當(dāng)前時(shí)刻距離失效時(shí)刻的時(shí)間長(zhǎng)度［2］，準(zhǔn)確的剩余壽命預(yù)測(cè)有助于操作人員在設(shè)備接近失效前做出正確的維護(hù)決策，從而有效提高設(shè)備的可靠性安全性，并降低設(shè)備的經(jīng)濟(jì)成本［3-5］。近年來，隨著航空航天、軍事等高可靠性領(lǐng)域的快速發(fā)展，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法已經(jīng)成為可靠性領(lǐng)域研究的熱門問題［6-7］。

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的剩余壽命預(yù)測(cè)可以充分利用同類設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)［8］。其基本原理：根據(jù)歷史退化數(shù)據(jù)或失效壽命數(shù)據(jù)估計(jì)表示退化過程共性特征的未知參數(shù)；然后根據(jù)實(shí)時(shí)檢測(cè)的現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)在線更新漂移參數(shù)；最后利用剩余壽命的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）預(yù)測(cè)剩余壽命。由于設(shè)備的退化過程具有隨機(jī)性，因此剩余壽命預(yù)測(cè)經(jīng)常使用隨機(jī)過程建模［9］，基于隨機(jī)過程的剩余壽命預(yù)測(cè)方法具有物理解釋清晰、數(shù)學(xué)性質(zhì)好等優(yōu)點(diǎn)［10］。Gebraeel 等［11］首次提出通過貝葉斯方法將現(xiàn)場(chǎng)退化信息與先驗(yàn)退化信息合理融合，并利用得到的后驗(yàn)信息進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)。該方法開始主要應(yīng)用于隨機(jī)系數(shù)回歸模型［11-13］，之后，被推廣到了伽馬過程［14］、逆高斯過程［15］、基本維納過程［16］等隨機(jī)過程退化模型。值得注意的是，因維納退化過程模型同時(shí)適用于單調(diào)和非單調(diào)的退化系統(tǒng)，近些年已被廣泛使用［17-18］。然而，在工程應(yīng)用中，具有非線性特征的退化系統(tǒng)廣泛存在，基本線性退化模型難以有效跟蹤非線性退化過程［19-20］，可能會(huì)導(dǎo)致剩余壽命預(yù)測(cè)精度偏低。此外，在工程應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到不完美或缺失的先驗(yàn)退化信息，這可能會(huì)導(dǎo)致先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確或無法估計(jì)出先驗(yàn)參數(shù)［13］，進(jìn)而導(dǎo)致剩余壽命預(yù)測(cè)精度降低甚至失?。?，21］。針對(duì)先驗(yàn)退化信息不完美或缺失的問題，現(xiàn)有的文獻(xiàn)主要有2 種解決方法。

第1 種方法是結(jié)合期望最大化算法（Expectation Maximization，EM）和貝葉斯方法。該方法最早由Wang 等［22］提出，用于擬合帶有漂移參數(shù)的自適應(yīng)布朗運(yùn)動(dòng)模型。然后，Si 等［21］基于線性維納退化過程模型采用貝葉斯更新方法和EM算法對(duì)模型參數(shù)和剩余壽命分布進(jìn)行更新，并推導(dǎo)了一個(gè)精確封閉的剩余壽命分布函數(shù)。然后，該機(jī)制被擴(kuò)展到了隱含線性維納退化過程［23］、非線性維納退化過程［24-25］和隱含非線性維納退化過程［26］。聯(lián)合EM 算法和貝葉斯方法可以克服先驗(yàn)信息不完美和缺失對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。Tang 等［27］通過假設(shè)模型漂移參數(shù)固定，推導(dǎo)了隱含線性維納退化過程模型的參數(shù)解析表達(dá)式，證明了該聯(lián)合算法與傳統(tǒng)極大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimation， MLE）方 法具有相同估計(jì)結(jié)果的結(jié)論。然而，為什么該方法能夠獲得比傳統(tǒng)的貝葉斯方法更好的預(yù)測(cè)結(jié)果的機(jī)理仍有待進(jìn)一步深入研究。

第2 種方法是融合多源信息方法。通常，用于退化模型參數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)有3 種：同類設(shè)備的歷史退化數(shù)據(jù)（包括加速退化數(shù)據(jù)［28］）、同類設(shè)備的失效壽命數(shù)據(jù)和被評(píng)估設(shè)備的現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)，如何利用這3 種數(shù)據(jù)所包含的多源退化信息進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)稱為融合多源信息的剩余壽命預(yù)測(cè)方法。Tang 等［29］基于線性維納過程模型得到了參數(shù)估計(jì)結(jié)果與退化數(shù)據(jù)特征之間的關(guān)系，為合理融合多源信息提供了理論依據(jù)。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，特別是對(duì)于一些新設(shè)備，可能缺乏足夠的失效壽命數(shù)據(jù)或歷史退化數(shù)據(jù)，因此，有必要合理利用這2 種數(shù)據(jù)來計(jì)算模型中的未知參數(shù)。目前，已有學(xué)者采用融合多源信息的方法進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)［30-32］。例如，由于加速退化測(cè)試數(shù)據(jù)與現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)存在不同應(yīng)力，Wang 等［30］提出了一種基于聯(lián)合似然函數(shù)的貝葉斯評(píng)估方法，將加速退化測(cè)試數(shù)據(jù)與失效壽命數(shù)據(jù)相結(jié)合。Pang 等［31］進(jìn)一步研究了基于非線性維納退化過程的融合加速退化測(cè)試數(shù)據(jù)與失效壽命數(shù)據(jù)的方法。Zhang 等［32］提出了一種新的貝葉斯框架，用于融合二元退化數(shù)據(jù)和失效壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性分析。然而，這些文獻(xiàn)都沒有考慮隨機(jī)效應(yīng)的影響。最近，Tang 等［33］證明，考慮隨機(jī)效應(yīng)的剩余壽命預(yù)測(cè)在理論上會(huì)得到更好的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，但文獻(xiàn)［33］在估計(jì)未知參數(shù)時(shí)只利用同類設(shè)備的歷史退化數(shù)據(jù)，沒有融合失效壽命數(shù)據(jù)。Tang 等［29］針對(duì)基本線性維納過程和非線性維納過程提出了一種融合失效壽命數(shù)據(jù)并考慮隨機(jī)效應(yīng)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法。之后，王鳳飛等［34］進(jìn)一步提出了一種融合多源信息并考慮隨機(jī)效應(yīng)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法，并通過與僅使用退化數(shù)據(jù)或失效壽命數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了其方法的優(yōu)越性。然而，由于測(cè)量?jī)x器和環(huán)境等因素的影響，測(cè)量的退化數(shù)據(jù)可能存在測(cè)量誤差，不能直接反映真實(shí)的退化狀態(tài)［35］。Si 等［36］考慮了隨機(jī)效應(yīng)、退化過程不確定性和測(cè)量誤差3 層不確定性對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)的影響，提出了基于Kalman 濾波算法的隨機(jī)參數(shù)在線更新方法，并得到了剩余壽命分布的解析表達(dá)式。對(duì)于存在測(cè)量誤差的退化設(shè)備，Tang 等［37］證明了如果不考慮測(cè)量誤差的影響可能會(huì)導(dǎo)致過早維護(hù)，從而增加維護(hù)成本。因此，在剩余壽命預(yù)測(cè)過程中需要考慮測(cè)量誤差的影響。最近，Yang等［38］基于隱含線性維納過程提出了一種考慮隨機(jī)效應(yīng)的融合多源信息剩余壽命預(yù)測(cè)方法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其方法的有效性。然而，對(duì)于隱含非線性維納退化過程，文獻(xiàn)中尚未查閱有學(xué)者做過相關(guān)工作。

綜上所述，在先驗(yàn)退化信息不完美和缺失情況下的剩余壽命預(yù)測(cè)方法還沒有得到充分研究。因此，本文主要基于隱含非線性維納退化過程模型進(jìn)行融合多源信息的剩余壽命預(yù)測(cè)研究。首先，得出了隱含非線性維納過程模型參數(shù)估計(jì)的性質(zhì)，這個(gè)工作在文獻(xiàn)中尚未有學(xué)者報(bào)道過。其次，利用參數(shù)估計(jì)的性質(zhì)，基于隱含非線性維納過程模型，提出了融合多源信息的剩余壽命預(yù)測(cè)方法。當(dāng)先驗(yàn)退化信息不完美時(shí)，該方法使用現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)估計(jì)模型固定參數(shù)，然后使用失效壽命數(shù)據(jù)估計(jì)漂移參數(shù)先驗(yàn)信息。當(dāng)先驗(yàn)退化信息缺失時(shí)，該方法通過融合失效壽命數(shù)據(jù)和歷史退化數(shù)據(jù)估計(jì)模型先驗(yàn)參數(shù)。然后，在上述2 種情況下，基于現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)在線更新漂移參數(shù)和實(shí)際退化狀態(tài)。最后，通過仿真數(shù)據(jù)和2 個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 隱含非線性維納退化過程模型參數(shù)估計(jì)的性質(zhì)

先驗(yàn)參數(shù)描述設(shè)備的共同退化特征。準(zhǔn)確估計(jì)模型先驗(yàn)參數(shù)，有助于提高剩余壽命預(yù)測(cè)的精度。在工程應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到帶有測(cè)量誤差的非線性退化系統(tǒng)，線性退化模型可能會(huì)導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)結(jié)果偏離真實(shí)值，進(jìn)一步導(dǎo)致剩余壽命預(yù)測(cè)精度降低［19］。因此，本節(jié)基于隱含非線性維納退化過程模型分析參數(shù)估計(jì)的性質(zhì)。

令Y(t)表示設(shè)備在t 時(shí)刻測(cè)量的退化狀態(tài)，則退化過程可表示為

式中：x0為設(shè)備初始退化狀態(tài)；λ 為漂移參數(shù)表征設(shè)備退化速率；b 為非線性系數(shù)；σB為擴(kuò)散系數(shù)；B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示退化過程的不確定性；ε 為測(cè)量誤差。不失一般性，令x0=0。

假設(shè)有n 個(gè)同類設(shè)備，每個(gè)設(shè)備在相同時(shí)刻t1，t2，…，tm檢測(cè)退化狀態(tài)，則第i 個(gè)設(shè)備在ti時(shí)刻的監(jiān)測(cè)值可表示為

令Δyi，j=yi(tj)-yi(tj-1)，其 中1 ≤i ≤n，1 ≤j ≤m，λi表示第i 個(gè)設(shè)備的退化速率，εi，j表示第i 個(gè)設(shè)備 在ti時(shí) 刻的測(cè) 量誤差。則Δyi，j可 表示為

通過MATLAB 函數(shù)“FMINSEARCH”最大化式（8）所示的未知參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)ln L，可以得出參數(shù)? 的估計(jì)值，接著將其代入式（5）～式（7），可 得和的 值，進(jìn) 一 步 可 得 到參數(shù)σ2

ε。

目前已有學(xué)者給出了基本線性維納退化過程模型［29］和隱含線性維納退化過程模型［38］的無偏參數(shù)估計(jì)性質(zhì)。文獻(xiàn)［40］給出了隱含非線性維納退化過程模型無偏估計(jì)參數(shù)的期望，如引理1所示。引理1［33］隱含非線性維納過程無偏估計(jì)參數(shù)和的期望為

更多的證明細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)［40］。然而，從引理1 并不能得知參數(shù)估計(jì)的精度與哪種因素有關(guān)，因此，本節(jié)進(jìn)一步推導(dǎo)無偏估計(jì)參數(shù)的方差表達(dá)式，以獲取更多信息。具體結(jié)果在定理1 中給出。

定理1 隱含非線性維納退化過程模型無偏參數(shù)估計(jì)參數(shù)μ?λ、σ2B和σ2λ的方差為

上述已經(jīng)獲得了隱含非線性維納退化過程模 型 的 未 知 參 數(shù)和的 方 差。同 樣 地，也需要進(jìn)行分析。令P=φΩ+F，其中φ=，那 么，則的表達(dá)式可表示為

具體推導(dǎo)過程不再重復(fù)。

基于定理1 和定理2，可以得出以下結(jié)論：

1） 根據(jù)式（10）、式（12）和式（13）可以得知，隱含非線性維納退化過程模型的參數(shù)μλ和σ2λ的估計(jì)精度主要受到單元數(shù)量和檢測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度影響。單元數(shù)量n 越多，檢測(cè)時(shí)間tm越長(zhǎng)，得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果越接近真實(shí)值。因此，當(dāng)歷史退化數(shù)據(jù)缺失甚至沒有時(shí)，將失效壽命數(shù)據(jù)融合到退化模型中能夠在一定程度上提高μλ和σ2λ的估計(jì)精度。

2） 根據(jù)式（11）和式（16）可以得知，表示模型退化不確定性的和估計(jì)精度與單元數(shù)量n和檢測(cè)次數(shù)(m-1)成正比。換句話說，在估計(jì)模型未知參數(shù)時(shí)，使用的數(shù)據(jù)量越多，估計(jì)的和σ2ε越接近真實(shí)值。

值得注意的是，上述2 點(diǎn)結(jié)論都是假設(shè)非線性系數(shù)b 為真實(shí)值。然而，非線性系數(shù)b 的估計(jì)是否影響上述結(jié)論以及非線性系數(shù)b 的估計(jì)精度與哪種因素有關(guān)，這里很難從理論上進(jìn)行分析。本文在第4 節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)說明非線性系數(shù)b 的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)，從仿真結(jié)果可以看出，對(duì)于隱含非線性維納退化過程，其參數(shù)估計(jì)與σ2B和σ2ε的參數(shù)估計(jì)具有相似的性質(zhì)。

2 隱含非線性維納退化過程模型剩余壽命預(yù)測(cè)

2. 1 基于Kalman 濾波算法參數(shù)在線更新

在維納退化過程模型參數(shù)中，漂移參數(shù)的隨機(jī)性描述同類設(shè)備之間的個(gè)體差異［41］。為了適應(yīng)被評(píng)估設(shè)備的個(gè)體退化特征，需要使用現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)對(duì)漂移參數(shù)在線更新。由于檢測(cè)的退化數(shù)據(jù)存在測(cè)量誤差，不能直接反映真實(shí)的退化狀態(tài)。因此，可以使用Kalman 濾波算法對(duì)漂移參數(shù)在線更新，并實(shí)時(shí)估計(jì)設(shè)備當(dāng)前退化狀態(tài)［20］。

對(duì)于式（1）所示的隱含非線性維納退化過程，當(dāng)檢測(cè)到被評(píng)估設(shè)備在tk時(shí)刻的退化狀態(tài)Y1：k時(shí)，tk時(shí)刻的狀態(tài)空間方程可表示為［20］

式 中：ψk=σBB(tk)-σBB(tk-1) 表 示tk時(shí) 刻 的σBB(tk)與σBB(tk-1)的差值；λk為漂移參數(shù)；xk表示tk時(shí)刻的真實(shí)退化狀態(tài)；yk表示tk時(shí)刻測(cè)量的退 化狀態(tài)；εk表示tk時(shí)刻的測(cè)量誤差；{ψk}k≥1和{εk}k≥1獨(dú)立同分布。

由于測(cè)量誤差的影響，真實(shí)退化狀態(tài)xk和漂移參數(shù)λk都是隱含狀態(tài)，為便于公式推導(dǎo)，進(jìn)一步將式（17）狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為

式中：zk表示tk時(shí)刻的狀態(tài)最優(yōu)的估計(jì)值；Ak表示tk時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；ηk表示tk時(shí)刻狀態(tài)方程中噪聲矩陣；C 表示測(cè)量方程的觀測(cè)矩陣。

根據(jù)文獻(xiàn)［20］，可以通過Kalman 濾波算法更新上述狀態(tài)方程。令表示在k個(gè)退化數(shù)據(jù)條件下tk時(shí)刻的真實(shí)退化狀態(tài)估計(jì)值，表示在k 個(gè)退化數(shù)據(jù)條件下tk時(shí)刻設(shè)備的漂移系數(shù)，表示tk時(shí)刻真實(shí)退化狀態(tài)的方差，表示tk時(shí) 刻 漂 移 系 數(shù) 的 方 差，表示tk時(shí)刻真實(shí)退化值與漂移系數(shù)的協(xié)方差，則隱含非線性維納過程模型的漂移參數(shù)在線更新結(jié)果和估計(jì)的當(dāng)前退化狀態(tài)可表示為

2. 2 剩余壽命預(yù)測(cè)

剩余壽命是指設(shè)備在當(dāng)前時(shí)刻距離失效時(shí)刻的時(shí)間長(zhǎng)度［2］。定義設(shè)備失效閾值為w，在tk時(shí)刻被評(píng)估設(shè)備的觀測(cè)數(shù)據(jù)為Y0：k={ y0，y1，…，yk}，真實(shí)退化狀態(tài)為X0：k={ x0，x1，…，xk}。根據(jù)首達(dá)時(shí)間的概念［29，42］，一旦獲得設(shè)備在tk時(shí)刻的真實(shí)退化量X0：k，則剩余壽命可以表示為

由于測(cè)量誤差的影響，真實(shí)退化量xk為隱含狀態(tài)，不能直接用于剩余壽命預(yù)測(cè)。針對(duì)該問題，基于Kalman 濾波算法參數(shù)更新結(jié)果，可以得出考慮狀態(tài)估計(jì)的剩余壽命PDF 表達(dá)式，具體推導(dǎo)過程參見文獻(xiàn)［20］。

3 隱含非線性維納過程先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)

3. 1 融合失效壽命數(shù)據(jù)的先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)

在實(shí)際剩余壽命預(yù)測(cè)中，經(jīng)常會(huì)遇到先驗(yàn)退化信息不完美的情況，傳統(tǒng)的MLE 方法可能無法估計(jì)模型先驗(yàn)參數(shù)或錯(cuò)誤地估計(jì)模型先驗(yàn)參數(shù)。為解決這個(gè)問題，Tang 等［29］提出了一種合理融合失效壽命數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)退化信息的剩余壽命預(yù)測(cè)方法。然而，Tang 等［29］沒有考慮測(cè)量誤差的影響，這可能會(huì)增大剩余壽命預(yù)測(cè)的不確定性，因此本節(jié)在文獻(xiàn)［29］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出針對(duì)隱含非線性維納過程模型的融合失效壽命數(shù)據(jù)方法，其流程如圖1 所示。

圖1 融合失效壽命數(shù)據(jù)剩余壽命預(yù)測(cè)流程Fig.1 Flow of remaining useful life prediction based on failure time data fusion

根據(jù)第2 節(jié)得出的參數(shù)性質(zhì)可知，σ2B、b 和σ2ε的估計(jì)精度與現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)的使用量成正比，因此，在該預(yù)測(cè)方法實(shí)施過程中，每當(dāng)檢測(cè)到1 個(gè)新的現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)就需要將圖1 的流程重新執(zhí)行1 次。

定義y0：m={ y0，y1，…，ym}為現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)，T1：n′={T1，T2，…，Tn′}為n′個(gè) 設(shè) 備 的 失 效 壽 命 數(shù)據(jù)或是首次達(dá)到失效閾值w 的失效時(shí)間數(shù)據(jù)，則融合失效壽命數(shù)據(jù)剩余壽命預(yù)測(cè)方法的先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)分為2 個(gè)步驟。

第1 步 基于現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)，使用MLE 獲取先驗(yàn)固定參數(shù)、b 和σ2ε。

對(duì)于單個(gè)設(shè)備的退化過程建模，由于不存在個(gè)體之間的差異，因此在建立隱含非線性維納退化過程模型時(shí)，不考慮隨機(jī)效應(yīng)的影響，視λ 為 固定系數(shù)?；?于式（1），令Δyj=yj-yj-1，，Δtj=tj-tj-1，1 ≤j ≤m，Δy=[Δy1，Δy2，…，Δym]T，Δv=[ Δv1，Δv2，…，Δvm]T，Δt=[ Δt1，Δt2，…，Δtm]T。則 有σε2F)，其中Ω=diag{ Δt1，Δt2，…，Δtm}，F(xiàn) 的元素見式（4），f1，1=1。令D=Ω+?F，其中，則單個(gè)設(shè)備的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可表示為

將式（26）代入式（24），則可以得到b 和? 的剖面似然函數(shù)表達(dá)式為

通過MATLAB 的“FMINSEARCH”函 數(shù)最大化式（27）可以獲得b 和? 的估計(jì)值。將其代入式（25）和式（26）可以得到λ 和，進(jìn)一步得到估計(jì)值。

第2 步 使 用 失 效 壽 命 數(shù) 據(jù) 求 取μλ和σ2λ的先驗(yàn)分布。

根據(jù)Peng 和Tseng［42］的結(jié)論，隱含維納退化過程壽命分布不受測(cè)量誤差影響。則在給定和 失 效 壽 命 數(shù) 據(jù)T1：n′={T1，T2，…，Tn′}時(shí)，根 據(jù)非線性維納過程的性質(zhì)，第v 設(shè)備的故障時(shí)間Tv服 從 逆 高 斯 分 布［29］，其中1 ≤v ≤n′。Tv的 似 然函數(shù)L 為

根據(jù)式（28），失效壽命時(shí)間關(guān)于λv的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以表示為

給定非線性模型的失效壽命數(shù)據(jù)T1：n′={T1，T2，…，Tn′}，則 可以通 過最大化 式（29）得 到λ={ λ1，λ2，…，λn′}。接 下 來，先 驗(yàn) 漂 移 參 數(shù)可 以通過式（30）計(jì)算。

3. 2 融合多源信息的隱含非線性維納過程先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)

當(dāng)先驗(yàn)退化信息缺失且同時(shí)存在先驗(yàn)退化信息和失效壽命數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)第2 節(jié)獲取的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)可知，通過融合盡可能多的先驗(yàn)退化數(shù)據(jù)可以提高模型未知參數(shù)估計(jì)的精度。最近，王鳳飛等［34］針對(duì)該問題提出了融合多源信息并考慮隨機(jī)效應(yīng)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法。然而，文獻(xiàn)［34］并沒有考慮測(cè)量誤差的影響，本節(jié)將該方法進(jìn)一步推廣到隱含非線性維納退化過程，具體流程如圖2所示。

圖2 融合多源信息剩余壽命預(yù)測(cè)流程Fig.2 Flow of remaining useful life prediction based on multi-source information fusion

第2 步 基于歷史退化數(shù)據(jù)和失效壽命數(shù)據(jù)計(jì)算先驗(yàn)漂移參數(shù)μλ和σ2λ。

假設(shè)有n 個(gè)同類設(shè)備，每個(gè)設(shè)備在相同時(shí)刻t1，t2，…，tm檢測(cè)退化狀態(tài)，基于式（1），令yi，j表示第i 個(gè) 設(shè) 備 在tj時(shí) 刻 測(cè) 量 的 退 化 狀 態(tài)，Δyi，j=yi(tj)-yi(tj-1)，，Δtj=tj-tj-1，Δyi=[Δyi，1，Δyi，2，…，Δyi，m]T，Δv=[ Δv1，Δv2，…，Δvm]T，Δt=[ Δt1，Δt2，…，Δtm]T和，其中，1 ≤i ≤n，1 ≤j ≤m，λi表示第i 個(gè)設(shè)備的退化 速 率。 則Δyi服 從 均 值 為μλΔv，方 差 為的多元正態(tài)分布。此外，假設(shè)存在n′組失效壽命數(shù)據(jù)T1：n′={T1，T2，…，Tn′}，Tv為第v 個(gè)單元的失效壽命數(shù)據(jù)，其中1 ≤v ≤n′。令D=Ω+?F，其中。受文獻(xiàn)［34］啟發(fā)，的剖面對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以表示為

通過MATLAB 函數(shù)“FMINSEARCH”最大化式（31），可以得到μλ和的估計(jì)值。

融合多源信息是指融合歷史退化數(shù)據(jù)信息、失效壽命數(shù)據(jù)信息和被評(píng)估設(shè)備現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)信息。然而，當(dāng)先驗(yàn)退化信息不完美時(shí)，如果基于傳統(tǒng)的極大似然方法直接使用該數(shù)據(jù)估計(jì)模型的未知參數(shù)，可能會(huì)導(dǎo)致參數(shù)的估計(jì)結(jié)果偏離真實(shí)值較遠(yuǎn)，從而導(dǎo)致剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果精度偏低。對(duì)于這一特殊情況，在使用融合多源信息剩余壽命預(yù)測(cè)方法時(shí)，可以將歷史退化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成失效壽命數(shù)據(jù)，僅融合失效壽命數(shù)據(jù)信息和被評(píng)估單元現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)信息進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)。

4 實(shí) 驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)和2 個(gè)實(shí)例來驗(yàn)證文章提出方法的有效性和優(yōu)越性。首先，使用蒙特卡羅算法生成隱含非線性維納退化過程的仿真數(shù)據(jù)以驗(yàn)證第2 節(jié)獲取的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)。然后，使用鋰電池退化數(shù)據(jù)驗(yàn)證在先驗(yàn)退化信息不完美情況下的優(yōu)越性，使用疲勞裂紋數(shù)據(jù)驗(yàn)證在先驗(yàn)退化信息缺失情況下的優(yōu)越性。

4. 1 仿真實(shí)驗(yàn)

Yang 等［38］分析了隱含線性維納退化過程模型的參數(shù)性質(zhì)，得到了參數(shù)估計(jì)精度與單元數(shù)量和檢測(cè)次數(shù)以及檢測(cè)時(shí)間成正比的結(jié)論。然而，對(duì)于隱含非線性維納退化過程模型，非線性系數(shù)b 的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)難以通過理論推導(dǎo)得出，且當(dāng)非線性系數(shù)b 為估計(jì)值時(shí)，第2 節(jié)獲取的性質(zhì)是否會(huì)受到影響有待驗(yàn)證。本節(jié)試圖使用仿真實(shí)驗(yàn)獲取影響非線性系數(shù)b 估計(jì)精度的因素，以及進(jìn)一步驗(yàn)證第2 節(jié)的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)。

假 設(shè) 模 型 參 數(shù) 為μλ=1，=0.04，=0.25，b=1.5，=4，令單元數(shù)量N=80，每個(gè)單元在相同的時(shí)刻檢測(cè)退化數(shù)據(jù)，檢測(cè)次數(shù)m=40，檢測(cè)時(shí)間間隔Δt=1 h。仿真數(shù)據(jù)的部分單元退化路徑如圖3 所示。為了研究退化數(shù)據(jù)特征與參數(shù)估計(jì)精度之間的關(guān)系，分別使用5、20 和80組單元退化數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)，來驗(yàn)證單元數(shù)量對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響。此外，每當(dāng)生成1 個(gè)新的退化數(shù)據(jù)就將參數(shù)再估計(jì)1 次，以驗(yàn)證檢測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度和檢測(cè)次數(shù)對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響。由于仿真數(shù)據(jù)隨機(jī)生成，如果僅用1 次生成數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)，其估計(jì)結(jié)果有可能難以完全體現(xiàn)退化數(shù)據(jù)與參數(shù)估計(jì)精度之間的關(guān)系。因此使用相同的方法生成20 次退化數(shù)據(jù)，每一次的參數(shù)估計(jì)方式相同。估計(jì)的參數(shù)變化曲線結(jié)果如圖4～圖8 所示。

圖3 部分仿真退化路徑Fig.3 Some degradation paths

圖4 μλ 隨單元數(shù)量N 變化的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Fig.4 Estimation of μλ with change of number N of units

從圖4 和圖5 可以看出，參數(shù)估計(jì)變化曲線在使用單元數(shù)量N 相同時(shí)，退化數(shù)據(jù)檢測(cè)時(shí)間tm越長(zhǎng)，得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果越接近真實(shí)值。這是因?yàn)闄z測(cè)時(shí)間tm越長(zhǎng)，式（10）、式（12）和式（13）中Δv′D-1Δv 數(shù)值越大，所以估計(jì)得到的μλ和不確定性越小，估計(jì)結(jié)果越準(zhǔn)確。此外，當(dāng)檢測(cè)時(shí)間達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，參數(shù)估計(jì)結(jié)果隨著檢測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度的增加發(fā)生的變化不明顯，而通過增加單元數(shù)量N，參數(shù)的估計(jì)精度可以得到進(jìn)一步提升，這是因?yàn)榇藭r(shí)式（10）和式（12）中的和式（13）已經(jīng)很小，μλ和σ2λ的估計(jì)精度主要受到n的影響。因此，當(dāng)先驗(yàn)退化信息不完美時(shí)，僅使用失效壽命數(shù)據(jù)用來估計(jì)退化模型的先驗(yàn)漂移參數(shù)可以確保其估計(jì)精度，其中失效壽命數(shù)據(jù)反映單元數(shù)量N。當(dāng)同時(shí)存在失效壽命數(shù)據(jù)和退化數(shù)據(jù)時(shí)，合理地將2 種退化數(shù)據(jù)融合能夠進(jìn)一步提高模型先驗(yàn)漂移參數(shù)估計(jì)的精度。

圖5 σ2λ 隨單元數(shù)量N 變化的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Fig.5 Estimation of σ2λ with change of number N of units

從圖6 和圖7 可以看出，在整個(gè)仿真周期內(nèi)，當(dāng)使用單元數(shù)量N 相同時(shí)，隨著檢測(cè)次數(shù)的增加，參數(shù)估計(jì)變化曲線逐漸向真實(shí)值收斂，當(dāng)檢測(cè)次數(shù)m 相同時(shí)，使用的單元數(shù)量N 越多，參數(shù)估計(jì)結(jié)果越準(zhǔn)確，這是因?yàn)槭剑?1）和式（16）的數(shù)值與n(m-1)成反比，即和σ2ε估計(jì)精度與檢測(cè)次數(shù)和單元數(shù)量成正比。值得注意的是，從圖8 可以看出，非線性系數(shù)b 的參數(shù)估計(jì)變化曲線與圖6和圖7 具有相同特征，即b 的估計(jì)精度同樣與單元數(shù)量和檢測(cè)次數(shù)成正比。因此，在剩余壽命預(yù)測(cè)過程中，如果能夠獲取的現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)很多，如4.2 節(jié)的鋰電池退化數(shù)據(jù)，則在先驗(yàn)退化信息不完美的情況下，當(dāng)現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)檢測(cè)次數(shù)m很大時(shí)，可以不使用歷史退化數(shù)據(jù)估計(jì)模型固定參數(shù)。

圖6 σ2B 隨單元數(shù)量N 變化的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Fig.6 Estimation of σ2B with change of number N of units

圖7 σ2 ε 隨單元數(shù)量N 變化的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Fig.7 Estimation of σ2 ε with change of number N of units

圖8 b 隨單元數(shù)量N 變化的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Fig.8 Estimation of b with change of number N of units

綜上分析，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了第2 節(jié)的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)，得出了參數(shù)估計(jì)性質(zhì)不受非線性系數(shù)b影響的結(jié)論，并獲取了影響非線性系數(shù)b 估計(jì)精度的影響因素，為文章針對(duì)隱含非線性維納過程提出的融合多源信息方法進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)奠定了理論基礎(chǔ)。

由圖4～圖8 可以看出，隱含非線性維納退化過程模型各個(gè)參數(shù)的收斂程度不同。這是因?yàn)閰?shù)估計(jì)的方差數(shù)值越大，參數(shù)估計(jì)結(jié)果的不確定性越大，因此收斂程度越差。根據(jù)第2 節(jié)推導(dǎo)的參數(shù)估計(jì)方差表達(dá)式可知，退化數(shù)據(jù)特征對(duì)不同的參數(shù)的影響不同，因此各個(gè)參數(shù)的收斂程度存在差異。

4. 2 融合失效壽命方法剩余壽命預(yù)測(cè)

本節(jié)使用NASA 發(fā)布的鋰電池容量退化數(shù)據(jù)，驗(yàn)證文章提出的考慮測(cè)量誤差且融合多源信息的剩余壽命預(yù)測(cè)方法在先驗(yàn)退化信息不完美的情況下剩余壽命預(yù)測(cè)的有效性。該數(shù)據(jù)由4 個(gè)同類型的鋰電池在室溫下以充電、放電和阻抗測(cè)量3 種工作模式反復(fù)循環(huán)的容量退化數(shù)據(jù)組成［43］。鋰電池長(zhǎng)時(shí)間的休息可能會(huì)出現(xiàn)容量再生現(xiàn)象，又稱弛豫效應(yīng)［44］。在實(shí)際使用過程中，由于不同的鋰電池休息時(shí)間不固定，可能會(huì)導(dǎo)致剩余壽命無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，因此需要將原始數(shù)據(jù)中的弛豫效應(yīng)消除，消除弛豫效應(yīng)后的鋰電池容量退化路徑如圖9 所示。如何消除弛豫效應(yīng)的更多細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)［27，44］。通常，當(dāng)電池容量退化到額定容量的70%～80% 時(shí)，電池被認(rèn)為失效［27］。本節(jié)實(shí)驗(yàn)中假設(shè)鋰電池失效閾值為額定容量的70%（1.4 A·h），并選擇B0007 電池為被評(píng)估單元，其他電池用于模型先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)。

圖9 鋰電池容量退化路徑Fig.9 Degradation paths of lithium battery capacity

從 圖9 可 以 看 出，B0005 和B0007 電 池 的 容量退化曲線具有非線性特征，而B0006 和B0018電池的容量退化曲線具有線性特征，如果直接使用歷史退化數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)，會(huì)弱化非線性特征，從而降低剩余壽命預(yù)測(cè)精度［29］，這種情況被視為先驗(yàn)退化信息不完美。實(shí)際上，這4 組退化數(shù)據(jù)不僅包含了退化數(shù)據(jù)信息，同時(shí)也包含了壽命數(shù)據(jù)信息，可以利用其壽命數(shù)據(jù)信息預(yù)測(cè)剩余壽命［29］，此時(shí)使用B0005、B0006、B0018 電池的壽命數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)B0007 電池的剩余壽命就是特殊情況下的融合多源信息方法的剩余壽命預(yù)測(cè)問題。為簡(jiǎn)單起見，將文章提出的考慮測(cè)量誤差且融合失效壽命數(shù)據(jù)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法稱為M0，文獻(xiàn)［29］中提出的非線性融合失效壽命數(shù)據(jù)方法稱為M1，文獻(xiàn)［20］中基于隱含非線性維納退化過程模型，僅使用歷史退化數(shù)據(jù)估計(jì)模型未知參數(shù)的常用剩余壽命預(yù)測(cè)方法稱為M2。根據(jù)消除弛豫效應(yīng)的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出B0005、B0006 和B00018 的失效時(shí)間分別為85.55、69.35 和51.02 次循環(huán)，這些時(shí)間被用來計(jì)算M0和M1的先驗(yàn)漂移參數(shù)。

圖10為被評(píng)估單元部分時(shí)刻的剩余壽命分布，圖11 為被評(píng)估單元在第100 次循環(huán)的剩余壽命分 布。從 圖10 和 圖11 可以看出，M0、M1和M2的剩余壽命分布都能夠覆蓋真實(shí)的剩余壽命值，且M0的圖形比M1和M2的圖形更集中于真實(shí)的剩余壽命值，這說明M0具有更高的預(yù)測(cè)精度。M0和M1的圖形對(duì)比說明，考慮測(cè)量誤差能夠提高剩余壽命預(yù)測(cè)精度。此外，通過對(duì)比M1和M2可知，雖然M2考慮了測(cè)量誤差的影響，但其剩余壽命的預(yù)測(cè)精度仍然比M1差，說明先驗(yàn)退化信息不完美可能會(huì)導(dǎo)致剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)更大的偏差。

圖10 基于鋰電池?cái)?shù)據(jù)不同循環(huán)次數(shù)估計(jì)的剩余壽命分布Fig.10 Estimated remaining useful life at different cycle times based on lithium battery data

接下來從參數(shù)實(shí)時(shí)變化曲線來分析3 種預(yù)測(cè)方法的剩余壽命預(yù)測(cè)效果，如圖12 所示。圖12中，M2估計(jì)的始終比M0大，這是因?yàn)锽0006和B0018 電池退化過程具有線性退化特征，導(dǎo)致M2估計(jì)的非線性系數(shù)b 偏小如圖12（c）所示，這進(jìn)一步導(dǎo)致M2無法有效地跟蹤被評(píng)估電池的退化特征，于是被評(píng)估電池的部分非線性退化特征體現(xiàn)到了上。除此之外，M1估計(jì)的始終大于M0，這是因?yàn)镸1沒有考慮測(cè)量誤差的影響，B0007 電池退化的不確定性都由體現(xiàn)。不同的是，對(duì)于M0，B0007 電池退化的不確定性由和σε2分擔(dān)。通常，越小，得到的分布圖形越尖銳，剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性越小。因此，這進(jìn)一步體現(xiàn)了M0方法的優(yōu)越性。

圖12 M0、M1 和M2 在不同時(shí)刻的后驗(yàn)參數(shù)Fig.12 Posterior parameters of M0， M1 and M2 at different cycle times

為了能夠更直觀地區(qū)分3 種預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)效果，計(jì)算各模型剩余壽命的均方誤差（Mean Squared Errors，MSEs）。第k 次循環(huán)的MSEs 計(jì)算表達(dá)式為

圖13 展示了3 種預(yù)測(cè)方法剩余壽命的MSEs，圖中M0的MSEs 始終小于M1和M2，這說明M0的預(yù)測(cè)精度高于M1和M2?？偟膩碚f，在先驗(yàn)退化信息不完美的情況下，融合失效壽命數(shù)據(jù)方法能夠提高模型的參數(shù)估計(jì)精度，進(jìn)一步提高剩余壽命預(yù)測(cè)的精度。此外，對(duì)于帶測(cè)量誤差的退化設(shè)備，預(yù)測(cè)剩余壽命時(shí)考慮測(cè)量誤差影響是必要的。

圖13 M0、M1 和M2 方法估計(jì)的剩余壽命均方誤差Fig.13 MSEs of remaining useful life of M0， M1 and M2

4. 3 融合多源信息方法剩余壽命預(yù)測(cè)

本節(jié)使用鋁合金疲勞裂紋退化數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文提出的考慮測(cè)量誤差且融合多源信息的剩余壽命預(yù)測(cè)方法在先驗(yàn)退化信息缺失的情況下的有效 性。原 始 數(shù) 據(jù) 取 自Lu 和Meeker［45］，該 實(shí) 驗(yàn)測(cè)試了21 個(gè)產(chǎn)品的裂紋長(zhǎng)度，測(cè)試頻率為1 萬次循環(huán)。如果產(chǎn)品的裂紋長(zhǎng)度超過40.64 mm，則被視為失效。在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中使用終止時(shí)間為9 萬次循環(huán)的21 組退化數(shù)據(jù)，退化路徑如圖14 所示，詳細(xì)的數(shù)據(jù)介紹及使用方法參見Wang 等［46］。為了便于驗(yàn)證融合多源信息方法的有效性，假設(shè)21 組退化數(shù)據(jù)中1 組退化數(shù)據(jù)為被評(píng)估單元的現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)，6 組退化數(shù)據(jù)為歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，14 組退化數(shù)據(jù)僅能獲取其失效壽命［34］。為簡(jiǎn)單起見，定義本文提出的考慮測(cè)量誤差的融合多源信息剩余壽命預(yù)測(cè)方法為M3。

圖14 疲勞裂紋退化路徑Fig.14 Degradation paths of fatigue crack

本節(jié)實(shí)驗(yàn)以圖14 中的紅色實(shí)線為被評(píng)估單元退化數(shù)據(jù)，藍(lán)色虛線為歷史退化數(shù)據(jù)，用于估計(jì)M2的模型未知參數(shù)，黑色點(diǎn)劃線為失效壽命數(shù)據(jù)，根據(jù)失效閾值w=17.78 mm［34］計(jì)算其失效時(shí)間，用作M0和M3的失效壽命數(shù)據(jù)。M0估計(jì)的先驗(yàn)參數(shù)如表1 所示。M2估計(jì)的先驗(yàn)參數(shù)為，。M3估計(jì)的先驗(yàn)參數(shù)為μλ=9.503，，，b=1.295，。

表1 M0在不同時(shí)刻的先驗(yàn)參數(shù)Table 1 Prior parameters of M0 at different times

圖15 展示了被評(píng)估單元在部分時(shí)刻的剩余壽命分布，圖16 為被評(píng)估單元在9 萬次循環(huán)的剩余壽命分布。從圖15 和16 可以看出，M0和M2的剩余壽命分布都偏離真實(shí)剩余壽命值較遠(yuǎn)，僅M3能夠較好地覆蓋真實(shí)剩余壽命值，這說明M3的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于M0和M2。

圖15 基于疲勞裂紋數(shù)據(jù)不同循環(huán)次數(shù)估計(jì)的剩余壽命分布Fig.15 Estimated remaining useful life at different cycle times based on fatigue crack data

圖16 在9 萬次循環(huán)M0、M2和M3估計(jì)的剩余壽命分布Fig.16 Estimated remaining useful life of M0，M2 and M3 at 0.09 million cycles

圖17為3 種預(yù)測(cè)方法的后驗(yàn)漂移參數(shù)實(shí)時(shí)變化曲線。從3 種方法的模型先驗(yàn)參數(shù)和后驗(yàn)漂移參數(shù)的估計(jì)結(jié)果可知，M2估計(jì)的模型固定參數(shù)與M3相同。然而，M0估計(jì)的b 和均小于M2和M3的估計(jì)值。根據(jù)第2 節(jié)參數(shù)估計(jì)性質(zhì)和4.1 節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)可以得知，和b 的估計(jì)精度與單元的數(shù)量和檢測(cè)次數(shù)成正比。出現(xiàn)和b 偏小的原因是被評(píng)估設(shè)備現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)的不確定性小，且檢測(cè)次數(shù)m 較少（即式（11）中的m 較?。?，從而導(dǎo)致和b 的估計(jì)結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。值得注意的是，由于M0估計(jì)的b 和偏小，在融合失效壽命數(shù)據(jù)時(shí)，導(dǎo)致了M0的漂移參數(shù)在貝葉斯框架下受到影響，進(jìn)一步導(dǎo)致剩余壽命預(yù)測(cè)出現(xiàn)失敗。這說明對(duì)于現(xiàn)場(chǎng)退化數(shù)據(jù)較少的設(shè)備，融合失效壽命數(shù)據(jù)剩余壽命預(yù)測(cè)方法可能無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)剩余壽命。圖18 展示了3 種預(yù)測(cè)方法在不同時(shí)刻的剩余壽命的MSE。圖中，M3的MSE 整體上小于M0和M2，這說明M3具有更好的預(yù)測(cè)效果。總的來說，將盡可能多的先驗(yàn)退化信息合理融合能夠提高模型參數(shù)估計(jì)精度，進(jìn)而提高剩余壽命預(yù)測(cè)的精度。

圖17 μλ 和在不同循環(huán)次數(shù)的后驗(yàn)參數(shù)Fig.17 Posterior parameters of μλ and at different cycle times

圖18 M0、M2 和M3 方法估計(jì)的剩余壽命均方誤差Fig.18 MSE of remaining useful life of M0， M2 and M3

為了驗(yàn)證文章提出的考慮測(cè)量誤差且融合多源信息剩余壽命預(yù)測(cè)方法對(duì)帶有測(cè)量誤差的退化系統(tǒng)能夠提高剩余壽命預(yù)測(cè)的精度，定義文獻(xiàn)［34］提出的非線性融合多源信息的剩余壽命預(yù)測(cè)方法為M4。圖19 為被評(píng)估單元在部分時(shí)刻的剩余壽命分布，圖20 為被評(píng)估單元在9 萬次循環(huán)的剩余壽命分布。從圖19 和圖20 可以看出，M3和M4的剩余壽命分布都能很好地覆蓋真實(shí)的剩余壽命值，但由于疲勞裂紋退化數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差較小，M3和M4的分布圖形十分接近。

圖19 不同循環(huán)次數(shù)M3和M4估計(jì)的剩余壽命分布Fig.19 Estimated remaining useful life of M3 and M4 at different cycle times

圖20 在9 萬次循環(huán)M3和M4估計(jì)的剩余壽命分布Fig.20 Estimated remaining useful life of M3 and M4 at 0.09 million cycles

為了顯著比較考慮測(cè)量誤差的效果，這里在原始疲勞裂紋退化數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上適當(dāng)增加1 個(gè)方差為0.003 的正態(tài)分布誤差。

與圖13 的數(shù)據(jù)設(shè) 定相同，圖21 為M3和M4在部分時(shí)刻的剩余壽命分布，從圖21 可以看出，M3的剩余壽命分布圖形比M4更窄，且M3的分布圖形更集中于真實(shí)剩余壽命值，這一結(jié)果表明，在退化數(shù)據(jù)存在測(cè)量誤差的情況下，使用M3能夠得到比M4更好的預(yù)測(cè)效果。接下來，計(jì)算不同時(shí)間點(diǎn)的MSE，如圖22 所示?？梢钥闯鯩3的MSE 始終遠(yuǎn)小于M4，這進(jìn)一步體現(xiàn)了文章提出的剩余壽命預(yù)測(cè)方法的優(yōu)越性?？偟膩碚f，對(duì)于帶測(cè)量誤差的退化系統(tǒng)，考慮測(cè)量誤差影響是必要的。

圖21 增加測(cè)量誤差情況下M3 和M4 估計(jì)的剩余壽命分布Fig.21 Estimated remaining useful life of M3 and M4 with additional measurement errors

圖22 M3 和M4 方法估計(jì)的剩余壽命均方誤差Fig.22 MSE of remaining useful life of M3 and M4

5 結(jié) 論

準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)是保證剩余壽命預(yù)測(cè)精度的前提。本文首先分析了隱含非線性維納退化過程模型參數(shù)估計(jì)的性質(zhì)。然后，基于這些性質(zhì)，針對(duì)隱含非線性維納退化過程，提出了一種融合多源信息的剩余壽命壽命預(yù)測(cè)方法。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)和2 個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了參數(shù)估計(jì)性質(zhì)和所提剩余壽命預(yù)測(cè)方法的有效性。綜上所述，本文的主要貢獻(xiàn)可以總結(jié)如下：

1） 基于隱含非線性維納退化過程的無偏參數(shù)估計(jì)結(jié)果，推導(dǎo)得到了模型參數(shù)的方差，分析得到了隱含非線性維納退化過程的參數(shù)估計(jì)精度與單元數(shù)量、檢測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度和檢測(cè)次數(shù)之間的關(guān)系，為合理融合多源信息進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)提供了理論依據(jù)。

2） 針對(duì)帶有測(cè)量誤差的隨機(jī)退化系統(tǒng)，為應(yīng)對(duì)先驗(yàn)退化信息不完美或缺失等問題，提出了一種合理融合多源信息的剩余壽命預(yù)測(cè)方法。