宋 樂 張喬木 劉 歡 樊亞仙, 陶智勇,

(1 廣西無線寬帶通信與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 桂林電子科技大學(xué) 桂林 541004)

(2 桂林電子科技大學(xué)海洋工程學(xué)院 北海 536000)

(3 哈爾濱工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

0 引言

隨著聲學(xué)、力學(xué)、材料科學(xué)等學(xué)科不斷交叉融合，彈性波傳播理論及相關(guān)研究展現(xiàn)出了前所未有的生機(jī)和活力，為彈性波的傳播與調(diào)控提供了新的理論基礎(chǔ)和實(shí)現(xiàn)手段[1?3]。與聲波和電磁波不同，固體中的彈性波同時(shí)具有橫波和縱波兩個(gè)波矢分量，因此在彈性波調(diào)控材料以及功能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上具有更強(qiáng)的復(fù)雜性。Zhang等[4]基于平面波展開方法，將三維固體聲子晶體中的橫波模式和縱波模式從混合本征模式中分離出來，并發(fā)現(xiàn)波導(dǎo)與材料的密度比會(huì)影響縱向帶隙和橫向帶隙。Ghiba等[5]對(duì)平面波在均勻各向同性二元混合物中的傳播問題進(jìn)行了研究，指出平面彈性波包含縱波和橫波，并且每一種波又可以分為兩類，即存在著4 種不同類型的縱橫波分量。Wiseman 等[6]通過三維模型評(píng)估了剪切彈性和剪切黏度的多重組合，提出利用交叉相關(guān)性的橫波質(zhì)點(diǎn)位移，能夠有效地估計(jì)橫波速度。與此同時(shí)，彈性波傳輸介質(zhì)的變化，如各種天然或人工復(fù)合界面，對(duì)波傳輸?shù)恼{(diào)控作用也漸漸成為力學(xué)中的研究熱點(diǎn)之一[7]。

近年來，周期結(jié)構(gòu)波導(dǎo)受到了越來越多的關(guān)注，基于周期結(jié)構(gòu)的各類器件已廣泛地應(yīng)用于微波、電子學(xué)、集成光學(xué)及非線性光學(xué)等諸多領(lǐng)域[8?10]。為了調(diào)節(jié)帶隙特征，更好地控制聲波的傳播行為，在結(jié)構(gòu)中引入缺陷是一種常用的手段。Alkauskas等[11]研究了半導(dǎo)體中具有電活性的點(diǎn)缺陷處于不同變化狀態(tài)時(shí)的物理特性，以及在價(jià)帶最大值和最小值之間的帶隙中缺陷的能級(jí)。Mertens等[12]在液晶填充的大孔徑硅周期結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn)了光子帶隙，并實(shí)驗(yàn)證實(shí)了溫度變化所導(dǎo)致的缺陷光譜頻移。Miyashita等[13]研究了具有線缺陷的聲子晶體中單缺陷模的傳輸特性，并對(duì)耦合缺陷模進(jìn)行了研究，得到了較高的模式耦合比。對(duì)于彈性波在二維周期復(fù)合結(jié)構(gòu)中的傳播，引入缺陷則會(huì)改變?cè)瓉淼哪軒ЫY(jié)構(gòu)，在完美周期結(jié)構(gòu)的禁帶中產(chǎn)生一個(gè)透射峰，稱為缺陷態(tài)[14]。研究表明破壞晶格的周期性，帶隙內(nèi)某一頻率的彈性波會(huì)局域在缺陷處或者沿著缺陷傳播[15]。

基于布拉格散射機(jī)制和局域共振機(jī)制，不同材料和結(jié)構(gòu)周期性排列的人工復(fù)合結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生頻域禁帶。不同于聲子晶體中常見的點(diǎn)缺陷或線缺陷，本文基于相位失配方式，通過連接兩個(gè)具有相位差的正弦邊界彈性波導(dǎo)，構(gòu)建了一種具有缺陷態(tài)的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，研究了彈性波禁帶中透射峰的頻率變化規(guī)律，并對(duì)缺陷態(tài)應(yīng)力、應(yīng)變的局域特性進(jìn)行分析。該復(fù)合波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的彈性波調(diào)控特性可為聲濾波器、傳感器、聲波導(dǎo)等研制提供重要參考，促進(jìn)主動(dòng)或智能控制器件在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中的推廣。

1 彈性波導(dǎo)結(jié)構(gòu)

板狀結(jié)構(gòu)是研究彈性波傳播理論的常用模型。在有限元仿真軟件中，建立兩組分別由5 個(gè)正弦形周期單元構(gòu)成的結(jié)構(gòu)W1、W2并相連接，兩種結(jié)構(gòu)局部放大圖繪制在平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)上側(cè)，如圖1 所示。兩個(gè)初始相位值分別為?1、?2；沿x軸方向的周期單元長(zhǎng)度T是10 mm，沿y軸方向的平均厚度d為6 mm，對(duì)于z方向的尺寸參數(shù)，一般采用的是遠(yuǎn)大于厚度(d=6 mm)的尺寸，例如100 mm，以重點(diǎn)討論分析二維平面內(nèi)主要的低階模式彈性波傳輸問題。在此模型中，垂直平面即z方向的影響有限。由正弦形邊界引起的起伏參數(shù)e設(shè)置為0.6 mm；除入射邊外，其余部分選擇固體力學(xué)中的自由邊界條件；結(jié)構(gòu)材料選擇鋁合金；以自由三角形網(wǎng)格劃分，并設(shè)定最大劃分單元大小為1.5 mm，分析入射波在輸出端變化。W1和W2結(jié)構(gòu)邊界表達(dá)式如下：

圖1 彈性平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the elastic plate waveguide structure

連接處相位失配如圖2 所示。其中，u和v分別表示沿水平方向x和豎直方向y的位移。在具有相同周期長(zhǎng)度和起伏參數(shù)的各向同性材質(zhì)結(jié)構(gòu)條件下，若W1和W2結(jié)構(gòu)的初始相位相等?1=?2，即相位匹配，整個(gè)波導(dǎo)成為無缺陷的完美周期結(jié)構(gòu)。反之，若?1≠?2，則引入了相位失配，不同失配程度實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了兩結(jié)構(gòu)間對(duì)接處的突變程度，在這里即指初始相位差大小。對(duì)于兩個(gè)周期性波導(dǎo)的初始相位的差異，這里通過歸一化將相位差設(shè)置為??，表達(dá)式如下：

圖2 對(duì)接處的相位失配Fig.2 Phase mismatch at the junction

波在周期波導(dǎo)中傳輸時(shí)，由布拉格散射引起布拉格共振則會(huì)導(dǎo)致頻域禁帶，并且布拉格共振頻率與周期長(zhǎng)度有關(guān)[16]。根據(jù)Floquet定理與邊界條件，可以得到頻率f與傳播常數(shù)β的關(guān)系式[17]：

其中，c代表板中彈性波速度，=mπ/2(m=0,1,2,3,···)，n取整數(shù)，為空間諧波數(shù)。

在仿真中對(duì)波導(dǎo)左側(cè)施加沿x軸正方向的應(yīng)力以激發(fā)入射波，應(yīng)力大小設(shè)置為1 N/m2，并在右側(cè)出口處進(jìn)行接收，分別用入口和出口域的平均彈性能密度PIn和POut表征入口和出口的能量大小，除波導(dǎo)區(qū)域外，模型的末端增加一段長(zhǎng)度為30 mm 的完美匹配層(Perfectly matched layer,PML)作為能量吸收層[18]。這里定義透射系數(shù)Te為

根據(jù)仿真模型的參數(shù)和公式(4)、公式(5)，得到彈性波導(dǎo)的頻帶結(jié)構(gòu)和透射譜，如圖3 所示。結(jié)果表明，對(duì)于未引入相位差的完美周期結(jié)構(gòu)，波在傳播時(shí)產(chǎn)生了頻域禁帶，并且在0.46 MHz處禁帶最為明顯，其對(duì)應(yīng)的是m=1時(shí)，由相同模式共振引起的布拉格禁帶。由于公式(4)是在沒有起伏時(shí)得到的色散關(guān)系，因此，實(shí)際的頻帶較理論預(yù)測(cè)稍稍下移。

圖3 彈性波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的頻帶結(jié)構(gòu)和透射譜Fig.3 Band diagram and transmission spectrum of the elastic waveguide structure

2 彈性波缺陷態(tài)

研究表明，在周期波導(dǎo)中引入變截面缺陷，則會(huì)造成波導(dǎo)的周期完整性被破壞，其譜帶特征會(huì)發(fā)生變化[8]。在周期起伏彈性波導(dǎo)中，缺陷態(tài)的性質(zhì)與缺陷和周期結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)密切相關(guān)。對(duì)于兩結(jié)構(gòu)W1和W2的連接處，起伏邊界的相位變化擾動(dòng)了起伏結(jié)構(gòu)的周期波數(shù)，進(jìn)而影響共振的波長(zhǎng)和頻率，產(chǎn)生使某一頻率的波通過的缺陷態(tài)。由第1 節(jié)中頻帶結(jié)構(gòu)和透射譜可知，在頻率范圍為0.44～0.48 MHz內(nèi)，波在該周期性彈性波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中傳播會(huì)出現(xiàn)明顯禁帶。在這里，引入相位差為??，當(dāng)??≠0時(shí)連接相位失配。在有限元仿真軟件中，通過設(shè)置不同相位差值進(jìn)行仿真并對(duì)入射波在周期波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的傳播特性進(jìn)行比較，其透射譜如圖4所示。波在該周期性波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中傳播，在0.44～0.48 MHz 頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)明顯禁帶，即藍(lán)色區(qū)域。在禁帶區(qū)域中發(fā)現(xiàn)，總會(huì)存在明顯的極大值點(diǎn)，即透射譜中存在透射峰。而且??=0時(shí)，即連接相位匹配，呈現(xiàn)為完美周期結(jié)構(gòu)，沒有透射峰出現(xiàn)。這表明彈性波周期波導(dǎo)中，相位失配缺陷可以導(dǎo)致彈性波缺陷態(tài)。

圖4 透射譜隨相位失配變化情況Fig.4 Transmission spectrum changes with the phase mismatch

可以看出，在歸一化相位差從0 到1 的一個(gè)周期內(nèi)，損耗較高的藍(lán)色區(qū)域中分布著3 條透射率較高的黃色曲線，對(duì)應(yīng)著波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的禁帶以及禁帶中的透射峰。隨著相位差的變化，禁帶中透射峰表現(xiàn)出不同的頻率值，即頻移現(xiàn)象，說明通過相位差這一結(jié)構(gòu)參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)禁帶中缺陷態(tài)的頻率調(diào)控。

在??=0.6附近，黃色曲線產(chǎn)生了向低頻通帶融合以及從高頻通帶出現(xiàn)的現(xiàn)象，這意味著相位差的變化，會(huì)導(dǎo)致禁帶中缺陷態(tài)的消失與產(chǎn)生。也就是說，連接相位變化可以使禁帶中的缺陷態(tài)呈現(xiàn)周期性頻移。與此同時(shí)，更有趣的是在相位變化時(shí)，禁帶中出現(xiàn)透射峰的數(shù)量也不同，即引入一個(gè)相位失配缺陷，可能在禁帶中產(chǎn)生多個(gè)缺陷態(tài)。這是由于本文研究的是平板波導(dǎo)中的彈性波，其同時(shí)具有縱波和橫波兩個(gè)分量，缺陷的引入會(huì)同時(shí)改變縱波和橫波的共振，從而呈現(xiàn)出不同的缺陷態(tài)和局域現(xiàn)象。這一物理現(xiàn)象可以為多通道聲學(xué)或彈性波濾波器設(shè)計(jì)提供更多參考。

3 缺陷態(tài)局域化特征

為了進(jìn)一步分析相位失配缺陷態(tài)的性質(zhì)，以及彈性波缺陷態(tài)中能量的局域化現(xiàn)象，對(duì)其空間模場(chǎng)分布特征進(jìn)行了研究。

3.1 應(yīng)力場(chǎng)分布

以相位差??分別為0.25 和0.5 為例，對(duì)藍(lán)色區(qū)域禁帶中的不同黃色曲線，即透射峰對(duì)應(yīng)頻率的應(yīng)力場(chǎng)情況和彈性應(yīng)變能密度分布進(jìn)行數(shù)值模擬，計(jì)算結(jié)果如圖5 和圖6 所示。結(jié)果表明，相位失配造成的缺陷處應(yīng)力分布呈現(xiàn)出不同的局域化特征。在這里，定義以缺陷處應(yīng)力呈現(xiàn)極小值的缺陷態(tài)為模式1 (Mode 1)，而呈現(xiàn)極大值的缺陷態(tài)為模式2(Mode 2)。根據(jù)彈性波透射譜，在??=0.25時(shí)，Mode 1 對(duì)應(yīng)頻率f1=457.8 kHz，Mode 2 對(duì)應(yīng)頻率為f2=467.9 kHz；在??=0.5 時(shí)，Mode 1對(duì)應(yīng)頻率為f1=447.4 kHz，Mode 2 對(duì)應(yīng)頻率為f2=461.4 kHz。

圖5 結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布圖Fig.5 Structural stress distribution diagram

圖6 不同相位失配下彈性應(yīng)變能密度分布情況Fig.6 Distribution of elastic strain energy density with different phase mismatches

通過對(duì)比兩種不同缺陷模式可知，應(yīng)力場(chǎng)能量主要集中在缺陷兩側(cè)的周期結(jié)構(gòu)中，且沿波導(dǎo)兩側(cè)逐漸減弱。不同的是，Mode 1 的應(yīng)力場(chǎng)分布在板中沿中心水平軸分布著極大值；而Mode 2 的應(yīng)力場(chǎng)分布中，除能量在板中沿中心水平軸分布著極大值的特征以外，在板的厚度方向上也出現(xiàn)了極大值，并且兩種情況交替出現(xiàn)。這種現(xiàn)象表明不同頻率下的缺陷態(tài)在應(yīng)力場(chǎng)局域化特征上存在差異，并且這種差異并不是由相位差的變化引起的，相同相位差卻引入了不同的缺陷態(tài)，隨頻率不同而導(dǎo)致應(yīng)力分布不同。因此，通過選擇不同模式的缺陷態(tài)可以調(diào)控彈性板應(yīng)力場(chǎng)的局域化特征。

3.2 空間位移場(chǎng)分布

不同缺陷態(tài)會(huì)導(dǎo)致應(yīng)力局域化特征不同，相應(yīng)的空間位移場(chǎng)分布也必然不同。分別對(duì)不同模式缺陷態(tài)的水平位移分量和豎直位移分量進(jìn)行了模擬，結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 位移場(chǎng)水平分量分布圖Fig.7 Horizontal component distribution of displacement fields

圖8 位移場(chǎng)豎直分量分布圖Fig.8 Vertical component distribution of displacement fields

由圖7 可以看出，位移場(chǎng)水平分量在周期波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中具有對(duì)稱和反對(duì)稱分布兩種特征。Mode 1的位移場(chǎng)分布表現(xiàn)為對(duì)稱特征：相位失配缺陷處是極小值，能量主要局域在相鄰的兩個(gè)不同相位的周期單元中心，且關(guān)于缺陷中心呈現(xiàn)對(duì)稱分布特征。Mode 2的位移場(chǎng)分布表現(xiàn)為反對(duì)稱特征：以相位失配缺陷處為中心，左右兩側(cè)分布著相反的極值情況，即呈現(xiàn)出反對(duì)稱分布特征。

與位移場(chǎng)水平分量情況相似，位移場(chǎng)豎直分量在周期波導(dǎo)中也存在著對(duì)稱與反對(duì)稱分布特征，如圖8 所示。其中Mode 1 對(duì)應(yīng)的場(chǎng)分布表現(xiàn)為關(guān)于連接處呈反對(duì)稱分布；Mode 2對(duì)應(yīng)的場(chǎng)分布表現(xiàn)為關(guān)于連接處呈對(duì)稱分布。這種分布特征恰好與位移場(chǎng)水平分量情況相反，這表明兩種不同缺陷態(tài)可以導(dǎo)致完全相反的位移場(chǎng)分布特性。因此，不同模式下的缺陷態(tài)也可以用來調(diào)控彈性板位移場(chǎng)的分布。

為了更清楚地說明相位失配引入的彈性波缺陷態(tài)特征，將不同缺陷模式的空間場(chǎng)分布特征匯總于表1，并給出了兩種不同缺陷模式所對(duì)應(yīng)的頻率隨相位差變化的關(guān)系曲線，如圖9 所示。可以看出，在Mode 1 與Mode 2 隨相位差變化而產(chǎn)生頻移過程中，呈現(xiàn)出同一能量局域化特征的Mode 1 從高頻向低頻移動(dòng)，當(dāng)相位差大于0.5時(shí)，Mode 1從禁帶下邊緣消失，而后重新從禁帶上邊緣出現(xiàn)；而呈現(xiàn)與Mode 1 相反局域化特征的Mode 2，從高頻禁帶邊緣開始，隨相位差的增大逐漸向低頻移動(dòng)，當(dāng)相位差變化一周期后，消失于低頻禁帶沿。也就是說，在一個(gè)相位差變化周期內(nèi)，Mode 2產(chǎn)生了一個(gè)從高頻向低頻移動(dòng)的過程，Mode l 卻產(chǎn)生了兩個(gè)周期的頻移變化過程。這表明禁帶中的透射峰數(shù)目是由兩個(gè)缺陷模式頻移的周期不同造成的。

表1 不同缺陷態(tài)的應(yīng)力及位移場(chǎng)情況Table 1 Stress and displacement fields of different defect states

圖9 不同缺陷態(tài)的頻率隨相位差變化Fig.9 Frequency of different defect states vs the phase difference

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種基于周期起伏結(jié)構(gòu)的彈性平板波導(dǎo)，并在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中引入了相位失配產(chǎn)生的缺陷，對(duì)透射譜禁帶中產(chǎn)生的缺陷態(tài)特征進(jìn)行了研究。結(jié)論如下：

(1) 周期起伏彈性板中會(huì)形成彈性波禁帶，引入相位失配缺陷可以觀察到禁帶中的缺陷模透射峰，且透射峰隨相位差變化而發(fā)生頻移。不僅如此，禁帶中透射峰的數(shù)目也受相位差大小影響。研究表明邊界起伏和相位連接條件都會(huì)影響彈性板的譜帶特性，不同的相位失配程度可以造成不同特征的彈性波頻譜，并且形成缺陷態(tài)的數(shù)目也不同。

(2) 對(duì)缺陷處的能量局域化現(xiàn)象進(jìn)行了進(jìn)一步的分析，結(jié)果表明不同缺陷態(tài)的應(yīng)力場(chǎng)以及空間位移場(chǎng)分布具有不同的特征。研究表明，不同頻率的缺陷態(tài)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)分量存在不同的能量局域特征，分別呈現(xiàn)出對(duì)稱及反對(duì)稱規(guī)律。

(3) 對(duì)于兩種不同缺陷模式，歸納了相位差與模式之間的頻率分布，揭示了不同缺陷模式具有頻移周期不同的特征。

由于彈性波在波導(dǎo)內(nèi)具有橫波和縱波兩種類型，除了它們與結(jié)構(gòu)的作用外，兩者之間也存在相互轉(zhuǎn)換。所以即使結(jié)構(gòu)中只引入一個(gè)相位失配缺陷，禁帶中也可能出現(xiàn)兩個(gè)特性不同的透射峰。由于產(chǎn)生缺陷態(tài)的頻率與結(jié)構(gòu)尺寸密切相關(guān)，等比例放大結(jié)構(gòu)參數(shù)，缺陷態(tài)頻率也會(huì)隨之降低。即便不增大結(jié)構(gòu)尺寸，目前的工藝也完全可以精確加工相關(guān)的彈性薄板。進(jìn)一步研制高精度的彈性波檢測(cè)系統(tǒng)，則可以對(duì)本文提出的相位失配缺陷態(tài)調(diào)控機(jī)理進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。利用光學(xué)干涉方法高精度檢測(cè)彈性波模式[19]，將成為有效手段。總之，本文提出的彈性波缺陷態(tài)調(diào)控方法不僅有利于波導(dǎo)的帶隙分析以及彈性波應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)調(diào)控研究，也為聲學(xué)濾波、缺陷態(tài)特征模式分析、結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲衰減等聲傳播控制領(lǐng)域提供重要參考和解決方案。