王耀哲， 劉賢寧

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

肝臟是人體重要器官之一, 其感染可引起不同的疾病.乙型肝炎是引起肝臟炎癥的傳染病之一.乙型肝炎的感染分為乙型肝炎急性感染和乙型肝炎慢性感染兩個(gè)階段.臨床上, 感染持續(xù)超過6個(gè)月就會(huì)診斷為慢性感染者, 所以急性感染者的治療時(shí)間窗口相對(duì)很短, 并且急性期患者通常是在醫(yī)院治療或者通過自我防護(hù), 傳播途徑相對(duì)較少從而忽略急性感染者的傳播[1].乙型肝炎慢性感染是指當(dāng)乙肝病毒在體內(nèi)停留很長時(shí)間, 并發(fā)展成嚴(yán)重的健康問題時(shí)發(fā)生的疾病, 可以導(dǎo)致肝瘢痕、肝功能衰竭, 也可能發(fā)展為肝癌[1-6].疾病發(fā)生率是數(shù)學(xué)建模鄰域的一個(gè)關(guān)鍵概念和重要角色.雙線性發(fā)生率在各種流行病問題中廣泛使用.文獻(xiàn)[7]首次引入了飽和發(fā)生率, 這是雙線性發(fā)生率的廣義形式, 這種發(fā)生率比雙線性發(fā)生率更敏感, 特別是在血液傳播和性傳播疾病的情況下, 因?yàn)轱柡桶l(fā)生率包含了有毒個(gè)體的協(xié)同改變和群集影響, 并通過指示適當(dāng)?shù)膮?shù)抑制了相互作用率的無界性, 在許多流行病問題中被廣泛使用[8-13].

(1)

初始條件為

S(0)≥0I1(0)≥0I2(0)≥0R(0)≥0

(2)

其中A代表出生率,β是從易感到感染急性乙型肝炎的轉(zhuǎn)移率,a是從急性期到感染慢性肝炎的轉(zhuǎn)移率,γ1是從急性期到恢復(fù)期的恢復(fù)率,γ2是從慢性期到恢復(fù)期的恢復(fù)率,d是自然發(fā)生的死亡率, 也稱為自然死亡率,d1是由慢性乙型肝炎引起的死亡率,v代表乙型肝炎疫苗接種率.

1 解的耗散性

定理1在滿足初始條件(2)的情況下, 模型(1)的解始終非負(fù), 并最終有界.

證若存在最小時(shí)間t1>0, 使得S(t1)=0, 代入系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程, 得到

則存在充分小的η>0, 使得在區(qū)間(t1-η,t1)上有S(t)<0, 與S(t)在區(qū)間(0,t1)上大于0矛盾.接下來證明對(duì)t>0, 有I1(t)≥0,I2(t)≥0, 有下面3種情況:

(i)若I1(0)=I2(0)=0, 顯然t>0時(shí), 有I1(t)=I2(t)=0.

(ii)若I1(0)>0,I2(0)>0, 假設(shè)存在最小時(shí)間t2>0, 使得I1(t2)=0或I2(t2)=0.如果I1(t2)=I2(t2)=0, 有

得出矛盾.所以I1(t2)=I2(t2)=0不成立.不妨設(shè)I1(t2)>0且I2(t2)=0, 有

所以存在t2的左鄰域(t2-δ,t2), 使得I2(t)<0,t∈(t2-δ,t2), 矛盾, 因此假設(shè)不成立.同理I1(t2)=0,I2(t2)>0的情況也不成立.

(iii)若I1(0),I2(0)中有一個(gè)大于0, 另一個(gè)等于0.不妨設(shè)I1(0)=0,I2(0)>0, 有

所以存在0的鄰域(0,δ1), 使得I1(t)>0,I2(t)>0在(0,δ1)成立, 不妨設(shè)t3∈(0,δ1), 則I1(t3)>0,I2(t3)>0.用(ii)的方法可知I1(t)>0,I2(t)>0在t>t3時(shí)成立.也可證明當(dāng)I1(0)>0,I2(0)=0時(shí), 結(jié)論也成立.同理可以證明對(duì)所有t>0, 有R(t)>0.綜上所述, 系統(tǒng)(1)的解始終非負(fù).

令

N(t)=S(t)+I1(t)+I2(t)+R(t)

得到

所以

定理1得證.

設(shè)集合

為模型(1)的一個(gè)正不變集, 本文將在Ω上考慮模型(1)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

2 穩(wěn)態(tài)分析

首先, 容易得到模型(1)存在唯一的無病平衡點(diǎn)E0(S0, 0, 0,R0):

利用文獻(xiàn)[13]的方法, 我們得到模型(1)的基本再生數(shù)為

接下來, 計(jì)算模型(1)的正平衡點(diǎn), 可得到下列方程組:

定理2當(dāng)R0<1時(shí), 模型(1)的無病平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的; 當(dāng)R0>1時(shí), 模型(1)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證為了證明結(jié)果, 我們計(jì)算得到模型(1)的雅可比矩陣為

在E0點(diǎn)處的雅可比矩陣為

對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

H(ω)=(ω+d+v)(ω+d)(ω-x1)(ω-x2)

x1,x2為矩陣

的特征根.現(xiàn)在只要證明Q的跡是負(fù)的, 而Q的行列式是正的就足夠了.

Trac(Q)=-(a+2d+d1+γ1+γ2)

det(Q)=(a+d+γ1)(d+d1+γ2)(1-R0)

根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則[14], 我們可以知道當(dāng)R0<1時(shí), 無病平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定; 當(dāng)R0>1時(shí), 無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.

在E*點(diǎn)處的雅可比矩陣為

對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

G(ω)=(ω+d)(ω-y1)(ω-y2)(ω-y3)

y1,y2,y3為矩陣

的特征根.矩陣W的特征多項(xiàng)式為

K(ω)=ω3+b1ω2+b2ω+b3

其中

當(dāng)R0>1時(shí), 有bi>0(i=1,2,3)和b1b2-b3>0.根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則[14], 我們可以知道當(dāng)R0>1時(shí), 正平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定.

定理3當(dāng)R0≤1時(shí), 模型(1)的無病平衡點(diǎn)E0全局漸進(jìn)穩(wěn)定; 當(dāng)R0>1時(shí), 模型(1)的正平衡點(diǎn)E*全局漸進(jìn)穩(wěn)定.

沿著模型(1)軌線的全導(dǎo)數(shù)為

為了證明模型(1)在E*處的全局穩(wěn)定性, 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿著模型(1)軌線的全導(dǎo)數(shù)為

3 討論

本文主要研究了具有飽和發(fā)生率的急慢性乙肝傳染病模型的動(dòng)力學(xué)分析.在模型中加入急性感染類和慢性感染類的基礎(chǔ)上引入飽和發(fā)生率, 這種發(fā)生率比雙線性發(fā)生率更一般化, 更加現(xiàn)實(shí).在建立模型后, 我們找到基本再生數(shù)R0.與流行病學(xué)模型一樣, 該模型有兩個(gè)穩(wěn)態(tài), 感染穩(wěn)態(tài)和未感染穩(wěn)態(tài).證明了當(dāng)R0<1時(shí), 無病平衡點(diǎn)是局部和全局漸進(jìn)穩(wěn)定的; 當(dāng)R0>1時(shí), 正平衡點(diǎn)是局部和全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.根據(jù)本文具體的飽和發(fā)病率傳染病模型的計(jì)算證明, 我們完全可以將這一類飽和發(fā)生率函數(shù)拓展成一般疾病發(fā)生率函數(shù), 使得模型構(gòu)建更加合理.另外, 本文只是說明該飽和發(fā)生率在這種模型的條件下是理論成立的, 在未來的研究中我們可以根據(jù)該模型的部分參數(shù)或者條件(例如: 隔離感染者和未感染者, 增加或減少乙肝疫苗的接種率等)制定控制策略來保證可以最大程度減少急性感染者和慢性感染者的數(shù)量.