金超武 ，馬彥超，周瑾，徐園平，葉周鋮

（南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016）

主動(dòng)磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）利用可控電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮在設(shè)定的工作位置，因其具有無(wú)機(jī)械接觸、高轉(zhuǎn)速、低功耗、可在線檢測(cè)以及可主動(dòng)控制等優(yōu)點(diǎn)而得以在壓縮機(jī)、膨脹機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中廣泛應(yīng)用［1］.當(dāng)用于控制與驅(qū)動(dòng)AMB 的電子設(shè)備對(duì)環(huán)境比較敏感，需將相關(guān)電子設(shè)備與磁懸浮軸承本體進(jìn)行分離時(shí)（例如深海鉆井平臺(tái)、風(fēng)力發(fā)電等應(yīng)用場(chǎng)所），由于控制系統(tǒng)與執(zhí)行單元的分布設(shè)置，控制回路中的時(shí)滯量進(jìn)一步增加，這將導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)的時(shí)滯問(wèn)題更加凸顯［2］，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn).在主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，控制器內(nèi)控制算法運(yùn)算執(zhí)行、信號(hào)在功率放大器電路中的傳導(dǎo)轉(zhuǎn)換等因素的存在，使得輸入磁懸浮軸承的控制電流內(nèi)存在一定的時(shí)滯，該時(shí)滯稱為控制器輸入時(shí)滯［3］（后文簡(jiǎn)稱輸入時(shí)滯）.在輸入時(shí)滯的影響下，主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，如周期、擬周期以及混沌等形式［4］，并且隨著轉(zhuǎn)速的提高以及對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究要求越來(lái)越精細(xì)，有關(guān)時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)影響的研究顯得愈發(fā)迫切.

近30 年來(lái)，針對(duì)主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的時(shí)滯問(wèn)題，眾多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了許多突破性的研究，為研究系統(tǒng)時(shí)滯問(wèn)題采用各類數(shù)值分析方法，提供強(qiáng)有力的分析工具.為了分析時(shí)滯系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，Ruan 等［5］利用特征值法對(duì)Hopf 分岔的分岔方向、振幅以及周期等方面進(jìn)行了研究，并概括了切實(shí)可行的計(jì)算公式.在此基礎(chǔ)上，Wang 等［6］對(duì)特征方程的一些臨界情況，例如零點(diǎn)為單根或雙根等進(jìn)行了討論，并研究了在上述情況下不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性和零解附近的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.利用所得的基本定理，可以很好地判斷該類磁懸浮軸承系統(tǒng)Hopf分岔的存在性以及平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性.Xu 等［7］將具有時(shí)滯的主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為研究對(duì)象，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔存在情況進(jìn)行了研究，并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)方面的分析.王珍［8］研究了一類具時(shí)滯的磁懸浮系統(tǒng)模型，對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf 分岔等進(jìn)行了分析，并研究了系統(tǒng)時(shí)滯量、比例增益以及微分增益等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響規(guī)律.Su 等［9］對(duì)基于PD 控制的AMB 系統(tǒng)的時(shí)滯問(wèn)題進(jìn)行了研究，討論了系統(tǒng)時(shí)滯對(duì)磁懸浮軸承系統(tǒng)的影響，推導(dǎo)了引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的最大延遲時(shí)間的顯式公式和數(shù)值解，并給出了單自由度AMB 系統(tǒng)時(shí)滯效應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果.鄭凱等［10-11］對(duì)AMB 系統(tǒng)進(jìn)行了時(shí)滯動(dòng)力學(xué)建模，發(fā)現(xiàn)即使是控制反饋回路中的微小時(shí)滯也會(huì)對(duì)高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響.Li 等［12］利用數(shù)值方法研究了速度反饋控制回路的時(shí)滯對(duì)單自由度AMB 系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響，驗(yàn)證了時(shí)滯增加將使穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的幅度增大，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)失控現(xiàn)象.

上述研究表明，時(shí)滯將影響主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的性能及穩(wěn)定性.但是，當(dāng)前對(duì)于主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時(shí)滯研究主要存在兩大局限性：①大多是從單一角度研究時(shí)滯對(duì)主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，未從多角度進(jìn)行體系化的研究；②大多集中在理論研究層面，試驗(yàn)研究匱乏.

針對(duì)上述局限性，本文對(duì)基于PID 控制的主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的輸入時(shí)滯問(wèn)題開(kāi)展研究，從控制器參數(shù)、Hopf分岔以及閉環(huán)系統(tǒng)幅頻、相頻特性等多個(gè)角度研究輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并進(jìn)行了相關(guān)仿真與實(shí)驗(yàn).通過(guò)對(duì)輸入時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行多角度的分析，為實(shí)際工程應(yīng)用中的控制器參數(shù)調(diào)試提供指導(dǎo)，降低輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

1 理論分析

1.1 主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界時(shí)滯

圖1 為具有輸入時(shí)滯的AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效模型，主要包含控制器、功率放大器、電磁鐵-轉(zhuǎn)子以及位移傳感器等.

圖1 具有輸入時(shí)滯的AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效模型Fig.1 Equivalent model of AMB-rotor control system with input time delay

將輸入時(shí)滯引入系統(tǒng)后，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；x（t）為轉(zhuǎn)子位移；τ為輸入時(shí)滯；ix為控制電流；kx、ki分別表示AMB 的位移剛度和電流剛度.ix（t）可進(jìn)一步表示為：

式中：ks為位移傳感器增益；ka為功率放大器增益；kP、kI以及kD分別表示PID 控制器的比例增益、積分增益以及微分增益.聯(lián)立式（1）和式（2）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)特征方程為：

當(dāng)τ值較小時(shí)，基于等價(jià)無(wú)窮小原理，將式（3）中的e-τs替換為1-τs后，可進(jìn)一步得：

由勞斯方程可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的全部系數(shù)及勞斯表的第一列元素均為正數(shù).因此可以得到不等式組：

對(duì)式（5）求解得：

值得注意的是，由于在式（4）中采用了近似替換，本節(jié)后續(xù)推導(dǎo)得到的臨界時(shí)滯為近似值.基于式（6）可知，系統(tǒng)臨界時(shí)滯的近似值τ臨=min（τ1，τ2，τ3，τ4）.

1.2 Hopf分岔

時(shí)滯常使系統(tǒng)出現(xiàn)各種形式的分岔及混沌運(yùn)動(dòng)，而Hopf 分岔點(diǎn)是系統(tǒng)由定常狀態(tài)通向復(fù)雜動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的門(mén)檻，所以Hopf 分岔的研究最為廣泛.Hopf 分岔是指參數(shù)在變化過(guò)程中經(jīng)過(guò)分岔值τ0時(shí)，系統(tǒng)由定點(diǎn)穩(wěn)定性突變產(chǎn)生極限環(huán)的現(xiàn)象，也是一種重要的動(dòng)態(tài)分岔現(xiàn)象，如圖2 所示.初始狀態(tài)穩(wěn)定的系統(tǒng)在發(fā)生Hopf 分岔時(shí)，其特征值的實(shí)部由負(fù)經(jīng)分岔值（特征值實(shí)部為0）變?yōu)檎?，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化.Hopf 分岔發(fā)生時(shí)處于穩(wěn)定與失穩(wěn)之間的臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行將無(wú)法得到保證.Hopf 分岔是時(shí)滯在惡化系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的重要的動(dòng)力學(xué)特征，同時(shí)亦是眾多學(xué)者對(duì)于時(shí)滯問(wèn)題的研究重點(diǎn).因此，在研究時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，有必要對(duì)Hopf分岔進(jìn)行研究.

圖2 Hopf分岔過(guò)程Fig.2 Hopf bifurcation process

Hopf 分岔存在時(shí)要滿足兩個(gè)重要的條件：一是系統(tǒng)在特定參數(shù)下存在一對(duì)共軛純虛根；二是滿足橫截條件，即根軌跡穿越虛軸時(shí)速度不為0，換言之，根軌跡在穿越虛軸時(shí)特征值實(shí)部的導(dǎo)數(shù)不為0［13］.

1.2.1 Hopf分岔的存在性分析

假設(shè)系統(tǒng)特征方程存在一對(duì)共軛純虛根，記為s=iω（ω=±α，α＞0），將其代入式（3），得

聯(lián)立歐拉公式eix=cosx+i sinx，并分離實(shí)部、虛部后得到方程組：

式中：

將式（8）中兩式的兩邊同時(shí)平方再相加，得

由于sin2(τω)+cos2(τω)=1，與式（8）聯(lián)立，并令t=ω2（t＞0），得

式中：a=-2q-d2；b=q2-p2+2dr；c=-r2.

因此，系統(tǒng)特征方程存在一對(duì)共軛純虛根等價(jià)于式（10），存在正實(shí)根.由于

由零點(diǎn)存在性定理可知，式（10）至少存在一個(gè)正實(shí)根t0，相應(yīng)地系統(tǒng)特征方程至少存在一對(duì)共軛純虛根，此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的輸入時(shí)滯記為τ0.

1.2.2 橫截條件的滿足性分析

要證明該系統(tǒng)滿足橫截條件，即根軌跡穿越虛軸時(shí)速度不為0，只要考慮根軌跡在穿越虛軸時(shí)特征值實(shí)部的導(dǎo)數(shù)不為0，即證明.本節(jié)討論的成立條件.

聯(lián)立式（3）和式（12）得：

將τ=τ0，s=iω代入式（13），并求實(shí)部，得

2 仿真分析

2.1 Hopf分岔存在性數(shù)值仿真

結(jié)合1.1 節(jié)和1.2.1 節(jié)的分析可知，系統(tǒng)特征方程存在一對(duì)共軛純虛根.表1為AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù).PID 控制器的kP=2.2、kI=1、kD=0.001 5，通過(guò)對(duì)式（6）～式（15）進(jìn)行計(jì)算，得τ臨、τ0、ω的理論近似值分別為0.681 ms、0.646 ms、592 rad/s.由此得到Hopf分岔對(duì)應(yīng)頻率為：

表1 AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of AMB-rotor system

在某一確定參數(shù)τ下，系統(tǒng)特征值存在一對(duì)共軛純虛根且滿足橫截條件.因此，系統(tǒng)將發(fā)生Hopf分岔.

本節(jié)以前文中理論分析為指導(dǎo)，對(duì)Hopf 分岔的存在性進(jìn)行數(shù)值仿真，Hopf 分岔后極限環(huán)幅值隨輸入時(shí)滯的變化曲線如圖3 所示.從圖3 中可以看出，τ0為0.643～0.644 ms，與理論計(jì)算值0.646 ms 非常接近；Hopf分岔發(fā)生后，極限環(huán)的幅值隨著輸入時(shí)滯的增加而增大.為了清晰地呈現(xiàn)出Hopf 分岔過(guò)程，本節(jié)分別對(duì)τ=0.610 ms（τ＜τ0）、τ=0.644 ms（τ0＜τ＜τ臨）以及τ=0.700 ms（τ＞τ臨）3 種狀態(tài)下各自對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)相軌跡進(jìn)行分析.

圖3 Hopf分岔后極限環(huán)幅值隨輸入時(shí)滯的變化曲線Fig.3 Limit ring amplitude curve with input time delay after Hopf bifurcation

圖4 為τ=0.610 ms 時(shí)Hopf 分岔前系統(tǒng)相軌跡.由圖4可知，當(dāng)τ＜τ0時(shí)，系統(tǒng)最終將收斂至一點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即1.2 節(jié)提到的“定點(diǎn)穩(wěn)定性”.圖5為τ=0.644 ms 時(shí)Hopf 分岔時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng).由圖5（a）～圖5（d）可知，在τ＞τ0且τ＜τ臨時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，最終獲得了穩(wěn)定的周期解，并產(chǎn)生了極限環(huán).當(dāng)系統(tǒng)初始時(shí)刻位于極限環(huán)內(nèi)部時(shí)，相軌跡將由內(nèi)向外逐漸接近極限環(huán)；反之，相軌跡將由外向內(nèi)逐漸接近極限環(huán).由圖5（e）可知，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分岔時(shí)，頻譜主要包含極限環(huán)運(yùn)行頻率對(duì)應(yīng)譜線，即94 Hz的主頻譜線，該頻率與理論計(jì)算值幾乎一致.此外，頻譜圖中還包含主頻的倍頻譜線，此處主要為主頻的3倍頻譜線.

圖4 τ=0.610 ms時(shí)Hopf分岔前系統(tǒng)相軌跡Fig.4 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.610 ms

圖5 τ=0.644 ms時(shí)Hopf分岔時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.5 Response of system when Hopf bifurcation at τ=0.644 ms

仿真結(jié)果表明，當(dāng)τ＞τ臨≈0.681 ms 時(shí)，系統(tǒng)相軌跡將發(fā)散失穩(wěn)，但是在τ接近τ臨時(shí)系統(tǒng)的發(fā)散趨勢(shì)緩慢.為了清晰地呈現(xiàn)相軌跡發(fā)散失穩(wěn)的過(guò)程，τ=0.700 ms 時(shí)極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡，如圖6 所示.結(jié)合圖5（a）～圖5（d）和圖6可以看出，隨著輸入時(shí)滯的進(jìn)一步增加，極限環(huán)發(fā)生破裂，相軌跡發(fā)散失穩(wěn).

圖6 τ=0.700 ms時(shí)極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡Fig.6 System trajectory after limit ring rupture at τ=0.700 ms

2.2 控制參數(shù)對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的仿真分析

由式（6）中的τ3、τ4可知，kI主要位于分母，而kx位于分子且其量級(jí)較大，弱化了kI對(duì)系統(tǒng)臨界時(shí)滯的影響.因此，本節(jié)在滿足相關(guān)控制參數(shù)均可保證實(shí)際系統(tǒng)在無(wú)時(shí)滯干擾下穩(wěn)定運(yùn)行的這一條件下，主要分析PID 控制器中比例增益及微分增益對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，詳細(xì)研究了如何通過(guò)調(diào)整控制參數(shù)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，使系統(tǒng)在工程應(yīng)用中遠(yuǎn)離臨界穩(wěn)定區(qū)域.

2.2.1 比例增益對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的仿真分析

PID 控制器的kI=1、kD=0.001 5、kP分別取2.0、2.2 以及2.4，輸入時(shí)滯τ從0 變化到0.700 ms，變化步長(zhǎng)為0.02，對(duì)式（3）求解得到系統(tǒng)的特征根，并繪制出不同kP下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡如圖7所示.

圖7 不同kP下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡圖Fig.7 Root locus diagram of system over τ at different kP

由圖7 可以看出，系統(tǒng)特征值由一實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根組成，當(dāng)kP一定時(shí)，隨著τ的增加，該實(shí)根保持不變，而共軛復(fù)根發(fā)生變化.隨著kP的增加，由共軛復(fù)根組成的兩組特征根逐漸從左半平面靠近虛軸，并最終越過(guò)虛軸進(jìn)入右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn).為了更直觀地說(shuō)明kP變化對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)τ=0.644 ms、kP分別取2.0、2.2 及2.4 時(shí)系統(tǒng)相軌跡的變化情況進(jìn)行分析，如圖8所示.

圖8 τ=0.644 ms時(shí)不同kP下系統(tǒng)的相軌跡對(duì)比Fig.8 Phase trajectory comparison of systems under different kPat τ=0.644 ms

從圖8 中可以看出，隨著kP的增加，系統(tǒng)的相軌跡由內(nèi)向外逐漸從定點(diǎn)穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，最后變?yōu)榘l(fā)散失穩(wěn)，更加形象地說(shuō)明了kP的增加將放大輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有阻礙作用.此外，將系統(tǒng)不出現(xiàn)正實(shí)部特征根時(shí)對(duì)應(yīng)的輸入時(shí)滯（即臨界時(shí)滯）定義為該系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度.為了準(zhǔn)確地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，將輸入時(shí)滯τ調(diào)整為0～1.5 ms，kP為1.0～2.5，求解得到不同kP下系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的變化情況，如圖9 所示.從圖9中可以看出，隨著kP的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定域逐漸收窄.結(jié)合式（5）分析可知，隨著kP增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度將由不等式τ2決定，此時(shí)kP與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度呈反比關(guān)系，這表明kP的增加將放大輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性起阻礙作用.

圖9 kP對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.9 Effect of kPon stability of time-delay system

2.2.2 微分增益對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的仿真分析

為分析kD對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，PID 控制器中kP=2.2、kI=1、kD分別取0.001 0、0.001 5以及0.002 0，τ從0 變化到0.700 ms，變化步長(zhǎng)為0.02，對(duì)式（3）求解得到系統(tǒng)的特征根，并繪制出不同kD下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡，如圖10所示.

圖10 不同kD下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡圖Fig.10 Root locus diagram of system over τ at different kD

從圖10 中可以看出，當(dāng)kD一定時(shí)，隨著τ的增加，該實(shí)根保持不變，而共軛復(fù)根發(fā)生變化.隨著kD的增加，由共軛復(fù)根組成的兩組特征根逐漸從右半平面靠近虛軸，并最終越過(guò)虛軸完全進(jìn)入左半平面，系統(tǒng)由不穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài).為了更直觀地說(shuō)明kD變化對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)τ=0.644 ms、kD分別取0.001 0、0.001 5 及0.002 0 時(shí)系統(tǒng)相軌跡的變化情況進(jìn)行了分析，如圖11所示.

圖11 τ=0.644 ms時(shí)不同kD下系統(tǒng)的相軌跡對(duì)比Fig.11 Phase trajectory comparison of systems under different kDat τ=0.644 ms

從圖11 中可以看出，隨著kD的增加，系統(tǒng)的相軌跡由外向內(nèi)逐漸從發(fā)散失穩(wěn)變?yōu)榉€(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，最后變?yōu)槎c(diǎn)穩(wěn)定，更加形象地說(shuō)明了kD的增加有利于提高時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

為了準(zhǔn)確地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，將輸入時(shí)滯τ調(diào)整為0～1.5 ms，kD為0.001～0.002，求解得到不同kD下系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的變化情況，如圖12 所示.從圖12中可以看出，隨著kD的增加，時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定域呈線性增加趨勢(shì).結(jié)合式（5）分析可知，由于kD值較小，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度由不等式τ2決定，即kD/kP，kD位于分子，因此，kD與系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度呈線性關(guān)系，這也表明適當(dāng)增加kD將弱化輸入時(shí)滯對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

圖12 kD對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.12 Effect of kDon stability of time-delay system

2.3 輸入時(shí)滯對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)幅頻、相頻特性的影響

主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，且系統(tǒng)的工作環(huán)境復(fù)雜，外部存在較多的多源信號(hào)干擾.考慮到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以顯示出該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)諸如諧振、相移等許多重要性質(zhì)和特點(diǎn)，因此本節(jié)分別對(duì)不同輸入時(shí)滯下的主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行掃頻仿真，旨在探究輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性的影響，進(jìn)而確定輸入時(shí)滯對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)抑制外部干擾能力的影響規(guī)律.主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)的掃頻示意圖如圖13 所示，通過(guò)在閉環(huán)系統(tǒng)的輸入端疊加正弦掃頻信號(hào)，即激振信號(hào)，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)各環(huán)節(jié)均疊加有與該激振信號(hào)同頻的信號(hào)；而后同時(shí)采集輸入端的激振信號(hào)以及輸出端的位移響應(yīng)信號(hào)；最后將采集的信號(hào)利用離線快速傅里葉變換處理得到整個(gè)主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)在相應(yīng)頻率下的幅頻特性和相頻特性.該閉環(huán)系統(tǒng)幅頻和相頻響應(yīng)隨輸入時(shí)滯變化的曲面圖分別如圖14和圖15所示.

圖13 閉環(huán)系統(tǒng)的掃頻示意圖Fig.13 Sweep frequency diagram of closed loop system

圖14 閉環(huán)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)隨輸入時(shí)滯變化的曲面圖Fig.14 Surface diagram of amplitude-frequency response of closed-loop system varies with input time delay

圖15 閉環(huán)系統(tǒng)相頻響應(yīng)隨輸入時(shí)滯變化的曲面圖Fig.15 Surface diagram of frequency response of closed loop system varies with input time delay

從圖14 可以看出，隨著輸入時(shí)滯的增加，系統(tǒng)諧振頻率的峰值顯著增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰化現(xiàn)象加劇，使系統(tǒng)穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的幅度增大，反映出系統(tǒng)對(duì)外部干擾的反應(yīng)愈發(fā)強(qiáng)烈，同時(shí)表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性在此過(guò)程中明顯惡化.從圖15 可以看出，隨著輸入時(shí)滯的增加，相頻響應(yīng)曲線逐漸靠近并最終穿越-180°平面，且穿越該平面時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率以形如冪函數(shù)（其指數(shù)小于0）的形式逐漸減小，系統(tǒng)變得愈發(fā)不穩(wěn)定.綜合上述兩點(diǎn)可以看出，隨著輸入時(shí)滯的增加，閉環(huán)系統(tǒng)抑制外部干擾的能力減弱，即系統(tǒng)穩(wěn)定性下降.

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備介紹

本實(shí)驗(yàn)基于磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行，其中主要包含控制器、上位機(jī)、變頻器、功率放大器、傳感器板、電源開(kāi)關(guān)、磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、示波器.AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖16 所示.基于數(shù)字信號(hào)處理和控制工程（digital Signal Processing and Control Engineering，dSPACE）進(jìn)行控制算法的實(shí)現(xiàn)以及信號(hào)在線分析，其采樣頻率設(shè)置為20 kHz，利用PID控制器使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮.為了模擬壓縮機(jī)等磁懸浮旋轉(zhuǎn)機(jī)械在遠(yuǎn)程運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的傳輸延時(shí)，在該實(shí)驗(yàn)臺(tái)的控制回路中人為增加一延時(shí)環(huán)節(jié)作為外部輸入時(shí)滯.后文所提時(shí)滯均指人為增加的外部輸入時(shí)滯.

圖16 AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.16 AMB-rotor system test platform

3.2 Hopf分岔存在性實(shí)驗(yàn)研究

圖17 為τ=0.75 ms 時(shí)Hopf 分岔前系統(tǒng)相軌跡圖.從圖17 中可以看出，系統(tǒng)相軌跡最終將收斂至一點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即1.2節(jié)提到的“定點(diǎn)穩(wěn)定性”，與仿真趨勢(shì)（圖4）保持一致.

圖17 τ=0.75 ms時(shí)Hopf分岔前系統(tǒng)相軌跡圖Fig.17 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.75 ms

圖18和圖19分別為τ=0.76 ms時(shí)Hopf分岔系統(tǒng)相軌跡圖和頻譜圖.從圖18 中可以看出，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，最終獲得了穩(wěn)定的周期解，結(jié)合理論和仿真分析可知，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了極限環(huán)，與仿真趨勢(shì)［圖5（a）～圖5（d）］保持一致.從圖19 中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時(shí)，其頻譜主要包含極限環(huán)運(yùn)行頻率對(duì)應(yīng)譜線，即101 Hz的主頻譜線，以及主頻的倍頻譜線，此處主要為主頻的2倍頻譜線和3倍頻譜線，與仿真［圖5（e）］基本保持一致.

圖18 τ=0.76 ms時(shí)Hopf分岔系統(tǒng)相軌跡圖Fig.18 System phase trajectory diagram when Hopf bifurcation at τ=0.76 ms

圖19 τ=0.76 ms時(shí)Hopf分岔系統(tǒng)頻譜圖Fig.19 System spectrum diagram when Hopf bifurcation at τ=0.76 ms

圖20 展示了τ=0.77 ms 時(shí)極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡.結(jié)合圖18 和圖20 可以看出，隨著輸入時(shí)滯的進(jìn)一步增加，極限環(huán)破裂，相軌跡發(fā)散失穩(wěn)，與仿真趨勢(shì)（圖6）保持一致.需要指出的是，理論求得的τ0≈ 0.637 ms、τ臨≈0.682 ms 與實(shí)際系統(tǒng)的0.75 ms≤τ0＜0.76 ms、0.76 ms＜τ臨≤0.77 ms 雖然在量級(jí)上相同、數(shù)值上相近，但仍存在一定的誤差，分析原因主要有：①由于在理論及仿真中為簡(jiǎn)化系統(tǒng)建模，忽略了電磁力的非線性等因素，導(dǎo)致所建模型與實(shí)際系統(tǒng)存在一定誤差；②在求解系統(tǒng)臨界時(shí)滯τ臨時(shí)，采用了近似替換，即計(jì)算求得的τ臨為近似值；③實(shí)驗(yàn)過(guò)程中包含環(huán)境因素在內(nèi)的實(shí)驗(yàn)誤差干擾.

圖20 τ=0.77 ms時(shí)極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡Fig.20 System phase trajectory after limit cycle rupture at τ=0.77 ms

3.3 控制參數(shù)對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

3.3.1 比例增益對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

在磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)中，PID 控制器的kI=1、kD=0.001 5.為了驗(yàn)證理論及仿真分析的正確性以及更直觀的說(shuō)明kP變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)τ=0.76 ms，kP分別取2.0、2.2 及2.4 時(shí)系統(tǒng)相軌跡的變化情況進(jìn)行了分析，如圖21所示.

圖21 τ=0.76 ms時(shí)不同kP下系統(tǒng)的相軌跡對(duì)比Fig.21 Phase trajectory comparison of the systems under different kPat τ=0.76 ms

從圖21中可以看出，隨著kP的增加，系統(tǒng)的相軌跡由內(nèi)向外逐漸從定點(diǎn)穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，最后變?yōu)榘l(fā)散失穩(wěn)，與仿真趨勢(shì)（圖8）保持一致.與仿真不同的是，由于實(shí)驗(yàn)臺(tái)中存在保護(hù)軸承，系統(tǒng)的相軌跡不會(huì)無(wú)限發(fā)散，而是被保護(hù)軸承限制在一相對(duì)空間內(nèi)，此時(shí)轉(zhuǎn)子與保護(hù)軸承已發(fā)生碰撞.

3.3.2 微分增益對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

在主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)中，PID 控制器的kP=2.2，kI=1.為了驗(yàn)證理論及仿真分析的正確性以及更直觀地說(shuō)明kD變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)τ=0.76 ms，kD分別取0.001 0、0.001 5 及0.002 0 時(shí)系統(tǒng)相軌跡的變化情況進(jìn)行了分析，如圖22所示.

圖22 τ=0.76 ms時(shí)不同kD下系統(tǒng)的相軌跡對(duì)比Fig.22 Phase trajectory comparison of the systems under different kDat τ=0.76 ms

從圖22 中可以看出，隨著kD的增加，系統(tǒng)的相軌跡由外向內(nèi)逐漸從發(fā)散失穩(wěn)變?yōu)榉€(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，最后變?yōu)槎c(diǎn)穩(wěn)定，更加形象地說(shuō)明了kD的增加將弱化輸入時(shí)滯對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，與仿真趨勢(shì)（圖11）保持一致.

4 結(jié)論

本文以PID 控制的單自由度主動(dòng)磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究了輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.在理論層面，推導(dǎo)了系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時(shí)滯的近似值，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)Hopf 分岔的發(fā)生條件及存在性進(jìn)行了分析；在仿真方面，分析了控制參數(shù)kP、kD對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，驗(yàn)證了Hopf分岔的存在性，并通過(guò)探究輸入時(shí)滯對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)幅頻和相頻特性影響的角度來(lái)反映輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；最后針對(duì)仿真內(nèi)容進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究.結(jié)果表明：

1）kP較大時(shí)，其與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度呈反比關(guān)系，kP的增加將放大輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性起阻礙作用；系統(tǒng)的穩(wěn)定域隨kD的增加呈線性增加趨勢(shì)，適當(dāng)增加kD將弱化輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.因此，在解決實(shí)際工程應(yīng)用面臨的時(shí)滯問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)適當(dāng)減小kP值或增大kD值的方式來(lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2）當(dāng)系統(tǒng)輸入時(shí)滯小于τ0時(shí)，未發(fā)生Hopf 分岔，系統(tǒng)表現(xiàn)為“定點(diǎn)穩(wěn)定性”；而當(dāng)輸入時(shí)滯大于τ0且小于τ臨時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分岔，最終獲得穩(wěn)定的周期解，并產(chǎn)生極限環(huán)，此時(shí)系統(tǒng)的頻譜主要為極限環(huán)運(yùn)行頻率（主頻）對(duì)應(yīng)譜線以及主頻的倍頻譜線；隨著輸入時(shí)滯的進(jìn)一步增加，極限環(huán)破裂，系統(tǒng)最終發(fā)散失穩(wěn).

3）隨著輸入時(shí)滯的增加，閉環(huán)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰化現(xiàn)象加劇，系統(tǒng)諧振頻率的峰值顯著增大；相頻響應(yīng)曲線逐漸靠近并最終穿越-180°平面，且穿越該平面時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率以形如冪函數(shù)（其指數(shù)小于0）的形式逐漸減小.這表明在輸入時(shí)滯影響下，系統(tǒng)對(duì)外部干擾的反應(yīng)強(qiáng)烈，抑制外部干擾的能力減弱，系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降.