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        在線優(yōu)化參數(shù)的多變量非線性預(yù)測函數(shù)控制

        2023-06-29 08:41:16侯小秋
        關(guān)鍵詞:控制算法向量變量

        侯小秋

        (黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院, 哈爾濱 150022)

        0 引 言

        多變量非線性控制是一個(gè)廣泛的問題,周瑞敏等[1]給出了基于對角遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的PID控制算法。耿睿等[2]提出一種非線性未建模動態(tài)與線性模型相組合的集成模型,采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識未建模動態(tài)項(xiàng),設(shè)計(jì)了多變量非線性廣義預(yù)測控制。黃帥等[3]研究非線性多變量系統(tǒng)的多模型自適應(yīng)控制,控制方法由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器與線性自適應(yīng)控制器切換組成。姜雪瑩等[4]給出基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多變量非線性內(nèi)部迭代預(yù)測控制算法。文獻(xiàn)[1-4]為非線性多變量控制的最新研究,但不是關(guān)于實(shí)用隨機(jī)多變量NARMAX模型的控制研究。侯曉秋等[5]分析隨機(jī)NARMAX模型中隨機(jī)干擾量在模型中描述的形式難以確定的問題,將隨機(jī)干擾量從函數(shù)中分離出來,等效在模型的輸出端,基于濾波器提出實(shí)用隨機(jī)NARMAX模型。侯小秋[6]研究其可克服算法病態(tài)的非線性遞推最小二乘法,提出其在線修正參數(shù)的預(yù)測濾波PID控制算法。侯小秋[7]提出實(shí)用隨機(jī)多變量NARMAX模型,給出可克服算法病態(tài)的多變量非線性遞推最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),未研究其控制問題。筆者研究其在線優(yōu)化輸入輸出加權(quán)系數(shù)的多變量非線性預(yù)測函數(shù)控制算法。

        1 改進(jìn)隨機(jī)多變量NARMAX模型

        1.1 實(shí)用隨機(jī)多變量NARMAX模型

        文獻(xiàn)[7]提出的實(shí)用隨機(jī)多變量NARMAX模型為

        y(t+d)=F[Y(t+d-1),Y(t),

        u(t),U(t-1),θ]+ω(t+d),

        (1)

        式中:y(t)——輸出向量;

        u(t)——輸入向量;

        d——時(shí)滯;

        θ——待估參數(shù)集合;

        ω(t)——隨機(jī)干擾向量;

        F(…)——向量函數(shù)。

        YT(t+d-1)=[y(t+d-1),

        y(t+d-2),…,y(t+1)],

        YT(t)=[y(t),

        y(t-1),…,y(t-ny)],

        UT(t-1)=[u(t-1),

        u(t-2),…,u(t-nu)]。

        干擾模型

        (2)

        C(q-1)=I+C1q-1+…+Cncq-nc,

        式中:e(t)——白噪聲向量;

        I——單位矩陣;

        C1(q-1)——矩陣多項(xiàng)式;

        A(q-1)——矩陣多項(xiàng)式;

        q-1——單位后移算子。

        1.2 參數(shù)估計(jì)

        1.3 時(shí)變多變量CARMAX模型的逼近

        將文獻(xiàn)[5]的四個(gè)假設(shè)條件和時(shí)變CARMAX模型逼近方法推廣到多變量情形。

        動態(tài)工作點(diǎn)為

        y0(t+d-2),…,y0(t+1)],

        u0(t)=[u10(t),u20(t),…,un0(t)],

        y0(t+d-1)=y0(t+d-2)=…=y0(t+1)=y0(t)。

        y0(t)和u0(t)可表示為

        y0(t)=(I-α)y0(t-1)+αy(t),

        u0(t)=(I-β)u0(t-1)+βu(t-1),

        式中:α=diag[α1,α2,…,αn],0≤αi≤1,i=1,2,…,n;β=diag[β1,β2,…,βn],0≤βi≤1。

        對式(1)在動態(tài)工作點(diǎn)處一階泰勒展開,采用動態(tài)切平面逼近

        y(t+d)=F[Y0(t+d-1),Y(t),u0(t),

        i)-y0(t+d-i)]+φu(t)[u(t)-

        u0(t)]+ω(t+d),

        整理得:A(q-1)y(t)=q-dφu(t)u(t)+

        D(t)+ω(t),

        (3)

        D(t)=F[Y0(t+d-1),Y(t),u0(t),U(t-1),θ]-

        (4)

        A(q-1)=I+A1q-1+…+A(d-1)q-(d-1),

        且Ai=φyi(t)。

        由式(4)可知,D(t)在t時(shí)刻已知,將式(2)代入式(3)得

        C(q-1)e(t),

        (5)

        2 遞推預(yù)測模型

        式(5)忽略噪聲項(xiàng)C(q-1)e(t),可得

        (6)

        由式(5)、(6)可得

        (7)

        由式(7)遞推可得:

        (8)

        (9)

        (10)

        (11)

        將式(9)~(11)代入式(8)得

        yf(t+d+j),

        (12)

        式中,yf(t+d+j)——自由響應(yīng)。

        由式(12)令j=0,1,…,p,整理矩陣形式為

        (13)

        UT(t)=[uT(t),uT(t+1),…,uT(t+p)],

        3 預(yù)測函數(shù)控制

        3.1 基函數(shù)的選取

        控制器算法為

        i=0,1,…,p;l=1,2,…,n,

        (14)

        式中:μl,k(t)——加權(quán)系數(shù);

        fl,k(i)——基函數(shù)在t+i時(shí)刻的值;

        Nl——基函數(shù)的維數(shù);

        n——系統(tǒng)維數(shù)。

        3.2 參考軌跡

        yr(t+i)=r(t+i)-γi[r(t)-yp(t)],

        式中:yr(t+i)——參考軌跡向量;

        r(t)——設(shè)定值向量;

        yp(t)——實(shí)際輸出向量;

        γ——衰減因子矩陣。

        yr,n(t+i)],

        rT(t)=[r1(t),r2(t),…,rn(t)],

        γ=diag[γ1,γ2,…,γn]。

        3.3 預(yù)測誤差校正

        預(yù)測誤差向量為

        i=0,1,…,p,

        校正的預(yù)測輸出向量

        j=d,d+1,…,d+p,

        式中,ym(t+j)——校正的預(yù)測輸出向量。

        矩陣形式為

        (15)

        3.4 預(yù)測函數(shù)控制算法

        將式(14)整理成矩陣形式為

        (16)

        式中:μT(t)=[μ1,1,μ1,2,…,μ1,N1,

        μ2,1,μ2,2,…,μ2,N2,…,

        μn,1,μn,2,…,μn,Nn],

        目標(biāo)函數(shù)為

        (17)

        式中:ρ(t)——輸出加權(quán)對角矩陣;

        λ(t)——輸入加權(quán)對角矩陣;

        ρ(t)=diag(ρ1,ρ2,…,ρn×(p+1)),

        λ(t)=diag(λ1,λ2,…,λw)。

        由式(15)(13)可得

        (18)

        式(18)的矩陣求逆使用文獻(xiàn)[7]的算法計(jì)算。

        4 梯度表達(dá)式

        輸入輸出加權(quán)對角矩陣ρ(t)和λ(t)影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性,文中對其在線優(yōu)化,控制算法可調(diào)參數(shù)向量為

        ηT=[ρ1,ρ2,…,ρn×(p+1),λ1,λ2,…,λw],

        式(18)對ρi求偏導(dǎo)

        (19)

        (20)

        將式(18)對λi求偏導(dǎo)得:

        (21)

        (22)

        將式(16)對ηi求偏導(dǎo)

        (23)

        式(13)對ηi求偏導(dǎo)

        (24)

        式(15)對ηi求偏導(dǎo)

        (25)

        5 在線優(yōu)化參數(shù)

        文獻(xiàn)[6]改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)為

        式中:μ——遺忘因子;

        τj——加權(quán)因子;

        λη(t)——權(quán)重對角矩陣;

        εj(i,η)=ym,j(i+d+p)-yr,j(i+d+p)。

        (26)

        文獻(xiàn)[6]給出輸入輸出加權(quán)系數(shù)的在線優(yōu)化算法,算法無需提供二階導(dǎo)數(shù)矩陣,算法簡單,計(jì)算量小,應(yīng)用表明其收斂快,穩(wěn)健性高。

        式(26)兩邊對η求偏導(dǎo)得

        6 仿真研究

        被控對象是關(guān)于輸出非線性,輸入線性的,其表達(dá)式為

        設(shè)定r1(t)=(-1)^r(nóng)ound(t/100),r2(t)=0.6(-1)^r(nóng)ound(t/100),

        基函數(shù)分別為階躍函數(shù)f1,1(i)=0.3×1(t),f2,1(i)=0.75×1(t)。 斜坡函數(shù)f1,2(i)=0.2(1+i),f2,2(i)=0.15(1+i)。

        加權(quán)系數(shù)初始值μ1,1(0)=0.9,μ1,2(0)=0.7,μ2,1(0)=0.7,μ2,2(0)=0.6。衰減因子γ1=0.1,γ2=0.1。

        算法優(yōu)化時(shí)非線性遞推最小二乘法采用P(-2)=10-6I,τ1=τ2=1,μ=0.98,預(yù)測時(shí)域長度p+1=2。

        采用Matlab7語言編制m文件程序進(jìn)行仿真研究,仿真結(jié)果如圖1和2所示。

        圖1 響應(yīng)曲線Fig. 1 Response curve

        圖2 加權(quán)系數(shù)的優(yōu)化曲線Fig. 2 Optimization curve of weighting coefficient

        7 結(jié) 論

        (1)采用動態(tài)切平面逼近實(shí)用隨機(jī)多變量NARMAX模型,等效為時(shí)變多變量CARMAX模型,提出遞推預(yù)測模型,將非線性控制問題轉(zhuǎn)化為已知時(shí)變參數(shù)的線性控制問題。

        (2)提出在線優(yōu)化輸入輸出加權(quán)系數(shù)的實(shí)用隨機(jī)多變量NARMAX模型的預(yù)測函數(shù)控制,在線優(yōu)化調(diào)整系數(shù),優(yōu)于試湊法確定系數(shù)的算法。

        (4)因多變量雙線性系統(tǒng)和多變量Hammerstein模型及多變量Wiener模型等非線性性模型為隨機(jī)多變量NARMAX模型的特例,故均可采用文中的控制算法,避免了控制輸入向量尋優(yōu)的多變量非線性最優(yōu)化問題。

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