孔祥君,邵雪卷,劉麗琴

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,太原 030024)

近年來為了提高直流伺服電機(jī)的控制性能并滿足生產(chǎn)需要,許多學(xué)者對其控制方法進(jìn)行了研究,除了常規(guī)PID控制外[1-2],預(yù)測控制[2-3],神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4-5],魯棒控制[6],自適應(yīng)控制[7-8],分?jǐn)?shù)階PID控制[9]等已經(jīng)廣泛應(yīng)用于直流伺服電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中,這些控制策略在輸入為階躍信號時均能夠有效地提升伺服系統(tǒng)的控制性能。

為了解決系統(tǒng)在進(jìn)行重復(fù)任務(wù)時的信號跟蹤問題,日本學(xué)者Inoue針對伺服系統(tǒng)重復(fù)信號高精度跟蹤問題,提出了基于內(nèi)模原理的重復(fù)控制,通過利用過去偏差與當(dāng)前偏差共同作用于被控對象,對其進(jìn)行控制。采用重復(fù)控制不僅能夠有效跟蹤輸入的周期性信號,而且對周期性負(fù)載干擾具有抑制作用,并提高系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[10-13]提出一種基于重復(fù)控制補(bǔ)償?shù)姆謹(jǐn)?shù)階PID 控制策略,通過采用 Oustaloup 濾波算法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階運(yùn)算,有效的增加了系統(tǒng)跟蹤精度與魯棒性,但是無法實(shí)現(xiàn)伺服系統(tǒng)的抗擾和跟隨特性的解耦控制。文獻(xiàn)[14]采用一種快速型重復(fù)控制結(jié)構(gòu),并通過有限脈沖濾波器逼近分?jǐn)?shù)延遲階次,精確跟蹤期望輸出,實(shí)現(xiàn)了更高的精度,但對于隨機(jī)干擾的抑制有一定困難,且動態(tài)性能較差。文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上提出一種雙分?jǐn)?shù)階快速重復(fù)控制策略,同時將有限個整數(shù)階超前環(huán)節(jié)模型并聯(lián),得到了一種基于分?jǐn)?shù)階延時環(huán)節(jié)的新型快速重復(fù)內(nèi)模,通過實(shí)驗(yàn)證明了所提策略能夠有效提高系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)性能,但該重復(fù)控制中的相位補(bǔ)償器缺少對被控系統(tǒng)傳遞函數(shù)的考慮,會對系統(tǒng)的跟蹤精度產(chǎn)生影響。

針對抗擾和跟隨特性的解耦控制以及對隨機(jī)干擾抑制等問題,本文提出了一種新的二自由度控制,采用了復(fù)合控制提高系統(tǒng)跟蹤精度,并對重復(fù)控制的中的濾波器部分進(jìn)行改進(jìn),通過將其設(shè)計(jì)成分?jǐn)?shù)階形式,加快系統(tǒng)響應(yīng)時間;同時加入干擾觀測器,消除干擾對系統(tǒng)性能的影響,增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。結(jié)果表明本文方法具有更快的收斂速度和更高的控制精度,抗干擾能力強(qiáng),對參數(shù)變化具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 直流伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

直流伺服電動機(jī)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示:

圖1 直流伺服電機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)自動控制理論直流伺服電動機(jī)傳遞函數(shù)為:

(1)

式中:Gp(s)為電機(jī)傳遞函數(shù);Ce為電機(jī)的反電動勢系數(shù);Tm為機(jī)電時間常數(shù);Tl電磁時間常數(shù);IdL為負(fù)載電流,其中s為拉普拉斯變換域中的自變量。

2 基于干擾觀測器的二自由度控制

為了改善系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抗擾性能,本文采用了如圖2中二自由度控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

圖2 二自由度系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖

圖2中Gp(s)為控制對象,Gc1(s)為分?jǐn)?shù)階PID與重復(fù)控制結(jié)合的復(fù)合控制,Gc2(s)為干擾觀測器,d為系統(tǒng)輸入干擾,n為噪聲。圖2中可以得到在三個輸入獨(dú)立作用時的閉環(huán)傳遞函數(shù):

(2)

(3)

(4)

由式(2)-式(4)可以推導(dǎo)得到:

Gyr(s)=Gc1(s)Gyd(s)

(5)

Gyn(s)=-Gyr(s)-Gc2(s)Gyd(s)

(6)

由式(5)式(6)可知,通過兩個獨(dú)立的控制器Gc1(s)與Gc2(s)可以實(shí)現(xiàn)位置跟隨特性和抗擾特性的解耦控制。

2.1 重復(fù)控制與分?jǐn)?shù)階PID復(fù)合控制器

針對伺服系統(tǒng)正弦輸入信號高精度控制問題,對圖2中的Gc1(s)控制器采用重復(fù)控制與分?jǐn)?shù)階PID復(fù)合控制結(jié)構(gòu)。復(fù)合控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示:

圖3 復(fù)合控制器結(jié)構(gòu)

圖4 干擾觀測器結(jié)構(gòu)

圖中FOPID為分?jǐn)?shù)階PID控制器,Q(s)e-Ls,e-Ls,C(s)均為重復(fù)控制組成部分,r為輸入信號,其中Q(s)為低通濾波器,能夠穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng);補(bǔ)償器C(s)則起到補(bǔ)償幅值與相位的作用。

2.1.1 濾波器Q(s)與補(bǔ)償器C(s)的設(shè)計(jì)

重復(fù)控制由濾波器Q(s)與補(bǔ)償器c(s)組成,Q(s)一般選取二階低通濾波器形式,本文選擇分?jǐn)?shù)階形式的濾波器,參數(shù)調(diào)節(jié)上具有更大的靈活性,在低頻段擁有與二階低通濾波器相同的特性,在高頻段其穩(wěn)態(tài)特性更好、收斂速度更快[15],其數(shù)學(xué)描述為:

(7)

補(bǔ)償器C(s)是根據(jù)對象Gp(s)的特性而設(shè)置的,對重復(fù)控制器性能的好壞有決定性影響,理想情況下補(bǔ)償器需滿足C(s)·Gp(s)=1,為了滿足條件并使得閉環(huán)系統(tǒng)對增益的變化具有魯棒性,這里C(s)采用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器,這樣可以在滿足系統(tǒng)要求的截止頻率和相角裕度的前提下,整定補(bǔ)償器C(s)參數(shù)。

2.1.2 分?jǐn)?shù)階PID的設(shè)計(jì)

本文分?jǐn)?shù)階PID采用如式(8)形式:

(8)

參數(shù)整定時首先利用整數(shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法確定式(8)中Kp、Ki、Kd的值,根據(jù)截止頻率的定義得到:

(FOPID·Gp(s))s=jwc=-ejφm

(9)

其中φm與ωc為所需相角裕度和截止頻率,將式(8)帶入式(9)中得:

(10)

(11)

(12)

因此當(dāng)截止頻率與相位裕度與參數(shù)Kp、Ki、Kd確定時,此時可以通過式(11)與(12)分別畫出關(guān)于λ與μ的曲線,則兩條曲線的交點(diǎn)則為λ與μ的解。

2.2 干擾觀測器的設(shè)計(jì)

外部干擾以及模型參數(shù)變化會對系統(tǒng)跟蹤精度產(chǎn)生影響,為了提高系統(tǒng)的抗擾能力,本文采用了干擾觀測器進(jìn)行補(bǔ)償,實(shí)現(xiàn)對干擾的抑制,觀測器采用如下形式的結(jié)構(gòu):

(13)

(14)

2.3 復(fù)合控制方案的穩(wěn)定性與快速性分析

考慮系統(tǒng)中復(fù)合控制方案的穩(wěn)定性與快速性,整體控制結(jié)構(gòu)如圖5.

圖5 基于干擾觀測器二自由度控制

由圖5中重復(fù)控制器與FOPID復(fù)合控制部分,得到:

(15)

經(jīng)過推導(dǎo)可以得到誤差e(s)的表達(dá)式為:

e(s)=r-(ur1(s)+ur2(s))*Gpc2(s)+d=

(16)

化簡后得:

1(1+FOPID·Gpc2(s))(1-Q(s)*e-Ls)+

C(s)·Gpc2(s)e-Ls=0

(17)

假設(shè)當(dāng)1+FOPID·Gpc2(s)時,特征方程可以整理為:

(18)

此時可以通過計(jì)算上式是否有相同解判斷系統(tǒng)是否能夠穩(wěn)定并跟蹤輸入。

當(dāng)1+FOPID·Gpc2(s)≠0時,得:

(19)

其中穩(wěn)定性的判斷,根據(jù)控制理論中的小增益原理,可以得到復(fù)合控制系統(tǒng)穩(wěn)定的一個充分條件為:

(20)

因此當(dāng)式(20)的幅頻響應(yīng)曲線幅值小于1,系統(tǒng)穩(wěn)定。

同時根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的對重復(fù)控制器快速性的判斷原則,控制器可以通過判斷式(21)的幅值來比較其快速性。

H(s)=Q(s)e-Ls-FOPID*Gpc2(s)

[1-Q(s)e-Ls]-C(s)·Gpc2(s)e-Ls

(21)

當(dāng)式(21)幅值越小,誤差收斂速度越快。因此可以通過觀察式(21)的幅頻響應(yīng)曲線來進(jìn)行比較。

3 仿真研究

為驗(yàn)證本文方法的有效性,以固高公司生產(chǎn)的GSMT2014型號直流伺服電機(jī)作為被控對象。伺服電機(jī)系統(tǒng)的反電動勢系數(shù)為1 V·s/rad;機(jī)電時間常數(shù)為0.172 s;電磁時間常數(shù)約為0.0363 H/Ω.直流伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

(22)

利用MATLAB對直流伺服系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究,并與文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[10]中的方法進(jìn)行比較。

根據(jù)整數(shù)階PID參數(shù)整定方法得到分?jǐn)?shù)階PID控制器中的Kp、Ki、Kd參數(shù),Kp=49.953 53,Ki=106.107 7,Kd=0.397 3選取相角裕度為φm=60°,截止頻率ωc=76.9 rad/s,通過聯(lián)立式(11)與式(12),關(guān)于λ與μ的曲線如圖6所示。

圖6 λ和μ關(guān)系曲線

圖6中點(diǎn)A為λ和μ交點(diǎn),可得λ=0.689 7,μ=1.16,仿真時采用Oustaloup濾波器實(shí)現(xiàn),近似階次取N=5.設(shè)系統(tǒng)的輸入為r(t)=2 000+200 sintrpm/s,復(fù)合控制中分?jǐn)?shù)階濾波器參數(shù)T1選取為0.1,濾波器階次選擇為0.121,重復(fù)控制器延遲環(huán)節(jié)eLs中時間常數(shù)L選擇為0.001,補(bǔ)償器C(s)選取與FOPID相同參數(shù)。

根據(jù)式(21)可知當(dāng)其幅值變小時系統(tǒng)響應(yīng)速度加快,將本文所采用的分?jǐn)?shù)階濾波器與文獻(xiàn)[10]中所采用的傳統(tǒng)二階濾波器進(jìn)行比較,結(jié)果如圖7.

圖7 分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器與傳統(tǒng)重復(fù)控制器幅頻響應(yīng)比較

圖7中本文所采用的分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器的幅值要小于傳統(tǒng)重復(fù)控制的幅值,通過比較式(23)幅值,可見本文響應(yīng)速度相比文獻(xiàn)[10]中的方法更快。

3.1 系統(tǒng)跟蹤性能分析

本文與文獻(xiàn)[9-10]速度跟蹤對比曲線如圖8和圖9所示,其中文獻(xiàn)[9]采用了傳統(tǒng)二自由度分?jǐn)?shù)階PID控制,文獻(xiàn)[10]采用了重復(fù)控制補(bǔ)償?shù)姆謹(jǐn)?shù)階PID控制:

圖8 系統(tǒng)跟蹤響應(yīng)曲線對比

圖9 系統(tǒng)跟蹤響應(yīng)曲線圖

本文與文獻(xiàn)[9-10]的系統(tǒng)跟蹤響應(yīng)曲線比較如圖8、圖9所示,在相同的相角裕度和截止頻率下,本文方法上升時間為15.59 ms,文獻(xiàn)[9]與文獻(xiàn)[10]上升時間分別為85.424 ms,18.541 ms;選取時間乘以誤差絕對值積分(ITAE)的性能指標(biāo)作為比較標(biāo)準(zhǔn),本文ITAE指標(biāo)為0.243 3,文獻(xiàn)[9]中ITAE指標(biāo)2.417,文獻(xiàn)[10]中ITAE指標(biāo)為1.336,可見本文相較于文獻(xiàn)[9-10]中的控制方法擁有更快的響應(yīng)速度,可以實(shí)現(xiàn)更好的跟隨控制性能。

3.2 系統(tǒng)魯棒性分析

考慮系統(tǒng)的魯棒性,令對象模型參數(shù)K、T1攝動+150%,即傳遞函數(shù)中Tm·Te=0.009 36,1/Ke=1.5,本文與文獻(xiàn)[9-10]速度跟蹤對比曲線分別如圖10與圖11所示:

圖10 攝動系統(tǒng)跟蹤響應(yīng)曲線圖

圖11 攝動系統(tǒng)跟蹤響應(yīng)曲線圖

根據(jù)圖10與圖11,本文的時間乘以誤差絕對值積分(ITAE)指標(biāo)為6.385,文獻(xiàn)[9-10]ITAE指標(biāo)分別為15.67和12.64,可見本文提出的改進(jìn)型復(fù)合控制方法依然保持著良好的控制性能。

3.3 系統(tǒng)抗擾性分析

在系統(tǒng)5 s時電機(jī)加入200sin1.5t+500 rpm/s的擾動,同時加入幅值為1的隨機(jī)信號作為噪聲,文獻(xiàn)[9]與文獻(xiàn)[10]系統(tǒng)抗擾曲線如圖12和圖13所示。

圖12 系統(tǒng)抗擾性響應(yīng)曲線

圖13 系統(tǒng)抗擾性響應(yīng)曲線

本文在突加干擾后速度的最大偏差為38 rpm/s,文獻(xiàn)[9-10]中最大偏差分別370 rpm/s、138 rpm/s,可見本文控制器能有效的抑制擾動,獲得良好的跟蹤性能。

4 結(jié)論

為了提高直流伺服電機(jī)在進(jìn)行重復(fù)任務(wù)時系統(tǒng)跟蹤的精度,本文研究了一種二自由度重復(fù)控制策略,實(shí)現(xiàn)了整定參數(shù)時不需要在設(shè)定值跟隨特性與干擾抑制特性兩種特性之間折中選擇。通過引入分?jǐn)?shù)階形式的濾波器,減少了系統(tǒng)的上升時間,增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗擾性能。通過仿真分析驗(yàn)證,本文方法在突加負(fù)載時,具有很強(qiáng)的適應(yīng)性,同時可以有效減小系統(tǒng)的上升時間,無需復(fù)雜的算法,對系統(tǒng)參數(shù)的變化以及外部擾動也有著不錯的抵抗能力。