呂輝 ，張海標(biāo) ，李長玉 ，魏政君

（1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510641；2.重慶理工大學(xué) 汽車零部件先進(jìn)制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400054；3.廣州城市理工學(xué)院 汽車與交通工程學(xué)院，廣東 廣州 510800）

受加工制造、裝配與測量誤差、材料老化和復(fù)雜工況等因素的影響，工程結(jié)構(gòu)不可避免地存在各種不確定性因素［1-2］.不確定性廣泛地存在于汽車動力總成懸置系統(tǒng)（Powertrain Mounting System，PMS）中，對不確定情形下的PMS振動特性進(jìn)行研究具有重要意義.

近年來，基于不確定性分析的汽車PMS 研究已經(jīng)取得很大進(jìn)展.其中，概率模型［3］已被廣泛用于處理PMS 參數(shù)的不確定性.陳劍等［4］將懸置剛度參數(shù)視為服從正態(tài)分布的概率變量，結(jié)合穩(wěn)健設(shè)計(jì)與多目標(biāo)優(yōu)化，提出一種PMS的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化方法.謝展等［5］將懸置剛度等關(guān)鍵參數(shù)處理為概率變量，結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化方法對汽車PMS 進(jìn)行穩(wěn)健性設(shè)計(jì).此外，Xin 等［6］將懸置剛度處理為概率變量，結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化模型和遺傳算法，提出一種針對PMS 的多目標(biāo)魯棒優(yōu)化方法.上述研究均將系統(tǒng)不確定參數(shù)視為相互獨(dú)立的概率變量，該情形下的PMS 研究已相對成熟.

汽車PMS結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，其懸置剛度、安裝位置和角度、慣性參數(shù)和阻尼參數(shù)等的不確定性都會影響系統(tǒng)性能，進(jìn)而影響整車舒適性.因此，準(zhǔn)確選擇對系統(tǒng)影響較大的不確定參數(shù)對PMS 進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，是降低整車振動和噪聲的關(guān)鍵.一般地，可以通過開展靈敏度分析來甄別對PMS性能影響敏感的不確定參數(shù).例如，劉達(dá)斌等［7］對PMS懸置的各剛度參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，確定系統(tǒng)的敏感參數(shù)，進(jìn)而對懸置剛度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).張武等［8］對PMS 懸置剛度參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，進(jìn)而提出一種PMS 的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化方法.?endur 等［9］選取PMS 懸置的安裝位置和剛度為研究參數(shù)，結(jié)合靈敏度分析和響應(yīng)面法對PMS的剛體模態(tài)和能量分布進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).可見，目前國內(nèi)外關(guān)于PMS的靈敏度分析也形成了一定的研究成果，相關(guān)研究主要涉及的是局部靈敏度分析工作.

對于目前PMS的不確定性分析和靈敏度分析研究，可以總結(jié)出如下不足：①現(xiàn)有的PMS不確定性分析主要討論系統(tǒng)的不確定參數(shù)相互獨(dú)立的情況.然而，在工程實(shí)際中，機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)之間并非完全獨(dú)立，而往往存在一定相關(guān)性［10］.例如，電動汽車PMS廣泛采用的橡膠懸置，其三向剛度參數(shù)往往就存在一定相關(guān)性.若直接將這些不確定參數(shù)視為獨(dú)立變量，則很可能會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況存在較大偏差.②現(xiàn)有的PMS靈敏度分析研究中，關(guān)于全局靈敏度的研究較少，且常將系統(tǒng)參數(shù)處理為確定參數(shù)，沒有考慮參數(shù)分布對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，亦鮮有考慮參數(shù)之間的相關(guān)性.因此，同時(shí)考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和相關(guān)性，對PMS 進(jìn)行全局靈敏度分析具有重要的研究價(jià)值.

針對上述問題，本文旨在提出一種電動汽車PMS 不確定參數(shù)存在相關(guān)性時(shí)的系統(tǒng)固有特性全局靈敏度分析方法.方法能充分考慮參數(shù)不確定性和相關(guān)性對全局靈敏度分析結(jié)果的影響.首先，采用含相關(guān)性的概率變量描述PMS不確定參數(shù)；然后，提出一種基于方差分解的全局靈敏度分析方法；接著，給出求解全局靈敏度指數(shù)的方法及其分析步驟；最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證方法的有效性.

1 電動汽車PMS固有特性計(jì)算

1.1 固有頻率計(jì)算

電動汽車PMS 常使用三點(diǎn)布置形式，圖1 為某電動汽車PMS的三維模型及其對應(yīng)的六自由度動力學(xué)模型.

建立動力總成坐標(biāo)系G0-XYZ和懸置局部坐標(biāo)系ei-uiviwi（i=1，2，3），其中原點(diǎn)G0位于總成質(zhì)心處，X軸正方向與汽車行駛方向相同，Z軸正方向垂直于地面向上，Y軸正方向根據(jù)右手定則確定.PMS固有頻率［11］可由式（1）求得.

式中：K、M和I分別表示系統(tǒng)剛度、質(zhì)量和單位矩陣；φj為第j階陣型.求解式（1），可得系統(tǒng)的6 階固有頻率fj=λj/2π，j=1，2，…，6.

1.2 解耦率計(jì)算

系統(tǒng)振動時(shí)，其能量分布在6 個(gè)方向上.當(dāng)系統(tǒng)以第j階固有頻率fj和振型φj振動時(shí)，第s個(gè)廣義坐標(biāo)所占的能量百分比［11］為：

式中：φsj與φpj分別為φj的第s個(gè)和第p個(gè)元素；Msp為M的第s行第p列元素.

第j階振動對應(yīng)的解耦率為：

當(dāng)dj=100%時(shí)，表示系統(tǒng)第j階振動時(shí)能量全部集中在某廣義坐標(biāo)上，該階振動完全解耦.

2 考慮不確定參數(shù)相關(guān)性的PMS 全局靈敏度分析

電動汽車PMS 參數(shù)受加工、裝配誤差和材料老化等因素影響，其取值通常具有一定隨機(jī)性，常用概率模型來描述.本節(jié)將基于方差分解推導(dǎo)PMS 不確定參數(shù)為概率變量且具有相關(guān)性時(shí)的全局靈敏度分析公式，并引出表示敏感性程度的一階與總體全局靈敏度指數(shù)［12］.為方便表述，將PMS的固有特性響應(yīng)函數(shù)用y=y(x)表示.其中，x為描述系統(tǒng)不確定參數(shù)的n維概率向量，x=[x1，x2，…，xn]T，其聯(lián)合概率密度函數(shù)記為p(x).

2.1 全局靈敏度指數(shù)

將x分為兩組向量u=[x1，x2，…，xs](1 ≤s＜n)和v=[xs+1，…，xn]，即x=[u v]T.則系統(tǒng)響應(yīng)y(x)的總方差可表示為：

式中：D表示y(x)的總方差；Du[ · ]和Eu[ · ]分別表示方差和均值運(yùn)算.Du[Ev(y(u，))]表示當(dāng)向量u為定值時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)方差的平均減小量；Eu[Dv(y(u，))]表示當(dāng)向量u為定值時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)方差的平均剩余量［13］.概率向量(u，)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(u，).將式（4）總方差標(biāo)準(zhǔn)化，可得：

式中：等號左邊第1項(xiàng)為向量u的一階全局靈敏度指數(shù)；第2項(xiàng)為向量v的總體全局靈敏度指數(shù).可分別表示為：

類似地，向量u的總體全局靈敏度指數(shù)可表示為：

式（6）和式（8）即是概率向量u相對于系統(tǒng)響應(yīng)的一階和總體全局靈敏度指數(shù).實(shí)際上，這2 個(gè)指數(shù)均為Sobol 指數(shù)［13-14］的推廣.下面將基于蒙特卡洛法提出一種計(jì)算這2個(gè)指數(shù)的方法.

2.2 一階全局靈敏度指數(shù)計(jì)算

將式（6）展開可得：

式中：p(u)是聯(lián)合概率密度函數(shù)p(u，v)的一個(gè)邊緣分布函數(shù)；p(u，|u)是一個(gè)條件概率密度函數(shù).y0為y(x)的均值，可表示為：

式（9）和式（10）可以分別等效表示為：

將貝葉斯公式p(u，|u)p(u)=p(u，v)和式（12）代入式（11）可得：

采用蒙特卡洛法對式（13）進(jìn)行估計(jì)［12］可得

式（14）表明，要計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)對概率向量u的一階全局靈敏度指數(shù)，需要構(gòu)造3 個(gè)樣本集：(u，v)、(u′，v′)和(u，′).這些樣本的構(gòu)造方法將在后文中具體描述.

2.3 總體全局靈敏度指數(shù)計(jì)算

式中：Dv[Eu(y(，v))]表示當(dāng)向量v為定值時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)方差的平均減小量［13］.總方差D可展開為：

基于式（11）、式（15）和式（16），并結(jié)合貝葉斯公式可將表示為：

通過進(jìn)一步推導(dǎo)，式（17）可等效表示為：

采用蒙特卡洛法對式（19）進(jìn)行估計(jì)［12］可得：

式（20）表明，要計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)對概率向量u的總體全局靈敏度指數(shù)，需要構(gòu)造兩個(gè)樣本集(u，v)和(，v)，其構(gòu)造方法將在后文中具體描述.

PMS的不確定參數(shù)由概率向量x描述，故當(dāng)向量u=[x1，x2，…，xs](1 ≤s＜n) 和v=[xs+1，…，xn] 中取s=1 時(shí)，即可求得PMS 中的某個(gè)不確定參數(shù)的全局靈敏度指數(shù).

3 正態(tài)分布情形下考慮相關(guān)性的PMS 全局靈敏度分析

現(xiàn)有研究多數(shù)情況下采用正態(tài)分布的概率變量描述PMS的不確定參數(shù).因此，本文主要研究具有相關(guān)性的不確定參數(shù)服從正態(tài)分布時(shí)的PMS全局靈敏度分析.

3.1 正態(tài)分布情形下考慮相關(guān)性的靈敏度指數(shù)

當(dāng)概率向量x=[x1，x2，…，xn]T服從正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)其均值向量μ和協(xié)方差矩陣C，其累積分布函數(shù)可表示為：

式中：|C|表示協(xié)方差矩陣C的行列式.均值向量μ和協(xié)方差矩陣C可分別表示為：

根據(jù)第2 節(jié)，將正態(tài)分布下的向量x劃分為向量u和v，則對應(yīng)的均值向量μu、μv和協(xié)方差矩陣Cu、Cv可分別表示為：

條件分布Φn-s(u，|u)也服從正態(tài)分布，可表示為：

邊緣分布函數(shù)p(u)可表示為：

因此，一階與總體全局靈敏度指數(shù)Su和可分別表示為：

3.2 正態(tài)分布情形下考慮相關(guān)性的樣本集構(gòu)造

為構(gòu)造兩組具有相關(guān)性的正態(tài)分布樣本(u，v)和(u′，v′)，本文基于蒙特卡洛法提出了一種正態(tài)分布情形下考慮相關(guān)性的樣本集構(gòu)造方法.方法主要步驟如下：

1）使用Sobol 序列［15］生成均勻分布在0～1 的兩組n維概率向量w和w′.

2）利用逆正態(tài)累積分布函數(shù)將向量w和w′中任一元素wi和w′i轉(zhuǎn)化為具有零均值和單位方差的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布元素，即，進(jìn)而得到獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布向量

3）將概率變量對應(yīng)的協(xié)方差矩陣C進(jìn)行Cholesky分解，得到對應(yīng)的下三角矩陣A：AAT=C.

通過上述變換，可構(gòu)造出樣本集合x=(u，v)和下面將構(gòu)造樣本由于這兩組樣本屬于同一類型，其構(gòu)造原理相同，故此處僅介紹樣本(u，)的構(gòu)造.

1）將上述變換過程中的兩組樣本提出，一組是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本，另一組是相關(guān)情形下的正態(tài)分布樣本x=(u，v).

2）基于樣本x=(u，v)，結(jié)合式（25）求得μvc.

3）將式（23）中的協(xié)方差矩陣C的分量矩陣Cvc進(jìn)行Cholesky分解：Avc=Cvc.

5）將向量x中的分量u和向量′進(jìn)行組合，得到樣本(u，′).

此外，對于一般不確定情形下的相關(guān)概率變量，可以先使用高斯公式將其轉(zhuǎn)化為具有相關(guān)性的正態(tài)分布概率變量［12］，進(jìn)而可采用本文方法開展一般不確定情形下考慮相關(guān)性的全局靈敏度分析研究.圖2 為考慮不確定參數(shù)相關(guān)性的電動汽車PMS 全局靈敏度分析流程圖.

圖2 考慮不確定參數(shù)相關(guān)性的電動汽車PMS全局靈敏度分析流程圖Fig.2 The procedure of global sensitivity of the electric vehicle PMS considering the correlation of uncertain parameters

4 算例分析

4.1 分析模型

以某電動汽車三點(diǎn)橡膠懸置PMS 為例.電機(jī)總成質(zhì)量為78.9 kg，系統(tǒng)的慣性參數(shù)值如表1 所示，其中IXX、IYY和IZZ分別表示總成在X、Y和Z方向上的轉(zhuǎn)動慣量；IXY、IYZ和IZX分別表示總成在X和Y、Y和Z以及X和Z兩兩方向上的慣性積.表2為懸置靜剛度和安裝位置，其中ku、kv和kw分別表示各懸置在各自局部坐標(biāo)系下u、v和w方向的初始剛度.

表1 系統(tǒng)的慣性參數(shù)值Tab.1 The inertial parameter values of the system kg·m2

表2 懸置靜剛度和安裝位置Tab.2 The static stiffness and locations of mounts

4.2 全局靈敏度分析

工程中，電動汽車PMS 的橡膠懸置剛度往往具有不確定性和相關(guān)性，且已有研究大多數(shù)選擇懸置剛度作為PMS 的主要設(shè)計(jì)參數(shù)［16］.此外，對于PMS的振動特性，通常主要關(guān)注其豎直方向（Bounce 方向）和繞定轉(zhuǎn)子中心線旋轉(zhuǎn)方向（Pitch 方向）的固有頻率和解耦率響應(yīng).因此，本文重點(diǎn)研究PMS各懸置的三向剛度存在不確定性和相關(guān)性時(shí)Bounce 和Pitch 方向的固有頻率和解耦率響應(yīng)，以及相應(yīng)的全局靈敏度分析.

采用最常用的正態(tài)分布概率變量來描述不確定情形下的懸置剛度參數(shù)，且取變量的變異系數(shù)（即標(biāo)準(zhǔn)差與均值之比）為0.075.為了便于分析，將前、左和右懸置的三向剛度分別記為kui、kvi和kwi（i=1，2，3），將Bounce 方向的固有頻率和解耦率分別記為fB和dB，Pitch 方向的固有頻率和解耦率分別記為fP和dP.根據(jù)相關(guān)工程經(jīng)驗(yàn)和已有研究工作基礎(chǔ)［17］，將前懸置u與v方向、u與w方向，v與w方向的剛度參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)分別記為0.6、0.4和0.5；左懸置和右懸置相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別記為0.6、0.5 和0.4，不同懸置之間的參數(shù)相關(guān)系數(shù)記為0.

圖3 展示了在此相關(guān)性情形下，基于本文方法計(jì)算得到的Bounce 方向和Pitch 方向固有頻率和解耦率響應(yīng)對剛度參數(shù)的一階與總體全局靈敏度指數(shù).

圖3 fB、fP、dB和dP對剛度參數(shù)的全局靈敏度Fig.3 The global sensitivities of fB，fP，dBand dPto stiffness parameters

對圖3（a）進(jìn)行分析，可以得到如下結(jié)論：

1）9 個(gè)剛度參數(shù)中，kw2的總體全局靈敏度指數(shù)最大，故其不確定性對fB的影響最大.類似可知參數(shù)kw3的不確定性對fB的影響也較大.

2）對于ku2、kv2、kw2、ku3和kw3，其一階全局靈敏度指數(shù)均明顯大于總體全局靈敏度指數(shù)，說明這5 個(gè)參數(shù)與其他參數(shù)之間的相關(guān)性對fB有較大影響.

因此，在研究響應(yīng)fB時(shí)，應(yīng)側(cè)重考慮kw2和kw3的不確定性，以及ku2、kv2、kw2、ku3和kw3與其他剛度參數(shù)之間的相關(guān)性對fB的影響.其他4 個(gè)參數(shù)ku1、kv1、kw1和kv3的一階和總體全局靈敏度指數(shù)均很小，故它們的不確定性和相關(guān)性對fB的影響較小.在設(shè)計(jì)時(shí)可忽略這4個(gè)參數(shù)的不確定性和相關(guān)性對fB的影響，進(jìn)而可簡化問題.

進(jìn)一步分析9 個(gè)懸置剛度參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)fP、dB和dP的全局靈敏度，可綜合得到如表3 所示的分析結(jié)果.

表3 全局靈敏度分析結(jié)果Tab.3 The results of global sensitivity analysis

從表3 可以發(fā)現(xiàn)，左懸置Z方向上的剛度kw2以及右懸置Z方向上的剛度kw3，這兩個(gè)參數(shù)的不確定性對Bounce 方向固有頻率和解耦率具有明顯的影響；前懸置X方向和Z方向上的剛度ku1和kw1，這兩個(gè)參數(shù)的不確定性則對Pitch 方向固有頻率和解耦率具有明顯的影響，在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注.而懸置剛度之間的相關(guān)性對這兩個(gè)方向固有頻率和解耦率的影響規(guī)律比較復(fù)雜，沒有特定變化規(guī)律，且不同的系統(tǒng)響應(yīng)下可被忽略其影響的參數(shù)也有所不同，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求進(jìn)行具體分析.

4.3 不同相關(guān)性的影響分析

為分析不同參數(shù)相關(guān)性對PMS 固有特性的影響，本文將進(jìn)一步分析不同相關(guān)情形下系統(tǒng)固有頻率和解耦率對懸置剛度參數(shù)的靈敏度.在前文研究基礎(chǔ)上，固定各懸置在u方向與v方向和v方向與w方向的剛度參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，將各懸置u方向與w方向的剛度參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)統(tǒng)一按照0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8 和0.9 等10 種相關(guān)情形進(jìn)行變化.分別進(jìn)行計(jì)算并分析，結(jié)果分別如圖4～圖7所示.

圖4 不同相關(guān)情形下fB對剛度參數(shù)的全局靈敏度Fig.4 The global sensitivities of fBto stiffness parameters under different correlated cases

圖5 不同相關(guān)情形下fP對剛度參數(shù)的全局靈敏度Fig.5 The global sensitivities of fPto stiffness parameters under different correlated cases

圖6 不同相關(guān)情形下dB對剛度參數(shù)的全局靈敏度Fig.6 The global sensitivities of dBto stiffness parameters under different correlated cases

從圖4～圖7 可以發(fā)現(xiàn)，考慮不同的參數(shù)相關(guān)性后，各懸置剛度參數(shù)對系統(tǒng)固有頻率與解耦率的影響發(fā)生了不同程度的變化.綜合分析可得如下結(jié)論：

1）固有頻率方面：對于系統(tǒng)響應(yīng)fB，隨著相關(guān)系數(shù)增大，剛度參數(shù)ku2、ku3的一階全局靈敏度指數(shù)逐漸增大，kw2、kw3的總體全局靈敏度指數(shù)先略微增大后逐漸減小，其余剛度參數(shù)的靈敏度沒有明顯變化.對于系統(tǒng)響應(yīng)fP，隨著相關(guān)系數(shù)增大，剛度參數(shù)ku1、kw1的一階全局靈敏度指數(shù)逐漸增大，ku1、ku2、ku3、kw3的總體全局靈敏度指數(shù)逐漸減小，kw1的總體全局靈敏度指數(shù)則呈現(xiàn)出先略微增大后逐漸減小的趨勢，其余剛度參數(shù)的靈敏度沒有明顯變化.總體上，對于系統(tǒng)固有頻率響應(yīng)fB和fP，各剛度參數(shù)呈現(xiàn)出一階全局靈敏度逐漸增大或基本不變，以及總體全局靈敏度逐漸減小、先增大后減小或基本不變的規(guī)律.

2）解耦率方面：對于系統(tǒng)響應(yīng)dB，隨著相關(guān)系數(shù)增大，剛度參數(shù)ku2、kv2、kw2、ku3、kw3的一階全局靈敏度逐漸增大，kw1的一階全局靈敏度指數(shù)逐漸減小，ku1的一階全局靈敏度則先減小后增大；而、kw1、kw2、kw3的總體全局靈敏度指數(shù)呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢.對于系統(tǒng)響應(yīng)dp，隨著相關(guān)系數(shù)增大，ku2、kv2、kw2的一階全局靈敏度指數(shù)逐漸增大，kw1的一階全局靈敏度指數(shù)逐漸減小，ku1的一階全局靈敏度指數(shù)則先減小后增大；而ku1、kw1的總體全局靈敏度指數(shù)呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢.總體上，對于系統(tǒng)解耦率響應(yīng)dB和dP，各剛度參數(shù)呈現(xiàn)出總體全局靈敏度指數(shù)先增大后減小或基本不變的規(guī)律，而其一階全局靈敏度變化相對復(fù)雜，沒有特定規(guī)律.

綜上所述，對于本文所研究的電動汽車PMS，將其剛度參數(shù)處理為概率變量并考慮不同相關(guān)性后，系統(tǒng)固有特性對各剛度參數(shù)的全局靈敏度會出現(xiàn)不同趨勢和不同程度的變化，精確量化實(shí)際情形中概率變量的相關(guān)性，可以得到更加合理的分析結(jié)果.此外，系統(tǒng)響應(yīng)為解耦率的情形下，參數(shù)相關(guān)性變化對剛度參數(shù)的全局靈敏度指數(shù)的影響規(guī)律更加復(fù)雜，在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注.

5 結(jié)論

1）對于所研究的電動汽車PMS，本文方法能有效求解系統(tǒng)剛度參數(shù)存在不確定性和相關(guān)性時(shí)的參數(shù)全局靈敏度指數(shù)，進(jìn)而可分析剛度參數(shù)的不確定性或相關(guān)性對系統(tǒng)固有特性的影響規(guī)律.

2）隨著剛度參數(shù)相關(guān)性變化，各參數(shù)的全局靈敏度會出現(xiàn)不同趨勢和不同程度的變化，精確量化實(shí)際情形中參數(shù)的相關(guān)性可以得到更加合理的分析結(jié)果.系統(tǒng)響應(yīng)為解耦率的情形下，相關(guān)性變化對剛度參數(shù)的全局靈敏度指數(shù)的影響規(guī)律更加復(fù)雜，在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注.