張玉國,王 闖,楊文兵,趙亞敏

(中原工學院 建筑工程學院,鄭州 450007)

1 研究背景

在軟黏土地基中布設豎井作為豎向排水體能極大地加快排水固結速率。有關豎井地基固結問題,國內(nèi)外學者已做了大量研究工作,其中理論研究多以滲透系數(shù)為定值作為基本假定[1-3]。但在實際工程中,砂井打設的施工擾動和地基固結變形等因素,均會影響到砂井的井阻大小,使?jié)B透系數(shù)發(fā)生變化,因此考慮井阻變化對豎井地基固結的影響更符合工程實際。針對井阻變化的豎井地基固結問題研究,已經(jīng)取得一系列成果。鄧岳保[4]推導出了井阻隨時間變化的豎井地基固結解析解。張玉國等[5]給出了真空預壓條件下考慮井阻變化的豎井地基固結解,并對固結性狀進行分析。江文豪等[6]在井阻隨時間變化的情況下,對考慮徑-豎向滲流的砂井地基固結問題進行求解。Nguyen等[7]和Deng等[8]采用指數(shù)形式表達滲透系數(shù)隨時間變化的一般規(guī)律,來研究井阻變化的豎井地基固結問題。郭霄等[9]基于Deng等[8]的固結理論推導得到了井阻隨深度和時間變化的豎井地基固結解析解。

許多學者把溫度場引入到巖土工程領域。Habibagahi[10-11]在研究溫度對地基土體的影響中發(fā)現(xiàn):對于無機土而言,溫度升高對孔隙比沒有影響。Cho等[12]通過試驗得出地基土體的滲透系數(shù)隨著溫度的升高而變大的結論。溫度場在核廢料處理、地熱資源和地熱管道的技術與開發(fā)[13-15]中也得到了應用。王媛等[16]在不同溫度下對土體做了大量的滲透試驗,結果表明:隨著溫度升高,土體完成固結所需時間越來越少。劉干斌等[17]通過設計熱固結試驗系統(tǒng)得出了溫度能明顯加快固結速率的結論。另外,有關溫度影響的固結理論問題也有相關研究。吳瑞潛[18]先后推導出了飽和土初始孔壓均布和非均布的一維熱固結方程,并給出固結方程解析解。吳佳輝等[19]推導出了考慮溫度效應的豎井固結的解析解。

目前,考慮井阻或溫度效應的豎井地基固結理論已有研究,但同時考慮溫度效應和井阻的豎井地基固結問題還未見報道。因此本文基于Deng等[9]考慮滲透系數(shù)隨時間呈指數(shù)形式變化和王媛等[16]試驗得出的滲透系數(shù)隨溫度變化的表達式,在現(xiàn)有豎井固結理論基礎上,推導出考慮溫度和井阻因素影響的豎井地基固結解析解;對該解析解退化研究并與現(xiàn)有解進行對比分析,驗證其合理性和正確性。進而開展算例分析,探討溫度和井阻等因素對豎井地基固結特性的影響。

2 豎井模型的建立

圖1所示是考慮溫度和井阻變化的豎井地基固結的一般模型。由豎井、涂抹區(qū)、未擾動區(qū)三部分組成。地基上部單面排水,底部和四周不排水,無側向變形。圖1中:H為軟土地基的厚度,也是豎井地基打設的深度;r為徑向坐標;z為豎向坐標;rw為豎井的半徑;rs為涂抹區(qū)的半徑;re為豎井的影響區(qū)半徑;kw、ks、kh分別為豎井的滲透系數(shù)、涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)和原狀土的水平滲透系數(shù);γw是水的重度;mv為土體的壓縮系數(shù);uw是豎井內(nèi)任意一點的超靜孔壓;ur是土體內(nèi)任意一點的超靜孔壓。

圖1 計算模型Fig.1 Computation model

基本假定:

(1)土體完全飽和且均質。

(2)土體中的空隙水以及土顆粒都不可壓縮,土體的變形完全由孔隙水的排出所引起。

(3)土體中孔隙水的滲流完全符合Darcy定律。并且只考慮徑向滲流。

(4)Barron等應變的條件成立。

(5)在各深度土體中的水流進豎井的量完全等于豎井向上流出的水量。

(6)溫度的變化除了影響土體的滲透性,不會對土體的任何參數(shù)有所影響。

根據(jù)文獻[16]得出溫度和滲透系數(shù)的關系式為

kT=(aT+b)kR。

(1)

式中:kT和kR分別是T溫度和R溫度時土體的滲透系數(shù);a和b為相關系數(shù)。

(7)參考文獻[9]給出的井阻和滲透系數(shù)kw關系式,井阻隨時間呈指數(shù)形式的衰減,故可表示為

kw=kw0e-At。

(2)

式中:kw0為豎井初始的滲透系數(shù);At為井阻,其中,A為試驗常數(shù),t為固結過程的時間。

3 考慮溫度和井阻因素的豎井地基等應變徑向固結方程和邊界條件

由于本文只考慮徑向的滲流,故可按照文獻[8]及上面的假設可以得到下面考慮井阻和溫度效應的徑向固結基本方程,即:

式中:ksT是T溫度時涂抹區(qū)土體的滲透系數(shù);khT是T溫度時未擾動區(qū)土體滲透系數(shù);εv為固結過程中受到影響的土體中任意一點的體積應變。

根據(jù)等應變的假設可得

(5)

通過式(2)和基本假設5可得到

(6)

只考慮徑向滲流固結土體中任一深度的平均超靜孔隙水壓力為

(7)

邊界條件為:

②r=rw,ur=uw;

初始條件為:

式中:u0為初始孔壓;q0為初始荷載。

基于上述假設和分析,溫度隨著土體的深度是均勻分布的,根據(jù)式(1)可得:

ksT=(aT+b)ks,

(8)

khT=(aT+b)kh。

(9)

式(3)、式(4)兩邊對r積分,然后利用邊界條件①可得

即

式(11)兩邊再對r進行積分,然后結合邊界條件②得:

(12)

將式(12)和式(13)代入式(7)進行積分得

(14)

其中,

式中:n為井徑比,n=re/rw;s為涂抹區(qū)半徑與豎井的半徑之比,s=rs/rw。

由式(11)和r=rw得

然后將式(15)代入式(6),再結合式(5)得

(16)

利用式(14)、式(15)和式(16)得:

(17)

結合式(17)、式(18)得出uw的控制方程為

(19)

4 考慮溫度和井阻因素的豎井地基等應變徑向固結的求解

由分離變量法,令uw=Z(z)T(t),然后將uw=Z(z)T(t)代入式(19)得

(20)

根據(jù)式(20)以及邊界條件③和④可得微分方程的特解,即

(22)

式(22)可簡化為

(23)

式中:GTt表示井阻隨時間和溫度變化的井阻因子;G0表示井阻因子初始值。

將式(23)代入式(18)得

根據(jù)初始條件⑤并利用三角函數(shù)得正交性,然后對uw在[0,H]上積分得

結合式(5)、式(24)、式(25)得

(26)

然后將式(26)、式(23)代入到式(12)、式(13)得:

rw≤r≤rs;

(27)

rs≤r≤re。

(28)

根據(jù)式(23)、式(25)和式(18)得到豎井土體任一深度得平均超靜孔壓的解為

豎井的孔壓解是

(30)

從而,豎井地基土體任一深度的徑向固結度為

(31)

豎井土體任一深度的總徑向平均固結度為

(32)

通過進一步的分析發(fā)現(xiàn),當不考慮溫度效應的影響時式(32)可退化為鄧岳保的考慮變井阻效應的單井固結解析解,即

(33)

更進一步分析發(fā)現(xiàn):當A趨于0時,可以得出

(34)

根據(jù)式(34),能將豎井土體任一深度的總徑向平均固結度退化為

(35)

由式(35)可知,能將本文的解析解退化為謝康和的解。

(36)

At=αTh。

(37)

將式(36)、式(37)代入式(30)和式(32)得:

(39)

5 固結算例結果分析

本文利用Fortran軟件將計算得出的解析解編成計算機程序,運用該程序對得出解析解的合理性與正確性進行分析。選取不同的參數(shù),來分析井阻變化和溫度效應對豎井地基固結的影響。

選取的軟黏土參數(shù)如下:

rw=0.05 m,rs=0.15 m,n=re/rw=10、15、20,a=0.029,b=0.428,H=20 m,kh=2.0×10-8m/s,ks=5.0×10-9m/s,kw0=5.0×10-4m/s。

(1)在溫度T固定時,α的取值不同時,考慮井阻和溫度因素對豎井地基固結特性的影響如圖2(a)所示。當溫度保持不變時,固結度會隨著α的增大而減小,這就反映了不考慮井阻的作用時得到的固結解會高估豎井地基固結的程度;當Th≤0.1時,井阻效應對固結度影響的特性并不明顯,可以忽略。但是當Th≥0.8之后,井阻效應的影響會迅速增加;α取0.5、0.8和1.0時固結度最終會滯留到92%、81%和75%。雖然固結度會滯留某一數(shù)值,但固結過程還是繼續(xù)的,當時間足夠長時,固結也會完成。

圖2 不同因素對固結度的影響Fig.2 Influences of different factors on consolidation degree

(2)當溫度為變值,α保持不變時。溫度效應對豎井地基固結特性的影響如圖2(b)所示。從圖2(b)可以得出在相同的時間內(nèi),隨著溫度的增加固結度速率越快,固結度也會明顯變大,當溫度升高,豎井地基土體固結所需要的時間也會減少。

(3)在T為定值時,n和α都會對固結有影響。從圖2(c)看出當α不變時,n值即井徑比越大,固結的速率越慢,固結所需要的時間也會越長。但是從圖中也可以看出n的大小對最終固結特顯的影響不是特別顯著。當n不變時α越小固結速率越快。

(4)圖2(d)所示為不同井阻隨溫度變化對豎井地基固結度特性的影響。當時間因子Th較小時,α對固結度的影響較小;時間因子Th較大時,α對固結的影響變得顯著。另外,在α不變時,溫度升高會加快固結的速率。在其他條件不變的情況下,井阻對固結的影響比溫度更為顯著。

(5)在T=30 ℃時,圖3(a)是α因子在取不同值時平均超靜孔壓隨深度變化的情況。當時間因子Th較小時,α的取值對超靜孔壓的消散影響不大,但當Th較大時,α取值不斷增大對超靜孔壓的消散的影響逐漸變得明顯;在相同的時間節(jié)點下(即Th相同時)α的增大會使超靜孔壓的消散減緩。

圖3 不同因素下平均超靜孔壓隨深度分布曲線Fig.3 Distribution of average excess pore pressure with depth affected by varying factors

(6)從圖3(b)看出當α因子和時間因子Th取值不變時,溫度的升高會使平均超靜孔壓的消散速度變快,但是溫度越高,其對平均超靜孔壓的影響越小。

(7)如圖4所示,當α=0.1,與鄧岳保的解作對比,發(fā)現(xiàn)隨著溫度的升高,固結速率會加快,固結時間減少。這是隨著溫度升高地基土的滲透系數(shù)變大造成的。在做解析解退化分析時,就證明了解析解的正確性與合理性,這里通過繪制固結圖作對比再次證明了合理性。

圖4 與現(xiàn)有解析解的對比Fig.4 Comparison of the proposed solution with existing analytical solution

6 結 論

(1)本文整體對考慮溫度效應和井阻變化下的豎井地基做了假設與求解,通過嚴謹?shù)倪\算推導出了豎井地基固結的解析解。通過退化研究與具體算例分析驗證了該解析解的正確性和合理性。

(2)豎井地基在溫度的影響下,其固結特性有顯著變化,當溫度升高,其固結速率加快,固結所需時間縮短;當井阻增大時固結速率會減慢,當井阻足夠大時,固結度會趨于某一數(shù)值,固結完成需要時間顯著增加;井阻對固結的影響比溫度更為顯著。

(3)隨著深度的增加,平均超靜孔壓的消散速度會減慢;井阻越大,超靜孔壓消散的速率越慢;當溫度增加時,超靜孔壓的消散速率變快,當溫度達到75 ℃之后,溫度對超靜孔壓的影響顯著變小。