孫曉鵬,姚鳳麒

(安徽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院,安徽 馬鞍山 243032)

0 引 言

數(shù)字圖像作為一種多媒體資源,是新時(shí)代人們交流的重要手段,不僅可以承載大量信息,還可以直觀形象地表達(dá)信息內(nèi)容,在商業(yè)、教育、醫(yī)學(xué)研究、航空航天、軍事和政治等各個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。一些圖像可能涉及到國家安全和個(gè)人隱私,例如軍事基地、衛(wèi)星偵察和生物識(shí)別信息,而未經(jīng)允許的密碼分析對圖像信息的安全傳播構(gòu)成了巨大的威脅?；煦缦到y(tǒng)因其天然的復(fù)雜性、隨機(jī)性和跨學(xué)科性,為圖像安全通信提供了良好的加密基礎(chǔ)。因此,如何有效地利用混沌系統(tǒng)保護(hù)圖像通信的安全問題引起了各國學(xué)者的高度關(guān)注[1-5]。

混沌理論是非線性科學(xué)中的重要研究方向,構(gòu)造具有復(fù)雜性質(zhì)的簡單混沌系統(tǒng)仍然是理論研究的主要內(nèi)容之一。擺玉龍等人提出了一種多渦卷混沌系統(tǒng)[6],并在物理層面實(shí)現(xiàn)其特性。臧鴻雁等人提出一種二次多項(xiàng)式混沌系統(tǒng)[7],借此構(gòu)造了S盒算法。Li等人構(gòu)造了一種5維多翼的混沌系統(tǒng)[8],具有高維數(shù)高復(fù)雜性的特點(diǎn)。Xiong等人首次提出了一種可以在不同參數(shù)下生成單卷、雙卷、三卷和四卷吸引子的三維自治系統(tǒng)[9]。李茹依等人結(jié)合了混沌系統(tǒng)和生物神經(jīng)系統(tǒng),提出了一種高度非線性的混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力系統(tǒng)[10]。在混沌學(xué)的研究發(fā)展過程中,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)并提出了大量的混沌系統(tǒng),混沌系統(tǒng)的特性、作用與功能也被進(jìn)一步發(fā)掘。

在早期的圖像加密研究中,人們發(fā)現(xiàn)圖像因其龐大的數(shù)據(jù)量和較強(qiáng)的冗余特性,一般的文本數(shù)據(jù)加密方法并不適合圖像加密。而混沌系統(tǒng)對初值和系統(tǒng)參數(shù)的高度敏感性、優(yōu)良的遍歷性和偽隨機(jī)性,使得它成為圖像加密中的研究熱點(diǎn)。因此,一些學(xué)者提出了基于混沌系統(tǒng)的DNA編碼[11-12]、置亂擴(kuò)散[13]、Arnold變換[14]、壓縮感知[15]等技術(shù)的圖像加密算法。然而上述算法中密碼僅由唯一密鑰決定,易受已知或選擇明文攻擊,且混沌系統(tǒng)維度較低,結(jié)構(gòu)復(fù)雜。該文利用RSA算法的非對稱密鑰加密方法以及構(gòu)造了一種具有較大李雅普諾夫指數(shù)的四維四翼混沌系統(tǒng),彌補(bǔ)了這一缺陷,并基于構(gòu)造的混沌系統(tǒng)提出了一種明文相關(guān)的圖像加密系統(tǒng),使得加密明文圖像的密碼與RSA算法中的公鑰和密鑰以及明文圖像相關(guān)聯(lián)。此加密系統(tǒng)利用明文相關(guān)的置亂和擴(kuò)散將圖像分成塊,對每個(gè)塊依次加密,每個(gè)塊的密碼流由其前一個(gè)塊的密碼塊和密鑰共同生成,即加密系統(tǒng)與明文相關(guān),在一定程度上提高了抵抗選擇或已知明文攻擊,增強(qiáng)了系統(tǒng)安全性,提升了加解密速度。

RSA算法是一種非對稱加密算法,由公鑰、密鑰、明文、密文四部分組成。RSA算法的安全性取決于對極大整數(shù)因數(shù)分解的難度,對一極大整數(shù)做因數(shù)分解愈困難,RSA算法愈可靠。因此,科研學(xué)者在圖像加密領(lǐng)域?qū)SA算法進(jìn)行了廣泛的研究和應(yīng)用[16]。Wang等人為了增強(qiáng)密碼系統(tǒng)的安全性能,提出了一種結(jié)合RSA算法的混沌同步系統(tǒng)[17],實(shí)現(xiàn)了雙重加密。Yosefnezhad提出了一種基于置亂算法和RSA算法的數(shù)字圖像水印模型[18],通過對原圖像進(jìn)行離散小波變換和奇異值分解將水印嵌入到圖像中,足以保證隱藏?cái)?shù)據(jù)的安全性。該文基于RSA算法數(shù)據(jù)量大、魯棒性強(qiáng)、計(jì)算效率高等特點(diǎn)生成混沌系統(tǒng)初始值,加強(qiáng)混沌系統(tǒng)隨機(jī)性從而提高加密算法的安全性能。

1 新型四維四翼混沌系統(tǒng)

在一個(gè)三維自治混沌系統(tǒng)中加入了一個(gè)非線性狀態(tài)反饋控制器w,從而得到了一個(gè)新型四維四翼混沌系統(tǒng),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(1)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=10,b=2,c=12,d=50,e=5,由四階龍格庫塔計(jì)算得到四個(gè)Lyapunov指數(shù),分別為LE1=2.80,LE2=0.04,LE3=-5.30,LE4=-50.54,系統(tǒng)存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)且其數(shù)值較大。其相空間映射圖如圖1所示。

圖1 混沌系統(tǒng)相圖

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性

(2)

當(dāng)a=10,b=2,c=12,d=50,e=5時(shí),求解公式(2),解得混沌系統(tǒng)有5個(gè)平衡點(diǎn),S0=[0,0,0,0],S1,3=[±24.494 9,14.494 9,±7.101 0,±71.010 2],S2,4=[±24.494 9,-34.494 9,±16.899 0,±168.989 8]。在平衡點(diǎn)處對公式(1)線性化處理得其Jacobi矩陣:

(3)

令det=(J-λI)=0,其中I為單位矩陣,根據(jù)每個(gè)平衡點(diǎn)相對應(yīng)的Jacobi矩陣可求得相應(yīng)的特征值。根據(jù)特征值可知平衡點(diǎn)S0是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn),其他四個(gè)平衡點(diǎn)S1、S2、S3、S4是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

2.2 Poincaré映射

觀察混沌系統(tǒng)在不同截面上的Poincaré映射也是一種分析混沌運(yùn)動(dòng)的有效方式。圖2為x-y平面上的Poincaré映射,可以觀察到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡在平面上留下的點(diǎn)是成片的密集點(diǎn),證明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是混沌運(yùn)動(dòng)。

圖2 Poincaré截面圖

2.3 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

令c∈(0,45),改變參數(shù)c的值,其他參數(shù)固定不變,通過Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖觀察系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。關(guān)于變量c變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖分別如圖3、圖4所示。觀察圖中曲線可知,當(dāng)c在區(qū)間(0,3.5],[4.2,6.3),[10.4,24.5),[24.7,38.1)內(nèi),系統(tǒng)存在正的Lyapunov指數(shù)并且出現(xiàn)周期分叉現(xiàn)象,此時(shí)處于混沌狀態(tài)。當(dāng)c在區(qū)間(3.5,4.2),(6.3,10.4),[24.5,24.7),[38.1,45]內(nèi),只存在一個(gè)Lyapunov指數(shù)等于零,其他三個(gè)指數(shù)均小于零,此時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài),分岔圖的變化趨勢和Lyapunov指數(shù)譜幾乎一致。

圖3 Lyapunov指數(shù)譜

圖4 隨參數(shù)c變化的分岔圖

3 電路仿真

本節(jié)采用Multisim軟件平臺(tái)設(shè)計(jì)混沌系統(tǒng)的電路,通過分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果來進(jìn)一步驗(yàn)證混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。由理論數(shù)據(jù)分析可知,系統(tǒng)所有狀態(tài)變量都超出了器件動(dòng)態(tài)范圍,為了避免輸入信號(hào)過小造成乘法器輸出誤差過大,需要對系統(tǒng)變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋壤龎嚎s變換。令x=kx,y=ky,z=kz,w=kw,t=τ0t。其中,k是比例變換因子且k=0.025,τ0是時(shí)間尺度變換因子,τ0=100。應(yīng)用上述變換得到:

(4)

根據(jù)電路理論知識(shí),可以得到該電路狀態(tài)方程為:

(5)

根據(jù)狀態(tài)空間方程可得到元件參數(shù)分別為C1=C2=C3=C4=0.1 μF,R1=10 kΩ,R2=R4=R9=R11=250 Ω,R3=50 kΩ,R5=8.3 kΩ,R6=R7=R12=R13=10 kΩ,R8=2 kΩ,R10=20 kΩ。

令uc1=x,uc2=y,uc3=z,uc4=w,則公式(4)和公式(5)是等價(jià)的。電路仿真結(jié)果如圖5所示。通過比較可以發(fā)現(xiàn)電路仿真結(jié)果和數(shù)值分析結(jié)果基本一致,證實(shí)了該混沌系統(tǒng)存在吸引子,說明了該系統(tǒng)在物理上是可以實(shí)現(xiàn)的。

(a)x-y平面 (b)x-z平面圖5 電路仿真

4 圖像加解密方案

4.1 RSA算法

RSA算法是一種非對稱加密算法,是三位數(shù)學(xué)家Rivest、Shamir、Adleman在1978年首次提出。與對稱加密算法不同的是,RSA算法有兩個(gè)不同的密鑰,一個(gè)是公鑰,一個(gè)是私鑰。如果數(shù)據(jù)用公鑰加密,則需要對應(yīng)的私鑰才能解密,相反如果用私鑰加密,需要公鑰解密。由于加密和解密使用兩個(gè)不同的密鑰,所以這種算法稱為非對稱加密算法。目前,RSA算法仍然是應(yīng)用最廣泛的非對稱加密算法,其基于歐拉定理,安全性取決于大數(shù)模冪運(yùn)算,位數(shù)越高則安全性越高。該文運(yùn)用RSA加密算法生成混沌系統(tǒng)的初始值,這種算法可以使用接受方的已知公鑰對密文進(jìn)行加密,接收者收到密文后使用自己的私鑰解密得到明文,在此過程中只有接收方可以獲取到私鑰信息。

加密步驟如下:

步驟1:隨機(jī)選取兩個(gè)不相等的質(zhì)數(shù)p和q,計(jì)算出n=p*q和n的歐拉函數(shù)φ(n),其中φ(n)=(p-1)*(q-1)。

步驟2:隨機(jī)選取一個(gè)整數(shù)e,滿足1

步驟4:式(6)通過對加密后的密文和原文進(jìn)行計(jì)算得到混沌系統(tǒng)的初始值。

(6)

4.2 混沌序列

將參數(shù)x0、y0、z0、w0代入混沌系統(tǒng)迭代生成混沌序列,為保證隨機(jī)性,舍棄前100次迭代。設(shè)明文圖像是大小為M×N的矩陣,令混沌系統(tǒng)迭代M×N次生成四個(gè)向量{xi,yi,zi.wi},i=1,2,…,M×N,由這4個(gè)向量生成4個(gè)大小為M×N的偽隨機(jī)序列X1,X2和Y1,Y2,一個(gè)偽隨機(jī)矩陣Z:

(7)

4.3 加取模擴(kuò)散

在加取模擴(kuò)散中,僅進(jìn)行一次運(yùn)算無法將明文的像素點(diǎn)信息完全擴(kuò)散,所以利用偽隨機(jī)序列X1和X2對原始圖像矩陣P進(jìn)行一次正向算法和一次逆向算法得到矩陣C:

(8)

4.4 明文相關(guān)置亂

利用偽隨機(jī)矩陣Z進(jìn)行置亂處理以消除明文圖像中相近像素點(diǎn)間的相關(guān)性,此過程中需要將得到的圖像矩陣C中的像素點(diǎn)C(i,j)和C(m,n)對換位置,對換步驟如下:

步驟1:將C(i,j)與C(m,n)對換位置,其中C(M,1 toN)和C(1 toM,N)不參與位置置亂,位置(m,n)的計(jì)算方式如下:

(9)

步驟2:此時(shí)得到的圖像矩陣記為D,分別將D(M,j)和D(i,N)與D(m,n)對換位置:

(10)

(11)

步驟3:對換后的矩陣記為矩陣E,置亂E(M,N)的位置,對換規(guī)則如下:

i=1,2,…,M-1,j=1,2,…,N-1

(12)

按照上述方法,先置亂矩陣C的元素C(1 toM-1,1 toN-1),接著分別置亂矩陣C的第M行C(M,1 toN-1)和第N列C(1 toM-1,N),最后置亂矩陣C的元素(M,N)得到置亂后的圖像矩陣F。

4.5 GF(17)域乘法擴(kuò)散

將二維圖像矩陣F轉(zhuǎn)化為一維向量,借助于GF(17)有限域的乘法運(yùn)算對矩陣F進(jìn)行擴(kuò)散處理:

(13)

擴(kuò)散得到的矩陣G即為加密后的最終圖像,解密過程即上述加密過程的逆過程。

5 安全性分析

5.1 加密效果

在USC-SIPI數(shù)據(jù)集中挑選了一些實(shí)驗(yàn)圖像,觀察算法的加密效果。在實(shí)驗(yàn)過程中,選取極大素?cái)?shù)p=3 259,q=3 821和公鑰e=1 288 367計(jì)算出私鑰d=3 385 223。隨機(jī)選取的4個(gè)極大整數(shù)為m1=178 334,m2=38 628,m3=92 873 897,m4=829 809,經(jīng)過加密后得到密文c1=11 587 151,c2=1 799 483,c3=12 452 638,c4=4 198 591。由公式(6)得到混沌系統(tǒng)初始值x0=4.034 9,y0=3.797 9,z0=4.298 0,w0=3.928 2。實(shí)驗(yàn)圖像的加密效果如圖6所示,可以看到密文圖像中呈噪聲狀分布,無法解讀出有效信息,證明提出的加密算法是有效的。

(a)明文圖像 (b)密文圖像圖6 加密效果

5.2 圖像直方圖分析

圖像的直方圖是重要的密文統(tǒng)計(jì)特性,直方圖是表示數(shù)字圖像中每個(gè)灰度出現(xiàn)概率的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。理想的直方圖分布應(yīng)該均勻分布以抵御統(tǒng)計(jì)分析的攻擊。以Lena圖像為例,對圖像直方圖分布進(jìn)行分析,并使用卡方檢驗(yàn)來評(píng)估圖像直方圖的均勻性,卡方計(jì)算公式為:

(14)

其中,i是灰度等級(jí),fi是觀察到的直方圖中每個(gè)灰度值的像素點(diǎn)頻數(shù)分布,g是理論頻數(shù)分布,借助公式對圖像進(jìn)行卡方檢驗(yàn)。

(a)明文圖像 (b)密文圖像圖7 圖像直方圖

5.3 相關(guān)性分析

相關(guān)系數(shù)是圖像相鄰像素之間的線性相關(guān)性。在明文圖像中水平、垂直和對角方向相關(guān)性較強(qiáng),而在密文圖像中這些方向上的相鄰像素幾乎沒有相關(guān)性。相關(guān)系數(shù)公式如下:

(15)

其中,rxy是相關(guān)系數(shù),x和y是兩個(gè)相鄰像素的灰度值,取n對相鄰像素點(diǎn)。該文從原始圖像中隨機(jī)取2 000對相鄰像素點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),對密文圖像在水平、垂直、對角方向上的相關(guān)性進(jìn)行分析,一般而言,相關(guān)系數(shù)的值介于-1和1之間,越接近于0加密效果越好。實(shí)驗(yàn)對Lena圖像在水平、垂直、對角方向上的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析,并對比了不同的加密算法關(guān)于Lena圖像的相關(guān)系數(shù),分析數(shù)據(jù)列于表1中。

表1 相鄰像素在不同方向上的相關(guān)系數(shù)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,提出的算法得到的密文圖像相鄰像素點(diǎn)在不同方向上的相關(guān)性接近于0,打破了明文圖像中像素的相關(guān)性,近似無相關(guān)性,能夠有效抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊。

5.4 信息熵

信息熵反映了加密算法的安全強(qiáng)度和圖像像素信息的不確定性,信息熵值越大,則不確定性越大,可視信息越少。信息熵的計(jì)算公式為:

(16)

其中,L表示圖像的灰度等級(jí),p(i)表示灰度值i出現(xiàn)的概率。對于灰度等級(jí)為256的圖像,其信息熵H的理論值為8。密文圖像的信息熵越高,像素值的分布越均勻。表2給出了明文圖像和相應(yīng)密文圖像的信息熵,彩色圖像的信息熵為R、G、B三個(gè)通道信息熵的平均值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,密文圖像的信息熵值非常接近于理論值8,而明文圖像的信息熵與理論值有所差別,表明該算法可以有效防止信息泄露。

表2 不同圖像的信息熵

5.5 抗差分攻擊性能分析

一般來說,通過對比兩張圖像中明文圖像和改變明文圖像中一個(gè)像素的新密碼圖像來分析差分攻擊中明文圖像和密文圖像的關(guān)系。利用NPCR和UACI來分析所提出的密碼系統(tǒng)對于差分攻擊的抵抗能力是一種有效且普遍的方式。NPCR是像素變化率,它表示原始圖像中一個(gè)像素點(diǎn)變化時(shí)密文圖像中變化的像素點(diǎn)數(shù)。UACI是統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度,它表示原始圖像中一個(gè)像素點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)密文圖像中像素點(diǎn)的差異程度。它們的計(jì)算公式如下:

(17)

其中,圖像大小為M×N,T為圖像灰度等級(jí),C1為密文圖像,C2為原始圖像中改變一個(gè)像素點(diǎn)后的密文圖像。每一組實(shí)驗(yàn)中,僅隨機(jī)改變原始圖像中的一個(gè)像素點(diǎn),變化量的值為1。從200組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中計(jì)算出NPCR和UACI的平均值。計(jì)算得出的平均值列于表3中。從表3中可以看到,NPCR均值和UACI均值分別接近于99.609 4%和33.463 5%,說明提出的加密系統(tǒng)在加密的過程中可以有效地將圖像的微小差異傳播到整個(gè)密文中,具有非常好的抗差分攻擊能力。

表3 不同加密圖像的NPCR和UACI均值

6 結(jié)束語

該文提出了一種新的四維四翼混沌系統(tǒng),對其平衡點(diǎn)性質(zhì)、穩(wěn)定性、Poincaré截面圖、Lyapunov指數(shù)譜以及分岔圖做出分析,充分研究了系統(tǒng)的混沌特性。結(jié)合RSA算法和新混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)的圖像加密系統(tǒng)將彩色圖像分為R、G、B三個(gè)通道分別進(jìn)行加密,并在第一階段使用RSA算法生成安全密鑰作為初始值。對密碼系統(tǒng)進(jìn)行性能分析,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明新混沌系統(tǒng)和RSA算法的引入使得密碼系統(tǒng)對明文高度敏感,很大程度上增強(qiáng)了抗攻擊性能和安全性,具有廣泛應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域的潛在價(jià)值。亦可通過使用更加復(fù)雜的混沌系統(tǒng)或憶阻器等產(chǎn)生真隨機(jī)序列進(jìn)一步擴(kuò)展研究工作。