肖聚亮，王 能，劉海濤，岳 巍，王 健，趙慧慧，高嘉爽

（1.天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300354；2.上海航天設(shè)備制造總廠有限公司，上海 200245）

攪拌摩擦焊接（Friction stir welding，F(xiàn)SW）是一種固態(tài)連接技術(shù)，自1991 年誕生以來(lái)便迅速發(fā)展，并在航空航天等行業(yè)得到了廣泛應(yīng)用[1]。由于能源效率高、環(huán)境友好和多功能性，攪拌摩擦焊工藝的進(jìn)步被認(rèn)為是過(guò)去幾十年金屬連接領(lǐng)域最重要的發(fā)展[2]。以前，傳統(tǒng)機(jī)床/專用攪拌摩擦焊機(jī)床是完成攪拌摩擦焊最常用的設(shè)備[3]。隨著攪拌摩擦焊接技術(shù)的發(fā)展和在航空航天領(lǐng)域應(yīng)用不斷深入，三維曲面的焊接開(kāi)始被涉及，傳統(tǒng)機(jī)床和專用攪拌摩擦焊機(jī)床對(duì)此“力不從心”。隨著承載能力和姿態(tài)精度的提高，工業(yè)機(jī)器人已成為攪拌摩擦焊成本最低、最靈活的解決方案[4–5]，并且更適合三維曲面的焊接。但是和機(jī)床相比，工業(yè)機(jī)器人相對(duì)較低的剛度嚴(yán)重限制了其未來(lái)發(fā)展。當(dāng)攪拌摩擦焊設(shè)備剛度較低時(shí)，工具會(huì)偏離理想的焊接路徑，嚴(yán)重影響焊接質(zhì)量[3]。因此對(duì)焊接過(guò)程中機(jī)器人的剛度進(jìn)行優(yōu)化具有重要意義。

對(duì)于一個(gè)機(jī)器人來(lái)說(shuō)，位姿是影響其加工剛度的重要因素。已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)提高機(jī)器人剛度進(jìn)行研究，其方式大體可分為兩種：通過(guò)機(jī)器人本體的冗余自由度對(duì)機(jī)器人加工位姿進(jìn)行優(yōu)化，從而提高機(jī)器人加工剛度；通過(guò)調(diào)整工件位姿優(yōu)化機(jī)器人加工位姿，從而提高機(jī)器人加工剛度。Chen 等[6]綜合考慮銑削的切削力和表面法向剛度，通過(guò)優(yōu)化機(jī)器人冗余自由度和刀具進(jìn)給方向來(lái)提高機(jī)器人銑削的剛度評(píng)價(jià)指標(biāo)。Guo 等[7]為了提高鉆鉚釘孔的效率和成功率，提出了一種機(jī)器人整體柔度指標(biāo)，并以該指標(biāo)優(yōu)化機(jī)器人位姿。Xiong 等[8]為了提高銑削機(jī)器人的剛度，提出了一種利用冗余自由度將五軸數(shù)控刀具軌跡轉(zhuǎn)換為商用六軸工業(yè)機(jī)器人軌跡時(shí)的位姿優(yōu)化方法。

除了利用機(jī)器人本體冗余自由度提高機(jī)器人剛度之外，部分學(xué)者嘗試從工件位姿方面入手來(lái)提高機(jī)器人剛度。優(yōu)化工件的位置和姿態(tài)能夠改變機(jī)器人的姿態(tài)和切削力的方向，可對(duì)機(jī)器人的剛度產(chǎn)生顯著的作用。針對(duì)機(jī)器人銑削中存在的低剛度問(wèn)題，Liao 等[9]提出一種考慮機(jī)器人旋轉(zhuǎn)變形的剛度指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了一種基于剛度閾值的機(jī)器人位姿和工件布置的優(yōu)化方法。Lin等[10]綜合考慮機(jī)器人剛度和運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，以此為依據(jù)確定加工性能最好的機(jī)器人姿態(tài)，從而指導(dǎo)工件相對(duì)于機(jī)器人的布置。為了提高串聯(lián)機(jī)器人在完成攪拌摩擦焊接任務(wù)時(shí)的剛度，Zhao 等[11]基于靈巧度約束下的軟剛度指標(biāo)，優(yōu)化ZK–500 機(jī)器人連桿2 的長(zhǎng)度；然后基于關(guān)節(jié)極限約束下的軟剛度指標(biāo)，提出了ZK–500 機(jī)器人–定位器系統(tǒng)的關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃算法。

從上述研究可以看出，提高機(jī)器人加工過(guò)程的剛度已經(jīng)成為一個(gè)熱門(mén)研究?jī)?nèi)容。但當(dāng)前研究大多面向鉆銑加工領(lǐng)域，而在焊接領(lǐng)域，增加機(jī)器人的加工剛度對(duì)于會(huì)產(chǎn)生巨大軸向力的攪拌摩擦焊接具有更顯著的價(jià)值。

因此基于課題組研發(fā)的六自由度攪拌摩擦焊裝備，本文提出了一種基于剛度最優(yōu)區(qū)間的混聯(lián)機(jī)器人攪拌摩擦焊工件位置優(yōu)化方法。首先，構(gòu)建混聯(lián)機(jī)器人的并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)，以減少剛度計(jì)算時(shí)間；其次，基于機(jī)器人攪拌頭軸向剛度提出剛度最優(yōu)區(qū)間的概念，作為優(yōu)化指標(biāo)；然后，在考慮無(wú)奇異、關(guān)節(jié)限位、關(guān)節(jié)連續(xù)性和工作空間約束的情況下，進(jìn)行基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化算法研究；最后，在搭建好的六自由度攪拌摩擦焊設(shè)備上開(kāi)展攪拌摩擦焊試驗(yàn)，以驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法框架

本文構(gòu)建的基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法框架主要包括3 部分：混聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)、焊接設(shè)備剛度最優(yōu)區(qū)間、基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法。該框架如圖1 所示。

圖1 基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法Fig.1 Optimization method of workpiece position based on optimal stiffness interval

在混聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)部分，用長(zhǎng)方體網(wǎng)格對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的任務(wù)工作空間進(jìn)行劃分，用來(lái)存儲(chǔ)并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度矩陣（其中Kpa1代表完整長(zhǎng)方體網(wǎng)格存儲(chǔ)的剛度矩陣，Kpa2代表位于圓柱形工作空間邊界的非完整長(zhǎng)方體網(wǎng)格存儲(chǔ)的剛度矩陣），并通過(guò)網(wǎng)格中心點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行索引；基于A/C 擺頭兩關(guān)節(jié)行程構(gòu)建平面工作區(qū)域（θ4和θ5分別代表機(jī)器人A/C 擺頭兩關(guān)節(jié)角度），并用長(zhǎng)方形網(wǎng)格對(duì)該工作區(qū)域進(jìn)行劃分，用來(lái)存儲(chǔ)串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度矩陣Ktw，通過(guò)網(wǎng)格中心點(diǎn)進(jìn)行索引。最終分別建立并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度數(shù)據(jù)庫(kù)。

在焊接設(shè)備剛度最優(yōu)區(qū)間部分，分析攪拌摩擦焊接過(guò)程中機(jī)器人受力特性，基于該特性選取攪拌頭軸向剛度k作為衡量機(jī)器人剛度強(qiáng)弱的指標(biāo)，并基于軸向剛度提出剛度最優(yōu)區(qū)間的優(yōu)化指標(biāo)（kmax為當(dāng)前攪拌頭軸向頂點(diǎn)Cp所在x軸方向直線上剛度最大值，m為控制剛度最優(yōu)區(qū)間大小的閾值參數(shù)，mkmax為剛度最優(yōu)區(qū)間的邊界值）。

在基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法部分，在考慮無(wú)奇異、關(guān)節(jié)限位、關(guān)節(jié)連續(xù)性和工作空間約束的情況下，以加工點(diǎn)機(jī)器人軸向剛度位于剛度最優(yōu)區(qū)間內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)化不同攪拌頭位姿點(diǎn)處工件位置，使機(jī)器人在攪拌頭軸向剛度較好的位姿下進(jìn)行焊接，從而達(dá)到提高焊接過(guò)程剛度的效果。并基于該方法展開(kāi)仿真和試驗(yàn)，驗(yàn)證本文所提基于剛度最優(yōu)區(qū)間的機(jī)器人攪拌摩擦焊工件位置優(yōu)化方法的有效性。

2 混聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)

剛度數(shù)據(jù)庫(kù)包括并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度和串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度，本節(jié)為混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)建剛度數(shù)據(jù)庫(kù)，能夠?qū)崿F(xiàn)通過(guò)索引快速查找相應(yīng)機(jī)構(gòu)剛度矩陣的功能，相比直接計(jì)算剛度矩陣大大減少了計(jì)算時(shí)間，為提高優(yōu)化算法的計(jì)算效率奠定了基礎(chǔ)。

2.1 六自由度混聯(lián)機(jī)器人

圖2 展示了六自由度混聯(lián)機(jī)器人的CAD 模型，該模型由五自由度TriMule800 混聯(lián)機(jī)器人模塊（以下簡(jiǎn)稱FSW 機(jī)器人）、C 型機(jī)架和冗余單自由度移動(dòng)平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱第六軸）組成。FSW 機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3 所示，其結(jié)構(gòu)采用三自度過(guò)約束空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)1T2R 和二自由度A/C 雙擺頭串接而成[12]。第六軸可用于擴(kuò)展焊接的可達(dá)工作空間，方便進(jìn)行工件位置優(yōu)化。C 型機(jī)架用于代替?zhèn)鹘y(tǒng)的龍門(mén)架，減少占地面積。圖4 為機(jī)構(gòu)工作空間的右視圖，標(biāo)示了1T2R 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間參數(shù)[12]，本文選取其中的圓柱體作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)劃分區(qū)域，圓柱體半徑R為800 mm，高度h為314 mm；在B點(diǎn)建立混聯(lián)機(jī)器人基坐標(biāo)系，其中a為動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)，為220 mm；b為旋轉(zhuǎn)支撐的結(jié)構(gòu)參數(shù)，為850 mm；d為基坐標(biāo)系原點(diǎn)與零軸的偏移量，為278 mm；H為xoy坐標(biāo)系平面到圓柱體工作空間上端面的距離，為1917 mm。

圖2 混聯(lián)機(jī)器人CAD 模型Fig.2 Hybrid robot CAD model

圖3 FSW 機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 FSW robot mechanism sketch

圖4 FSW 機(jī)器人工作空間簡(jiǎn)圖Fig.4 Sketch of FSW robot workspace

2.2 混聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)

由于第六軸的設(shè)計(jì)剛度比FSW機(jī)器人高得多，故剛度模型僅考慮FSW 機(jī)器人，F(xiàn)SW 機(jī)器人由1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)和A/C 二自由度轉(zhuǎn)頭組成，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，F(xiàn)SW 機(jī)器人關(guān)于焊接主軸攪拌頭軸向頂點(diǎn)C的笛卡爾剛度矩陣可表示為

式中，Kpa為1T2R 并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)于參考點(diǎn)P的笛卡爾剛度矩陣；Ktw表示A/C 二自由度轉(zhuǎn)頭關(guān)于參考點(diǎn)P的笛卡爾剛度矩陣；X表示以點(diǎn)P為原點(diǎn)的瞬時(shí)參考系相對(duì)于以點(diǎn)C為原點(diǎn)的瞬時(shí)參考系的伴隨變換矩陣。

由于優(yōu)化過(guò)程中計(jì)算剛度指標(biāo)的值要進(jìn)行大量矩陣運(yùn)算，消耗時(shí)間巨大。為了減少得出想要結(jié)果所消耗的時(shí)間，所以對(duì)混聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣和串聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣構(gòu)建數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行存儲(chǔ)，并可分別以并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端點(diǎn)P的位置和串聯(lián)機(jī)構(gòu)兩關(guān)節(jié)坐標(biāo)為索引進(jìn)行查詢。最終將數(shù)據(jù)庫(kù)應(yīng)用于剛度優(yōu)化算法中，減少優(yōu)化算法的運(yùn)行時(shí)間。

如圖1 中并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)的左半部分所示，取1T2R 并聯(lián)機(jī)構(gòu)任務(wù)工作空間上側(cè)圓柱部分作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)，用長(zhǎng)方體網(wǎng)格對(duì)該圓柱體進(jìn)行劃分，對(duì)于圓柱體邊界不足以構(gòu)成完整網(wǎng)格的，默認(rèn)對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)足。正常網(wǎng)格存儲(chǔ)并聯(lián)機(jī)構(gòu)P點(diǎn)位于網(wǎng)格中心點(diǎn)處時(shí)的剛度矩陣Kpa1。補(bǔ)足的網(wǎng)格存儲(chǔ)的是并聯(lián)機(jī)構(gòu)P點(diǎn)位于補(bǔ)足前網(wǎng)格各個(gè)邊長(zhǎng)中點(diǎn)處時(shí)的剛度矩陣的平均值Kpa2。所有網(wǎng)格采用的索引值均為網(wǎng)格中心點(diǎn)的坐標(biāo)。通過(guò)式（2）求得P點(diǎn)所在的網(wǎng)格的中心點(diǎn)的坐標(biāo)，以該坐標(biāo)為索引求得剛度矩陣即為并聯(lián)機(jī)構(gòu)當(dāng)前的剛度矩陣。

式 中，（xa，ya，za）、（xp，yp，zp）、（xc，yc，zc）分別為P點(diǎn)所在的網(wǎng)格的中心點(diǎn)坐標(biāo)、P點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)方體網(wǎng)格在3 個(gè)方向的邊長(zhǎng)；mod 為取余符號(hào)，amodb用于求取a/b后的余數(shù)。

對(duì)于每個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿，都對(duì)應(yīng)一個(gè)串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)，如圖1中并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)的右半部分所示，該數(shù)據(jù)庫(kù)是一個(gè)由串聯(lián)機(jī)構(gòu)的兩轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)行程組成的平面區(qū)域，并用長(zhǎng)方形網(wǎng)格對(duì)該區(qū)域進(jìn)行劃分，每個(gè)網(wǎng)格存儲(chǔ)其中心點(diǎn)坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣Ktw。所有網(wǎng)格的索引值均為網(wǎng)格中心點(diǎn)處的坐標(biāo)。通過(guò)式（3）求得串聯(lián)機(jī)構(gòu)兩關(guān)節(jié)坐標(biāo)所在的網(wǎng)格中心點(diǎn)坐標(biāo)，以該坐標(biāo)為索引求得剛度矩陣即為對(duì)應(yīng)網(wǎng)格的剛度矩陣。

式中，（xb，yb）、（θ4，θ5）、（xt，yt）分別為關(guān)節(jié)串聯(lián)機(jī)構(gòu)兩關(guān)節(jié)坐標(biāo)所在的網(wǎng)格中心點(diǎn)坐標(biāo)、關(guān)節(jié)串聯(lián)機(jī)構(gòu)兩關(guān)節(jié)坐標(biāo)、長(zhǎng)方形網(wǎng)格在兩個(gè)方向上的邊長(zhǎng)。

3 焊接設(shè)備剛度最優(yōu)區(qū)間

本節(jié)對(duì)攪拌摩擦焊接過(guò)程中焊接工藝特點(diǎn)進(jìn)行分析，綜合考慮機(jī)器人特性，基于該特性選取攪拌頭軸向剛度作為衡量機(jī)器人剛度強(qiáng)弱的指標(biāo)，并基于軸向剛度提出剛度最優(yōu)區(qū)間的優(yōu)化指標(biāo)。

3.1 攪拌摩擦焊焊接工藝特點(diǎn)

攪拌摩擦焊焊接過(guò)程中，攪拌頭自轉(zhuǎn)的同時(shí)做直線/曲線移動(dòng)。因此攪拌頭主要會(huì)受到來(lái)自工件的橫移力、軸向力和軸向扭矩的影響。其中軸向力和橫移力會(huì)使機(jī)器人產(chǎn)生位移變形，而軸向扭矩會(huì)使機(jī)器人產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。通過(guò)仿真分析得出比該機(jī)器人小一型號(hào)的機(jī)器人的軸向扭轉(zhuǎn)剛度能達(dá)到幾十萬(wàn)N·m/rad[14]，攪拌摩擦焊過(guò)程中的軸向扭矩通常為幾十N·m，可見(jiàn)扭矩對(duì)機(jī)器人的剛度影響較小。而焊接過(guò)程中的軸向力又遠(yuǎn)大于橫移力[15]，因此軸向剛度是衡量攪拌摩擦焊接過(guò)程中機(jī)器人剛度的最主要因素。不僅如此，作為攪拌摩擦焊工藝參數(shù)之一的下壓量直接受到軸向剛度的影響。軸向剛度低，機(jī)器人軸向變形使得下壓量小于預(yù)期，影響產(chǎn)熱與材料流動(dòng)，進(jìn)而影響焊縫質(zhì)量。所以選取軸向剛度作為焊接過(guò)程混聯(lián)機(jī)器人的剛度指標(biāo)。

參考文獻(xiàn)[16]，混聯(lián)機(jī)器人在攪拌頭軸向的剛度系數(shù)為

式中，Ctt為平移柔度子矩陣；wf為混聯(lián)機(jī)器人在加工過(guò)程中的攪拌頭軸向單位矢量。k越大，混聯(lián)機(jī)器人軸向剛度越大。

3.2 剛度最優(yōu)區(qū)間

因?yàn)榛炻?lián)機(jī)器人具有一個(gè)x軸方向的冗余自由度，在焊接某一焊點(diǎn)時(shí)借助該自由度優(yōu)化工件在x軸方向的位置即可對(duì)FSW 機(jī)器人的軸向剛度進(jìn)行調(diào)整。為此，需要研究FSW 機(jī)器人沿不同攪拌頭軸線矢量方向的軸向剛度在任務(wù)工作空間全域內(nèi)沿x軸方向的分布規(guī)律。

已知圖4 的1T2R 機(jī)構(gòu)任務(wù)工作空間參數(shù)，以FSW 機(jī)器人攪拌頭軸線矢量依次是（0，0，1）T為例對(duì)上述規(guī)律進(jìn)行研究，F(xiàn)SW 機(jī)器人的軸向剛度在任務(wù)工作空間全域內(nèi)的分布，以及攪拌頭在工作空間中的擺向如圖5 所示?？芍?，F(xiàn)SW 機(jī)器人的軸向剛度隨攪拌頭軸線矢量及攪拌頭軸向頂點(diǎn)位置（機(jī)器人位形）的變化而變化，且當(dāng)攪拌頭軸線方向不與工作臺(tái)臺(tái)面垂直時(shí)，機(jī)器人在部分工作空間邊緣處的剛度要優(yōu)于任務(wù)工作空間中心的剛度，且從最高剛度處向外呈近似球形逐漸減小。進(jìn)而得出FSW 機(jī)器人軸向剛度在x軸方向上的分布規(guī)律是從剛度最優(yōu)kmax位置處向左/右逐步減弱。

圖5 FSW 機(jī)器人沿不同攪拌頭軸線矢量方向的剛度分布圖Fig.5 Stiffness distribution diagram of FSW robot along different stirring head axis vector directions

根據(jù)給定的FSW 機(jī)器人攪拌頭軸線矢量，當(dāng)優(yōu)化距離較遠(yuǎn)時(shí)，可能無(wú)法直接從當(dāng)前位置Cp通過(guò)第六軸移動(dòng)到kmax所在位置，且當(dāng)前位置軸向剛度與kmax的差值較小時(shí)，認(rèn)為剛度足夠，無(wú)需優(yōu)化工件位置；因此以當(dāng)前攪拌頭軸向頂點(diǎn)所在x軸方向直線上剛度最優(yōu)處kmax為中心，沿x軸方向建立剛度最優(yōu)區(qū)間，設(shè)定一個(gè)閾值參數(shù)m控制區(qū)間大小，圖5 中綠色線條即為剛度最優(yōu)區(qū)間。當(dāng)前位置Cp在剛度最優(yōu)區(qū)間內(nèi)時(shí)，如圖5（b）和（d）中所示，則正常焊接，不需要優(yōu)化工件位置。當(dāng)前位置Cp位于剛度最優(yōu)區(qū)間之外時(shí)，如圖5（a）、（c）和（e）中所示，通過(guò)移動(dòng)第六軸，沿x軸方向?qū)で髣偠茸顑?yōu)區(qū)間，即沿x軸方向移動(dòng)工件到機(jī)器人剛度更優(yōu)的位置，提高焊縫質(zhì)量。

其中，m與工件位置和焊接軌跡有關(guān)，表示為

式中，kCp，i為工件位置確定的情況下，NC 代碼中第i個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)時(shí)機(jī)器人軸向剛度值；kmax，i為保持第i個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)軸線矢量方向不變，工作空間內(nèi)機(jī)器人在該攪拌頭位姿點(diǎn)所在x軸方向直線上的最大軸向剛度。

4 基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法

針對(duì)三維空間曲線的焊接需求，機(jī)器人的位姿變化較大，尤其是在x軸方向焊縫較長(zhǎng)時(shí)，機(jī)器人位姿變化尤為明顯，極易引起機(jī)器人軸向剛度超過(guò)剛度最優(yōu)區(qū)間，影響焊接質(zhì)量。為解決該問(wèn)題，需要利用x軸方向的冗余自由度，即第六軸，對(duì)工件位置進(jìn)行優(yōu)化，使機(jī)器人一直保持在剛度較好的位置焊接，提高整條焊縫的焊接剛度。

4.1 約束條件分析

在攪拌摩擦焊工件位置優(yōu)化的過(guò)程中還需要考慮約束條件問(wèn)題。以下給出各項(xiàng)約束條件，從而為確定不同攪拌頭位姿點(diǎn)處工件的最優(yōu)位置做準(zhǔn)備。

4.1.1 位形非奇異約束

當(dāng)圖3 中所示B點(diǎn)指向C點(diǎn)的矢量wBC與攪拌頭軸線矢量共線時(shí)，雅可比矩陣行列式為0，即

機(jī)器人處于奇異位形，此時(shí)機(jī)器人末端位置只要發(fā)生微小位移，就會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)發(fā)生突變。對(duì)于FSW 機(jī)器人來(lái)說(shuō)，一般會(huì)導(dǎo)致第四軸突變180°，第五軸突變到當(dāng)前關(guān)節(jié)坐標(biāo)值的相反數(shù)位置。這種情況下，機(jī)器人第四軸的速度會(huì)瞬間突變到無(wú)窮大，又因?yàn)轵?qū)動(dòng)器上設(shè)定了速度閾值，驅(qū)動(dòng)器會(huì)直接報(bào)警，控制器報(bào)警并停止當(dāng)前動(dòng)作。無(wú)論工件位置是否優(yōu)化，奇異問(wèn)題都是必須要規(guī)避的。定義非奇異位形約束為S1，即

4.1.2 關(guān)節(jié)限位約束

機(jī)器人的各關(guān)節(jié)和第六軸都有各自的范圍限定。機(jī)器人的并聯(lián)結(jié)構(gòu)部分和第六軸需要對(duì)末端伸縮的長(zhǎng)度值做限定；串聯(lián)結(jié)構(gòu)部分，即A/C二自由度轉(zhuǎn)頭，需要對(duì)關(guān)節(jié)角度做限定。機(jī)器人運(yùn)行過(guò)程中，無(wú)論末端位姿如何，均不允許機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)超過(guò)設(shè)定的限定值。出于安全考慮，在控制系統(tǒng)中需要開(kāi)發(fā)相應(yīng)的軟限位功能，當(dāng)所給指令會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)超限時(shí)，系統(tǒng)報(bào)警提示并停止當(dāng)前運(yùn)動(dòng)。定義關(guān)節(jié)限位約束為S2，關(guān)節(jié)j坐標(biāo)所允許的上下限位分別為θjmax和θjmin，運(yùn)行第i行指令時(shí)，機(jī)器人第j關(guān)節(jié)坐標(biāo)θi，j需滿足約束S2，即

4.1.3 工作空間內(nèi)范圍約束

機(jī)器人的工作空間指機(jī)器人的末端執(zhí)行器能達(dá)到的范圍。機(jī)器人本身的工作空間受到關(guān)節(jié)角度范圍和桿件長(zhǎng)度的限制，在攪拌摩擦焊過(guò)程中，機(jī)器人工作范圍還受到工件尺寸、工件夾持平臺(tái)、現(xiàn)場(chǎng)設(shè)備布置情況等現(xiàn)場(chǎng)工況限制。定義機(jī)器人工作空間內(nèi)范圍約束為S3，機(jī)器人末端在機(jī)器人基坐標(biāo)系的3 個(gè)軸向方向所能達(dá)到的工作空間內(nèi)的范圍為[Pxmin，Pxmax]，[Pymin，Pymax]，[Pzmin，Pzmax]。運(yùn)行第i行指令時(shí)，機(jī)器人末端位置為Cpxyz，i=（Cpx，i，Cpy，i，Cpz，i）T，且需滿足約束S3，即

4.1.4 關(guān)節(jié)連續(xù)性約束

優(yōu)化的目的是尋求每行代碼軸向剛度在剛度閾值范圍內(nèi)時(shí)的工件位置，但是優(yōu)化過(guò)程中必須保證相鄰代碼之間對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)變化不會(huì)過(guò)大。優(yōu)化過(guò)程中，需保證機(jī)器人相對(duì)工件的速度和位移與優(yōu)化前一致，因此相鄰兩行代碼之間的運(yùn)行時(shí)間是不變的。若相鄰兩行代碼之間關(guān)節(jié)坐標(biāo)值變化過(guò)大，則會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化后的加速度和進(jìn)給速度過(guò)大，甚至超過(guò)控制系統(tǒng)設(shè)定的閾值而出現(xiàn)系統(tǒng)報(bào)警，停止工作。如此不但不能正常完成焊接任務(wù)，而且極易損傷設(shè)備，影響設(shè)備使用壽命。以相鄰兩行代碼對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)量化關(guān)節(jié)坐標(biāo)的連續(xù)性，定義關(guān)節(jié)坐標(biāo)連續(xù)性約束為S4，相鄰兩行代碼對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)差值的閾值為dθmax，第j關(guān)節(jié)的差值為Δθi，j需滿足約束，即

結(jié)合上述約束條件和剛度最優(yōu)區(qū)間，可建立工件位置優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，表示為

式中，Xabs，i是優(yōu)化后第i個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)在FSW 機(jī)器人基坐標(biāo)系中的x坐標(biāo)值；Xi為優(yōu)化前第i個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)在FSW 機(jī)器人基坐標(biāo)系中的x坐標(biāo)值；Ci為優(yōu)化后在第i個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)時(shí)第六軸需要移動(dòng)到的位置；ki是第i個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的FSW 機(jī)器人軸向剛度；S1～S4為優(yōu)化過(guò)程中需要滿足的約束條件。優(yōu)化模型的目標(biāo)是確定一個(gè)Xabs，i，使機(jī)器人在當(dāng)前（Xabs，i，Yi，Zi，Ai，Bi）坐標(biāo)下處于/趨近最優(yōu)剛度區(qū)間。

4.2 基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法

工件位置優(yōu)化流程如圖6 所示，以下為具體步驟。

圖6 工件位置優(yōu)化流程圖Fig.6 Flow chart of workpiece position optimization

（1）輸入NC 代碼信息、約束條件建立所需值、剛度閾值系數(shù)m、兩行代碼之間第六關(guān)節(jié)最大移動(dòng)量Δs（即為dθ6max，兩行代碼之間的運(yùn)行時(shí)間×（機(jī)器人x軸方向最大移動(dòng)速度–進(jìn)給速度））、遍歷所用位置增量ΔX（劃分并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間所用網(wǎng)格長(zhǎng)度）、初始工件位置C1、開(kāi)始優(yōu)化的代碼行數(shù)i。

（2）基于第i行代碼所在的位置，以ΔX為步長(zhǎng)沿x軸遍歷機(jī)器人工作空間，其中u為當(dāng)前遍歷點(diǎn)的序號(hào)，Xabsw，u為遍歷點(diǎn)的x軸坐標(biāo)，查找所有點(diǎn)位對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)和P點(diǎn)位置，在確定其滿足前3 個(gè)約束的條件的情況下，通過(guò)查表法得到并/串聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣，進(jìn)而計(jì)算不同遍歷點(diǎn)的軸向剛度，找到最大軸向剛度kmax及其所在的位置Xabs，并確定剛度最優(yōu)區(qū)間的閾值mkmax。

（3）計(jì)算工件位置更新后第i行代碼的FSW 機(jī)器人軸向剛度值ki，并將其與mkmax對(duì)比，判斷ki在不在剛度最優(yōu)區(qū)間內(nèi)。若在，則第六軸不動(dòng)；若不在，則判斷第六軸移動(dòng)到最大剛度位置所需移動(dòng)的距離是否在最大移動(dòng)距離Δs以內(nèi)。若在，則第六軸可以直接移動(dòng)到最大剛度所在位置；若不在，判斷第六軸移動(dòng)到最大剛度位置的坐標(biāo)值與當(dāng)前平臺(tái)坐標(biāo)值的大小。若大于，則直接向x軸正向移動(dòng)Δs；若小于，則直接向x軸負(fù)向移動(dòng)Δs，保存第i行代碼處第六軸的需要移動(dòng)到的位置Ci。

（4）判斷n行代碼的工件位置是否都進(jìn)行了優(yōu)化，若是，輸出n個(gè)優(yōu)化后的Ci和Xabs，i的集合；若不是，重復(fù)步驟（2）和（3）。

得到工件位置之后還需要重新規(guī)劃速度，使機(jī)器人相對(duì)工件的速度保持不變。FSW 機(jī)器人五軸聯(lián)動(dòng)在控制系統(tǒng)內(nèi)部已經(jīng)完成速度規(guī)劃，如要六軸聯(lián)動(dòng)實(shí)現(xiàn)工件位置優(yōu)化，還需對(duì)機(jī)器人的絕對(duì)速度和第六軸的速度進(jìn)行規(guī)劃。以下進(jìn)行相應(yīng)速度規(guī)劃的推導(dǎo)。

假設(shè)優(yōu)化前運(yùn)行到NC 代碼第i行目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，機(jī)器人在基坐標(biāo)系下的位姿為（Xi，Yi，Zi，Ai，Bi），運(yùn)行到第i+1 行目標(biāo)點(diǎn)時(shí)相應(yīng)位姿為（Xi+1，Yi+1，Zi+1，Ai+1，Bi+1），優(yōu)化后第i行和第i+1 行目標(biāo)點(diǎn)位姿的x軸坐標(biāo)為Xabs，i和Xabs，i+1，計(jì)算可得

從第i行到第i+1 行機(jī)器人移動(dòng)的絕對(duì)位移為

因此機(jī)器人的絕對(duì)速度為

式中，Vi+1為第i+1 行優(yōu)化前的進(jìn)給速度。

第六軸的速度為

對(duì)于給定的進(jìn)給速度F，同時(shí)根據(jù)機(jī)器人的絕對(duì)位移和第六軸位移的大小，規(guī)劃?rùn)C(jī)器人絕對(duì)速度和第六軸的速度。當(dāng)機(jī)器人的絕對(duì)位移>第六軸位移時(shí)，進(jìn)給速度=機(jī)器人的絕對(duì)速度，同時(shí)計(jì)算第六軸的速度；當(dāng)機(jī)器人的絕對(duì)位移<第六軸位移時(shí)，進(jìn)給速度=第六軸的速度，同時(shí)規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的絕對(duì)速度。因此，優(yōu)化后的進(jìn)給速度為

至此，五軸聯(lián)動(dòng)代碼已優(yōu)化為六軸聯(lián)動(dòng)代碼，機(jī)器人相對(duì)工件移動(dòng)的位移和速度均未發(fā)生改變，且在整個(gè)加工過(guò)程中機(jī)器人均處于剛度更優(yōu)位置，焊接質(zhì)量得以大幅提升。

5 仿真與試驗(yàn)

根據(jù)所研究的基于剛度最優(yōu)區(qū)間的機(jī)器人攪拌摩擦焊工件位置優(yōu)化方法，進(jìn)行仿真和試驗(yàn)，旨在驗(yàn)證所提工件位置優(yōu)化方法的有效性。

5.1 工件位置優(yōu)化方法仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法的有效性，在MATLAB 中編寫(xiě)了工件位置優(yōu)化程序。

假定機(jī)器人在工件坐標(biāo)系下末端軌跡為S 型三維空間曲線，機(jī)器人的進(jìn)給速度為40 mm/min。利用UG軟件獲得機(jī)器人五軸聯(lián)動(dòng)的NC 代碼，使用工件位置優(yōu)化程序，對(duì)工件位置進(jìn)行優(yōu)化，得到第六軸的軌跡，進(jìn)而獲得六軸聯(lián)動(dòng)代碼。第六軸的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7 所示。為了比較本文所提工件位置優(yōu)化方法的有效性，將其與不優(yōu)化工件位置時(shí)的剛度指標(biāo)k值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖8 所示。其中藍(lán)色曲線為不優(yōu)化工件位置時(shí)，機(jī)器人進(jìn)行五軸聯(lián)動(dòng)，在各個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)處的剛度；紅色曲線則為機(jī)器人進(jìn)行工件位置優(yōu)化時(shí)，在各個(gè)攪拌頭位姿點(diǎn)處的剛度?？芍瑑?yōu)化后的機(jī)器人軸向剛度與初始狀態(tài)相比明顯提升，當(dāng)C值為0 時(shí)，即該目標(biāo)點(diǎn)不優(yōu)化與進(jìn)行優(yōu)化并沒(méi)有區(qū)別，因此剛度一致。中間部分因軸向剛度在最優(yōu)剛度區(qū)間范圍內(nèi)，故未對(duì)工件位置進(jìn)行優(yōu)化。程序最后，由于第六軸關(guān)節(jié)最大速度約束限制，在部分目標(biāo)點(diǎn)的剛度較優(yōu)化前有所下降，但整個(gè)焊接過(guò)程基本都在剛度更優(yōu)的位置處完成，表明優(yōu)化算法有效。

圖7 第六軸軌跡圖Fig.7 Motion trajectory diagram of the sixth axis

圖8 剛度對(duì)比圖Fig.8 Stiffness comparison diagram

在剛度對(duì)比的同時(shí)，提取進(jìn)行優(yōu)化和不進(jìn)行優(yōu)化的代碼中的所有離散路徑點(diǎn)并代入機(jī)器人五自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)算法中，獲得3 條驅(qū)動(dòng)支鏈關(guān)節(jié)變量q1、q2、q3和二自由度A/C 轉(zhuǎn)頭的轉(zhuǎn)角θ4、θ5，進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如圖9 所示，其中藍(lán)色/紅色曲線為不進(jìn)行優(yōu)化/進(jìn)行優(yōu)化的離散路徑點(diǎn)軌跡坐標(biāo)經(jīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解算法獲得的機(jī)器人5 個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)軌跡。可知，由于只利用x軸方向的冗余自由度進(jìn)行工件位置優(yōu)化，機(jī)器人整體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)并沒(méi)有太大變化，各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)基本一致，且各關(guān)節(jié)角度均在各自關(guān)節(jié)范圍限位內(nèi)。因此，該優(yōu)化算法可行性高，可應(yīng)用于機(jī)器人實(shí)際加工。

圖9 關(guān)節(jié)位移對(duì)比結(jié)果Fig.9 Joint displacement comparison results

5.2 工件位置優(yōu)化方法試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于剛度最優(yōu)區(qū)間的混聯(lián)機(jī)器人攪拌摩擦焊工件位置優(yōu)化方法的有效性，本課題組搭建了六自由度混聯(lián)機(jī)器人。如圖10 所示，該六自由度混聯(lián)機(jī)器人由機(jī)器人本體、液壓主軸泵站系統(tǒng)和機(jī)器人控制系統(tǒng)組成。

圖10 六自由度混聯(lián)機(jī)器人組成圖Fig.10 Composition diagram of 6–DOF hybrid robot

機(jī)器人本體由五自由度混聯(lián)機(jī)器人TriMule800 和冗余單自由度移動(dòng)平臺(tái)組成，帶動(dòng)攪拌頭與工件做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，作為焊接過(guò)程的帶動(dòng)攪拌頭運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。液壓主軸泵站系統(tǒng)包括液壓主軸和液壓泵站，主要用于對(duì)液壓主軸轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制，用于提供焊接過(guò)程中攪拌頭的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人控制系統(tǒng)采用以“PC+AMC 運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)”為核心搭建硬件平臺(tái)，形成以PC為上位機(jī)、AMC 運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)為下位機(jī)的分布式控制體系，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制。

利用上述搭建好的六自由度混聯(lián)機(jī)器人，在優(yōu)化工件位置和不優(yōu)化工件位置兩種情況下，運(yùn)行一條S 型三維空間曲線焊接軌跡，以驗(yàn)證基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置規(guī)劃方法的有效性。

試驗(yàn)材料采用6061–T6 的鋁合金板材，攪拌針直徑5 mm，攪拌針下壓速度10 mm/min，焊接速度80 mm/min，主軸轉(zhuǎn)速1000 r/min，設(shè)定下壓量0.2 mm，設(shè)定傾角為2.5°。試驗(yàn)過(guò)程中不同加工時(shí)間下機(jī)器人位姿如圖11 所示。焊接試板效果如圖12 所示，未優(yōu)化工件位置的焊縫，出現(xiàn)飛邊的焊縫區(qū)域約占整條焊縫的1/4；而優(yōu)化工件位置焊接出來(lái)的焊縫，飛邊更大且飛邊的區(qū)域占整條焊縫的比例更大。由此可見(jiàn)，優(yōu)化工件位置的焊縫，因機(jī)器人在焊接過(guò)程中的軸向剛度變大導(dǎo)致機(jī)器人受到頂鍛力后沿軸向變形量變小，進(jìn)而使得整個(gè)焊接過(guò)程中攪拌頭下壓量變大，所以飛邊變大變多。因此，基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法能明顯增加機(jī)器人在焊接過(guò)程中的軸向剛度。

圖11 加工過(guò)程的機(jī)器人位姿Fig.11 Robot poses of experimental process

圖12 攪拌摩擦焊接試板Fig.12 FSW test board

6 結(jié)論

本文以一種新型六自由度混聯(lián)機(jī)器人為對(duì)象，為了改善攪拌摩擦焊接剛度，開(kāi)發(fā)了一種基于剛度最優(yōu)區(qū)間的工件位置優(yōu)化方法：（1）基于1T2R 機(jī)構(gòu)工作空間及A/C 二自由度轉(zhuǎn)頭分別構(gòu)建混聯(lián)機(jī)器人并聯(lián)/串聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度數(shù)據(jù)庫(kù)；（2）分析攪拌摩擦焊接過(guò)程中機(jī)器人受力特性，基于該特性選取攪拌頭軸向剛度作為剛度指標(biāo)，并基于混聯(lián)機(jī)器人整體剛度定義軸向剛度，提出剛度最優(yōu)區(qū)間概念；（3）在考慮無(wú)奇異、關(guān)節(jié)限位、關(guān)節(jié)連續(xù)性和工作空間約束的情況下，以加工點(diǎn)機(jī)器人軸向剛度位于剛度最優(yōu)區(qū)間內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)化不同攪拌頭位姿點(diǎn)處工件位置，使機(jī)器人在攪拌頭軸向剛度較好的位姿下進(jìn)行焊接，從而提高機(jī)器人焊接剛度。

基于上述方法展開(kāi)仿真和試驗(yàn)，結(jié)果證明通過(guò)該方法優(yōu)化工件位置能有效提高焊接過(guò)程中機(jī)器人的軸向剛度，進(jìn)而在一定程度上提高攪拌摩擦焊接工件的焊接質(zhì)量。本文焊接試驗(yàn)所用工件為三維曲面工件，焊接軌跡為S 形三維曲線，表明該方法對(duì)于三維復(fù)雜焊接軌跡具有適用性，在兼具機(jī)器人靈活性的同時(shí)機(jī)器人焊接剛度得到一定程度的提升。