胡濤濤, 劉可萌, 高咸超

(長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院, 西安 710064)

在中國西部地區(qū)地質(zhì)構(gòu)造活動(dòng)頻繁的地帶,廣泛分布著炭質(zhì)板巖等軟巖,在隧道建設(shè)中,由于軟弱圍巖節(jié)理、裂隙發(fā)育較為破碎,強(qiáng)度低,圍巖的自穩(wěn)性較差[1]。在富水地段,由于水的軟化作用,軟弱圍巖力學(xué)特性改變,其承載力和自穩(wěn)能力會(huì)大幅降低,這極易導(dǎo)致在施工過程中發(fā)生塌方、變形、支護(hù)結(jié)構(gòu)扭曲侵限等事故,因此研究富水軟弱圍巖隧道的受力特性顯得尤為重要。

目前,國內(nèi)外研究人員針對(duì)軟巖隧道圍巖應(yīng)力、開挖位移、塑性區(qū)半徑的計(jì)算進(jìn)行了大量的研究。早在1974年,Ikeda等[2]通過聲波檢測(cè)技術(shù)就發(fā)現(xiàn)了巷道圍巖松動(dòng)圈的存在。1986年,袁文伯等[3]根據(jù)巖體的應(yīng)力應(yīng)變曲線及圍巖軟化特性,建立了理想彈塑性軟化模型,推導(dǎo)出相較于經(jīng)典卡斯特耐爾公式更具適用性和實(shí)際意義的計(jì)算公式。2006年,齊明山等[4]基于經(jīng)典的芬納公式,在考慮圍巖和襯砌共同作用、假設(shè)塑性區(qū)體積變化的條件下,得到了塑性區(qū)半徑的理論解,并推導(dǎo)出了用于計(jì)算圍巖壓力的修正芬納公式。2012年,張結(jié)紅[5]采用彈塑性力學(xué)相關(guān)理論,以摩爾庫倫準(zhǔn)則和軟弱圍巖的應(yīng)變軟化模型為判別方法,對(duì)深埋炭質(zhì)板巖隧道的塑性區(qū)求解并分析,提出了塑性區(qū)范圍的判定公式。2014年,陳志敏[6]針對(duì)現(xiàn)有本構(gòu)關(guān)系對(duì)高地應(yīng)力軟巖不適用和卡斯特耐爾公式的局限性,根據(jù)巖石室內(nèi)試驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線,采用直-曲-直模型推導(dǎo)了隧道圍巖壓力的計(jì)算公式。同年,Park[7]在符合線性Mohr-Coulomb (M-C)或非線性 Hoek-Brown (H-B)屈服準(zhǔn)則的前提下,推導(dǎo)出在應(yīng)變軟化巖體中開挖圓形硐室的塑性區(qū)范圍理論解。2016年,Mohammad[8]提出了考慮開挖沖擊損傷區(qū)影響的線性Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則或非線性 Hoek-Brown 破壞準(zhǔn)則下的彈脆塑性巖石材料隧道圍巖應(yīng)力和位移的解析解。2020年,蘇士龍等[9]采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論推導(dǎo)了巷道圍巖松動(dòng)圈理論計(jì)算公式,并依托實(shí)際工程對(duì)巷道圍巖松動(dòng)圈厚度進(jìn)行理論計(jì)算。2021年,徐強(qiáng)等[10]通過對(duì)深埋黃土隧道開挖后的圍巖應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析,明確了松動(dòng)圈的定義,推導(dǎo)了松動(dòng)圈的表達(dá)式,提出了基于松動(dòng)圈理論的深埋黃土隧道圍巖壓力計(jì)算方法。2022年,劉杰[11]等結(jié)合公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范引入軟硬互層圍巖參數(shù)簡(jiǎn)化方法,改進(jìn)現(xiàn)有的均質(zhì)圍巖壓力計(jì)算理論,得到了基于極限平衡法的水平軟硬互層隧道圍巖壓力解析解。

綜上所述,科研人員雖然在隧道軟弱圍巖的理論和力學(xué)特性方面進(jìn)行大量研究,并取得較多成果,但研究人員多從屈服準(zhǔn)則出發(fā),求解隧道開挖所產(chǎn)生的塑性區(qū),圍巖應(yīng)力等參數(shù),卻忽略了軟弱圍巖由于各種復(fù)雜環(huán)境(高地應(yīng)力、富水等)會(huì)發(fā)生應(yīng)變軟化的特性,現(xiàn)有巖石本構(gòu)模型已經(jīng)不再適合用來求解以上參數(shù);另外,研究人員重視圍巖壓力計(jì)算公式的推導(dǎo),卻忽視了圍巖塑性區(qū)和圍巖位移,對(duì)其解析解研究不夠深入,而研究圍巖塑性區(qū)和圍巖位移的變化對(duì)支護(hù)和襯砌的設(shè)計(jì)與圍巖穩(wěn)定性分析同樣重要。因此,有必要對(duì)考慮應(yīng)變軟化特性的炭質(zhì)板巖隧道圍巖位移和塑性區(qū)半徑解析解進(jìn)一步研究。現(xiàn)將采用“直-曲-直”軟化模型推導(dǎo)卡斯特耐爾拓展公式,獲得圍巖變形和塑性區(qū)半徑的解析解,并采用有限差分軟件FLAC3D對(duì)木寨嶺隧道進(jìn)行施工過程力學(xué)數(shù)值模擬,得出該隧道圍巖變形和塑性區(qū)半徑的數(shù)值解,并將所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 基于巖體軟化模型的卡斯特耐爾拓展公式推導(dǎo)

1.1 軟弱圍巖應(yīng)變軟化模型介紹

為了便于后續(xù)塑性區(qū)半徑和圍巖位移計(jì)算公式以及計(jì)算過程的說明,首先對(duì)富水炭質(zhì)板巖的應(yīng)變軟化模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。炭質(zhì)板巖的力學(xué)參數(shù)具有隨著圍巖發(fā)生塑性變形而不斷改變的特征。當(dāng)圍巖在應(yīng)力作用下發(fā)生一定程度變形后,炭質(zhì)板巖的力學(xué)參數(shù)會(huì)隨之降低。因此針對(duì)富水炭質(zhì)板巖隧道,在開挖后,洞室周圍圍巖常常會(huì)自內(nèi)向外分成四個(gè)區(qū)域,分別是塑性流動(dòng)區(qū),塑性軟化區(qū),塑性硬化區(qū)和彈性區(qū)[12]。出于計(jì)算簡(jiǎn)便的角度可將塑性硬化區(qū)圍巖按照彈性考慮計(jì)算,即將隧道圍巖看作三個(gè)力學(xué)分區(qū):彈性與塑性硬化區(qū)、塑性軟化區(qū)、塑性流動(dòng)區(qū)。

1.2 卡斯特耐爾拓展公式推導(dǎo)

經(jīng)典卡斯特耐爾公式是一種基于原巖應(yīng)力計(jì)算圍巖壓力的經(jīng)典公式,以圍巖力學(xué)特性和隧道設(shè)計(jì)尺寸為基礎(chǔ)計(jì)算圍巖的塑性形變壓力,也可用于計(jì)算圍巖的塑性區(qū)位移、塑性區(qū)半徑。 其計(jì)算圍巖壓力的表達(dá)式[13]為

(1)

其計(jì)算塑性位移的表達(dá)式為

(2)

式(2)中:μ為圍巖泊松比;E為圍巖彈性模量。將式(2)命名為卡斯特耐爾拓展公式(c)。

經(jīng)典卡斯耐爾公式是假定圍巖的力學(xué)性質(zhì)(C、φ)在發(fā)生塑性變形時(shí)保持不變而獲得的結(jié)果。但在隧道施工實(shí)際開挖支護(hù)過程中,圍巖力學(xué)特性會(huì)發(fā)生一定程度的變化,塑性區(qū)圍巖的C、φ將變?yōu)槠渥冃魏蟮臍堄嘀礐*、φ*。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[14],可獲得不同圍壓、不同泡水時(shí)間的炭質(zhì)板巖在單軸試驗(yàn)和三軸試驗(yàn)下的實(shí)測(cè)應(yīng)力應(yīng)變曲線,參照巖體理想的彈塑性軟化模型,可近似將隧道圍巖的變形特征簡(jiǎn)化為三條直線線段模型。用三條直線段模型來模擬圍巖軟化過程,可得理想彈塑性軟化模型下的塑性區(qū)半徑[3]

Rp=

(3)

前文將圍巖軟化模型簡(jiǎn)化為三線段模型,其中將圍巖塑性軟化區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變曲線視為直線,而現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量和室內(nèi)實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明,二者關(guān)系更接近于二次曲線[15],并隨著巖體的結(jié)構(gòu)和構(gòu)造而發(fā)生變化,因此,采用“直-曲-直”模型,如圖1所示。

σp、σ*、εe、εf分別代表開始進(jìn)入塑性區(qū)應(yīng)力、殘余應(yīng)力、彈塑性交界處應(yīng)變和流動(dòng)區(qū)應(yīng)變。圖1 巖體“直-曲-直”軟化模型Fig.1 “Straight-curved-straight” softening model of rock mass

計(jì)算模型基本假設(shè):巖體為連續(xù)介質(zhì)、隧道為圓形坑道;不考慮圍巖自重帶來的影響;將圍巖視為彈塑性材料,符合Mohr-Coulomb準(zhǔn)則;根據(jù)無限長(zhǎng)隧道圍巖受力特性,考慮為平面應(yīng)變問題;側(cè)壓力系數(shù)設(shè)為1.0;考慮圍巖軟化變形過程符合上述理想軟化模型;摩擦角、黏聚力、彈性模量、泊松比采用不同含水率下φ*、C*、E*、μ*的擬合公式參數(shù)[16]。

與經(jīng)典卡斯特耐爾公式相似,圍巖在彈性階段服從虎克定律,在屈服階段均符合摩爾庫倫準(zhǔn)則。即

(4)

式(4)中:τ、σn分別為剪切面上的剪應(yīng)力和法向力;σ1、σ3分別為大、小主應(yīng)力,分別對(duì)應(yīng)切向應(yīng)力σθ和徑向應(yīng)力σr。圍巖處于塑性軟化階段時(shí),φ、C隨著塑性區(qū)應(yīng)變?chǔ)臥增大呈線性衰減[4],則對(duì)于軟化區(qū)任意一點(diǎn)有

(5)

式(5)中:Mc為內(nèi)黏聚力軟化模量;Mφ為內(nèi)摩擦角軟化模量;σ、ε為任一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變;r、θ為任一點(diǎn)的徑向和切向;εθ,p、εθ,e為塑性軟化區(qū)和彈性區(qū)切向應(yīng)變;C0、φ0為圍巖初始黏聚力和內(nèi)摩擦角。

在塑性軟化區(qū)域,滿足Mohr-Coulomb準(zhǔn)則,假定側(cè)壓力系數(shù)等于1.0,則

(6)

式(6)中:σθ,p為塑性軟化區(qū)域切向應(yīng)力;σr,p為塑性軟化區(qū)域徑向應(yīng)力圍巖處于塑性流動(dòng)階段時(shí),根據(jù)關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則[17],可得

(7)

式(7)中:

分別為塑性流動(dòng)區(qū)域徑向和切向殘余應(yīng)變;f為應(yīng)變流動(dòng)區(qū)最大塑性應(yīng)變?cè)隽颗c最小塑性應(yīng)變?cè)隽恐取?/p>

在塑性流動(dòng)區(qū)巖體的φ、C分別等于其殘余值φ*、C*,且滿足Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。

對(duì)不同區(qū)域的應(yīng)力和變形狀態(tài)進(jìn)行推導(dǎo)。

(1)當(dāng)圍巖處于彈性區(qū)時(shí),根據(jù)彈性理論[18]可直接求得彈塑性交界處應(yīng)力、應(yīng)變、位移。即

(8)

式(8)中:Rs為圍巖彈性區(qū)半徑;ue為彈性區(qū)位移;σr,e、σθ,e、εr,e、εθ,e為彈塑性交界處徑向、切向應(yīng)力和徑向、切向位移。

(2)當(dāng)圍巖處于塑性軟化區(qū)時(shí),對(duì)上述σθ,p強(qiáng)度表達(dá)式代入平衡方程有

(9)

將式(9)積分后,代入邊界條件r=Rs,即在彈塑性邊界處,σr,p=σr,e,ξ1=ξ,C1=C,可確定積分常數(shù),繼而可得

(10)

式(10)中:εr,p、εθ,p、σr,p、σθ,p分別代表塑性軟化區(qū)域徑向、切向應(yīng)變、徑向和切向應(yīng)力。

根據(jù)全應(yīng)變理論,全應(yīng)變?cè)隽靠梢员硎緸閺椥詰?yīng)變和塑性應(yīng)變?cè)隽恐?再根據(jù)前文所求得的彈塑性交界處的應(yīng)變及位移關(guān)系,假定應(yīng)變軟化區(qū)最大塑性應(yīng)變?cè)隽颗c最小塑性應(yīng)變?cè)隽恐萮=ξ*可得

(11)

解此一階微分方程,結(jié)合彈塑性交接處邊界條件r=Rs時(shí),u=ue得出u的表達(dá)式,并代入幾何方程

可得

(12)

(3)當(dāng)圍巖處于塑性流動(dòng)區(qū)時(shí):

(13)

式(13)中:

為塑性流動(dòng)區(qū)域徑向和切向殘余應(yīng)力;σr,f為塑性流動(dòng)區(qū)域徑向應(yīng)力;Rf為塑性流動(dòng)圈半徑。

假設(shè)在塑性流動(dòng)區(qū)某一點(diǎn)達(dá)到最佳支護(hù)時(shí)間,代入

即得塑性流動(dòng)圈半徑為

[11]胡疊：《京劇的創(chuàng)新傳統(tǒng)與當(dāng)代立場(chǎng)》，《中國戲曲學(xué)院.京劇與現(xiàn)代中國社會(huì)——第三屆京劇學(xué)國際學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集》，中國戲曲學(xué)院，2009年，第7頁.

(14)

將式(14)塑性區(qū)半徑計(jì)算公式命名為卡斯耐爾公式拓展公式(b)。

根據(jù)幾何方程,假定h=f,則當(dāng)r=a時(shí),塑性流動(dòng)區(qū)位移為

(15)

將式(15)命名為卡斯特耐爾拓展公式(d)。

2 建立計(jì)算模型

2.1 模型尺寸和邊界條件的確定

有限差分法軟件FLAC3D可較為準(zhǔn)確地模擬模型材料的屈服、塑性流動(dòng)、軟化甚至大變形,尤其是對(duì)于材料的彈塑性力學(xué)分析、圍巖大變形分析以及模擬施工過程力學(xué)變化等領(lǐng)域有著顯著的優(yōu)勢(shì)[19],故采用此軟件建立模型并進(jìn)行施工階段模擬。

隧道斷面形狀依據(jù)文獻(xiàn)[20]選取,對(duì)于深埋高地應(yīng)力隧道,宜將數(shù)值模型水平和垂直方向的長(zhǎng)度取為隧洞跨徑的3～8倍[21]。根據(jù)圣維南原理和參考資料,網(wǎng)格模型范圍為:沿開挖方向取100 m,垂直方向取80 m,水平方向取100 m。為了減少單元的數(shù)量,隧道開挖界限內(nèi)部單元邊長(zhǎng)設(shè)為0.5 m,隧道附近巖土體單元邊長(zhǎng)設(shè)為1 m,距離隧道較遠(yuǎn)的巖土體單元邊長(zhǎng)設(shè)為3 m,同時(shí)將上覆巖層的重力作用等效為均布荷載加載在模型的上表面(相當(dāng)于590 m埋深的均布荷載11.8 MPa)。模型邊界條件選用限制位移法固定邊界,對(duì)于垂直方向只在下邊界設(shè)置位移約束而上邊界不設(shè)約束,其余方向邊界(水平和前后方向邊界)設(shè)置位移約束。計(jì)算模型及網(wǎng)格劃分如圖2所示。

圖2 計(jì)算模型及網(wǎng)格劃分Fig.2 Calculation model and mesh generation

2.2 圍巖相關(guān)力學(xué)參數(shù)

當(dāng)進(jìn)行施工過程力學(xué)分析時(shí),假定炭質(zhì)板巖服從摩爾庫倫準(zhǔn)則,需要考慮不同含水率下的巖樣參數(shù),故采用參考文獻(xiàn)[15]中所進(jìn)行的炭質(zhì)板巖浸水試驗(yàn)中的參數(shù),即分別取用泡水0、5、15、25 d下的參數(shù)。巖體的各項(xiàng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 不同含水率下的炭質(zhì)板巖力學(xué)參數(shù)表

2.3 支護(hù)結(jié)構(gòu)及施工過程模擬

表2 支護(hù)結(jié)構(gòu)力學(xué)參數(shù)表

圖3 支護(hù)結(jié)構(gòu)數(shù)值模型Fig.3 Numerical model of supporting structure

本文數(shù)值模型中,隧道開挖80 m,平均分為50步,每步1.6 m,通過繪制隧道斷面圖,網(wǎng)格劃分,非流形檢驗(yàn),網(wǎng)格擴(kuò)展,邊界條件約束和施加荷載后得到三臺(tái)階七步開挖法的數(shù)值模型,如圖4、圖5所示。

圖4 三臺(tái)階七步開挖施工工序圖Fig.4 three-step seven-step excavation construction process

圖5 三臺(tái)階七步開挖數(shù)值模型Fig.5 Numerical model of three-step seven-step excavation

3 對(duì)比分析

3.1 經(jīng)典卡斯特耐爾公式和卡斯特耐爾拓展公式對(duì)比分析

對(duì)木寨嶺隧道炭質(zhì)板巖段分別采用經(jīng)典卡斯特耐爾公式和卡斯特耐爾拓展公式進(jìn)行計(jì)算,以驗(yàn)證公式的實(shí)用性。

經(jīng)典卡斯特耐爾計(jì)算塑性區(qū)半徑,公式為

(16)

計(jì)算基本假設(shè):①計(jì)算時(shí)將圍巖全部設(shè)為炭質(zhì)板巖;②將木寨嶺隧道模型簡(jiǎn)化為圓形隧道;側(cè)壓力系數(shù)設(shè)為1.0;③為保證曲線的連續(xù)性,計(jì)算參數(shù)采用擬合值;④計(jì)算采用三臺(tái)階七步開挖法支護(hù)后的應(yīng)力場(chǎng);⑤支護(hù)壓力取拱頂和邊墻的均值。拓展公式(a)、(b)分別為三段直線式和直曲直軟化模型所得卡斯特耐爾計(jì)算塑性區(qū)半徑公式,拓展公式(c)、(d)分別為三段直線式和直曲直軟化模型所得卡斯特耐爾計(jì)算塑性區(qū)位移公式。

圖6(a)給出了采用不同卡斯特耐爾公式計(jì)算所得塑性區(qū)半徑結(jié)果,圖6(a)表明,對(duì)于塑性區(qū)半徑的計(jì)算值,經(jīng)典公式較拓展公式(b)計(jì)算結(jié)果偏大。例如,高含水率下,經(jīng)典公式計(jì)算值23.95 m與拓展公式(b)計(jì)算值19.47 m差距較大。相應(yīng)地,圖6(b)為關(guān)于塑性區(qū)位移結(jié)果,對(duì)于位移的計(jì)算值,當(dāng)含水率較低時(shí),經(jīng)典公式計(jì)算值13 cm與拓展公式(d)的計(jì)算結(jié)果9.58 cm相近,隨著含水率的升高,其計(jì)算結(jié)果與拓展公式(d)計(jì)算值52.5 cm差距較大。

圖6 理論計(jì)算與數(shù)值模擬對(duì)比Fig.6 Comparison of theoretical calculation and numerical simulation

3.2 理論計(jì)算與數(shù)值模擬結(jié)果的對(duì)比分析

塑性區(qū)變化如圖7所示,為便于對(duì)比,將數(shù)值模擬中Y=16 m截面的塑性區(qū)面積換算為塑性區(qū)半徑,與計(jì)算出的塑性區(qū)半徑進(jìn)行比較分析?？芍陔S著含水率的變化趨勢(shì)方面,卡斯特耐爾經(jīng)典公式與拓展公式均能夠較好地描述。而對(duì)于計(jì)算結(jié)果方面,由于理論計(jì)算將模型簡(jiǎn)化為圓形隧道,而數(shù)值模擬隧道不是圓形隧道,故塑性區(qū)形狀不是標(biāo)準(zhǔn)的圓形,不過按照等面積法等效后的塑性區(qū)半徑可以很好地量化對(duì)比以說明問題[23]。

圖7 不同泡水時(shí)間圍巖塑性區(qū)云圖Fig.7 Cloud map of plastic zone under different soaking time of surrounding rock

由圖6(a)可知,當(dāng)含水率較低時(shí),經(jīng)典公式計(jì)算值11.96 m與數(shù)值模擬結(jié)果14 m相近,但隨著含水率的升高,水對(duì)圍巖的軟化作用加強(qiáng),而經(jīng)典公式未考慮圍巖軟化作用的影響,故其計(jì)算結(jié)果與模擬值22 m和拓展公式(b)計(jì)算值19.47 m差距變大。相應(yīng)地,圖6(b)給出了塑性區(qū)位移計(jì)算結(jié)果,顯然考慮巖體“直-曲-直”軟化的拓展公式(d)能夠更好地符合數(shù)值模擬的結(jié)果。當(dāng)含水率較低時(shí),經(jīng)典公式計(jì)算值13 cm與數(shù)值模擬結(jié)果16 cm相近,但在高含水率下,采用拓展公式(d)計(jì)算所得位移 52.5 cm,與相同含水率下數(shù)值模擬所得的結(jié)果 56 cm 更為接近,原因應(yīng)為破碎區(qū)圍巖殘余強(qiáng)度的影響。

4 結(jié)論

在考慮“直-曲-直”軟化模型圍巖軟化的情況下,推導(dǎo)出一種卡斯特耐爾拓展公式,通過實(shí)例分析計(jì)算出木寨嶺隧道Ⅴ級(jí)圍巖位移和塑性區(qū)半徑,并將該計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬和不考慮圍巖軟化作用的經(jīng)典卡斯特耐爾公式所得結(jié)果進(jìn)行了橫向?qū)Ρ?。結(jié)果表明:隨著含水率升高,圍巖強(qiáng)度不斷降低,塑性區(qū)半徑和圍巖位移也不斷增大;在較高含水率(1.24%)下,通過數(shù)值模擬、經(jīng)典和拓展卡斯特耐爾公式(b)、 (d)得出木寨嶺隧道Ⅴ級(jí)圍巖段的圍巖位移和塑性區(qū)半徑分別為56 cm和22 m,13 cm 和23.95 m,52.5 cm和19.47 m;采用基于直曲直軟化模型的卡斯特耐爾拓展公式(b)、 (d)計(jì)算結(jié)果更為接近數(shù)值模擬結(jié)果,由此驗(yàn)證了所提出拓展公式的有效性和實(shí)用性。在實(shí)際工程中,只需確定炭質(zhì)板巖相關(guān)性質(zhì)和隧道支護(hù)參數(shù)便可計(jì)算隧道開挖后的塑性區(qū)半徑和圍巖位移,研究結(jié)果可為類似的隧道支護(hù)和襯砌設(shè)計(jì)提供一定參考。

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