陳 坤, 劉 順, 金 隼

(上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240,E-mail: scu90ck@163.com)

提高機(jī)床精度是高端數(shù)控機(jī)床產(chǎn)品研發(fā)的目標(biāo),也是我國(guó)機(jī)床行業(yè)亟需加快突破的核心技術(shù)挑戰(zhàn)之一。幾何誤差和熱誤差是導(dǎo)致機(jī)床精度損失的最重要因素[1-2],由于幾何誤差具有重復(fù)性、可測(cè)量性和穩(wěn)定性[3],因此減小幾何誤差是提高機(jī)床精度最經(jīng)濟(jì)有效的方法之一。機(jī)床幾何誤差是指機(jī)床設(shè)計(jì)、制造導(dǎo)致的機(jī)床中各組成環(huán)節(jié)或部件的實(shí)際幾何參數(shù)和位置相對(duì)于理想值發(fā)生偏離的誤差,以五軸數(shù)控機(jī)床為例,其幾何誤差包含有位置度、直線度、角度等41項(xiàng),其產(chǎn)生、傳遞和作用機(jī)理復(fù)雜。機(jī)床幾何誤差正向設(shè)計(jì)時(shí)依據(jù)機(jī)床檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)和工程經(jīng)驗(yàn)對(duì)各軸精度進(jìn)行“靠近式”設(shè)計(jì),零件制造裝配后,對(duì)機(jī)床幾何誤差進(jìn)行檢測(cè),對(duì)超差部分進(jìn)行“修配”,使其精度達(dá)到檢測(cè)要求。這種依靠經(jīng)驗(yàn)式的設(shè)計(jì)與裝配,由于缺乏零部件誤差與機(jī)床幾何誤差映射關(guān)系的理論指導(dǎo),無(wú)法對(duì)幾何誤差進(jìn)行源頭追溯與量化處理,前期設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)公差賦值科學(xué)性不強(qiáng),導(dǎo)致修配的工作量大,裝配周期長(zhǎng)。

目前以國(guó)標(biāo)為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的機(jī)床設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn),僅僅規(guī)定了機(jī)床幾何誤差的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),并未對(duì)幾何誤差的設(shè)計(jì)做出指導(dǎo)。為了對(duì)機(jī)床幾何誤差進(jìn)行優(yōu)化,必須要建立幾何誤差的參數(shù)化模型,建立幾何誤差與零部件誤差的關(guān)聯(lián)關(guān)系,通過(guò)建立幾何誤差的約束方程,獲得幾何誤差的變動(dòng)范圍。雅可比旋量模型綜合運(yùn)用了適合公差傳遞的雅克比矩陣及適合公差表達(dá)的旋量模型,能夠?qū)θS空間內(nèi)的公差傳遞進(jìn)行表達(dá)與求解。陳華[4]利用雅克比旋量模型進(jìn)行發(fā)動(dòng)機(jī)裝配過(guò)程的優(yōu)化,提高了發(fā)動(dòng)機(jī)裝配精度與效率;丁司懿[5]針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)多級(jí)轉(zhuǎn)子堆疊裝配的特點(diǎn),基于雅可比旋量模型提出了主副基準(zhǔn)的概念,并提出了轉(zhuǎn)子堆疊的優(yōu)化裝配方法;杜正春等[6]將此模型應(yīng)用在機(jī)床裝配中,用于確定機(jī)械零件中的關(guān)鍵誤差如何影響和累積到綜合誤差,并對(duì)相關(guān)特征進(jìn)行了敏感性分析。黃杰等[7]針對(duì)機(jī)床制造和裝配過(guò)程中產(chǎn)生的幾何誤差, 提出了基于旋量理論的數(shù)控機(jī)床幾何誤差分離與補(bǔ)償方法。以上這些研究說(shuō)明了利用雅克比旋量模型進(jìn)行公差分析的適用性和有效性。

本文針對(duì)數(shù)控機(jī)床幾何誤差設(shè)計(jì)缺乏理論指導(dǎo),無(wú)法建立幾何誤差與機(jī)床零部件誤差映射關(guān)系的現(xiàn)狀,建立了基于雅克比旋量模型的數(shù)控機(jī)床幾何誤差的參數(shù)化模型,對(duì)幾何誤差的影響因素進(jìn)行分析溯源,為機(jī)床幾何誤差設(shè)計(jì)與調(diào)整提供了理論指導(dǎo)。

1 雅克比旋量模型

雅克比矩陣來(lái)源于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué),用于機(jī)器人各關(guān)節(jié)位姿與速度、加速度等參數(shù)的傳遞與計(jì)算,Laperrière和Lafond[8-9]將公差特征中的傳遞路徑視為虛擬關(guān)節(jié),將雅可比矩陣引入到裝配體的公差傳遞中,這樣可以用來(lái)計(jì)算功能要求在公差域中的變動(dòng),其矩陣表達(dá)式為:

(1)

(2)

其中:dxin=dxn-dxi,dyin=dyn-dyi,dzin=dzn-dzi。

▲圖1 旋量模型示意圖

旋量理論(Torsor Theory)最初是被用來(lái)描述物體的位姿變換,物體的任意位姿變動(dòng)都可以分解為一個(gè)繞某一直線的平動(dòng)和繞該直線的轉(zhuǎn)動(dòng),因此這種運(yùn)動(dòng)又被稱為螺旋運(yùn)動(dòng)[10]。后來(lái)Clément[11-13]將該理論應(yīng)用到公差模型的表達(dá)中,用一組沿著坐標(biāo)軸移動(dòng)的矢量ε和一組繞著坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的矢量ρ以對(duì)特征在公差域內(nèi)的變動(dòng)進(jìn)行表達(dá),如圖1所示。

S0為特征理論值,S1為特征在公差范圍內(nèi)的變動(dòng)值,那么變動(dòng)值S1相對(duì)理論值S0的波動(dòng)范圍為T,變動(dòng)后的特征S1相對(duì)變動(dòng)前的特征S0的旋量表達(dá)為:

(3)

式中:α、β與γ是繞坐標(biāo)軸的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量,u、v和w為沿著坐標(biāo)軸移動(dòng)的三個(gè)移動(dòng)矢量。此旋量表達(dá)了特征在公差域內(nèi)的波動(dòng)范圍,只要對(duì)旋量?jī)?nèi)的變動(dòng)矢量加以限制,即是對(duì)特征公差加以限制,這樣就建立了旋量?jī)?nèi)矢量波動(dòng)范圍與特征公差波動(dòng)范圍的關(guān)聯(lián)性。

雅克比旋量模型是由Desrochers等[14]提出的,該模型將適用于公差傳遞的雅可比矩陣模型與適合公差表達(dá)的旋量模型相結(jié)合,非常適合域三維公差分析與求解,近些年也受到研究者的廣泛關(guān)注。其模型表達(dá)為:

(4)

式中:方程左邊為功能需求特征的旋量表達(dá),方程右邊為功能特征的雅可比矩陣與功能特征的旋量表達(dá)。

2 數(shù)控機(jī)床幾何誤差的雅克比旋量建模

以五軸機(jī)床為例,其每個(gè)軸有幾何誤差6項(xiàng),三個(gè)移動(dòng)軸之間有垂直度誤差3項(xiàng),加上每個(gè)回轉(zhuǎn)軸垂直度誤差2項(xiàng)、位置度誤差2項(xiàng),共計(jì)41項(xiàng)幾何誤差。

2.1 運(yùn)動(dòng)軸軸內(nèi)幾何誤差的建模

根據(jù)ISO 230-1[15]對(duì)幾何誤差給出的定義,以Z軸為例,直線軸的6項(xiàng)誤差分別是εzz-Z軸的定位誤差,εyz-Y軸方向上的直線度誤差,εxz-X軸方向上的直線度誤差,δzz-繞Z軸回轉(zhuǎn)的角度誤差(滾轉(zhuǎn)誤差),δyz-繞Y軸回轉(zhuǎn)的角度誤差(俯仰誤差),δxz-繞X軸回轉(zhuǎn)的角度誤差(偏擺誤差)。在J-T模型中,解決的是尺寸鏈中功能需求特征在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的位姿變動(dòng)。機(jī)床床身工作臺(tái)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

▲圖2 數(shù)控機(jī)床X軸示意圖

工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閆方向,根據(jù)運(yùn)動(dòng)J-T模型的求解流程,功能需求為上方工作臺(tái)相對(duì)床身坐標(biāo)系的位姿變動(dòng),其表達(dá)為

(5)

2.2 運(yùn)動(dòng)軸軸間幾何誤差的建模

▲圖3 J-T模型下垂直度幾何誤差的對(duì)應(yīng)

對(duì)于軸間的幾何誤差,以X軸與Y軸間的軸間誤差Sxy為例進(jìn)行討論,如圖3所示。

機(jī)床X軸與Y軸均固定在基座上,機(jī)床的X軸運(yùn)動(dòng)依靠X軸滑塊在X軸導(dǎo)軌上的滑動(dòng),機(jī)床Y軸運(yùn)動(dòng)依靠Y軸滑塊在Y軸導(dǎo)軌上的滑動(dòng),X軸導(dǎo)軌滑塊及其上的附屬部件形成X軸的六項(xiàng)幾何誤差,Y軸導(dǎo)軌滑塊及其上的附屬部件形成Y軸的六項(xiàng)幾何誤差。

以X軸導(dǎo)軌為基準(zhǔn),Y軸導(dǎo)軌相對(duì)X軸導(dǎo)軌的位姿變動(dòng)構(gòu)成了Y軸相對(duì)于X軸的幾何誤差,根據(jù)J-T模型的求解流程,功能需求為Y軸導(dǎo)軌相對(duì)于X軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動(dòng),其表達(dá)為

(6)

▲圖4 J-T模型下X與Y軸垂直度幾何誤差的對(duì)應(yīng)

根據(jù)X軸與Y軸之間垂直度的定義,以X軸為基準(zhǔn),Y軸與X軸之間實(shí)際角度與直角的差異,反映在J-T模型中,即是Y軸導(dǎo)軌相對(duì)X軸導(dǎo)軌的繞Z軸旋轉(zhuǎn),即對(duì)應(yīng)上式γ角,如圖4所示。

由圖4示可以看出,Y軸導(dǎo)軌相對(duì)X軸導(dǎo)軌的γ轉(zhuǎn)角即是X軸與Y軸間的垂直度誤差,只需建立二軸的J-T模型獲取Y軸導(dǎo)軌相對(duì)于X軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動(dòng),就可以對(duì)Sxy的波動(dòng)范圍進(jìn)行表達(dá)。同理,對(duì)于Y軸與Z軸間的垂直度誤差Syz,只需建立Y軸與Z軸的J-T模型獲取Z軸導(dǎo)軌相對(duì)于Y軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動(dòng)中的α轉(zhuǎn)角波動(dòng)范圍;對(duì)于X軸與Z軸間的垂直度誤差Sxz,只需建立X軸與Z軸的J-T模型獲取Z軸導(dǎo)軌相對(duì)于X軸導(dǎo)軌坐標(biāo)系的位姿變動(dòng)中的β轉(zhuǎn)角波動(dòng)范圍,即可實(shí)現(xiàn)直線軸三個(gè)垂直度誤差的對(duì)應(yīng)。

由此可見,通過(guò)遴選基準(zhǔn)坐標(biāo)與目標(biāo)點(diǎn),基于雅可比旋量模型建立其描述方程,可以構(gòu)造所有幾何誤差的參數(shù)化表達(dá)。通過(guò)雅克比旋量模型進(jìn)行機(jī)床幾何誤差參數(shù)化表達(dá)的關(guān)鍵在于確定基準(zhǔn)坐標(biāo)系與特征需求。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)以某公司某型號(hào)數(shù)控機(jī)床的εxz(Z軸方向上的X向直線度誤差)為例,對(duì)本文提出的基于雅克比旋量模型的幾何誤差參數(shù)化表達(dá)方法的有效性進(jìn)行說(shuō)明,同時(shí)對(duì)其表達(dá)的精確性進(jìn)行驗(yàn)證。仍以圖2所示的臥式機(jī)床Z軸裝配體為例進(jìn)行說(shuō)明,機(jī)床Z軸零部件的尺寸圖見圖5所示,尺寸表見表1,特征需求為滑塊上表面相對(duì)于床身坐標(biāo)系的位姿變動(dòng)。

表1 Z軸裝配體尺寸表

▲圖5 Z軸裝配零部件尺寸圖

根據(jù)機(jī)床Z軸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),零部件裝配形式及公差,可得到機(jī)床Z軸相關(guān)功能元素的運(yùn)動(dòng)雅可比矩陣和相關(guān)特征旋量的表達(dá)如表2所示。

表2 數(shù)控機(jī)床Z軸子裝配功能元素的雅可比矩陣及旋量

根據(jù)表2可知,滑塊上表面相對(duì)床身底面坐標(biāo)系的位姿變換的FR(功能需求)表達(dá)式為

(7)

此處εxz對(duì)應(yīng)旋量表達(dá)中的v分量,帶入雅可比矩陣與旋量數(shù)據(jù),得

v∈[0,0.014]

(8)

依據(jù)6σ原則,

εxz∈[0.004 7,0.009 3]

(9)

▲圖6 數(shù)控機(jī)床εxz幾何誤差的測(cè)量

為了對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,對(duì)某公司PT50五臺(tái)機(jī)床的εxz進(jìn)行測(cè)量,如圖6所示。在工作臺(tái)上置檢測(cè)板,主軸上置千分表,千分表指針頂住檢測(cè)板右側(cè)面,工作臺(tái)沿Z軸運(yùn)動(dòng),千分表的示數(shù)波動(dòng)量即是Z軸的X向誤差,測(cè)量結(jié)果與模型結(jié)果的對(duì)比如圖7所示。

▲圖7 雅可比矩陣模型參數(shù)化εxz與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的比對(duì)

由實(shí)驗(yàn)與模型對(duì)比可以看出,實(shí)驗(yàn)測(cè)量的機(jī)床幾何誤差均在通過(guò)雅可比旋量模型參數(shù)化獲得的幾何誤差的公差范圍內(nèi),證明了通過(guò)雅可比旋量模型對(duì)幾何誤差進(jìn)行參數(shù)化表達(dá)的有效性,為后續(xù)通過(guò)雅可比旋量模型對(duì)幾何誤差的傳遞建模打下了基礎(chǔ)。