福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) (350319) 周 寧 倪 娜

1 試題與標(biāo)答呈現(xiàn)

本題是2023屆溫州一模數(shù)學(xué)第21題,主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．

筆者對(duì)以上第2問的解析有以下兩個(gè)疑惑:

(2)題設(shè)已明確直線PF1,PF2斜率分別為k1與k2,為什么參考解析在解決第二問中反而用x型直線形式去解決,是因?yàn)檫\(yùn)算的效率比較高嗎?

2 疑惑與解法剖析

疑惑1的剖析

圖1

疑惑2的剖析

用條件中的k1,k2解決第2問可以得到如下解法:

再審視目標(biāo)式的結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)這是經(jīng)典的斜率結(jié)構(gòu),因此還可以考慮進(jìn)行齊次化,轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程進(jìn)行求解.

3 溯源及本質(zhì)賞析

本題是源于2010年山東卷文科數(shù)學(xué)第22題的改編:

圖2

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2．

對(duì)上述兩個(gè)試題的第2問進(jìn)行比較分析,可以發(fā)現(xiàn)二者問題背后的本質(zhì)是一致的:即過橢圓(或雙曲線)的一個(gè)焦點(diǎn)作兩條割線交于四個(gè)點(diǎn),若這四個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率和為0,則這兩條割線的斜率和為0或斜率乘積為定值．同時(shí),若過另一個(gè)焦點(diǎn)作其中一條割線的平行線,則與另一條割線的交點(diǎn)的軌跡是某條坐標(biāo)軸且不包含原點(diǎn)(當(dāng)斜率和為0時(shí))或雙曲線(或橢圓)(當(dāng)斜率乘積為定值時(shí)),即有如下的結(jié)論:

證明類似,留給讀者完成．

4 結(jié)語

運(yùn)算能力是解析幾何考查的重點(diǎn)內(nèi)容,但“幾何的眼光”才是首要考查的對(duì)象．通過分析幾何圖形的要素及其性質(zhì),借助“形”的直觀思考“數(shù)”的表達(dá),結(jié)合圖形的幾何特征感知數(shù)量關(guān)系及本質(zhì)屬性,有助于理解問題,尋求問題解決的思路,這才是合理的解決解析幾何問題的思維邏輯．