李克訥 袁偉明 唐春怡 劉超 賀之祥 曾卓維

摘 要：為提升六自由度機械臂的絕對定位精度，提出了基于Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）方法的機械臂幾何參數(shù)標定方法：在建立基于微分變換理論和MD-H建模方法的機械臂末端定位誤差辨識模型的基礎上，用最小二乘法求解去除冗余參數(shù)的誤差辨識模型，得到機械臂幾何參數(shù)誤差，并通過修正運動學幾何參數(shù)，實現(xiàn)了對機械臂末端絕對定位精度的補償。對機械臂6組樣本點實測結(jié)果表明：經(jīng)過運動學參數(shù)辨識和補償修正后，機械臂末端絕對定位精度得到顯著提高，驗證了該參數(shù)辨識方法的可操作性和有效性，為后續(xù)參數(shù)標定技術(shù)研究提供參考。

關(guān)鍵詞：六自由度機械臂；絕對定位精度；運動學參數(shù)辨識；誤差補償；最小二乘法

中圖分類號：TP241 ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.03.011

0 引言

機器人定位精度是評估機器人綜合性能的重要指標之一，可衡量機器人末端到達預期工作空間的準確程度[1-2]。定位精度可分為重復定位精度和絕對定位精度[3]。在實際生產(chǎn)應用中，機器人的重復定位精度高，能夠滿足大部分場合的需求。由于受機械部件加工、裝配產(chǎn)生的誤差以及在使用過程中出現(xiàn)磨損等因素的影響，使得機器人的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)（如連桿長度、關(guān)節(jié)角度等）存在誤差，導致機器人絕對定位精度低[4-5]。目前，提高機器人絕對定位精度的方式主要是在不改變機器人的硬件結(jié)構(gòu)以及控制器的條件下，通過建立機器人幾何參數(shù)與末端位姿誤差映射關(guān)系來修正補償機器人末端的定位精度，即運動學參數(shù)標定方法[6]。該方法因經(jīng)濟成本低、普適性強且效果顯著而被廣泛應用于提升機器人絕對定位精度研究中[7]。

運動學參數(shù)建模是幾何參數(shù)標定方法的基礎[6]。目前，Denavit-Hartenberg（D-H）建模方法因所需參數(shù)最少、建模簡單的優(yōu)點成為運動學幾何參數(shù)標定常用的建模工具[8]。但當機器人存在相鄰2個關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行時，會出現(xiàn)機器人連桿的幾何參數(shù)突變情況（如連桿偏移量變化很大甚至到無窮），使得模型存在奇異性[9]。為解決此問題，文獻[10-12]分別提出POE（post occupancy evaluation，POE）模型、CPC（compound parabolic concentrator，CPC）模型和六參數(shù)模型，很好地滿足了運動學模型連續(xù)性要求，但仍存在理論復雜、求解困難、與目前的機器人控制器適配性差、不容易實現(xiàn)參數(shù)補償?shù)葐栴}。Hayati[13]提出Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）建模方法，即當機器人存在相鄰關(guān)節(jié)軸平行或接近平行的情況時增加一個繞Y軸旋轉(zhuǎn)的參數(shù)。該方法有效解決了D-H模型的參數(shù)突變問題，并繼承了D-H模型建模簡單、適用范圍廣、可操作性強的優(yōu)點。文獻[14]基于MD-H方法建立運動學誤差模型，在實驗中取得了較好結(jié)果，驗證了該建模方法的有效性。

本文針對相鄰關(guān)節(jié)平行的六自由度機械臂存在絕對定位精度較低、機械臂末端位置誤差較大的問題進行研究。為滿足機械臂的工作需求，提高機械臂絕對定位精度，建立基于MD-H建模方法和機器人微分運動理論的機械臂末端位姿誤差模型，應用最小二乘法求解誤差模型，再對機械臂進行絕對定位精度修正補償實驗。

1 運動學參數(shù)辨識模型建立

1.1 運動學建模與仿真驗證

本文針對6個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的六自由度機械臂進行研究。運動學模型是機械臂參數(shù)標定的基礎，采用目前最為廣泛的D-H建模方法[15]。依照D-H建模原則，首先構(gòu)建6個連桿坐標系。坐標系[Zi]軸定義：根據(jù)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)[（i+1）]的軸線和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)向，采用右手定則確定；坐標系[Xi-1]軸定義為：2個相鄰關(guān)節(jié)軸線的公垂線重合，其方向是從[Zi-1]軸指向[Zi]軸；坐標系原點[O0]定義為：在過[Zi-1]軸和[Zi]軸的公法線與[Zi-1]軸的交點，機械臂底座中心定為基底坐標系[O0]；坐標系Y軸由右手法則確定[16]。其次，D-H參數(shù)值定義如下，連桿長度[ai]：相鄰關(guān)節(jié)軸之間連桿的距離；扭轉(zhuǎn)角[αi]：[X]軸與相鄰坐標系[Z]軸的夾角；連桿偏置[di]：相鄰連桿在Z軸方向的偏移量；關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角[θi]：表示關(guān)節(jié)繞軸線轉(zhuǎn)動的角度[17]。六自由度機械臂完整的連桿坐標系模型如圖1所示。根據(jù)圖1推算出機械臂D-H幾何參數(shù)表的各個參數(shù)值，具體參數(shù)值如表1所示。

由誤差系數(shù)矩陣[Gi]可知，機械臂末端的位置誤差對機器人末端定位精度的影響比末端連桿姿態(tài)誤差的影響更加直接，且在實際測試實驗中末端位置坐標信息更容易測得。因此，在后續(xù)的誤差參數(shù)辨識和精度補償實驗中僅分析末端位置誤差[dx，dy，dzT]而不分析末端姿態(tài)[δx， δy， δzT]，即研究分析[dx]、[dy]和[dz]并減少它們的誤差，從而實現(xiàn)對機械臂絕對定位精度的提高。

2 誤差參數(shù)辨識

完成機械臂運動學模型和末端位姿誤差模型的建立后，需要對機械臂工作空間內(nèi)末端位置點進行測量。為了提高機械臂運動學標定的適用性和有效性，所選取的樣本點需要在機械臂常用工作空間范圍內(nèi)。結(jié)合機械臂的關(guān)節(jié)角、硬件結(jié)構(gòu)、機械限位等要求，采用蒙特卡羅方法得到機械臂工作空間的范圍是：[x∈-350.4，364.3mm]，[y∈-362.3，367.3mm]，[z∈-245.4，407.3mm]。

在機械臂常用工作空間內(nèi)一個正方形軌跡上選取6個點的空間位置坐標，通過逆運動學求解出這6個位置點對應的6組關(guān)節(jié)角度[θi]，如此能確保關(guān)節(jié)角[θi]滿足機械臂的結(jié)構(gòu)要求。將6組關(guān)節(jié)角度[θi]分別輸入機械臂控制器中，使用測量工具依次測量機械臂運行后末端在基坐標系下的位置，記錄為[pr]。6組樣本點數(shù)據(jù)如表3所示。

由MD-H模型定義分析可知[d1]、[d2]、[β1]、[β3]、[β4]、[β5]、[β6]為冗余參數(shù)，不需要辨識，因此機械臂誤差模型需要辨識23個幾何參數(shù)。根據(jù)上文建立的機械臂末端誤差辨識模型（式（14））可知，辨識的參數(shù)誤差[Δm]越準確，則誤差模型中的[JΔm]計算出的解將會越靠近實際誤差值[E]。所以對模型辨識出的誤差結(jié)果進行最小化準則：minimize[ E-JΔm]。

最小二乘法求解通式如式（15）所示：

[Δm=（JTJ）-1JTE]. （15）

式中：[Δm]是[23×1]的誤差參數(shù)矩陣，[（JTJ）-1JT]是[J]矩陣的左廣義逆矩陣。由于[J]矩陣不是方陣，不能直接求逆，用[J]矩陣的左廣義逆矩陣來代替逆矩陣。

參數(shù)辨識的具體步驟為：

Step 1 將樣本的6組關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)[θi]分別結(jié)合表2的機械臂幾何參數(shù)數(shù)值，通過正運動學模型，計算得到6組末端連桿的理論位置坐標點[pn]；

Step 2 將樣本的6組關(guān)節(jié)角度數(shù)據(jù)[θi]分別輸入機械臂控制器中，控制機械臂運動，測得機械臂末端連桿的位置坐標[pr]；

Step 3 用實際測量的位置坐標[pr]減去理論位置坐標[pn]得到實際位置誤差[ΔE]；

Step 4 將6組實際位置誤差[ΔE]代入建立的機械臂運動學幾何參數(shù)辨識模型（式（15））中，使用最小二乘法求解誤差模型，得出6組幾何參數(shù)誤差，對6組參數(shù)誤差求取平均值得到誤差參數(shù)的修正值[Δm]。

機械臂MD-H模型參數(shù)辨識結(jié)果如表4所示。

由表4可見，通過誤差模型求解得到參數(shù)誤差，證明建立的運動學模型與機械臂實際結(jié)構(gòu)存在偏差，實際影響機械臂運動學參數(shù)誤差的因素主要是由零件加工制造、機械臂裝配偏差引起[21]。其中，長度類誤差[Δai]、[Δdi]和[Y]軸旋轉(zhuǎn)量誤差[Δβi]是由于機械臂在加工、裝配過程中的誤差和軸承竄動引起的。關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角偏差[Δai]是指關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸軸線與理論坐標系坐標軸的偏差，與角度傳感器的安裝誤差有關(guān)。而關(guān)節(jié)角誤差[Δθi]屬于編碼器誤差，主要是伺服電機中關(guān)節(jié)編碼器的零位角度誤差。其次，在數(shù)據(jù)采集過程中存在測量誤差，在使用最小二乘法求解誤差模型過程中存在計算誤差，這些誤差也會對機器人運動學參數(shù)產(chǎn)生影響。研究結(jié)果表明，機器人各關(guān)節(jié)的幾何參數(shù)誤差對絕對定位誤差的影響占據(jù)系統(tǒng)總誤差的80%～90%[22-23]。因此，修正機械臂的幾何參數(shù)誤差對提升機械臂的絕對定位精度極其重要。

將通過求解誤差模型所辨識出的表4中的參數(shù)誤差值補償?shù)揭呀?jīng)建立的機械臂MD-H模型參數(shù)中，即在表2的MD-H參數(shù)值基礎上加上表4參數(shù)的修正值，得到修正后的機械臂MD-H參數(shù)，如表5所示。

3 精度補償實驗及標定結(jié)果分析

使用修訂后的運動學參數(shù)（表5的數(shù)據(jù)）建立MD-H模型，輸入表3中6組樣本點的關(guān)節(jié)角度[θi]，得到修正后的理論位置坐標[p'n]。模型修正后的位置誤差數(shù)據(jù)[E']由實際的測量位置坐標[pr]減去修正后的理論位置坐標[p'n]得到。在此次實驗中，只需要重新計算機械臂末端理論位置，不需要重新測量參數(shù)誤差補償后的機械臂末端位置，可降低因測量誤差帶來的誤差影響。6組樣本點位置數(shù)據(jù)經(jīng)過誤差參數(shù)修正后的結(jié)果如表6所示。

機械臂末端絕對定位精度在標定補償前后的對比如表7所示。由表7統(tǒng)計量前后對比可知，機械臂末端的絕對定位精度大幅度提升。

4 結(jié)論

本文針對六自由度機械臂設計了一種低成本、易操作的運動學參數(shù)標定方案。首先，對六自由度機械臂建立運動學模型，以及基于MD-H和微分運動理論的機械臂末端定位誤差辨識模型；其次，將測量采集樣本數(shù)據(jù)代入誤差辨識模型中，應用最小二乘法求解誤差模型得到參數(shù)誤差；最后，修正機械臂運動學幾何參數(shù)，通過重新計算機械臂理論位置與實際測量位置的誤差來體現(xiàn)標定補償?shù)男Ч嶒灲Y(jié)果表明，經(jīng)過修正補償后的機械臂絕對定位精度明顯提高，證明本文提出的辨識方案是有效的。由于實驗器材的限制，實驗樣本點測量只能精確到0.1 mm，對最終標定結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響。在后續(xù)研究中，將著手提高測量精度，選取適合的智能算法應用于參數(shù)標定模型中，從而進一步提升機械臂的絕對定位精度。

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Research on kinematic parameter calibration of six degrees of

freedom manipulator

LI Kene， YUAN Weiming， TANG Chunyi， LIU Chao， HE Zhixiang， ZENG Zhuowei

（School of Automation， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China）

Abstract： To improve the absolute positioning accuracy of the 6-DOF manipulator， a calibration method for geometric parameters of the manipulator based on Modified-Denavit-Hartenberg（MD-H）method was proposed. Firstly， based on differential transformation theory and MD-H modeling method， the calibration model of manipulator end positioning error was established. Secondly， the least square method was used to solve the error identification model with redundant parameters removed， and the geometric parameter error of the manipulator was obtained. Finally， by modifying the kinematic geometric parameters， the absolute positioning accuracy of the end of the manipulator was compensated. The experimental results of 6 groups of sample points of the manipulator show that the kinematic parameter calibration and compensation correction significantly improve the absolute positioning accuracy of the end of the manipulator， which verifies the operability and effectiveness of the parameter calibration method， and also lays a foundation for further research on the subsequent parameter calibration technology.

Key words： six degrees of manipulator; absolute positioning accuracy; kinematic parameter calibration; error compensation; least square method

（責任編輯：黎 婭）