鐘國(guó)堅(jiān) , 楊元慧

(1.閩西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與制造學(xué)院,福建 龍巖 364021;2.龍巖學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院,福建 龍巖 364000)

0 引言

齒輪馬達(dá)是一種將液壓能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的液壓元件(通過(guò)輸入一定壓力的流體介質(zhì)來(lái)驅(qū)動(dòng)殼體內(nèi)的兩個(gè)(或兩個(gè)以上)相互嚙合的齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)),常被用于高速低轉(zhuǎn)矩的機(jī)械液壓系統(tǒng)中[1].但齒輪馬達(dá)在運(yùn)行過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)受到載荷、振動(dòng)頻率、齒輪摩擦以及軸承轉(zhuǎn)動(dòng)等的影響而產(chǎn)生輸出脈動(dòng)和噪聲,進(jìn)而會(huì)影響其工作的穩(wěn)定性.為此,一些學(xué)者對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了研究.例如:甄帥等[1]研究了齒輪馬達(dá)的制動(dòng)機(jī)理及其性能;王霞琴等[2]研究了變工作條件下的齒輪泵特性;鄢圣杰等[3]研究了困油對(duì)齒輪馬達(dá)輸出特性的影響;張永祥等[4]研究了齒輪泵的瞬時(shí)流量以及抑制流量脈動(dòng)的方法;彭銳等[5]研究了齒輪馬達(dá)的困油輸出轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速及其脈動(dòng)的最小化策略;王建等[6]為了降低齒輪泵的流量脈動(dòng),提出了一種基于流量脈動(dòng)系數(shù)的齒輪泵齒廓的主動(dòng)設(shè)計(jì)方法;李玲輝等[7]利用仿真方法研究了外嚙合齒輪泵的流量特性.在上述文獻(xiàn)中,相關(guān)研究大多都是針對(duì)某一特定的輸入壓力和流量進(jìn)行研究的,所得的相關(guān)結(jié)論(如齒輪馬達(dá)與齒輪泵的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩及脈動(dòng)系數(shù)相同等)[8-10]難以應(yīng)用于實(shí)際.鑒于此,本文在額定輸入流量下,基于齒輪副與負(fù)載的動(dòng)態(tài)牽引原理,通過(guò)實(shí)例分析了輸入壓力與負(fù)載轉(zhuǎn)矩(尤其是負(fù)載的慣性轉(zhuǎn)矩)的耦合機(jī)理,以為進(jìn)一步抑制齒輪馬達(dá)的輸出脈動(dòng)提供參考.

1 齒輪馬達(dá)的參數(shù)計(jì)算

1.1 馬達(dá)的輸出脈動(dòng)系數(shù)

設(shè)齒輪馬達(dá)的額定輸入流量為Q,輸入壓力為pi,回油背壓為po,輸出轉(zhuǎn)速為ω,輸出轉(zhuǎn)矩為M.設(shè)兩個(gè)相同尺寸齒輪的齒寬為B,齒數(shù)為z,頂圓半徑為Re,節(jié)圓半徑為R,基圓半徑為Rb,基圓節(jié)距為Pb.圖1為齒輪副為大側(cè)隙時(shí)的任意嚙合位置及其余隙容積位置圖,圖2為齒輪副為小側(cè)隙時(shí)的嚙合位置及其余隙容積位置圖.圖中,O1和O2分別為轉(zhuǎn)矩輸出齒輪和空轉(zhuǎn)齒輪的中心,對(duì)稱型雙卸荷槽位于齒輪副的余隙位置處.其中:f為嚙合點(diǎn)k到節(jié)點(diǎn)j的距離;f0表示余隙位置處的f,當(dāng)齒輪副為大側(cè)隙時(shí)f0=Pb/2,當(dāng)齒輪副為小側(cè)隙時(shí)f0=Pb/4.

圖1 齒輪副為大側(cè)隙時(shí)的任意嚙合位置及其余隙容積位置

圖2 齒輪副為小側(cè)隙時(shí)的嚙合位置及其余隙容積位置

由文獻(xiàn)[11]可知,外嚙合齒輪泵的輸出流量可表示為:

齒輪馬達(dá)輸出的轉(zhuǎn)速ω、輸出轉(zhuǎn)矩M可表示為:

在研究馬達(dá)輸出轉(zhuǎn)速的脈動(dòng)系數(shù)δω、馬達(dá)輸出轉(zhuǎn)矩的脈動(dòng)系數(shù)δM、齒輪泵輸出流量的脈動(dòng)系數(shù)δP時(shí),王郝、高俊峰等[8-10]均將其設(shè)置為相同,即δω=δM=δP,且分別將參數(shù)Re、f、f0無(wú)量綱化為:

由于式(1)中的Q與式(2)中的M在計(jì)算形式上完全一致,因此可知將δM和δP設(shè)置為相等是正確的;但由于式(1)中的Q與式(2)中的ω在計(jì)算形式上是完全不同的,因此將δω和δP設(shè)置為相等是錯(cuò)誤的,而應(yīng)將其設(shè)置為:

由式(2)中的ω式可得ω的均值ωmean、ω的最大值ωmax和ω的最小值ωmin分別為:

由式(5)可知,齒輪馬達(dá)輸出轉(zhuǎn)速ω的修正脈動(dòng)系數(shù)δω應(yīng)為:

利用式(4)和式(6)計(jì)算可知,δω始終大于δM.如當(dāng)齒數(shù)為10、齒頂高系數(shù)為1、壓力角為20°、變位系數(shù)為0.081時(shí),由公式(4)和公式(6)計(jì)算可得:齒輪副為大側(cè)隙時(shí),δω= 0.44,δM= 0.38,δω>δM.由此進(jìn)一步計(jì)算可得,δω與δM之間的誤差約為16%.齒輪副為小側(cè)隙時(shí),δω= 0.088,δM= 0.086,δω>δM.由此進(jìn)一步計(jì)算可得,δω與δM之間的誤差約為2.3%.由上述δω與δM之間的誤差可知,不僅δω始終大于δM,而且齒輪副為小側(cè)隙時(shí)比為大側(cè)隙時(shí)更能有效地減小轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和輸入壓力所產(chǎn)生的脈動(dòng),因此在齒輪馬達(dá)的實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)優(yōu)先選用齒輪副的小側(cè)隙.

1.2 馬達(dá)脈動(dòng)轉(zhuǎn)速下角加速度的計(jì)算方法

由漸開(kāi)線齒輪的成形原理[12]可得齒輪的角速度為:

式中,?是f或ξf所對(duì)應(yīng)的齒輪角度.將式(2)中的ω式對(duì)f進(jìn)行一階求導(dǎo)可得:

于是由式(7)和式(8)可得馬達(dá)齒輪副的角加速度為:

1.3 馬達(dá)脈動(dòng)轉(zhuǎn)速下脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩的計(jì)算方法

馬達(dá)齒輪副與負(fù)載物一體化的動(dòng)態(tài)牽引如圖3所示.圖中:J為齒輪副與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(J=me2,其中m為質(zhì)量,e為偏心距),g為重力加速度,r0為輸出軸半徑,F0為負(fù)載力,M0為負(fù)載轉(zhuǎn)矩(M0=F0r0).根據(jù)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律()和式(9)可得馬達(dá)齒輪副與負(fù)載物一體化的合外力矩(忽略由摩擦等所引起的轉(zhuǎn)矩?fù)p失)為:

圖3 齒輪副與負(fù)載物一體化的動(dòng)態(tài)牽引示意圖

1.4 馬達(dá)帶載輸入壓力及其脈動(dòng)系數(shù)的計(jì)算方法

2 馬達(dá)帶載轉(zhuǎn)矩及其輸入壓力的實(shí)例分析

實(shí)例的參數(shù)分別取:齒數(shù)為14,齒頂高系數(shù)為1,壓力角為20°,變位系數(shù)為-0.054,B= 30mm,Q= 40L/min,po= 0.1MPa,m0= 1000kg,r0= 20mm.圖4為齒輪馬達(dá)的帶載輸出轉(zhuǎn)速、帶載輸出轉(zhuǎn)矩和帶載輸入壓力隨齒輪副嚙合位置的變化,其中圖4(a)是利用式(2)計(jì)算后繪制得到的,圖4(b)是利用式(16)計(jì)算后繪制得到的,圖4(c)是利用式(17)計(jì)算后繪制得到的.

圖4 帶載轉(zhuǎn)速(a)、帶載轉(zhuǎn)矩(b)和帶載輸入壓力(c)隨齒輪副嚙合位置的變化

由圖4(a)可以看出,在不考慮介質(zhì)壓縮和泄漏的理想狀態(tài)下,齒輪馬達(dá)的輸出轉(zhuǎn)速僅與輸入流量有關(guān),而與齒輪馬達(dá)是否帶載無(wú)關(guān).由圖4(b)和圖4(c)可以看出,輸出轉(zhuǎn)速ω的周期性變化(降速→增速→降速)與齒輪副嚙合位置的周期性變化有關(guān)[15],同時(shí)在負(fù)載上產(chǎn)生了較大的慣性轉(zhuǎn)矩.在降速階段,負(fù)載物因受到重力加速度的影響,其負(fù)載慣性轉(zhuǎn)矩為負(fù)值,并由此導(dǎo)致馬達(dá)齒輪副上的液壓轉(zhuǎn)矩和輸入壓力快速降低;在增速階段,負(fù)載物慣性轉(zhuǎn)矩、馬達(dá)齒輪副上的液壓轉(zhuǎn)矩和輸入壓力與降速階段的現(xiàn)象相反.由圖4(c)還可以看出,馬達(dá)的大背壓po增加到一定值時(shí)可使輸入壓力曲線整體上移,從而可提高緩和慣性轉(zhuǎn)矩的能力,有助于降低輸入壓力的脈動(dòng)[16].此外,對(duì)比圖4中的各圖還可知,齒輪副為小側(cè)隙時(shí)比為大側(cè)隙時(shí)可更有效地緩解轉(zhuǎn)速脈動(dòng)、速度脈動(dòng)和輸入壓力所產(chǎn)生的脈動(dòng);因此,在條件允許的情況下應(yīng)優(yōu)先考慮使用小側(cè)隙齒輪副,以減少脈動(dòng)的產(chǎn)生和提高齒輪馬達(dá)的穩(wěn)定性.

3 同尺寸齒輪副馬達(dá)與泵聯(lián)動(dòng)對(duì)脈動(dòng)產(chǎn)生的影響

上述研究(基于額定輸入流量)表明,額定輸入流量一般是由穩(wěn)流泵(齒輪泵溢流閥)的恒定輸出流量提供;但由于齒輪泵本身的輸出流量是周期性脈動(dòng)的[17],因此負(fù)載物的高慣性轉(zhuǎn)矩會(huì)使齒輪馬達(dá)的輸出轉(zhuǎn)矩和輸入壓力產(chǎn)生較大的脈動(dòng).

假設(shè)泵齒輪副和馬達(dá)齒輪副尺寸相同,齒輪馬達(dá)的輸入流量由齒輪泵的脈動(dòng)輸出流量直接提供,于是由兩者的工作原理完全相反可知:在不考慮泄漏、壓縮等原因造成的容積損失情況下,齒輪馬達(dá)的輸出轉(zhuǎn)速等于齒輪泵的輸入轉(zhuǎn)速,即齒輪馬達(dá)的輸出轉(zhuǎn)速為恒速.因此,相同尺寸的馬達(dá)和泵齒輪副可以避免負(fù)載的高慣性轉(zhuǎn)矩,進(jìn)而可提高牽引質(zhì)量.但在實(shí)際中,由于液壓系統(tǒng)通常由單一的動(dòng)力源驅(qū)動(dòng),且泵的排量較大,以及馬達(dá)和泵的尺寸很少有相同的原因,因此通常使用蓄能器來(lái)減小系統(tǒng)的脈動(dòng).

4 結(jié)論

本文基于輸入壓力與帶載轉(zhuǎn)矩的耦合機(jī)理對(duì)齒輪馬達(dá)進(jìn)行研究表明:①固定輸入壓力下,現(xiàn)有計(jì)算馬達(dá)轉(zhuǎn)速脈動(dòng)的公式存在一定誤差,即計(jì)算修正后的結(jié)果大于原有結(jié)果,且齒數(shù)越少計(jì)算所得的誤差越大.②齒輪馬達(dá)的輸出轉(zhuǎn)速主要與輸入流量有關(guān),輸出轉(zhuǎn)速ω的周期性變化(降速→增速→降速)與齒輪副嚙合位置的周期性變化有關(guān).③輸出轉(zhuǎn)速的周期性變化會(huì)導(dǎo)致負(fù)載物產(chǎn)生較大的慣性轉(zhuǎn)矩.④在降速階段,由于負(fù)載物受重力加速度的影響,其慣性轉(zhuǎn)矩為負(fù),并由此會(huì)導(dǎo)致馬達(dá)齒輪副上的液壓轉(zhuǎn)矩和輸入壓力快速降低;在增速階段,其現(xiàn)象與降速階段相反.負(fù)載物的慣性轉(zhuǎn)矩會(huì)導(dǎo)致輸出轉(zhuǎn)矩和輸入壓力產(chǎn)生較大的脈動(dòng),因此適當(dāng)增大背壓可有效減小慣性轉(zhuǎn)矩和輸入壓力所產(chǎn)生的脈動(dòng).⑤輸出軸徑是以其平方的值來(lái)影響慣性轉(zhuǎn)矩的,因此適當(dāng)減小輸出軸直徑可有效減小慣性轉(zhuǎn)矩和輸入壓力所產(chǎn)生的脈動(dòng).⑥齒輪副為小側(cè)隙時(shí)比為大側(cè)隙時(shí)更能有效減小轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和輸入壓力所產(chǎn)生的脈動(dòng),因此在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)優(yōu)先選用小側(cè)隙,以減少脈動(dòng)的產(chǎn)生和提高齒輪馬達(dá)的穩(wěn)定性.⑦當(dāng)泵齒輪副和馬達(dá)齒輪副的尺寸相同,且齒輪馬達(dá)的輸入流量直接由齒輪泵的脈動(dòng)輸出流量提供時(shí),可有效降低負(fù)載物的慣性轉(zhuǎn)矩,進(jìn)而可提高牽引的穩(wěn)定性.本文的研究成果可為提高齒輪馬達(dá)的工作質(zhì)量和設(shè)計(jì)提供參考.