劉將, 王生海, 李建, 何云鵬, 孫玉清, 陳海泉

(大連海事大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院, 大連 116026)

20世紀(jì)80年代,繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人問世,近幾十年國內(nèi)外學(xué)者不斷對(duì)其研究,與傳統(tǒng)的并聯(lián)機(jī)器人相比,其具有質(zhì)量輕、易重構(gòu)等諸多優(yōu)點(diǎn)[1-2]。目前繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人廣泛應(yīng)用于天文觀測[3]、康復(fù)訓(xùn)練[4]、風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)[5]等諸多領(lǐng)域。起重機(jī)作為吊裝領(lǐng)域的重要設(shè)備,但其重量較大,載荷復(fù)雜[6-7]。將繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人用于吊裝領(lǐng)域,吊裝機(jī)器人與起重機(jī)相比,具有布置靈活,工作空間大等優(yōu)點(diǎn)。20世紀(jì)80年代末,美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(National Institute of Standards and Technology,NIST)研制了RoboCrane起重機(jī)器人,并進(jìn)行了吊裝、噴涂、搭建等作業(yè);美國August Design公司研制了SkyCam攝像機(jī)器人,它的最高速度高達(dá)13 m/s,廣泛用于高速攝影。由于繩索具有單向受力的特性,吊裝機(jī)器人必須采用冗余驅(qū)動(dòng)[8-9]。對(duì)于冗余約束繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人,繩索張力不唯一[10]。

為了吊裝機(jī)器人的安全平穩(wěn)運(yùn)行,優(yōu)化后的繩索張力需光滑連續(xù)變化。Li等[11]采用二次規(guī)劃方法求解不完全約束繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的繩索張力。劉嘉韌[12]提出采用力優(yōu)化迭代算法求解繩索張力,該算法可在一定程度上改善系統(tǒng)剛度,但是迭代次數(shù)過多會(huì)影響系統(tǒng)性能。何俊波[13]將最小p范數(shù)法作為優(yōu)化目標(biāo),求解出繩索張力優(yōu)化解,但當(dāng)p值過大時(shí),張力求解算法無法正常使用?，F(xiàn)提出改進(jìn)二次規(guī)劃方法,分別運(yùn)用張緊力方法、非線性規(guī)劃方法和改進(jìn)二次規(guī)劃方法求解繩索張力優(yōu)化解,根據(jù)仿真結(jié)果確定出最佳的張力優(yōu)化算法。

關(guān)于工作空間的求解,國外研究學(xué)者分別提出半代數(shù)集合法和空間幾何法,用于判斷力封閉性,但上述方法計(jì)算復(fù)雜。為此,通過最佳的張力優(yōu)化算法求出吊裝機(jī)器人的繩索張力優(yōu)化解,在此基礎(chǔ)上判斷是否滿足張力限制條件和秩判斷條件,進(jìn)而得到吊裝機(jī)器人的力可達(dá)工作空間。

改進(jìn)一種繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人,并將其應(yīng)用于吊裝領(lǐng)域,該吊裝機(jī)器人由八根繩索驅(qū)動(dòng),在滿足其布線特點(diǎn)下,能避免繩索間的干涉,且能實(shí)現(xiàn)空間三自由度平動(dòng)。針對(duì)該吊裝機(jī)器人而言,繩索數(shù)遠(yuǎn)大于自由度數(shù),該構(gòu)型屬于冗余約束類型。

1 機(jī)器人模型

為開展吊裝作業(yè),吊裝機(jī)器人在工作空間內(nèi)不能有奇異位形,否則奇異位形會(huì)影響機(jī)器人的工作空間。針對(duì)這一問題,采用冗余驅(qū)動(dòng)的方式,不僅能避免吊裝機(jī)器人出現(xiàn)奇異位形,還能保障吊裝作業(yè)的安全性。然而,冗余驅(qū)動(dòng)也會(huì)引入新問題,由于繩索數(shù)量的增多,容易導(dǎo)致繩索的互相干涉。

針對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)可能引入的問題,可通過恰當(dāng)?shù)夭贾美K索位置予以避免。如圖1所示為繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)吊裝機(jī)器人的模型圖,該機(jī)器人繩索布置特點(diǎn)如下:八根繩索分為四組,同一組的兩根繩索平行,組內(nèi)兩根繩索出繩點(diǎn)間的距離等于與動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)間的距離。吊裝機(jī)器人在滿足該繩索布置特點(diǎn)時(shí),能在運(yùn)動(dòng)過程中避免繩索間的干涉;由于組內(nèi)兩根繩索的長度變化相同,兩根繩索可由同一驅(qū)動(dòng)裝置來驅(qū)動(dòng),從而減少了驅(qū)動(dòng)裝置的數(shù)量。

圖1 吊裝機(jī)器人的模型圖Fig.1 Model diagram of hoisting robot

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

如圖2所示為吊裝機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)圖解,圖3為運(yùn)動(dòng)學(xué)圖解的俯視圖。點(diǎn)C11、C12、C21、C22、C31、C32、C41、C42為吊裝機(jī)器人的八個(gè)出繩點(diǎn),點(diǎn)P11、P12、P21、P22、P31、P32、P41、P42為繩索與動(dòng)平臺(tái)的鉸接點(diǎn)。固定框架長:D2D3=1.2 m,寬:D2D1=1 m,高為1 m。動(dòng)平臺(tái)的上頂面為邊長0.2 m的正方形,動(dòng)平臺(tái)高0.05 m,八根繩索P11C11、P12C12、P21C21、P22C22、P31C31、P32C32、P41C41、P42C42由電機(jī)通過卷筒牽引。

圖2 運(yùn)動(dòng)學(xué)圖解Fig.2 Kinematics illustration

圖3 俯視圖Fig.3 Top view

設(shè)固定坐標(biāo)系{O}的原點(diǎn)O與點(diǎn)D2重合,各個(gè)坐標(biāo)軸方向如圖2所示;局部坐標(biāo)系{P}的原點(diǎn)與動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心P點(diǎn)重合,各個(gè)坐標(biāo)軸方向如圖2、圖3所示。

1.1.1 虛擬繩索

1.1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

已知P點(diǎn)在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T,求繩長Li(i=1,2,3,4),即為吊裝機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。

i=1,2,3,4

(1)

已知?jiǎng)悠脚_(tái)P點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)的繩索長度可由式(1)通過MATLAB進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如表1所示, 這里的n表示第n次計(jì)算。

表1 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解仿真結(jié)果Table 1 Kinematic inverse solution simulation results

1.1.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

已知繩長Li(i=1,2,3,4),求P點(diǎn)在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T,即為吊裝機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。

(2)

(3)

(4)

通過式(3)-式(2),式(4)-式(2)進(jìn)一步化簡

X21x+Y21y+Z21z=A21

(5)

X31x+Y31y+Z31z=A31

(6)

x=B0+B1z

(7)

y=B2+B3z

(8)

式(7)和式(8)中:B0=(A21Y31-A31Y21)/D,B1=(Y21Z31-Y31Z21)/D,B2=(A31X21-A21X31)/D,B3=(X31Z21-X21Z31)/D,D=X21Y31-Y21X31;將式(7)和式(8)代入式(2),得

Ez2+2Fz+G=0

(9)

(10)

根據(jù)框架的尺寸選取合適的z值,將其代入式(7)和式(8)進(jìn)而求得x、y的值。

通過上述三球交點(diǎn)算法可以求出P點(diǎn)在{O1}中的位置向量P=(x,y,z)T,{O1}中的x對(duì)應(yīng){O}中的z,{O1}中的y對(duì)應(yīng){O}中的x,{O1}中的z對(duì)應(yīng){O}中的y,最終可得到P點(diǎn)在{O}中的位置向量P=(x,y,z)T。

已知三根繩長可由三球交點(diǎn)算法通過MATLAB計(jì)算動(dòng)平臺(tái)P點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算結(jié)果如表2所示,這里的n表示第n次計(jì)算,仿真結(jié)果驗(yàn)證了所建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解仿真結(jié)果Table 2 Kinematics positive solution simulation results

1.2 動(dòng)力學(xué)分析

動(dòng)平臺(tái)P點(diǎn)所受的外力旋量W1=-[FRMR]T(其中FR、MR分別為外力和外力矩);張力大小為ti(i=1,2,…,m),張力矢量為ti,且ti=tiUi,Ui為單位向量,其方向與繩索張力方向相同。動(dòng)平臺(tái)的靜力學(xué)平衡方程為

(11)

將式(11)整理成矩陣形式為

JT=W1

(12)

(13)

將式(13)寫成矩陣形式為

JT=W2

(14)

2 繩索拉力求解分析

2.1 張緊力方法

針對(duì)該吊裝機(jī)器人,繩索張力的求解為超靜定問題,故繩索張力解包括張力特解和張力通解,即

T=Ts+Th

(15)

式(15)中:Ts為張力特解,Ts=J+W2,其中J+是J的偽逆;Th為張力通解。

國外研究學(xué)者通過調(diào)節(jié)繩索張緊力,從而獲得優(yōu)化的Th,優(yōu)化的Th為

Th=(E-J+J)Tdes

(16)

式(16)中:Tdes為張緊力預(yù)設(shè)值,主要與張力上下限變化和工作空間性能要求有關(guān);E為8階單位矩陣。

因此由式(15)可得

T=Ts+Th=J+W2+(E-J+J)Tdes

(17)

2.2 非線性規(guī)劃方法

(18)

2.3 改進(jìn)二次規(guī)劃方法

對(duì)于繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)吊裝機(jī)器人,繩索張力需要滿足動(dòng)力學(xué)平衡方程,且在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中,每根繩索張力需介于下限和上限之間。因?yàn)槿哂嗉s束繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)吊裝機(jī)器人要求動(dòng)平臺(tái)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng),所以當(dāng)動(dòng)平臺(tái)沿預(yù)設(shè)軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí),要求繩索張力值連續(xù)變化?；诹Ψ忾]的思想,通過引入一個(gè)調(diào)節(jié)力tf,改進(jìn)傳統(tǒng)的二次規(guī)劃優(yōu)化算法,該機(jī)器人的繩索張力求解為改進(jìn)二次規(guī)劃問題,改進(jìn)二次規(guī)劃的優(yōu)化模型為

(19)

tf=k(tmin+tmax)

(20)

式(20)中:k為調(diào)節(jié)因子。

調(diào)節(jié)力tf的大小主要與張力下限、張力上限和調(diào)節(jié)因子有關(guān)。

改進(jìn)二次規(guī)劃優(yōu)化算法相比于傳統(tǒng)二次規(guī)劃優(yōu)化算法,通過引入tf實(shí)現(xiàn)繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)吊裝機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi),繩索張力優(yōu)化解在張力上下限之間,確保了吊裝機(jī)器人的安全運(yùn)行。

3 工作空間分析

針對(duì)繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)吊裝機(jī)器人,當(dāng)繩索張力滿足張力條件時(shí),動(dòng)平臺(tái)在系統(tǒng)框架中所能到達(dá)的區(qū)域,即為吊裝機(jī)器人的力可達(dá)工作空間。根據(jù)動(dòng)平臺(tái)所受的靜力學(xué)平衡方程,以及繩索張力需介于下限和上限之間,此時(shí)繩索的張力條件描述為

JT=W1,Tmin≤T≤Tmax

(21)

對(duì)于該吊裝機(jī)器人,動(dòng)平臺(tái)的某個(gè)位姿屬于力可達(dá)工作空間,還需滿足秩判斷條件,此時(shí)秩判斷條件描述為

rank(J)=n

(22)

式(22)中:rank(J)表示力雅可比矩陣J的秩。

綜上所述,求解吊裝機(jī)器人力可達(dá)工作空間的步驟如下。

(1)以一定的步長,將框架尺寸離散化,形成離散的位姿點(diǎn)。

(2)依次取每個(gè)位姿點(diǎn)的位置坐標(biāo),求出位姿點(diǎn)對(duì)應(yīng)J的秩,再通過最佳張力優(yōu)化算法求出繩索張力優(yōu)化解,驗(yàn)證是否同時(shí)滿足式(21)和式(22)。若同時(shí)滿足,則此位姿點(diǎn)屬于力可達(dá)工作空間;否則,舍棄此位姿點(diǎn)。

(3)計(jì)算完所有位姿點(diǎn),得到所有滿足條件的位姿點(diǎn)構(gòu)成的集合,即為所求的力可達(dá)工作空間。

4 仿真驗(yàn)證

圖4為P點(diǎn)沿一條空間螺旋曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡1。

圖4 空間螺旋曲線的軌跡圖Fig.4 Trajectory diagram of the space helical curve

圖4中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡1滿足方程

(23)

圖5表示P點(diǎn)在{O}中的位置變化曲線,圖中以o標(biāo)記的曲線表示P點(diǎn)沿軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí)P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化,另外三條曲線表示P點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸的位置隨時(shí)間的變化。

圖5 點(diǎn)P位置變化Fig.5 Change of the position of point P

圖6表示P點(diǎn)沿軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí),四根繩索的長度隨時(shí)間的變化。由圖6可知,繩索長度的變化都是連續(xù)的,表明吊裝機(jī)器人可在工作中平穩(wěn)運(yùn)行。

圖6 各根繩索的長度變化Fig.6 Length variation of each cable

圖7表示P點(diǎn)沿軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí),繩速隨時(shí)間的變化。由圖7可知,以第三根繩索為例,在0～0.6 s和2.2～4.1 s這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi),繩速為正,對(duì)應(yīng)的繩長增大;在0.6～2.2 s和4.1～6.2 s這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi),繩速為負(fù),對(duì)應(yīng)的繩長減小。

圖7 各根繩索的繩速變化Fig.7 Cable speed change for each cable

為簡化分析和計(jì)算,可假設(shè)P點(diǎn)沿軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)平臺(tái)只受重力及質(zhì)心加速度這兩方面因素的影響,即W2只考慮重力G和Fe這兩項(xiàng),動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量m=1.5 kg,G=14.7 N,繩索的最小張力和最大張力分別為tmin=0.1 N,tmax=20 N。

分別用式(17)～式(19)所示的方法,通過MATLAB仿真,求得P點(diǎn)沿軌跡1運(yùn)動(dòng)時(shí)的繩索張力變化曲線,如圖8～圖10所示。

圖8 張緊力方法Fig.8 Tension force method

圖8為采用張緊力方法求解繩索張力,P點(diǎn)沿軌跡1運(yùn)動(dòng),當(dāng)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)到工作空間邊緣時(shí),所求解出的部分張力值小于0,表明在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中,繩索發(fā)生虛牽,對(duì)吊裝機(jī)器人的安全運(yùn)行產(chǎn)生了影響。

圖9為采用非線性規(guī)劃方法求解繩索張力,張力曲線不光滑,在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中,存在張力突變的現(xiàn)象,影響機(jī)器人的平穩(wěn)運(yùn)行。

圖9 非線性規(guī)劃方法Fig.9 Nonlinear programming method

圖10為采用改進(jìn)二次規(guī)劃方法求解繩索張力,改進(jìn)二次規(guī)劃方法則克服了前兩個(gè)優(yōu)化算法的缺陷,它所求出的張力優(yōu)化解始終處于0.1～20 N的可行張力值范圍內(nèi),繩索張力值隨時(shí)間連續(xù)變化,從而保證在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過程中,不會(huì)出現(xiàn)繩索虛牽現(xiàn)象,且能實(shí)現(xiàn)繩索張力變化的連續(xù)性。

圖10 改進(jìn)二次規(guī)劃方法Fig.10 Improved quadratic programming method

當(dāng)?shù)跹b機(jī)器人沿圓形軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí),圖11為P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡2。

圖11 圓形曲線的軌跡圖Fig.11 Trajectory diagram of a circular curve

圖11中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡2滿足方程

(24)

當(dāng)P點(diǎn)沿軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí),通過繩索特解項(xiàng)求得未優(yōu)化的繩索張力,如圖12所示。

圖12 未優(yōu)化的繩索張力Fig.12 Unoptimized cable tension

在圖12中,當(dāng)P點(diǎn)沿軌跡2運(yùn)動(dòng)時(shí),存在部分張力值小于0的情況,不滿足繩索單向受力的條件,故需對(duì)繩索張力進(jìn)行優(yōu)化,采用改進(jìn)二次規(guī)劃方法優(yōu)化繩索張力,如圖13所示。

圖13 優(yōu)化的繩索張力Fig.13 Optimized cable tension

由圖12～圖13可知,通過繩索張力優(yōu)化前后的對(duì)比,改進(jìn)二次規(guī)劃求得的繩索張力優(yōu)化解介于張力上下限之間,張力優(yōu)化解隨時(shí)間連續(xù)變化,實(shí)現(xiàn)了繩索張力變化的連續(xù)性,確保了吊裝機(jī)器人的安全平穩(wěn)運(yùn)行,驗(yàn)證了改進(jìn)二次規(guī)劃優(yōu)化算法求解吊裝機(jī)器人繩索張力的合理性。

通過三種繩索張力優(yōu)化算法的對(duì)比,改進(jìn)二次規(guī)劃求解繩索張力的效果最佳,表明改進(jìn)二次規(guī)劃方法求解吊裝機(jī)器人繩索張力的連續(xù)性。

采用改進(jìn)二次規(guī)劃方法求解繩索張力,驗(yàn)證是否同時(shí)滿足式(21)和式(22)這兩個(gè)條件,由MATLAB計(jì)算的力可達(dá)工作空間如圖14所示。

圖14 力可達(dá)工作空間Fig.14 Wrench Feasible Workspace

圖14為吊裝機(jī)器人的力可達(dá)工作空間,力可達(dá)工作空間呈方形,力可達(dá)工作空間與系統(tǒng)框架之間構(gòu)成四個(gè)夾角區(qū)域,夾角區(qū)域方便吊裝機(jī)器人的安裝與拆卸;力可達(dá)工作空間主要位于系統(tǒng)框架的中心區(qū)域,其高度接近系統(tǒng)框架的高度,表明該吊裝機(jī)器人符合吊裝工作要求。

5 結(jié)論

對(duì)吊裝機(jī)器人進(jìn)行研究,得到以下結(jié)論。

(1)提出三球交點(diǎn)算法,將運(yùn)動(dòng)學(xué)正解、逆解仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,表明三球交點(diǎn)算法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的準(zhǔn)確性。

(2)提出改進(jìn)二次規(guī)劃方法,仿真結(jié)果表明,改進(jìn)二次規(guī)劃方法求解張力的效果最佳,它所求的繩索張力在張力上下限之間光滑連續(xù)變化,表明改進(jìn)二次規(guī)劃方法求解繩索張力的連續(xù)性和合理性。

(3)在張力優(yōu)化解的基礎(chǔ)上求解吊裝機(jī)器人的力可達(dá)工作空間,仿真結(jié)果分析,力可達(dá)工作空間主要位于系統(tǒng)框架的中心區(qū)域,其高度接近框架的高度,表明該吊裝機(jī)器人符合吊裝工作要求。